第四章 研究結果
第二節 建議
（二）教學前、後分數概念集群人數分佈情形得知，教學後的分數概 念學習成就測驗平均分數明顯提升，且高分組人數也增加了。
第二節 建議
一、教學上的建議
學習成就表現無法完全提供學生的學習資訊，教師應該藉由學生知識 結構圖的表現，瞭解學生的學習狀況及學習困難，再針對學生的狀況施以 最適合學生的補救教學。並配合集群分析方法適當的將學生分群，因為同 一群學生的知識結構圖彼此之間有很大的相似之處，教師可先了解不同群 組學生的知識結構圖，再進行分組施以補救教學，以達到最佳效果。三年 級分數概念之核心概念乃等分概念，建議教師在教學時多使用具體操作物
建立起學生的等分概念，再延伸至單位量概念或其他分數子概念，如此學 生在面對未來學習之分數課程才能迎刃而解、得心應手。
二、未來研究的建議
本研究的研究對象僅侷限於彰化縣某一所國民小學三年級的四個班 級，共 118 位學童。因此，本研究的代表性以及結果的推論都有其限制。
對於未來相關的研究有以下的建議：
（一）未來的研究則可擴大研究對象的數量，以求更廣泛的探討國小學生 對分數概念的認知是否有所差異。此外，本研究所探討的範圍是國 小三年級學童，未來也可以針對其他年級的學生進行施測，比較不 同年級學生在分數概念的認知與學習上是否有差異。
（二）根據學童知識結構設計教學內容並比較教學成效，如此可在評估教 學成效時亦能同時分析團體和個別的知識結構變化。
（三）本研究以量化的研究方法針對三年級學生的分數概念知識結構圖進 行分析討論，若能輔以質性研究，對學生實施觀察筆記、深入訪談，
將更能對學生學習情形有所了解。
（四）未來可建立一個標準化的概念分析程序或指標，以提供教師對於解 讀學生的知識結構圖之依據，如此教師將更能掌握學生的學習狀況 及學習困難為何，並儘速尋求解決之道。
參考文獻
一、中文部分
王秀琲（2003）。實作評量在國小數學科之應用
-
以五年級學童分數為例。 國立台中師範學院教育測驗統計研究所碩士論文。王淑芬（2005）。兒童分數概念研究：一個國小三年級的個案。國立台中 師範學院數學教育研究所碩士論文。
王啟章（2006）。國小學童分數概念的實驗教學及知識結構分析
-
以五年級 為例。國立台中師範學院教育測驗統計研究所碩士論文。江淑卿（1997）。知識結構的重要特性之分析暨促進知識結構教學策略之 實驗研究。國立臺灣師大心輔所博士論文。
江淑卿、郭生玉（1997）。不同學習過程的概念構圖策略對促進知識結構 專家化與理解能力之效果研究。師大學報：教育類，
42，1-16。
呂玉琴（1991a）。分數概念文獻探討。台北師院學報，4，537-606。
呂玉琴（1991b）。國小學生的分數概念，1/2 vs. 1/4。國民教育，31（11,12）， 10-15。
余民寧（1997）。有意義的學習－－概念圖構成之研究。台北市：商鼎。
吳宏毅（2001）。台灣北部地區國小低年級學童分數概念之研究。國立台 北師範學院數理教育研究所碩士論文。
吳相儒（2001）。運用國小數學科「分數」教學模組實施診斷與補就教學 之研究
—
以國小四年級為例。國立嘉義大學國民教育研究所碩士論文。李曉莉（1998）。國小二年級兒童分數概念之研究。國立台中師範學院國 民教育研究所碩士論文。
林清山（1992）。心理與教育統計學。台北：東華書局。
林福來、黃敏晃、呂玉琴（1996）。分數啟蒙的學習與教學之發展性研究。
科學教育學刊，第四卷第二期，616-196。
林碧珍（1990）。從圖形表徵與符號表徵之間的轉換探討國小學生的分數 概念。新竹師院學報。第
4
期。頁 295-347。林曉芳（1999）。數學低成就國中生在代數概念學習之評量研究。國立政 治大學教育系碩士論文。
林曉芳、余民寧（2001）。國中生在數學代數概念學習之評量研究—以二 元一次方程式為例。國立政治大學教育與心理研究，
24，303-326。
南一書局企業股份有限公司（2007）。國民小學數學教師手冊
(
第七冊)。
台南市：南一書局企業股份有限公司。
洪素敏（2004）。國小五年級學童分數迷思概念補救教學之研究。國立嘉 義大學教育學院數學教育研究所碩士論文。
涂金堂（2000）。徑路搜尋在知識結構測量上的應用。國立臺南師範學院 初等教育學報，
13，275-306。
涂金堂（2001）。知識結構的評量與改變之研究
─
以國小學生數學文字題為 例。國立政治大學教育系博士論文。陳瑞發（2002）。國小低年級學童分數概念之研究。國立台北師範學院數 理教育研究所碩士論文。
陳靜姿（1997）。國小四年級兒童等值分數瞭解之初探。國立台中師範學 院初等教育研究所碩士論文。
許淑貞（2003）。結合試題反應理論與模糊認知結構的徑路搜尋之幾何概 念分析。國立台中師範學院數學教育學系碩士論文。
張新仁（1993）。奧斯貝的學習理論與教學應用。教育研究，
32，31-51。
張春興（1994）。教育心理學。台北：東華書局
張平東（1995）。國小數學教材教法新論。台北市：五南。
張樂明（2004)。國小六年級學童分數概念之診斷教學研究。國立臺北師範 學院數理教育研究所碩士論文。
彭海燕（1998）。國小學童等值分數概念了解之研究。國立台北師範學院 國民教育研究所碩士論文。
游政雄（2002）。台灣北部地區國小中年級學童分數概念之研究。國立台 北師範學院數理教育研究所碩士論文。
湯錦雲（2002）。國小五年級學童分數概念與運算錯誤類型之研究。屏東 師範學院，數理教育研究所碩士論文。
黃芳玉（2003）。國小六年級學生數學表徵能力與計算能力之研究。國立 嘉義大學數學教育研究所碩士論文。
黃美盼（2005）。整數加減法文字題知識結構與認知形式關係之研究
-
以國 小二年級學童為例。國立台中師範學院數學教育系理學碩士論文。黃靖瑩（2003）。國小中年級學童分數概念之研究。國立台北師範學院數 理教育研究所碩士論文。
黃湃翔（2004）。徑路搜尋法應用於高一學生力學知識結構與其學習成就 之相關研究。國立高雄師範大學科學教育研究所博士論文。
楊壬孝（1988）。國中小學分數概念的發展。行政院國家科學委員會專題 研究計畫成果報告（編號：
NSC-77-0111-S-003-09A
）。執行單位：國立 台灣師範大學數學系。楊瑞智（2000）。探究師院生之分數基本概念及分數概念的課室教學。台 北市立師範學院學報，
31
， 357-382。葉倩亨（2001）。路徑蒐尋網路分析應用於大一心理學學習效果評量之研 究。國立政治大學教育與心理研究，
24，421-446。
葉晏彰（2005）。「引導式表徵陳述」與「遊戲式概念改變」課程軟體輔助 國小分數學習效益之探究。國立台中師範學院數學教育學系暨碩士班 碩士論文。
塗振洋（2001）。路徑蒐尋網路分析在教學評量上的應用-以國小六年級學
教育部（2003）。國民中小學九年一貫課程綱要。台北市：教育部。
詹婉華（2003）：國小高年級學童分數概念之研究，國立台北師範學院數 理教育研究所碩士論文。
蔡佳燕（2000）。國小學生數學學科知識結構評量之研究。國立政治大學 教育系碩士論文。
魏麗枝、王清鋒、林郁絲、連麗菁、劉克倫、趙育敏、謝寒琪（2004）。
台中市永春國小三年級分數意義教學之行動研究。教育部
93
年度鼓勵 中小學教師從事行動研究論文集，第 90-98 頁。承辦單位：國立彰化 師大附工。龐嘉芬（2002）。國小高年級學童分數概念與能力之研究。屏東師範學院，
數理教育研究所碩士論文。
鐘世帆（2005）。國小學童整數乘除概念知識結構與認知形式相關之探討
-以六年級為例。國立台中師範學院數學教育系理學碩士論文。
二、英文部分
Acton, W. H., Johnson, P. J., & Goldsmith, T. E. (1994). Structural Knowledge assessment: Comparison of referemt structures. Journal of Educational
Psychology, 86, 303-311.
Behr, M. J., Lesh, R., Post, T. R., & Silver, E. A. (1983). Rational number concepts. In R. Lesh & M. Landau (Eds.), Acquisition of mathematics
concepts and processes (pp.91-126). New York: Academic Press.
Behr, M. J., & Post, T. R. (1992). Teaching rational number and decimal concepts. In T. R. Post (Ed.), Teaching mathematics in progress K-8:
Research base methods
（2nd ed.
） (pp.201-248). Boston, MA: Allyn and Bacon.Columba, H. L. (1989). Equivalent Fraction Concepts: A Teaching Experiment.
Unpulished Doctoral Dissertation of University of Louisville Graduate School of Education.
DeVellis, R. F. (1991). Scale Development Theory and Applications. London:
Sage Publications, Inc
Dickson, L., Brown, M., & Gibson, O. (1984). Child learning mathematics: A
t e ac he r ’ s gui de t o r e c ent r e s ear c h（pp.274-298）. Oxford, Great Britain,
England School Council Publications.Ebel, R. L., ＆ Frisbie, D. A. (1979). Essentials of educational measurement
(3rd ed.). Prentice-Hall: Englewood Cliffs, N.J..
Freudenthal, H. (1983). Didactical phenomenology of mathematical structures.
（pp. 133-209）. Boston: D. Reidel.
Goldsmith, T. E., Johnson., P. J., & Acton, H. W. (1991). Assessing structural
Knowledge. Journal of Educational Psychology. 83, 88-96.
Gonzalvo, P., Canas, J. J., & Bajo, M. T. (1994). Structural representations in
knowledge acquisition.Journal of Educational Psychology. 86, 601-616.
Hunting,R.P.(1986).Rachel’sSchemesforConstructing Fraction Knowledge.
Educational Educational Studies in Mathematics, 7(1), 49-86.
Jonassen, D. H., Beissner, K., & Yacci, M. (1993). Structural knowledge:
Techniques for representing, converying, and acquiring structural knowledge. Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum Associates.
Kieren, T. E. (1976). On the mathematical, cognitive and instructional foundation of rational number. In R. Lesh (Ed.), Number and measurement:
Paper from a Research (pp.99-142). Athens, GA: The Georia Center for
the Study of Learning and Teaching Mathematics.mechanisms. In T. E. Kieren (Ed.), Recent research on number learning (pp.125-150). ERIC/SMEAC, Columbus.
Kieren, T. E. (1988). Personal knowledge of rational number: Its intuitive and formal development. In Hibert, J. & Behr, M. J. (Eds.). Number concepts
and operations in the middle grades (pp.162-181). Reston,VA: National
Council of Teacher of Mathematics.Koubek, R. J., & Mountjoy, D. N. (1991). Toward a model of knowledge
structure and a comparative analysis of knowledge structure measurement techniques. Wright State Univ., Dayton, OH. Dept. of Biomedical and
Human Factors Engimeering.National Assessment of Educational Progress (NAEP). (1989). Mathematics
Objective: 1990 Assessment.
The Nation’s Report Card. Princeton, NJ: Educational Testing Service.Nesher, P. (1985) The development of semantic categories for addition and subtraction. Educational Studies in Mathematics, 373-394
Ohlsson, S. (1988). Mathematical meaning and applicational meaning in the semantics of fractions and related concepts. In J. Hibert & M. Behr (Eds.),
Number concepts and operations in the middle grades (pp.53-92). Reston,
VA: National Council of Teacher of Mathematics.Piaget, J., Inhelder, B. & Szeminska, A. (1960). Th
e c hi l d’ s c onc e pt i on of geometry. New York: Basic book.
Shavelson, R. J. (1972). Some aspects of the correspondence between content structure and cognitive structure in physics instruction. Journal of Educational
Psychology, 63, 225-234.
Schvaneveldt, R. W. (1990). Proximities, networks, and schemata. In R. W.
organization. Norwood, NJ: Ablex.
附錄一：三年級分數概念成就測驗
( )6. 下列那一個選項不是
( )12. 阿姨買了 1 個圓形小蛋糕，要平分給 4 個小朋友，阿姨應該怎麼切？
○
1
○2
○3
○4
⑤ 以上皆可( )13. 塗色的部份，占全部的幾分之幾?
○1 四分之二 ○2 四分之一 ○3 六分之一 ○4 六分之四 ⑤六分之二 ( )14. 桌子上有些彈珠，請問圈起的彈珠佔桌上全部彈珠的幾分之幾？
○1
5 4
○29 1
○313 9
○428 9
⑤9 4
( )15.下圖是一個圓，斜線的部分是幾個圓？
○
1 12
4
個 ○2 4
12
個 ○3 4
1
個 ○4 8
4
個 ⑤4
8
個附錄二：BILOG 程式
>GLOBAL DFNAME='DATA.DAT', NPARM=3, SAVE;
>SAVE PARM='DATA.PAR', SCORE='DATA.SCO';
>LENGTH NITEMS=15;
>INPUT NTOTAL=15, NALT=5, NIDCHAR=3, KFNAME='DATA.KEY';
>ITEMS INAMES=(MATH01(1)MATH15);
>TEST1 TNAME='PRETEST', INUMBER=(1(1)15);
(3A1,1X,15A1)
>CALIB NQPT=31, CYCLES=25, NEWTON=10, CRIT=0.001, ACCEL=0.0, CHI=30, PLOT=1;
>SCORE NOPRINT, RSCTYPE=4, INFO=2, POP;
附錄三：SAS 程式
OPTION LS=200 PS=500;
DATA A1;
infile 'C:\Documents and Settings\user\a.txt';
input x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 x13 x14 x15;
* PROC PRINT DATA=A1;
RUN;
***** CHANGE DATASET INTO MATRIX *****;
PROC IML;
USE A1;
* LIST ALL;
READ ALL INTO A2;
* PRINT A2;
R=NROW(A2);
C=NCOL(A2);
PRINT R C;
do N=1 to R; /* the task-taker */
PRINT N;
***** Begin computing response probability *****;
NI=I(R)-I(R); MI=I(C)-I(C);
NZ=NI[*,+]; /* R*1 zero matrix */
MZ=MI[*,+]; /* C*1 zero matrix */
CC=MZ*MZ`; /* C*C zero matrix */
NM=NZ*MZ` ; /* R*C zero matrix */
*PRINT NM MM;
do i=1 to C;
do j=1 to C;
ma=MAX(MAX(A2[*,i]), MAX(A2[*,j])) ; mi=Min(Min(A2[*,i]), Min(A2[*,j])) ; CC[i,j]=(abs(A2[N,i]-A2[N,j])/(ma-mi));
end;
end;
print CC;
end;
附錄四：PCKNOT 程式
以標準參照為例 data
dist 15 nodes
7 decimal places 0 minimum 1 maximum matrix:
0.000000 0.059490 0.056985 0.166941 0.016523 0.497926 0.045625 0.286210 0.058240 0.054240 0.152671 0.058269 0.057066 0.038931 0.056278 0.059490 0.000000 0.003389 0.206241 0.036019 0.520787 0.008901 0.320701 0.004671 0.005656 0.198165 0.001067 0.004178 0.095808 0.007360 0.056985 0.003389 0.000000 0.204566 0.033778 0.519810 0.006500 0.319233 0.001699 0.002957 0.196239 0.001581 0.000111 0.093412 0.000956 0.166941 0.206241 0.204566 0.000000 0.179399 0.401688 0.200034 0.134625 0.205405 0.202732 0.038894 0.205567 0.204621 0.140607 0.204093 0.016523 0.036019 0.033778 0.179399 0.000000 0.505164 0.027712 0.297152 0.034901 0.031324 0.161526 0.035116 0.033851 0.049874 0.033145 0.497926 0.520787 0.519810 0.401688 0.505164 0.000000 0.517171 0.313256 0.520300 0.518742 0.423985 0.520394 0.519842 0.482652 0.519535 0.045625 0.008901 0.006500 0.200034 0.027712 0.517171 0.000000 0.315260 0.007703 0.003871 0.191022 0.007934 0.006579 0.079419 0.005823 0.286210 0.320701 0.319233 0.134625 0.297152 0.313256 0.315260 0.000000 0.319968 0.317625 0.173255 0.320110 0.319281 0.263052 0.318818 0.058240 0.004671 0.001699 0.205405 0.034901 0.520300 0.007703 0.319968 0.000000 0.004310 0.197204 0.000255 0.002025 0.094612 0.004503 0.054240 0.005656 0.002957 0.202732 0.031324 0.518742 0.003871 0.317625 0.004310 0.000000 0.194129 0.004467 0.003045 0.090787 0.002195 0.152671 0.198165 0.196239 0.038894 0.161526 0.423985 0.191022 0.173255 0.197204 0.194129 0.000000 0.197389 0.196302 0.121835 0.195695 0.058269 0.001067 0.001581 0.205567 0.035116 0.520394 0.007934 0.320110 0.000255 0.004467 0.197389 0.000000 0.001495 0.094843 0.002326 0.057066 0.004178 0.000111 0.204621 0.033851 0.519842 0.006579 0.319281 0.002025 0.003045 0.196302 0.001495 0.000000 0.093490 0.001361 0.038931 0.095808 0.093412 0.140607 0.049874 0.482652 0.079419 0.263052 0.094612 0.090787 0.121835 0.094843 0.093490 0.000000 0.092736 0.056278 0.007360 0.000956 0.204093 0.033145 0.519535 0.005823 0.318818 0.004503 0.002195 0.195695 0.002326 0.001361 0.092736 0.000000