國立臺中教育大學教育測驗統計研究所教學碩士論文
指導教授︰易正明
教授
探討教學前、後分數概念的知識結構
—以三年級為例
研 究 生：葉乃丰
撰
中 華 民 國 九 十 六 年 七 月
摘
要
本研究主要目的在於探究國小三年級學童分數概念，配合徑路搜尋法 找出教學前、後學生知識結構的變化，並探討與集群分析之關係。 研究者以彰化縣某國民小學的三年級學童為研究對象，共計 118 人。 採用「分數概念測驗」為研究工具，並以 SPSS、BILOG、SAS、KNOT 等軟 體進行統計資料分析。 歸納資料分析結果，本研究獲得結果如下： 一、分數概念教學後，所有三年級學童或不同組別學童在教學前、後的分 數概念測驗表現均達顯著差異。 二、由知識結構圖可發現，三年級學童之分數概念乃以等分概念為其核心 概念。 三、高能力值組學生的知識結構圖與標準參照知識結構圖較為相似。 四、原始分數相同之學生，能力值不一定會相同，而且知識結構圖也不一 定會相同。 本研究結果與發現，可提供有關國小學生分數概念教學之參考，以及 未來進一步研究之建議。 關鍵字：分數概念、知識結構、徑路搜尋Abstract
This main purpose of this thesis is to analyze the conception of fraction of the third grade pupils. Using the Pathfinder Method to find the variations of knowledge structure of sample students, and discuss the relation with the method of cluster analysis.
The researcher takes the third grade of pupils who are total 118 people in an elementary school at Changhwa county as subjects for the research. The research tools are ‘‘Study Achievement Tests of Conception of Fractional Number’’, and proceeding analyzing statistical data by using the software SPSS, BILOG, SAS and KNOT, etc.
The main discoveries of this research are as follows:
1. After the teaching activities, all students or different groups students made significant difference on their study achievement tests of conception of fractional number.
2. To compare the variations of knowledge structure of sample students, we discover that the equal dividing concept is the center concept of the third grade of pupils to learn the conception of fractional number.
3. The knowledge structure diagram of high capability group is similar to the criterion-referenced knowledge structure diagram.
4. The examinees whose raw score are the same, their capabilities and knowledge structure are not the same.
for teaching conception of fractional number. Some recommendations for further research were provided by the researcher.
Keywords: Conception of Fractional Number, Knowledge Structure, Pathfinder Method
目
錄
第一章
緒論
第一節 研究動機………1 第二節 研究目的………3 第三節 待答問題………3 第四節 名詞釋義………4 第五節 研究限制………5第二章
文獻探討
第一節 分數概念………6 第二節 知識結構 ………17 第三節 徑路搜尋 ………21第三章
研究方法
第一節 研究架構 ………30 第二節 研究對象 ………32 第三節 研究流程 ………33 第四節 研究工具 ………35 第五節 資料處理 ………41第四章
研究結果
第一節 教學前、後之學生解題表現 ………43 第二節 徑路搜尋之分數概念知識結構分析 ………47 第三節 以集群分析探討學生教學前、後分數概念表現 …………56第五章
結論與建議
第一節 結論 ………65 第二節 建議 ………66參考文獻
一、中文部分………68 二、英文部分………71附錄
附錄一 三年級分數概念成就測驗 ………75 附錄二 BILOG 程式………78 附錄三 SAS 程式………79 附錄四 PCKNOT 程式 ………80 附錄五 研究工具使用同意書 ………81表 目 錄
表 2-1-1 分數意義相關研究 ………8 表 2-1-2 國小階段分數的意義整理表 ………10 表 2-1-3 分數單元教材內容分析 ………12 表 2-2-1 知識結構評量方法分析表 ………20 表 2-2-2 多向度量尺、集群分析與徑路搜尋之內涵、特色與限制表…21 表 2-3-1 徑路搜尋之相關研究表 ………26 表 3-2-1 樣本人數分配表 ………32 表 3-4-1 分數概念測驗工具之雙向細目表 ………36 表 3-4-2 分數概念成就測驗 KMO 與 Bartlett 檢定表………38 表 3-4-3 最大變異法轉軸後之成分矩陣 ………38 表 3-4-4 成分歸類表 ………39 表 3-4-5 分數概念測驗難易度、鑑別度分析表 ………40 表 4-1-1 教學前、後之成對樣本 t 檢定摘要表………43 表 4-1-2 教學前、後，高、中、低分數之成對樣本 t 檢定摘要表……44 表 4-1-3 教學前、後，高、中、低分組改變情形表………45 表 4-1-4 教學前、後，分數子概念之成對樣本 t 檢定摘要表…………46 表 4-2-1 教學前、後，學生的原始平均分數及平均能力值………48 表 4-2-2 各組人數及平均能力值、原始平均分數 ………50 表 4-2-3 各組實例之能力值與核心概念 ………51 表 4-2-4 不同組別知識結構圖中節點與節點之間的鏈結關係 ………53 表 4-2-5 原始成績為十分實例之能力值及知識結構圖類別 …………56 表 4-3-1 教學後集群分析分群情形及相關資料分析表 ………57 表 4-3-2 教學前集群分析分群情形及相關資料分析表 ………63 表 4-3-3 教學前、後集群分析分群情形分配表 ………64圖 目 錄
圖 2-3-1 接近性矩陣與徑路搜尋網路………24 圖 3-1-1 研究架構圖………31 圖 3-3-1 教學實施流程圖………33 圖 3-3-2 資料分析流程圖………34 圖 4-2-1 標準參照之知識結構圖………47 圖 4-2-2 教學前實例一………48 圖 4-2-3 教學前實例二………48 圖 4-2-4 學生作答實例………49 圖 4-2-5 教學後實例一………49 圖 4-2-6 教學後實例二………49 圖 4-2-7 敎學後高能力值組實例………51 圖 4-2-8 敎學後中能力值組實例………52 圖 4-2-9 敎學後低能力值組實例………52 圖 4-2-10 原始分數十分之第一類………55 圖 4-2-11 原始分數十分之第二類………55 圖 4-2-12 原始分數十分之第三類………55 圖 4-2-13 原始分數十分之第四類………55 圖 4-3-1 第五群-實例一 ………58 圖 4-3-2 第五群-實例二 ………58 圖 4-3-3 第五群-實例三 ………58 圖 4-3-4 第五群-實例四 ………58 圖 4-3-5 第五群-實例五 ………59 圖 4-3-6 第三群-實例一 ………60 圖 4-3-7 第三群-實例二 ………60 圖 4-3-8 第三群-實例三 ………61 圖 4-3-9 第三群-實例四 ………61圖 4-3-10 第二群-實例一 ………62
圖 4-3-11 第二群-實例二 ………62
圖 4-3-12 第二群-實例三 ………62
第一章 緒論
本研究目的欲探究國小三年級學童分數概念的知識結構。本章主要目 的在闡述本研究之動機、目的、待答問題及對本研究中所提及之相關名詞 作明確的界定，並說明本研究的限制。全章共分五節：第一節為研究動機； 第二節為研究目的；第三節為待答問題；第四節為名詞釋義；第五節為研 究限制。第一節 研究動機
「老師，我的小孩分數都不會，是不是該去補習？」研究者目前為一 在職國小教師，任教以來幾乎每一年學童家長都會有這樣的疑惑，因此發 現學童在「分數概念」的表現與能力，往往較其他單元弱。而分數概念在 國小階段數學領域的學習中是基本且相當重要的概念之一，而且與小數、 比、百分率、除法等數學概念關係密切。陳靜姿(1997)在其研究中歸納出 分數學習的重要性原因如下：(1)兒童具備基本的分數概念後，才能進一步 發展有理數概念；(2)兒童在比較兩個分數的次序關係時，須考慮分數的等 價關係，藉由分數的學習，兒童能增進等價的觀念；(3)分數概念的瞭解有 助於學生處理有關分數的四則運算問題；(4)分數和許多重要的數學概念 (比、比例、機率、小數、百分率等)有密切的關聯性，而這些概念是兒童 學習基礎科學知識所必須。由九年一貫數學領域課程綱要及學者對分數的 研究，亦可知與分數概念有關的學習內容相當廣泛，可見分數在數學領域 中所具有的重要性地位及其在數學基礎能力培養的關鍵性質。 分數概念在數學領域中扮演的角色既然是如此的重要，然而，分數概 念的學習總是成效不彰，並且令學童感到學習困難，這是存在且不爭的事 實。呂玉琴認為就是因為分數概念的意義豐富，在不同的情境有不同的解 釋，不同的解釋也須使用不同的認知結構，使得學生在發展分數概念時需要一段漫長的歲月，而且整個發展過程是相當艱辛的（引自詹婉華， 2003）。國內有許多研究指出我國國小學生對分數的意義及表徵符號不甚 了解、分數的計算僅是機械式的記憶、分數的概念薄弱、模糊及不理解分 數算則的意義等（呂玉琴，1991a；林福來、黃敏晃、呂玉琴，1996；陳靜 姿，1997；吳相儒，2001；龐嘉芬，2002）；美國國家教育發展評估（The National Assessment of Educational Progress，簡稱 NAEP，1989）的調查研 究報告也同樣指出了兒童分數概念的不完備。學童對分數缺乏數感(number sense)，不知道分數也是數，不明白分數的意義以及記憶式的計算原則等， 因而造成分數學習的成就感降低。探究學童分數概念的學習狀況，不難發 現不論國內外學童對於分數概念的學習皆有困難，同時彰顯了國內外學者 對學童分數學習的重視。 分數的學習對學童而言是困難的，研究者的實際教學歷程亦發現此現 象，因此若是能了解學童在分數概念的知識結構，相信對教學者或是對學 童而言，都有莫大的助益。而測量知識結構的方法眾多，Jonassen, Beissner, & Yacci (1993)指出，徑路搜尋法除了可以提供客觀的知識結構指數作為評 量依據外，亦可以概念聯結的網路結構方式來表徵知識結構，藉此提供個 體概念組織的重要訊息。Acton, Johnson & Goldsmith(1994)也認為徑路搜尋 法不僅相當精確量化，也符合現代的知識表徵理論。因此研究者期望能透 過分數概念測驗工具，評量出受試者在分數概念的學習情形為何，了解學 童對於教師提供的分數概念課程獲得多少；並由測驗結果推論受試者的學 習困難處為何。再透過徑路搜尋法來建構出國小三年級學童在學習分數概 念前後的知識結構，此結果不但可提供教師在分數概念教學上之參考，對 於學習分數概念有困難之學生施以補救教學也有助益。
第二節 研究目的
本研究主要目的在於探討國小三年級學童分數概念的認知情形，欲透 過徑路搜尋的方法，探討學生的知識結構圖在教學前後的差異，並以集群 分析探討不同集群的學童，其知識結構圖的差異。第三節 待答問題
基於上述研究動機及研究目的，本研究之待答問題分述如下： 一、針對學生的分數概念測驗結果，比較學生的解題表現： （一）教學前、後是否有差異？ （二）高、中、低分組在教學前、後是否有差異？ （三）教學前、後，五個分數子概念之解題表現是否有差異？ 二、徑路搜尋之分數概念知識結構分析： （一）教學前、後，學生的分數概念知識結構圖形有何差異？ （二）依能力值形成之不同組別的分數概念知識結構圖形有何差異？ （三）原始分數相同，能力值不同之分數概念知識結構圖是否有差 異？ 三、集群分析探討學生分數概念表現： （一）教學後，分群學生的分數概念知識結構圖形有何差異？ （二）分群學生在教學前、後的分數概念測驗之表現有何變化？第四節 名詞釋義
一、國小三年級學生 本研究中所指的三年級學生，是指於九十三學年度入學的學童，且從 未接受過學校教師正式教授分數概念教學的學生。 二、集群分析 是多變量分析程序的一種，其目的在於將資料分成幾個相異性最大的 群組，而群組間的相似程度最高。其方法主要有兩種，即階層集群分析法 (hierarchical cluster analysis) 和 K-Means 集群分析法。本研究所使用的是 K-Means 集群分析法，即先訂定集群的個數為 K，將所有觀察值分成 K 群， 然後依各觀察值到中心點距離遠近重新移動，使各觀察值將移至最靠近的 群體中，此時再計算各群體的新中心點，這時繼續再移動各觀察值到最近 的群，這樣不斷重複，直到不能再重新分派為止。 三、知識結構 所謂知識結構 (knowledge structure) ，係指學習者透過內在的認知歷 程，將數個單一概念組合之後所形成的組織。知識結構為在個體認知中， 以節點代表基本概念，相互聯結所形成之組織型態，本研究知識結構為以 分數概念測驗結果，進行徑路搜尋分析，所求得之分數概念知識結構圖。 四、徑路搜尋 徑 路 搜 尋 (pathfinder) 是 1985 年 由美 國 新墨 西 哥 州立 大學 R. W. Schvaneveldt 教授領導的團隊開發出來的知識結構分析方法，可用來評 量、表徵、分析學習者在某個學習領域所習得的知識結構。其軟體稱為知 識網路組織工具 (Knowledge Network Organizing Tool，簡稱 KNOT) ，用以分析知識結構。 五、參照結構 徑路搜尋法對於知識結構的評價主要是將受試者的知識結構與參照 結構相比較，本研究以分數概念測驗中全對者為參照結構。
第五節 研究限制
本研究以國小三年級學童為對象，透過徑路搜尋的方法，探討學生在 教學前、後的知識結構差異。在研究過程中，由於一些難以控制的客觀因 素的影響，故產生以下的限制： 一、研究樣本的限制 考慮研究者的能力、時間及現實環境等因素，本研究僅以彰化縣某國 民小學三年級的 118 名學生做為研究對象，因此對研究結果不宜過度推論。 二、時間的限制 為了不影響老師其他課程的進度及學生學習受影響，本研究僅以三年 級上學期期中考後，對 118 名學生進行教學前測、教學及教學後測。但對 於數學學習成就的改變需要長時間的教學陶冶，才能看出其顯著的變化。 由於時間有限，因此本研究結果不宜過度推論。 三、研究方法上的限制 測量知識結構的方法相當多，各有其特色與限制。本研究透過徑路搜 尋的方法，探討學生在教學前、後分數概念知識結構圖的差異，其餘測量 知識結構方法，則不包括在本研究的範圍內。第二章
文獻探討
本章主要根據本研究中相關理論進行探討，各節內容分別為：第一節 探討分數概念，第二節知識結構，第三節徑路搜尋。第一節 分數概念
在國小教育階段，數學課程中關於分數(fraction)的學習一直深受重 視。低年級階段的學童接觸點數整數物件的同時，也有接觸到摺紙、分成 一半…之等分割的經驗。建立了整數概念之後，學生也將學習對於小於 1 之分量的描述，分數概念的學習與發展，乃成為數學領域學習的重要內涵。 一、分數的意義 分 數 顧 名 思 義 ， 是 由 分 解 、 合 成 而 形 成 的 數 ； 從 分 數 的 英 文 是 “fraction”來看，它是源自於拉丁文的“frangere”，具有小部分、片段、 破碎的意義，但通常是指將全部分解為部份的意思（張平東，1995）。分 數概念起源於「分」，人們為了描述不滿一個單位量的零頭部分的數值問 題，將原單位量等分割形成單位分量，再把幾個單位分量合成一個量，用 幾分之幾來描述它的數值，這幾分之幾就是所謂的分數（南一書局，2007）。 Freudenthal (1983)主張分數的起源是「分割」一物件的活動記錄與結果， 分數可以表現真實現象的分割情況。Hunting (1986)對於分數的最初概念是 以一個連續物品細分（如蘋果、蛋糕、派）。 分數的概念就其抽象定義、情境的應用以及兒童數概念的發展有不同 的意義，其意義包含有理數、一對一的函數關係、由等價集所構成的「商」、 用來表徵兩整數相除的「除式或商」、用單位分量來測量不滿一個單位量 物體的「測量」、用分數數值來解釋兩個量或集合之間的比較關係的「比」、 而在比的概念中，分數用來表徵一個量分割後所得之部分量與原整體量之關係時，其蘊含的是「部份-整體」關係、當分數具有運算的需求時，分 數又可成為一個運算元。因此經由不同的情境和歷程的探索，就會產生分 數，而我們應該注意，分數在使用時常會因為情況不同而有不一樣的用法 和解釋。 國內外許多學者對分數的意義有不同的看法，他們分析分數在不同問 題情境中認知意義的研究，都主張分數具有多重的意義（林碧珍，1990； 彭海燕，1998；楊壬孝，1988；楊瑞智，2000；Behr, Lesh, Post, & Silver, 1983； Behr, ＆Post, 1992；Dickson, Brown, & Gibson, 1984；Kieren, 1976, 1980, 1988； Nesher, 1985；Ohlsson, 1988），學者們對於分數的意義提出不同的 詮釋，以下就各學者所提出之分數意義列表分析：
表 2-1-1 分數意義相關研究
提出學者 年份 提出分數意義
Behr, Lesh,
Post, & Silver 1983
分數有：分數測量(fraction measures)、比(ratio)、平均 (含速率、密度) (rate)、商(quotient)、線性座標（linear coordinate）、小數(decimals)、運算元(operator) 七種 不同的意義。 1976 提 出 有 理 數 的 七 種 詮 釋 ： 分 數 (fractions) 、 小 數 (decimals) 、 比 (ratio) 、 有 序 對 (orderedpairs) 、 商 (quotient)、測量(measures)、運算元(operator)。
1980 將其簡化為五種詮釋：部份－整體（part-whole）、比 (ratio)、商(quotient)、測量(measures)、運算元(operator) Kieren
1988 再簡化為：比(ratio) 、商(quotient) 、測量(measures) 、 多重運算子(multiplicative operators) Dickson, Brown, & Gibson 1984 分數的意義有：整個區域的子區域（sub-area of whole region）、子集合與全體集合間的比較（a comparison between a subset of discrete objects and the whole set）、 位於兩個整數間數線上的一點（a point in number line which line at intermediate point between two whole numbers）、兩數相除所得的商（the result of a division operation）、二組集合或二個度量的大小比較的方法（a way of comparing the sizes of two sets of the objects or two measurements）。 Nesher 1985 認為分數有五種詮釋： 部份－整體（part-whole）、商(quotient)、比(ratio)、 運算元(operator)、機率（probability）。 Ohlsson 1988 將分數分為四種建構及十一種涵義：
1. 商 的 函 數 (the quotient function) ： 包 含 等 分 除 (partitioning)、包含除(extracting)、縮小(shrinking)、 引出(educing)。
2.有理數(rational number)：包含分數(fractions)與測量 (measures)。
3.二元向量(a binary vector)：包含比(ratio)、內涵量 (intensive quantities)、比例(proportion)、平均(含速 率、密度) (rate)。
表 2-1-1 分數意義相關研究（續） 楊壬孝 1988 在國小學生分數概念發展的研究中提出，分數的四種 意義是：一個全體之相等的部份、一個集合等分組後 的幾組、數線上的一個數值、兩數相除的結果。 林碧珍 1990 則將分數的意義分成五類：全部區域的部份區域（以 連續量為主，如：長度、面積、容積）–部份/全體模 式、集合中的部分集合–子集合/集合模式、數線上的 一個數值–數線模式、兩個整數相除的結果–商模 式、二個集合或二個度量相比的結果–比值模式。 Behr, ＆ Post 1992 分數的意義有五種建構：部分－整體(part-whole)、比 (ratio)、商(quotient)、運算(operator)、測量(measures)。 彭海燕 1998 分數的意義分為：部分/全體、子集/集合、數線上的 一點、兩數相除的結果、比值。 楊瑞智 2000 就則其分析的結果提出分數有十種涵義： 1.部份／全部（連續量）。 2.子集合／集合（離散量）。 3.乘法運算元。 4.等值分數。 5.整數除法的結果。 6.分數是一個數／數線上的一點。 7.平均(含速率、密度)。 8.當量。 9.比例中的比／比例尺／比值／比較量÷基準量。 10.機率等。 可見分數的意義是多重的，雖然國小階段並沒有將全部的分數意義納 入數學教材中，但是依照教育部頒布的九年一貫數學領域課程綱要(教育 部，2003)，在國小階段學習的分數意義仍是不少，有部份／全部、子集 合／集合、等值分數、分數是一個數／數線上的一點、整數除法的結果、 平均、比例中的比，茲將國小階段分數意義歸納為表 2-1-2。
表 2-1-2 國小階段分數的意義整理表 意義 解說 引入階段 部份／全部 （連續量） 在「整體 1(單位量)是連續 量」的問題情境中，將一個 整體等分後，以分數來表示 N 個子分割單位的部分量和 整體量之間關係 第一階段(1~3 年級) 子集合／集合 （離散量） 在「整體 1(單位量)是離散 量」的問題情境中，由一個 以 上 的 物 體 所 組 成 的 整 體 中，以分數來表示 N 個物體 合起來的部分量和整體量之 間關係 第一階段(1~3 年級) 等值分數 在存在一個整體中，等值分 數用來表示不論在連續量或 離散量情境中，兩個量的「部 分－整體」相對關係不變。 第二階段(4~5 年級) 分數是一個數 ／數線上的一點 將簡單的整數數線，延伸至 分數數線，分數的意義擴展 為數線上的一個點。位於數 線上這個點的分數數值所表 示的是當原點與單位長確定 之後，這個點與原點和單位 長與原點形成的相對關係。 第二階段(4~5 年級) 整數除法的結果 當兩數相除無法用整數除盡 時，其相除的結果用分數來 表示，例如 3÷9=3/9 第三階段(6 年級) 平均(含速率) 用分數來表示兩種度量單位 以其中一種為基準量相比較 的結果，例如：速率是長度 和時間比較的結果。 第三階段(6 年級) 比例中的比／比例 尺／比值／比較量÷ 基準量 當兩個集合或兩個度量相比 的結果、比例尺的表示及比 值用 p/q 來表示時，分數的 意義是兩量比較的結果。 第三階段(6 年級) 由以上之分析可以發現，國小數學教材中在第一階段最先引入的分數 意義是「部份／全部」以及「子集合／集合」兩種意義。國小分數概念的
了解是影響未來學習數學的重要關卡，但是由於在國小階段分數就已有多 種複雜的意義，顯見其學習的困難度，學生在分數概念的學習上有諸多的 困難 (呂玉琴，1991b)。雖然在不同問題情境中使得分數的意義不同，但 從分析中可以發現國小階段的分數都可以看到兩量關係，各種意義中都存 在有「基準單位量」，因此，在分數啟蒙教學階段「部分－整體」關係的 意義中，若未能建立良好的「單位量」概念，學童未來在其他分數意義的 「基準量」概念發展也會因此產生困難。 二、分數教材分析 本研究的研究對象為九十五學年度之三年級學生，為了解本研究對象 在分數學習的起點行為與教材內容，對研究對象所用教材內容予以分析。 研究對象使用之數學教材為南一版，此版本的分數教材乃於三年級正式接 觸，本研究內容之教學與施測為三年級上學期，而本研究之測驗工具為分 數概念測驗工具，因此分析三年級上、下學期及四年級上學期的教材內 容，茲整理如表 2-1-3。
表 2-1-3 分數單元教材內容分析 教材 內容 三年級上學期 三年級下學期 （兩個單元） 四年級上學期 N-1-7 在等分好、整 體 1 能明顯出現之具 體生活情境中(包含 連續量、離散量)，理 解 真 分 數 之 初 步 意 義，以真分數(分母在 20 以內)描述內容物 為單一個物的幾份。 能力 指標 N-1-7 在 等 分 好、整體 1 能 明顯出現之具 體生活情境中 ( 包 含 連 續 量、離散量)， 能 以 真 分 數 (分母在 20 以 內 ) 描 述 內 容 物為單一個物 的幾份，並能 延伸真分數的 意義，進行同 分母真分數的 合成、分解活 動（和＜1）。 N-1-7 在等分好、整 體 1 能明顯出現之具 體生活情境中(包含 連續量、離散量)，能 以真分數(分母在 20 以內)描述內容物為 單一個物的幾份，並 能 延 伸 真 分 數 的 意 義，進行同分母真分 數的合成、分解、比 較活動(和＜1)。 N-2-5 在等分好、整體 1 能 明顯出現之具體情境中， 能以真分數來描述單位分 數內容物為多個個物的幾 份，進行同分母真分數的 合成、分解活動，並理解 等值分數的意義。（分母≦ 30）。 N-2-6 在具體情境中，能以 假分數或帶分數描述具體 的量。 N-2-19 能利用等分好的線 段上，做出一條簡單的整 數數線，並能進一步延伸 至簡單的分數和小數的數 線。 一個連續量分割成可 數離散量(一瓶牛奶 倒滿 15 個杯子)，由 單一或多個物件(杯 子)指示部份-整體的 量(分數型態) 前置 經驗 引入 等分除、包含 除、等分活動 (澄清「平分」) 具體可見整體 1，等 分好的情境中由內容 物件指示出部份-整 體的量(分數型態) 離散量，單位內容物為 1 個個物的情境(一籠小籠包 有 18 個)，由單一或多個物 件(杯子)指示部份-整體的 量(分數型態)及由分數型 態指出部份量
表 2-1-3 分數單元教材內容分析（續） 在單位量已知、整體 等分好若干份的情境 中以真分數說出其中 的幾份與圖形表徵的 連結。 學習 情境 在等分好的情 境中對單位分 量、真分量的 說讀聽寫。 在具體情境中，進行 同分母的合成、分解 及以「>」 「<」記錄 分數的比較結果。 1.透過離散量等分除的活 動，認識單位內容物為 1 個個物和多個個物的單位 分數情境，並以單位分數內 容物的多寡，進行單位分數 的大小比較。 2.透過離散量包含除的活 動，認識單位內容物為多個 個物的單位分數情境 3.能利用等分好的線段，寫 出真分數，並進行分數的大 小比較。 佈題 順序 先由連續量的 情境學習單位 分 量 的 讀 、 記，再引入離 散量的學習情 境，指引中並 建議若學生對 離散量的文字 題解題有困難 時，可再布連 續量的問題， 以 引 導 其 類 推。 ． 對 等 分 實 物 (線狀連續量)的 活動所產生的部 份量，定義一個 部份量是整體量 的幾分之一之單 位分數讀法。 ． 不 連 續 量 文 字題並輔以圖形 表徵協助對單位 分量的命名。 1.對同一長條製作等 分成 2、4、8、16 等 分 的 單 位 分 量 記 、 讀。 2.在已等分好的長條 中指出部份-整體的 量(分數型態)引入真 分量是由數個單位分 量 的 累 加 、 分 數 序 列。 3.由分數詞指示出相 當數量的具體物(部 份物件的量)。 4.以實物圖形輔助引 入真分數以圖形表徵 的結果。 1.同一單位量的離散物，等 分除的活動，呈現當內容物 不同時所指示的分數詞如 何記錄，再反問單位內容物 為多個個物的單位分數詞 所指示的量為何。(所使用 的單位有：盒、個、袋) 2.在瞭解單位分數詞所指 示的量後，對同一單位量的 離散物不同單位內容物的 分數詞進行比較。 3.同一單位量的離散物，不 同的等分除結果，引入不同 的單位分量記錄再反問單 位內容物為多個個物的單 位 分 數 詞 所 指 示 的 量 為 何，並透過單位分數的合成 和累加活動，描述單位分數 的幾份再比較單位分數內 容物為多個個物的真分數 比較。 如：一盒蘋果有 6 個。平分 成 2 袋，1 袋是幾盒?有幾 個蘋果?
． 不 離 散 量 文 字題對單位分量 的命名。 ． 從 連 續 量 圖 形表徵(圓形)引 入真分量的命名 及 定 義 何 謂 分 數、分子、分母。 1.由內容物件個數的 合成 引入真分量的 合成。 2.以真分量是由數個 單位分量的累加之前 置經驗反思兩個真分 數的合成與解題(併 加型、添加型)，並用 算式記錄解題過程。 3.兩個真分數的比較 引入與表示方式。 4.由內容物件個數的 分解引入真分量的合 成。 5.以真分量是由數個 單位分量的累加之前 置經驗反思兩個真分 數的分解與解題(拿 走型、追加型、比較 型)，並用算式記錄解 題過程。 4.同一單位量的離散物，不 同的包含除結果，引入不同 的單位分量記錄，並透過單 位 分 數 的 合 成 和 累 加 活 動，描述單位分數的幾份。 如：一盒桃子有 12 個。每袋 裝 2 個可以裝幾袋?1 袋 是幾盒?要怎麼記? 5.利用等分好的線段，得到 真分數所對應的部份內容 物量，並進行異分母分數分 子為 1 的大小比較及同分 母分數的大小比較。 6.利用等分好的線段，學習 分數詞序列於線段上的呈 現。 7.透過整體 1 已知的學習情 境(1 公尺)，等分除的結 果，記錄單位分數，再反問 單位分數內容物的多寡。 8.經由同分母真分數的合 成、分解記錄解題過程和結 果及真分數的大小比較。 分數 範圍 m＜n , 2≦n≦10 m＜n , 2≦n≦20 m＜n , 2≦n≦30 三、影響學童分數概念之因素 近年來國內外學者對分數教材之學習逐漸重視，因此探討分數概念學 習之文獻非常豐富，參閱國內之文獻將更能了解台灣地區學童的分數概念 問題。面對分數，學童普遍會出現許多錯誤及迷思概念。而且即使是數學 成就高的學生，在分數概念上也常常無法有突出的表現，知其然不知其所 以然的情況普遍存在。由此可見，學童對分數概念的學習有相當的學習困 難與障礙。分數是一個複雜但卻十分重要的概念，學生若不能真正理解分 數，將會嚴重影響其日後的數學學習信心與成就（湯錦雲，2002）。也由
於分數概念複雜，所以導致學生在學習分數時才會出現許多迷思概念及錯 誤類型。然而分數概念所涵蓋的範圍相當大，包括分數的基本概念、分數 的加減乘除以及分數是數線上的一個點等諸多概念，也與其他數學概念息 息相關，例如有理數的概念、小數、比與比值等，所以其中所包含的迷思 概念亦是相當繁多。 參考國內外相關文獻（王秀琲，2003；王淑芬，2005；呂玉琴，1991a， 1991b；吳宏毅，2001；李曉莉，1998；林福來、黃敏晃、呂玉琴，1996； 林碧珍，1990；陳瑞發，2002；游政雄，2001；黃靖瑩，2002；魏麗枝等， 2004；Behr, Lesh, Post & Silver, 1983; Columba, 1989; Piaget, 1960），發現 影響學童分數概念之因素如下： （一）簡單分數概念不穩固：許多研究都發現學童在處理面積和長度 有關的分數問題時，會先處理 2 1 ，然後依序是 4 1 → 3 1 → 5 1 → 6 1 。 而呂玉琴（1991b）則指出影響二分之一概念的可能因素之中， 與簡單概念相關的因素有以下幾點： 1.學生是否能將連續量分成長短或大小一樣的兩段。 2.學生能否完成分割東西的動作。 3.學生將東西分成兩份之後，是否能了解其中一份與整體之間 的關係。 簡單分數概念可說是所有分數概念中的基礎，簡單分數概念不 穩固將會直接影響學生未來對分數相關概念的學習。 （二）等分的概念薄弱：學童在判斷是否等分問題時，只注意到被分 割數，忽略分割後的每一塊是否相等，顯示學童等分概念薄弱。 而遇到大小不同的離散量時，會分成個數相同的份數，但總量
卻不相同。另外也發現學生在解等分問題時，離散量情境問題 相對於連續量情境問題來得較為容易。此外，林福來、黃敏晃 與呂玉琴（1996）研究發現學生在處理分數符號，「一半」及「二 分之一」，學習表現是不一樣的，一半對學生來說比較容易，而 二分之一對學生而言是較為困難的，顯示在等分問題上學生對 一半就是二分之一的連結概念並不穩固。許多的研究也都指出 學生在學習分數時，等分概念不夠穩固的情形普遍存在。然而 學者呂玉琴（1991a）指出分割後的每一部分都要相等，在分數 學習中是非常重要的概念，如何有效釐清學生等分概念的迷 思，是教師不容忽視的問題。 （三）確定單位量：學童無論在處理「部分/全部」，「子集/集合」 或數線的分數問題時，都有指認單位量的困難。而在確認單位 量的過程中，兒童易受到分子或分母的控制，忽略既定的單位 量，擅改單位量。未注意單位量不一定相等、將總量視為單位 量、受題目訊息的影響、單位量錯誤或改變單位量。連續量情 境的問題容易出現單位量、內容物的單位詞混淆的情形，或將 單位量及部份量的數字倒置。 （四）整數基模：分數的符號為 b a ，部分學童將分數視為分子a、分 母b兩個獨立數的組合，受自然數影響，就經驗干擾分數概念的 學習。因此，在進行分數比大小時，學生運用整數知識來處理 分數問題，將分子、分母視為獨立的二個數，比較分數大小時 會直接將分子和分母分開來比。
（五）表徵： 1.以圖形表徵系統而言：學生在處理「部分/全部」的分數圖形 問題時，以長方形最易，正方形次之，圓形最難。而學生要 在數線上標出 b a 時，以將單位長分為b等分比單位長分為2b等 分的問題為易。 2.符號表徵系統：在處理等值分數時，約分的問題比擴分的問題 難，分母已知再求分子的試題比分母未知的試題容易。 3.表徵系統間的影響： （1） 圖形表徵與符號表徵之間的轉換：在分數比大小時，發現部 分學生不會將圖形轉換成符號再做比較。 （2） 實物表徵與符號表徵之間的轉換：發現操作教具的成就比操 作符號的為差。 （3） 語言表徵與符號表徵之間的轉換：會受語言因素影響，而標 示錯誤。 （4） 不同表徵系統之間的轉換難易情形，以由圖形轉為符號最 難。
第二節 知識結構
一、知識結構理論分析 對於知識結構的定義，長久以來總是因為不同學者有著不同的研究重 點、研究動機和理論觀點而有不同的看法，Shavelson (1972)指出知識結構 是存在長期記憶中的認知結構，並能掌握知識的組織特質和關係，個人可 透過建構、修正和重組知識結構方式，來改變學習和認知上的表現。張新 仁(1993)認為個人在大腦神經系統中，已經學習與保留的學科知識，包括層級架構，即為知識結構。江淑卿、郭生玉(1997)認為知識結構存在於長 期記憶中概念間的關係與組織，有助於個人進行儲存、提取和操弄等訊息 的處理歷程。因此，知識結構之優劣，將直接影響個體學習成就，然而我 們卻無法直接得知知識結構為何，我們在探索知識結構時，通常都是經由 知識表徵而得知。 Bruner (1966)認為知識表徵是人類對其環境周遭事物，經知覺而將外 在物體或事件轉換為內在心理事件的過程，亦即人類乃經由知識表徵的過 程獲得知識(引自張春興，1994)。認知心理學家 Solso (1995)提出五種有關 人類語意組織方式的知識結構表徵(引自余民寧，1997)： （一）群集模式(clustering model) 在此模式中，概念被組織成「群集」(clusters)。而評量的方式，係給 予受試者一些不相關的字來做自由回憶，然後研究者將可發現，某一些字 會被歸類在一起，而這些被受試者所歸類的「群集」，即為受試者在這些 字或概念上的知識表徵。 （二）集合理論模式(set-theoretical model) 在此模式中，概念在記憶中是以「集合」或訊息彙整的方式來表徵的， 該集合可以以類別或類別之屬性或特質來加以歸類。
（三）語意屬性比較模式(semantic feature-comparison model)
在此模式中，知識是由一個多向度空間所組成，概念在記憶中則是以 一組「語意屬性」來表徵的。每個概念均由界定類別的定義性屬性及該概 念所特有的特徵性屬性所組成。
（四）網路模式(network model) 在此模式中，知識是以各個獨立單位所聯結形成的網路方式貯存在記 憶中，我們之所以能記憶每一個字的原因，乃是因為它與一個複雜的「關 係網路」(network of relationships)聯結在一起的緣故。 （五）神經認知模式 在此模式中，知識是分散儲存於許多的神經單元，每個神經單元並不 是代表一個概念，知識是存在於神經單元間的聯結，並且是以神經網路的 組織方式來表徵的。 余民寧(1997)認為，在 Solso (1995)所提出的五種關於人類語意組織 方式的知識結構表徵模式中，以網路模式最具有應用價值，因其理論模式 隱含相當重大的教育涵義。葉倩亨(2001)亦指出網路模式的知識結構論， 著重知識結構的結構特性和建構歷程之探討，許多知識結構的測量和教學 之研究發展都深受該模式的影響。 基於上述，本研究採用 Solso (1995)所提出的網路模式為理論基礎來 探討知識結構。 二、知識結構的測量方法 知識結構的測量方法很多，如：唔談法、分類法、圖解法和量尺法， 皆各有其特色和限制(Koubek & Mountjou, 1991)，今將知識結構評量方法 整理如表 2-2-1 所示：
表 2-2-1 知識結構評量方法分析表 測量方法 唔談法 分類法 圖解法 量尺法 方式 透過晤談、放 聲思考、原案 分析、觀察或 文件分析等過 程 取 向 的 方 法，分析個體 的認知結構。 透 過 卡 片 分 類、樹狀結構 分析等方法， 分析個體的認 知結構。其分 析步驟大致分 為概念引發、 概念分類和表 徵分析。 透過訓練幫助 個體熟悉概念 構圖技巧，將 個體的概念構 圖，根據評分 系統計分，評 量理解能力。 透過不同量尺 化程序測量知 識結構。 特色 能深入了解個 體知識結構的 內容組織和變 化。 快速簡單、可 了解結構特質 和改變。 將知識結構的 內容分析，進 一步量化。 以客觀和統計 方式產生圖解 和知識結構相 關量數，突破 過去以理論和 經驗的方式， 進行知識結構 測量。 限制 所獲取的資料 需透過主試者 主觀的解釋， 且較難統計分 析 無法處理團體 和平均的知識 結構，其結構 性和系統性介 於晤談法和量 尺法間，仍需 透過主試者主 觀解釋評分。 評分時需透過 主 試 者 的 解 釋，無法避免 主 觀 經 驗 影 響。 無法確實了解 概念接近性所 代表的意義。 本研究為獲得客觀的數據，以及進一步統計分析，故選擇量尺法較適 合。經常運用的量尺法包括：重視整體知識結構關係的多向度量尺、重視 知識結構概念類別的集群分析、以及重視知識結構內關係的徑路搜尋網路 (pathfinder networks)(Jonassen et al., 1993)。今將多向度量尺、集群分析與 徑路搜尋之內涵、特色與限制(江淑卿，1997)整理如表 2-2-2 所示：
表 2-2-2 多向度量尺、集群分析與徑路搜尋之內涵、特色與限制表 多向度量尺 集群分析 徑路搜尋 內涵 從接近性矩陣，抽離 出潛在構面，轉換呈 現概念間的距離，即 將 概 念 安 排 在 幾 個 最 小 數 量 的 向 度 空 間。 透 過 量 尺 化 程 序 產 生階層樹狀表徵，鏈 結沒有命名，而以次 序 性 量 數 呈 現 鏈 結 的強度。 透 過 徑 路 搜 尋 量 尺 化算則，將接近性矩 陣 轉 換 成 徑 路 搜 尋 網 路 、 圖 解 理 論 距 離。 特色 能 掌 握 知 識 結 構 的 整體關係。 能 掌 握 知 識 結 構 的 類別。 能 掌 握 知 識 結 構 中 概念間的關係，並能 瞭 解 哪 些 關 係 較 重 要。 限制 須 主 觀 解 釋 向 度 的 意義 群 聚 階 層 的 分 割 點 亦須主觀決定。 鏈結沒有命名，較難 直 接 瞭 解 結 構 型 式，研究時可視需要 才為鏈結命名。 由表 2-2-2 可知，徑路搜尋以結構網路模式表徵知識結構，且可看出 概念之間的相關性，因此本研究採用徑路搜尋法來分析國小學童之分數概 念知識結構，以瞭解學童分數概念之知識結構圖。
第三節 徑路搜尋
一、徑路搜尋介紹 徑路搜尋法乃是 1985 年由美國新墨西哥州立大學計算研究實驗室領 導人 Schvaneveldt 與其研究小組根據網路模式和圖形理論，研究發展出徑 路搜尋量尺化算則(pathfinder scaling algorithm)，用來建構和分析知識結 構，並設計知識網路組織工具(Knowledge Network Organizing Tool，簡稱 KNOT)，來輔助、分析和評量知識結構，希望藉此提供評量個體知識結構 之另一選擇。個概念，如果有 n 個節點，每對節點之間都有鏈結，則有 2 2 n n 條鏈結。 而節點與節點之間的鏈結關係以距離權值表示其鏈結強度，但沒有命名。 鏈結的特色是能掌握知識結構中概念與概念間的關係，並藉此了解哪些鏈 結間的關係比較重要，但也因鏈結沒有命名，在解讀圖解時較難直接了解 其結構形式 (Schvaneveldt, 1990)。 二、徑路搜尋分析過程 徑路搜尋法評量知識結構的過程大致可分為三個步驟：引出知識、表 徵知識結構與評價知識結構，以這三個程序來分析徑路搜尋法的評量歷 程。 （一）徑路搜尋之引出知識 量尺法中知識的引出一般有字詞聯想、分類法、相似性評定、構圖等， 徑路搜尋法通常採用相似性評定法，來評量個體對於概念與概念間相互關 係的瞭解情形。首先挑選欲進行研究的一群概念，兩兩配對，由受試者進 行判斷各配對概念間的相似性、關聯性或心理距離，獲得受試者之接近性 矩陣，接近性矩陣中數值愈小，表示兩概念關係愈緊密。 然而相似性評定法雖具備客觀和施測簡易的優點，且研究者在編製量 表的同時可以掌握研究所需涵蓋的概念，較具完整性，但發現受試者無法 精確掌握其評定的標準，當概念數目較多時，此問題可能更嚴重(黃湃翔， 2004)。為改正上述缺失，本研究以傳統試卷施測，搭配試題反應理論與 類似係數，求得受試者在分數概念之接近性矩陣。 （二）徑路搜尋之表徵知識結構 徑路搜尋法以網路模式和圖解理論為基礎，主要將知識引出之接近性 矩陣資料以徑路搜尋量尺化算則(pathfinder scaling algorithm)轉換成距離
矩陣和徑路搜尋網路(pathfinder networks，PFNET)。在徑路搜尋網路中的每 個鏈結均有一徑路權值，包括直接鏈和非直接鏈，在徑路搜尋量尺化算則 在轉換過程中，需先決定r和q兩個參數，來計算徑路權值，最後僅會保留 權重總和最小的聯結鏈，也就是保留「最短長度的徑路」。 今以圖說明參數r和參數q： 1.參數r 參數r用來決定兩節點間徑路長度的計算方式，若包含 k 個聯結鏈之 路徑 P 的權值為 W(P)，則 W(P)的公式如下： W(P)= r k i r i w / 1 1
，其中 1r 當r=1 時，則徑路的權值等於此徑路中聯結鏈權值的總和，聯結鏈 B-C-D 的權值為 1+5=6。當r=2 時，則徑路的權值就是運用歐基里德距離 的運算方法，聯結鏈 B-C-D 的權值為 1252 26。當r時，由極限 公式lim
xr yr
1/r max(x,y) r 可得，徑路的權值等於此徑路中任一聯結鏈的 最大權值，即聯結鏈 B-C-D 的權值為 5。 2.參數q 參數q用來限制 PFNET 網路中，徑路的最大數量聯結鏈，其範圍從 1 到 n-1 之間，n 表示節點數量。例如當q=2 時，概念 A 與概念 C 間之鏈結 方式，其聯結鏈的數目可能為 1 或 2，即可能為聯結鏈 A-C、聯結鏈 A-B-C、 聯結鏈 A-D-C、聯結鏈 A-E-C 等，而聯結鏈 A-B-D-C 因聯結鏈數目等於 3， 所以並不包含在內。 由上述可知，參數r和q不同，其形成的徑路搜尋網路亦不同，當 r ,q=n-1 時，則表示探測所有不同的節點聯結路徑，並產生最少徑路 的徑路搜尋網路圖，如圖 2-2-1，當r,q=4 時，接近性矩陣經徑路搜尋 量尺化算則轉換後，得到距離矩陣與最少徑路的徑路搜尋網路(涂金堂，2000；林曉芳、余民寧，2001；許淑貞，2003；黃湃翔，2004)。 接近性矩陣 距離矩陣 A B C D E A 0 1 3 2 3 B 1 0 1 4 6 C 3 1 0 5 5 D 2 4 5 0 4 E 3 6 5 4 0 最短距離 r ,q=4 A B C D E A 0 1 1 2 3 B 1 0 1 2 3 C 1 1 0 2 3 D 2 2 2 0 3 E 3 3 3 3 0 徑路搜尋網路
圖 2-3-1 接近性矩陣與徑路搜尋網路(改寫自 Goldsmith, Johnson & Acton, 1991)
（三）徑路搜尋之評價知識結構
徑路搜尋網路之評價，主要是將受試者的徑路搜尋網路和參照結構進 行比較，Goldsmith & Davenport (1990)認為比較兩個徑路搜尋網路的相似 程度，可以區分為兩種方式，第一種是以圖形理論為基礎，計算節點之間 距離的相關程度，如圖形理論距離指數(graphical theoretical distance，簡稱 GTD指數)及接近性指數(proximity index，簡稱PRX指數)；第二種則以集
A
B
C D
合理論為基礎，計算兩個網路中相鄰節點交集與聯集的商數平均值，稱為 相似性指數(closeness index，簡稱PFC指數或C指數)（引自鐘世帆，2005）。 1. PFC 指數或C 指數(closeness index)相似性指數 PFC指數之計算公式為PFC(A,B)=
I i i i i i B A B A n 1 ，其中A、B表示徑路搜 尋網路，n為兩個網路共有的節點數，I為網路所有節點之集合，i為網路 節點，PFC指數的範圍在0至1之間，指數愈大表示兩個網路愈相似。 2. GTD 指數(graphical theoretical distance)圖解理論距離是以徑路聯結鏈的數目量來當作計算單位。將兩個徑路 搜尋網路中各節點的圖解理論距離進行相關係數計算，即可得到GTD 指 數。GTD 指數的範圍由-1 至1，數值愈大表示兩個網路愈相似。 3. PRX 指數(proximity index) PRX 指數是直接計算兩個徑路搜尋網路其接近性矩陣中各相對應元 素的相關係數。PRX 指數的範圍由-1 至1，數值愈大表示兩個網路愈相似。 由以上可知三個相似性指數（PFC、GTD、PRX）最大值都是1，且指 數值越大表示受試者與參照結構越相似；反之，指數值越小則表示受試者 與參照結構越不相似。 三、徑路搜尋之相關研究 近年來徑路搜尋的研究愈來愈受重視，一般來說大可分為知識結構引 出之方式及認知表現二個向度來討論，茲將相關研究整理如表2-3-1。
表2-3-1 徑路搜尋之相關研究表 研究者 西元（年） 研究結果 Goldsmith, Johnson, & Acton 1991 以七點量表施測心理學上各方法間之相關程 度，針對40 位大二學生之知識結構與學習成 效間關係來研究，另以一位教學者之概念相 似性資料為參照結構，發現高學業成就組學 生的知識結構與參照結構較相似，且結構量 化指數中，以PFC 指數最能預測學習表現。 Acton, Johnson, & Goldsmith 1994 採用評定24 個電腦程式概念間相關程度，來 研究61 位修習電腦課程學生知識結構與學 業表現的關係，並建立九種參照結構，研究 結果發現，採用不同參照結構，所計算出來 不同的PFC 指數對學業表現都有不錯的預測 力。 Gonzalvo,
Canas, & Bajo 1994
採 用 九 點 量 表 評 定 32 個 心 理 學 史 重 要 概 念，搭配徑路搜尋法以四位心理學專家共同 知識結構為參照結構，探討修習心理學史之 大學生在教學前後其學習成效與改變，發現 受試者在教學後之知識結構有顯著改變且知 識結構量化指數皆能有效預測學習成績。 江淑卿 1997 以徑路搜尋法探討國小學童自然科知識結構 與科學文章理解能力的關係，採用5 點評定 量表測量出概念矩陣，其中以266 位國小六 年級學生為研究對象，12 位國小自然科教師 為參照結構，發現量化指數與科學文章理解 能力有顯著相關，其中以GTD 指數最具預測 力，而在知識結構中以高成就組學生與參照 結構最相似，其次為中成就，低成就組差異 最大。
表2-3-1 徑路搜尋之相關研究表（續） 林曉芳 1999 採用多向度量尺法，藉由數學試題，取得各 概念之相似性矩陣，參照結構則以所有試題 皆答對所轉換而來，研究對象為15 位國一數 學 低 成 就 學 生 和 15 位 國 一 數 學 普 通 班 學 生，主要探討兩群學生在數學上的知識結構 分析，並比較分析專家及兩組學生數學知識 結構的差異情況，研究結果發現，普通班學 生知識結構圖比低成就學生更接近參照結構 圖，且以在校實際評量成績為依變項，結構 量化指數為自變項，進行迴歸分析，發現PFC 指數最具預測力。 蔡佳燕 2000 研究不同學習成就組別知識結構的表現情 形，以及傳統總分測驗與知識結構評量二者 對預測學習成就的差異情形，其知識結構引 出方法與林曉芳(1999)相似，將74 位國小六 年級學生分成高、普通、低等三組，以月考 考卷藉由多向度量尺法，取得每位學生各概 念之相似性矩陣，研究結果發現，傳統總分 評量對學習成就之預測力略勝於知識結構量 化指數，且在高分組學生中，以PFC 指數最 具預測力；在普通組學生中，以PRX 指數最 具預測力，在低分組學生中，以傳統總分評 量最具預測力。 涂金堂 2001 以216 名國小六年級學生為對象，針對數學 應用問題的問題結構與數學解題表現的關係 作研究，以應用問題相似評定量表，求得學 生之概念相似性矩陣，結果發現知識結構量 化指數中以PRX 指數與數學解題表現有較 密切的關係。 塗振洋 2001 以九個天文名詞概念，採用相似性評定量 表，針對4 位老師與45位國小六年級學童， 比較學生的知識結構與教師參照結構之異 同，發現高成就學生的天文概念知識結構比 低成就學生，更接近老師的知識結構，且以 知識結構量化指數來預測學生在自然科學業 成績上的表現，以PRX 指數的預測力最好。
表2-3-1 徑路搜尋之相關研究表（續） 許淑貞 2003 以327 位國小五年級學生為研究對象，針對 數學幾何三角形概念，將圖形概念測驗所得 之結果運用試題反應理論與模糊認知結構， 求出學生之概念矩陣，探討學生之幾何概 念，結果顯示量化結構指數與能力值之間均 呈現高度正相關，且量化結構指數能有效預 測能力值，其中以PFC 指數具有最佳的預測 力。 黃湃翔 2004 探討高一學生力學知識結構與其學習成就之 相關，以148 位高中一年級學生為研究對 象，6 位博士班學生的知識結構為參照結 構，並以概念配對相似性法求得受試者之概 念矩陣，研究結果發現知識結構量化指數中 以PFC 指數對於高成就組與全體學生之力 學學習成就預估效力最高。 鐘世帆 2005 探究國小學生解乘除應用問題的知識結構與 認知型式之相關，以台中地區六年級共379 位學生為研究對象，研究結果知識結構量化 指數能有效預估不同認知型式學生之藏圖測 驗分數能力值，且以GTD指數最具預測力。 亦能有效預估不同乘除能力組學生之能力 值，高乘除能力組中，以PFC指數最佳。 黃美盼 2005 以國民小學二年級學童為研究對象，共計324 人，探討國小學童的加減法文字題知識結構 與認知型式關係。發現三個相似性指數能對 能力值有效之預測，且GTD指數預測效果最 高。原始分數相同之受試者，其知識結構亦 有很大的差距。場地獨立型學生的PFC、 GTD、PRX值皆高於場地依賴型學生。 王啟章 2006 探討國小五年級學童分數的迷思概念，採「準 實驗設計」進行實驗教學，並配合徑路搜尋 法找出學生知識結構圖變化。由知識結構圖 比較發現單位量概念是國小五年級學童學習 分數的核心概念。
綜合以上所述，在徑路搜尋研究方法上，大多採用相似性評定法作為 知識結構的引出，以獲得接近性矩陣，在研究結果方面，發現知識結構與 學習表現大致有顯著的相關，且知識結構量化指數能有效預測學習表現。
第三章
研究方法
本章主要在說明研究設計與實施的方式，內容共分為五節，分別為研 究架構、研究對象、研究流程、研究工具、資料處理。第一節 研究架構
本研究採用調查研究法，藉由紙筆測驗方式蒐集研究資料，以瞭解國 小三年級學童對於分數概念的學習表現情況。即以一份分數概念測驗工具 為評量依據，並以徑路搜尋法分析學童分數概念知識結構圖在教學前、後 之變化，進一步探討教學前與教學後的知識結構圖差異。研究架構如圖 3-1-1。評閱有關知識結構、分數概念的相關研究 1. 學生在分數概念成就測驗教學前、後的表現 2. 學生教學前、後知識結構圖的差異 3. 以集群分析方法探討學生分群情形及分群之分 數概念表現 知識結構 1. 學生知識結構圖與標準參照知識 結構圖比較 2. 學生教學前、後知識結構圖變化 3. 集群分析 圖 3-1-1 研究架構圖 教學及施測 教師各自教學 分數概念教學後 施測 分數概念教學前 施測
第二節 研究對象
本研究是以九十五學年度彰化縣某國民小學的三年級學生為施測對 象，有效樣本數共計 118 名。樣本分配情形如下表。 表 3-2-1 樣本人數分配表 班級 男生 女生 合計 忠 15 15 30 孝 15 15 30 仁 14 15 29 愛 14 15 29 合計 58 60 118第三節 研究流程
本研究的實施程序分為兩部分，第一是教學部分，第二是資料分析部 分。 一、教學研究流程： 本研究教學部分實施程序分為準備階段、教學前階段、教學階段、教 學後階段。實施流程如圖 3-3-1： 圖 3-3-1 教學實施流程圖 資料分析 四班學生在教學前進行施測 教師分別進行 現行教材分數概念課程 所有學生進行 教學後施測 徵詢彰化縣某國民小學 三年級學生及教師同意SPSS 統計分析 KNOT 徑路搜尋分析 二、資料分析流程： 本研究資料分析部分研究流程圖如圖 3-3-2 所示： 學生教學前、後成績 成對樣本 t 檢定分析 受試學生在分數概念 成就測驗的表現 建構效度 試題性質分析 圖 3-3-2 資料分析流程圖 能力值不同 知識結構圖差異 學生教學前、後 知識結構圖變化比較 撰寫研究報告 集群分析
第四節 研究工具
本文之研究工具乃挑選葉晏彰（2005）編製之分數概念測驗工具中適 合三年級之試題(附錄一)，係以研究對象所使用的南一版數學教材、相關 之研究文獻、課程中所蒐集的測驗問題，並參考黃靖瑩(2003)；黃芳玉(2003); 洪素敏(2004)；張樂明(2004)所設計的分數概念測驗題目加以修正。主要概 念為小學三年級的分數概念，未能涵蓋所有國小分數知識。 一、實施程序 本測驗工具含有四個概念共計 15 題，在經過專家的審查後，進行修 改、預試、信度考驗、正式完成測驗評量工具。測驗工具內容詳見附錄一。 二、計分方式 本次測驗內容共 15 題，形式為單選題，答題正確得 1 分，錯誤得 0 分。故最高共計 15 分。 三、雙向細目表 本研究之測驗工具雙向細目表如表 3-4-1。表 3-4-1 分數概念測驗工具之雙向細目表 分數詞的定義 10 題 1. 生活經驗與分數概念連結 生活中的一半用語 生活中的平分用語 2. 等分概念 判斷是否等分 等分製作 3. 圖形表徵轉分數的記法 4. 圖形表徵轉分數的讀法 5. 分數的讀法轉圖形表徵 6. 瞭解「部份/整體」的關係 (5) (4) (3*、6*、12*) (11) (2*) (13*) (15*) (8*) 1 1 3 1 1 1 1 1 單位分數 1 題 概念區分 具體能力 文字題 文字題輔以 圖形表徵 小計 單位分數 非分數正式知識 (7) 1 真分數 3 題 概念區分 具體能力 文字題 文字題輔以 圖形表徵 小計 單位分數 單位內容物 1 個 (9) (1) 2 單位量 不會擅改單位量或簡化試題 (14) 1 分數的比較 1 題 概念區分 具體能力 文字題 文字題輔以 圖形表徵 小計 單位量 已知單位量，透過內容物比較 分數的大小 (10*) 1 註：()內為題號 *為連續量………計 15 題 四、試題分析 試題分析針對分數概念成就測驗之後測資料分析其信、效度、難度與 鑑別度。 （一）測驗工具之信度 在信度方面，本研究採取 Cronbach α 係數方式，來求得分數概念測 驗的內部一致性。根據學者 DeVellis(1991)提出，α係數值介於 .60 至 .65
之間最好不要；α係數值介於 .70 至 .80 之間相當好；α係數值介於 .80 至 .90 之間非常好。經由 Cronbach α分析，結果顯示本測驗工具之 α係數 為 .7209，介於相當好的區間，亦即代表本測驗工具有較佳的內部一致性。 （二）測驗工具之效度 在效度方面，採專家效度及內容效度。題目設計完成後，經由數學教 育專家、有經驗的教師共同檢視，提供有關研究工具的修改建議，以避免 研究者過於主觀的看法，提高試題工具的效度，確認整份試題內容所歸類 之分數子概念中的各個項目，並確認試題內容是具有代表性，使其具有專 家效度。修訂後先進行預試，經過分析修訂，使其具有內容效度。並進行 因素分析之建構效度考驗。 建構效度對於測量工具的改進深具重要性，因此建構效度的高低直接 影響測驗分數的正確性及其意義的解釋，本研究擬以因素分析方法來檢驗 分數概念學習成就測驗之建構效度。 1. 適合度考驗 因素分析的基礎是變項之間的相關，因此球形考驗（Bartlett’s test of phericity）可用來檢驗各相關係數是否不同且大於 0，若球形考驗達顯著， 表示相關係數足以作為因素分析抽取因素之用；另外 KMO (Kaiser-Meyer -Olkin measure of sampling adequacy)統計量，稱為「取樣適切性量數」，代 表與該變項有關的所有相關係數與淨相關係數的比較值，該細數愈大，表 示相關情形良好。
表 3-4-2 為分數概念測驗工具的 KMO 與 Bartlett 檢定表，本測驗工具 之 KMO 值為.634，球形考驗卡方值為 235.908 達顯著水準，表示本測驗適 合進行因素分析。
表 3-4-2 分數概念成就測驗 KMO 與 Bartlett 檢定表 Kaiser-Meyer-Olkin 取樣適量適切性量數： .634 Bartlett 球形檢定： 近似卡方分配 235.908 自由度 105 顯著性 .000 2. 主成分因素分析
經主成分因素分析(Principal Component Analysis)，並利用最大變異法 (Varimax)進行因素轉軸後，取特徵值大於 1，萃取出五個成分，總解釋變 異量達 53.46%，轉軸後的成分矩陣如表 3-4-3。 表 3-4-3 最大變異法轉軸後之成分矩陣 成份 試題編號 一 二 三 四 五 6 .614 12 .607 .360 .179 .186 3 .601 -.205 .275 .409 5 .573 .177 .482 2 .677 .256 -.219 13 .571 -.455 .251 .327 15 .561 .151 1 .306 .500 .121 .115 7 .161 .183 .771 10 .172 .663 .111 .311 9 .226 -.235 .612 8 -.331 .186 .611 .346 4 .101 .182 .349 .610 -.128 14 .124 .139 .751 11 .125 .545 再將主成分分析所得之五個成分依照試題及教材內容主要概念，將五 個成分一一命名，整理如表 3-4-4。
表 3-4-4 成分歸類表 試題 教材內容概念 因素命名 6 判斷是否等分 12 判斷是否等分 3 判斷是否等分 因 素 一 5 生活中的一半用語 等分概念 2 圖形表徵轉分數的記法 13 圖形表徵轉分數的讀法 15 分數的讀法轉圖形表徵 因 素 二 1 文字題輔以圖形表徵 圖形表徵概念 7 非分數正式知識—已知單位量 因 素 三 10 已知單位量，比較大小 已知單位量概念 9 單位分數-單位內容物一個 8 瞭解「部份/整體」的關係 因 素 四 4 生活中的平分用語 分數的意義 14 單位量-文字題輔以圖形 因 素 五 11 等分製作-文字題輔以圖形 文字題輔以圖形 由表可知，因素一為等分概念，因素二為圖形表徵概念，因素三為已 知單位量概念，因素四為分數的意義，因素五為文字題輔以圖形之題目， 大多試題皆按其類型聚集成一成份，此結果與依據雙向細目表所設計的試 題組成頗為吻合。 綜合上述結果與分析，發現因素分析結果與分數概念理論架構，在實 質內涵上相當吻合，顯示本研究之分數概念學習成就測驗具有效度。 （三）難度與鑑別度 本研究採內部一致性(internal consistency)的方式，將學生依總分高低 排列，取極端的 27% 為高低分組，然後求出高分組與低分組在每一個試 題的答對率，分別以P 及P 表示。依試題分析原則，以「P＝(P +P )/2」
表示試題的難易度指數(item difficulty index)。另外，以答對百分比亦即通 過率，來加以分析試題的難易度。以「D＝(PH－PL)」表示試題的鑑別度 指數(item discrimination index) ，一般而言，試題鑑別度應在.2 以上，高於.4 則為優良試題(Ebel & Frisbie, 1979)。下表為分數概念學習成就測驗之難易 度指數及鑑別度指數分析表。 表 3-4-5 分數概念成就測驗難易度、鑑別度分析表 分數子 概念 題 號 高分組 答對百 分比 PH 低分組 答對百 分比 PL 難度指數 P=(PH ＋ PL)÷2 答對百分 比(通過 率) 鑑別度指 數 D=PH －PL 平均答 對百分 比 3 0.95 0.17 0.56 0.65 0.78 5 0.68 0.34 0.51 0.49 0.34 6 0.32 0.11 0.22 0.24 0.21 等 分 概 念 12 0.98 0.46 0.72 0.72 0.52 0.53 1 0.39 0.09 0.24 0.21 0.30 2 0.85 0.31 0.58 0.68 0.54 13 0.95 0.31 0.63 0.74 0.64 圖形表 徵概念 15 0.83 0.37 0.60 0.58 0.46 0.55 7 0.78 0.54 0.66 0.69 0.24 已知單 位量概 念 10 0.95 0.42 0.69 0.71 0.53 0.7 4 0.42 0.11 0.26 0.20 0.31 8 0.32 0.09 0.20 0.17 0.22 分數的 意義 9 0.81 0.51 0.66 0.68 0.30 0.35 11 0.63 0.2 0.42 0.44 0.43 文字題 輔以圖 形 14 0.78 0.14 0.46 0.43 0.64 0.44 N=118 由上表可知，對三年級學童而言，在五個分數子概念中，以分數的意 義較為困難，平均通過率為 0.35；已知單位量概念較為簡單，平均通過率
為 0. 7；而等分概念、圖形表徵概念及文字題輔以圖形之試題，通過率都 在 0.5 上下。整份試題的鑑別度均在 0.2 以上，其中更有 8 題高於 0.4。 依照本節討論之本測驗工具的信度、效度、難度、鑑別度，皆可證明 此份測驗工具為優良試題。
第五節 資料處理
本研究主要透過學童的分數概念學習成就測驗，探討學生在經過教學 前後的知識結構變化。在資料處理上，使用 SPSS 10.0 for Windows 統計套 裝軟體、知識結構網路組織工具（knowledge network organizing tool，簡稱 KNOT）。 一、SPSS 10.0 統計套裝軟體 在一般心理學與教育研究的文獻裡，通常都採用 0.05 顯著水準或 0.01 顯著水準（林清山，1992）。本研究將顯著水準訂為 α＝0.05。 二、知識結構網路組織工具（KNOT） 本研究在分析學童分數概念知識結構部分，採用知識結構網路組織工 具。以電腦軟體BILOGMG求出學生在每一試題答對機率，獲得每位學生 的接近性矩陣，透過KNOT呈現個別受試者的徑路搜尋網路圖(PFNET)。 以學生原始作答結果，1表示答對，0表示答錯，製作成原始資料矩陣， 利用試題反應理論的電腦軟體程式BILOG（使用說明見附錄二），選擇較 合適的三參數模式，求出每位學生各題的答對機率。三參數模式公式如下：
i k i b Da i i k i e c c P 1 1 1 ，i=1,2,3,…,n 其中Pi
k ：第k位受試者答對第i題的答對機率。 D：一般設為 1.7。 i c ：第i題的猜測度。 i a ：第i題的鑑別度。 i b ：第i題的難易度。 n：測驗之試題數。 本研究以受試者在各題的答對機率作為徑路搜尋的原始資料，使用徑 路搜尋的電腦軟體程式KNOT進行知識結構分析以獲得每個人的知識結構 圖。
第四章
研究結果
根據研究方法進行施測後，透過 SPSS 統計套裝軟體 10.0 版來分析資 料。本章共分三節，主要針對研究目的作結果分析。第一節探討教學前、 後，學生在分數概念的解題表現；第二節則探討徑路搜尋之分數概念知識 結構圖形；第三節以集群分析來探討學童分數概念的表現。第一節
教學前、後之學生解題表現
本節主要針對學生的分數概念測驗結果，比較教學前、後，學生的解 題表現是否有差異。 一、教學前、後比較： 本測驗工具共有 15 題，總分為 15 分，以測得教學前、教學後之成績 進行成對樣本 t 檢定，探討教學前、後學生在分數概念上是否有所差異， 得到結果如表 4-1-1。 表 4-1-1教學前、後之成對樣本 t 檢定摘要表 平均數 標準差 自由度 t 值 p 值 教學後－教學前 2.71 2.60 117 11.335 .000 ＊＊＊p＜0.001 由表 4-1-1 可得知顯著性 p 值=0.000＜0.05，因此學生在教學前和教學後 的學習成就達到顯著差異，表示學生在教學前、後的分數概念在統計量上是 有差異的，教學後學生的平均數明顯提高也就是表示進步了，即教學後他們 的分數概念更為清楚了。二、高、中、低分組的教學前、後比較 將學生按照教學後得分的高低排列，取兩端的 27％分別為高、低分 組，其餘則為中分組，探討教學前、後，高、中、低不同組別的學生在分 數概念上是否有差異，其結果整理如表 4-1-2： 表 4-1-2教學前、後，高、中、低分組之成對樣本 t 檢定摘要表 組別 平均數 標準差 自由度 t 值 p 值 低分組教學後－教學前 2.103 2.490 38 5.273 .000 中分組教學後－教學前 2.714 2.674 34 6.005 .000 高分組教學後－教學前 3.250 2.571 43 8.385 .000 ＊＊＊p＜0.001 由表 4-1-2 可看出高、中、低分組學生在教學前、後平均數均有明顯 上升，而且 p 值均達到顯著差異，表示這三組學生經由教師教學後，對分 數的概念較為了解，因此成績明顯進步了。 學生在經過教學後，高、中、低分組人數和教學前已有所改變，整理 如表 4-1-3。
表 4-1-3 教學前、後，高、中、低分組改變情形表 組別 教學前 人數 比例 （％） 教學後 改變情形 改變 人數 比例 （％） 教學後 人數 比例 （％） 高分組 21 66 中分組 11 34 高分組 32 27 低分組 0 0 44 37 高分組 15 37 中分組 16 39 中分組 41 35 低分組 10 24 35 30 高分組 8 18 中分組 8 18 低分組 45 38 低分組 29 64 39 33 合計 118 100 合計 118 118 100 由表 4-1-3 可發現教學前高分組有 32 人，教學後增加到 44 人，所佔 比例也由 27％增加到 37％，提升有 10％之多；低分組由教學前的 45 人減 少到教學後的 39 人，所佔比例由 38％降至 33％，降了 5％，由此分析可 推論學生教學前、後的改變是進步的。再由教學前的高、中、低分組，觀 察教學後有何改變？結果發現教學前高分組學生，教學後退步到中分組者 有 11 人；由中分組退步到低分組的有 10 人，兩者合計共有 21 人，佔所有 人的 18％。低分組進步到中分組的有 8 人，進步到高分組也有 8 人；中分 組進步到高分組則有 15 人，進步的人一共有 31 人，佔全部的 26％。由此 可發現進步的人比退步的人多，整體而言可歸論學生在分數概念教學後的 確有所進步。
三、教學前、後，五個分數子概念之分析比較： 由教學前、後比較得知教學後的學生成績明顯比教學前進步，但是分 數概念測驗中包含五種分數子概念，研究者根據主成份因素分析，將試題 分為「等分概念」、「圖形表徵分數概念」、「已知單位量概念」、「分 數的意義」及「文字題輔以圖形」五個子概念，進一步進行各個子概念的 成對樣本 t 檢定分析，以了解在教學前後，學生的何種分數子概念產生顯 著差異？結果如表 4-1-4： 表 4-1-4 教學前、後，分數子概念之成對樣本 t 檢定摘要表 概念（教學後－教學前） 平均數 標準差 自由度 t 值 p 值 等分概念 0.47 1.09 117 4.639 .000 圖形表徵分數概念 1.31 1.35 117 10.565 .000 已知單位量概念 0.19 0.78 117 2.584 .011 分數的意義 0.50 0.85 117 6.354 .000 文字題輔以圖形 0.25 0.76 117 3.505 .001 ＊p＜0.05 由表 4-1-4 可看出本研究之分數的五個子概念之 p 值均小於 0.05，表 示分數五個子概念的教學前、後之學生表現均達顯著差異，且平均數皆有 所增加，顯示學生經由教師教學後對分數的五個子概念均較為清楚，教學 後之解題表現較教學前明顯進步，顯示教學對於學生的學習成效有顯著的 影響。 由以上分析可得知，學生在教學前、後之總分表現有顯著差異；不同 組別（高、中、低分組）學生之教學前、後表現也有顯著差異；五個分數 子概念在教學前、後，學生的表現亦具有顯著差異，教學後均較教學前明 顯進步了；但不同性別之學生在教學前、後之解題表現則沒有顯著差異。
