第二章 理論分析
2.1 文獻回顧
潮位的計算包括兩個部份：一是由天體運動所引起的天文潮 (Astronomical tide)，一是由異常氣象所引起的潮位，如颱風造成的暴 潮(Storm surge)。當颱風侵襲引起暴潮之際，若再碰上陰曆朔望之天 文大潮，則往往會造成低窪地區海水倒灌。（1994,李賢文）
天文潮的計算濫觴於 1867，William Thomson 於當年推導出調和 分析的方法來分析潮位，其原理乃是基於任何運動皆可以分解成一系 列的調和運動(harmonic motions)，因此可以利用一系列的調和函數 (harmonic functions)來逼近任何運動。雖然到 1867 William Thomson 才運用於潮汐分析之上，但實際上，此原理早在西元前 356 年就被 Eudoxas 發現。當年，他運用一系列的圓周運動來說明星球的不規則 運動。自 William Thomsom 之後，幾百年來陸陸續續又有許多學者專 家針對此技術加以改良，並利用天體運行關係推導出各星球對地球的 引力在地球上所造成的分潮週期公式。
而在暴潮預報模式的發展歷史中，可分成經驗方法、解析方法及 流體動力數值方法三種。
經驗方法是利用統計分析方式，求出海面高程與其他氣象因子的 關係。最簡單的就是直接求出暴潮位與鄰近平均風之關係，以及暴潮 位與中心氣壓之關係，在將兩者所求數值疊加而得暴潮位。1971 年 王博先生對國聖港、鹿港、外傘頂三地暴潮之推算，1975 年黃壽銘 先生研究花蓮港，1976 年魏靖松先生推算高雄港等地暴潮，及 1977 年 王 崇 岳 先 生 研 究 淡 水 河 暴 潮 ， 1992 年 Minoru 利 用 下 式 ：
a(1010p)bw2cos 預 測 東 京 (Tokyo) 、 名 古 屋 (Nagoya) 及 大 阪 (Osaka)三個臨海的大城市暴潮。2000 年蔡瀚陞研究淡水河口颱風暴 潮水位；。2002 年 Ou 等人，應用此法，計算台灣新竹、台中、東石、
與花蓮等區域，此皆屬經驗法則。
解析方法則是利用流體動力方程式推算暴潮。流體動力方程式包 括質量守恆及動量守恆式，其為一組非線性方程式。要解這組非線性 方程式則勢必將方程式簡化為線性方程式。而此通常只能適用於簡單 地形，對於自然界複雜的海岸地形就顯得不適宜(1967,Bretschneider)。
流體動力數值模式如同許多其他的數值計算一般，在電子計算機 問世後才發展起來，利用電子計算機快速計算之能力求解非線性方程 式之逼近解，因此毋需簡化條件，在自然界複雜的海域也能應用，是 目前最被廣泛使用的方法。
流體動力數值的先驅是德國海洋學家 Hansen(1956)，他在 1953 年以此法計算北海暴潮，獲得令人鼓舞的結果。1958 年 Platzman 以 此法計算密西根湖的暴潮，1959 年 Fisher 以與 Hansen 不同之格點構 造同樣推算北海之暴潮，同時討論到計算的穩定性問題，以及平滑技 巧和格點間距對演算之影響。1963 年 Platzman 再度以數值法計算北 美 伊 利 湖 之 暴 潮 ， 提 出 共 軛 格 點 模 式 (Conjugated Richardson Lattices)，討論如何處理沿邊界之格點。Harris 和 Jelesnianski(1964) 則發展出暴潮偏微分方程式之近似形式，同時將邊界以定差方式表 示，並討論其誤差。Jelesnianski 在 1965 年更以粗細兩種不同網格系 統計算暴潮，在大海域先用粗網格計算，再代入小海域細網格之邊界 條件中計算暴潮。Sielecki 則於 1968 年以能量不滅觀點求得穩定解。
1979 年李賢文先生以完整的流體動力模式預報台灣海峽沿岸之 暴潮。1984 年李賢文先生更進一步發展環繞台灣周圍海域之颱風暴 潮數值模式。1987 年劉肖孔先生發展一個三維颱風暴潮數值預報模 式，模式中並考慮了溫度和鹽度的變化。
1976 年美國聯邦緊急事故發展署(FEMA)為了洪災保險之需，發 展出一套暴潮預測模式，稱為 FEMA 模式。1983 年美國國家科學院 (National Academy of Sciences, NAS)會議中推薦此模式並建議修改此 模式以因應需要。因此有了 1985 年新版之 FEMA 暴潮預測模式。
在 Jelesnianski 領導下，1992 年美國氣象局發展出 SLOSH(Sea, Lake, and Overland Surges from Hurricane)模式推算海水倒灌之地區，
供民眾避難之用。
1996 年 Watson 等人研究，影響暴潮的因素很多，包括波流、地 形效應、暴風路徑與前進速度等相當重要，因為發生溢淹的位置與跟 當地發生高潮時間有很大的關係，暴風強度是決定暴潮偏差量主要因 素，但在預測上確有困難。而地形效應上顯示，V 型港灣會累積能量，
故暴潮偏差量會增大。
就美國氣象局暴潮模式的發展史來看，在 70 年代，模式計算僅 限於海岸線外的水域，即假定一高牆立於海岸線上，海水只能堆高，
無法穿透。之後，美國氣象局根據 60 年代暴潮觀測資料的努力，用 一組歷史最高水位觀測值來調整風力場係數。80 年代，氣象局推動 海灣與內陸漫灘的模式，利用粗細網格交疊之計算方式求算結果。
目前，SLOSH 模式在颱風路徑的預測精確度仍有限，登陸在 24 小時內，平均誤差仍在正負 100 海哩，而少許路徑的誤差，卻往往有 天壤之別的結果。因此，不適用單一路徑模式做暴潮預報。
SLOSH 和 FEMA 模式相異之處，在於前者用極座標網格，而 FEMA 則是用卡氏座標網格計算。後者並以網格對角線來逼近海岸 線。在風場模式上，SLOSH 分成風場為海岸線以外之”海風”，及海 灣內與淹水區之”湖泊風”。海風取早期外海模式(SPLASH, Special Program to List the Amplitude of Surges from Hurricanes)(Jelesnianski, 1992);湖泊風則根據 1949 年美國陸軍工程部設立的觀測站資料所得 出之摩擦係數修正外海模式而得。
至於在數值網格產生法方面，Thompson 等(1985)利用保角映射 原理 (Comformal mapping) 解橢圓性之偏微分方程式，並配合柯西里 曼條件 (Cauchy-Riemann conditions)將一由四條平滑曲線所圍成，四 個頂點為直角的不規則區域轉換成矩形區域，並在矩形區域中建立網 格，再做反轉換，使得不規則區域內產生網格。
Tsay 等(1989, 1990) 將邊界積分元素法運用於 Thompson 等 (1985) 所提出的區域轉換理論，以做為保角轉換之依據，在特定的 不規則區域中產生網格，而建立一自動網格形成模式。並將此應用於
緩坡方程式 (Mild-slope equation) 來描述波浪運動。另於 1990 年發 表的技術報告中提及，其優點為座標轉換與反轉換之關係在建立之 後，如需調整網格時可以不必重複再解座標轉換與反轉換所需之偏微 分方式。
Tsay(1997)利用複變映射理論，將不規則區域轉換成規則區域，
再利用 Tsay 等(1989,1990)之研究在任意不規則區域中形成正交網 格，由於複變映射理論之應用，將 Tsay 之模式擴展至任意不規則區
(即振幅與相位角及平均水位)，代回(2-1)即可預測任意時間 t 的天文 潮位。在實際計算上，會遭遇到現場量測水位資料闕漏的問題，因此，
必須應用第一次求出的天文潮位反求引用資料中闕漏的現場水位資 料，然後以此修正過的資料重新再求出新的天文潮分潮參數。利用此 新參數可求出任意時間的天文潮位。而經過非颱風時期的現場潮位資 料驗證後，便能確認天文潮模式的準確性。
天文潮模式的建立流程如圖 2-2-1，為：(1)取得足夠長度且品質 良好的潮位資料；(2)過濾掉明顯錯誤的實測資料，確認資料品質。
例如，由過去紀錄中，河口水位即使在颱洪時期也未曾超過 3 公尺以 上，因此若平日水位有高於或低於 3 公尺者，便可視為不合理值而去 除；(3)進行調和分析，得到天文潮分潮參數，並利用此參數計算天 文潮位；(4)繪圖觀察計算值與觀測值的水位歷線是否相符，如果有 明顯的相位差，表示有重要的分潮參數沒有考慮到，必須回頭檢視天 文潮分潮選擇是否恰當，調整過後，再重新計算一遍。(5)統計計算 值與觀測值的年平均誤差，如果超過設定的門檻值，表示缺漏的資料 已經發生影響，必須利用前一次計算所得之天文潮位將原始實測資料 闕漏部分補遺或修正不合理值，進行第二次的調和分析，而獲得一組 新的天文潮參數及天文潮位。
其中，天文潮分潮的週期可從天文及潮汐相關書籍查表而得。
圖 2-2-1 天文潮模式建立流程圖
2.3 邊界符合座標系統理論
由於現有模式計算偏導數時會出現些許誤差，尚無法準確描述座 標轉換間尺度因子。因而擬對現有的理論基礎重新檢討，針對有誤差 的地方進行修正。以下就現有模式的理論基礎作一說明：
邊界符合座標網格形成，先採用複變映射理論將不規則區域轉換 成超矩形區域(Hyper-rectangular region)(如圖 2-3-1)，再配合邊界積分 元素法解拉普拉斯方程式 (Laplace equation)，而將超矩形區域轉換至 矩形區域而在矩形區域中形成網格。其中使用邊界元素法時，處理角 落 (Corner)的多重方向導數(Multiple normal derivatives)，需另外處 理，而使轉換能順利進行。並須進行反轉換之計算，利用邊界積分法，
否
天文潮分潮參數及天 文潮位計算
蒐集潮位觀測資料，清除不合理之觀測值
調整分潮個數
計算與觀測水位 歷線相位相符?
結束
計算與觀測值年平均 誤差超過門檻值
是
原始觀測資料闕 漏部分或不合理 值以計算值代入
否 是
與柯西里曼條件( Cauchy-Riemann condition)，將矩形區域中之網格反 轉換回超矩形區域，再利用複變映射理論反轉換回原幾何形狀，最 後，原幾何形狀之網格便可建立完成。
圖 2-3-1 座標轉換示意圖
此外，將不規則區域轉換成超矩形區域之過程中，乃利用複變映 射理論推導座標轉換系統偏導數之關係。而超矩形區域轉換至矩形區 域之過程中，則利用邊界積分元素法，求區域內偏導數的值。將上述 所 求 得 之 偏 導 數 組 合 後 ， 可 建 立 原 幾 何 座 標 系 統 轉 換 (Physical coordinate system)至矩形區域座標系統(Transformed coordinate system) 之偏導數。
一、 複變映射理論—建立超矩形區域
由於 Tsay 等(1989, 1990) 之自動網格形成模式，僅適用在如(圖 2-3-1) 的區域：圖中四點 A、B、C、D 夾角均為 2，其餘邊界上任 意點皆為平滑曲線，這樣的區域於現有模式中稱為「超矩形區域」。
為了能銜接 Tsay 等 (1989, 1990)之模式，必須先將各種不規則區域均
為了能銜接 Tsay 等 (1989, 1990)之模式，必須先將各種不規則區域均