第二章 理論分析
2.3 邊界符合座標系統理論
由於現有模式計算偏導數時會出現些許誤差，尚無法準確描述座 標轉換間尺度因子。因而擬對現有的理論基礎重新檢討，針對有誤差 的地方進行修正。以下就現有模式的理論基礎作一說明：
邊界符合座標網格形成，先採用複變映射理論將不規則區域轉換 成超矩形區域(Hyper-rectangular region)(如圖 2-3-1)，再配合邊界積分 元素法解拉普拉斯方程式 (Laplace equation)，而將超矩形區域轉換至 矩形區域而在矩形區域中形成網格。其中使用邊界元素法時，處理角 落 (Corner)的多重方向導數(Multiple normal derivatives)，需另外處 理，而使轉換能順利進行。並須進行反轉換之計算，利用邊界積分法，
否
天文潮分潮參數及天 文潮位計算
蒐集潮位觀測資料，清除不合理之觀測值
調整分潮個數
計算與觀測水位 歷線相位相符?
結束
計算與觀測值年平均 誤差超過門檻值
是
原始觀測資料闕 漏部分或不合理 值以計算值代入
否 是
與柯西里曼條件( Cauchy-Riemann condition)，將矩形區域中之網格反 轉換回超矩形區域，再利用複變映射理論反轉換回原幾何形狀，最 後，原幾何形狀之網格便可建立完成。
圖 2-3-1 座標轉換示意圖
此外，將不規則區域轉換成超矩形區域之過程中，乃利用複變映 射理論推導座標轉換系統偏導數之關係。而超矩形區域轉換至矩形區 域之過程中，則利用邊界積分元素法，求區域內偏導數的值。將上述 所 求 得 之 偏 導 數 組 合 後 ， 可 建 立 原 幾 何 座 標 系 統 轉 換 (Physical coordinate system)至矩形區域座標系統(Transformed coordinate system) 之偏導數。
一、 複變映射理論—建立超矩形區域
由於 Tsay 等(1989, 1990) 之自動網格形成模式，僅適用在如(圖 2-3-1) 的區域：圖中四點 A、B、C、D 夾角均為 2，其餘邊界上任 意點皆為平滑曲線，這樣的區域於現有模式中稱為「超矩形區域」。
為了能銜接 Tsay 等 (1989, 1990)之模式，必須先將各種不規則區域均 能轉換為超矩形區域。而這樣的轉換方法即以「複變映射理論」為基 礎而建立。
如圖 2-3-2，以 W 複數平面夾角之區域轉換至 Z 複數平面夾 角之區域為﹕
圖 2-3-2 複變映射示意圖
1 A
dW W
dZ (2-3)
式中，
A
積分後得 W W A
Z A
Z 1 ( )
0
0
(2-4)
式中，Z0 為 Z 複數平面的支點（Branch point），W0為 W 複數 平面的支點。在式 (2-4) 中，因為 Z 平面與 W 平面皆為複數平面，
且複數函數(WW0)
為多值函數。為保持函數為單值，需建立一條人 為的界線W B0 。參見(圖 2-3-2) ，其中W0點稱為支點，B 點在無窮遠 處，（當然其他以W0為始點的射線都可），這條界線稱為支線（Branch line）或分枝切割（Branch cut）。在區域轉換的過程中，為使得區域 不至被分割，其選取的支線必須在轉換區域之外，如此才能確保轉換 區域之連續性。
在此考慮複變映射理論之反轉換，自 Z 平面夾角之區域轉換 至 W 平面夾角之區域，其反轉換方法如下：
Z A
Z A W W
1 0
0 [ ( )]
(2-5)
因此，利用以上之理論，可將不規則區域，選取邊界上四點轉換 可驗證其符合柯西里曼條件( Cauchy-Riemann condition )
X 面上之封閉區間 ABCD，邊界為四個區段：AB、BC、CD 與 DA，
在平面上選取適當的矩形A B C D，使 A、B、C、D 四點對應 至A、B、C、D四點。且使得A B、C D之值為某一常數，D A、
B C 之值為某一常數，因此，可採用拉普拉斯方程式作保角轉換：
2 0
(2-13)
X
Y
(2-14)
利 用 二 維 拉 普 拉 斯 方 程 式 的 基 本 解 ( 自 由 空 間 格 林 函 數 free-spaceGreen‘sfunction)ln r 以及變分法(variation method)，可將方 程式(2-11)、(2-12)改成邊界積分方程式如下：
n ds
(2-18)
當奇異點 P 在區域內時，2；當 P 點在邊界上時，其值 為邊界內部之夾角值。因此可利用(2-15)、(2-16)式，計算出邊界上之 所有 , 值或 域邊界之導數時，利用柯西里曼條件(Cauchy-Riemann condition)及採 用線性計算，導致邊界之導數產生誤差。而現有模式採用邊界積分元
得一提的是，在矩形區域的四個角落(Corner)，重方向導數（Multiple normal derivatives)，可利用柯西里曼條件(Cauchy-Riemann condition) 增加四條方程式處理，即可順利進行。
在利用邊界積分法求解 X2 0過程中，發現邊界若有 N 個節 點，因其邊界條件為德列契列特（Dirichlet）形式，X 值已知，但
n X
未知，且在四個角落（Corner）因有多重方向導數（Multiple normal derivatives )
（Finite difference method）之計算。所以可視有限差分法之需要，建 立矩形中之網格。
在式(2-19)及(2-20)積分方程式中，右邊為邊界積分，且邊界上的 求出。將上述所求出之偏導數利用連鎖律（Chain rule）組合，而建 立原幾何區域轉換至矩形區域之偏導數。