徑路搜尋之分數概念知識結構分析

本節欲以徑路搜尋法來分析學生教學前、後，在分數概念之知識結構 圖形，並針對能力值與知識結構加以分析，以及探討原始分數相同而能力 值不同之學生，知識結構是否有差異？

一、教學前、後，學生分數概念知識結構圖形分析

在知識結構差異性的研究中，其基本假設是專家（標準參照）與生手

（研究對象）的知識結構組織和關係有所不同；故以全對的作答結果作為 標準參照知識結構圖，來了解在教學前、後學生的知識結構圖有何改變。

以標準參照的知識結構圖為準（如圖 4-2-1），與受試學生分數概念測驗所 得的知識結構圖做比對。

1. 圖形表徵分數概念 2. 圖形表徵分數概念 3. 等分概念

4. 分數的意義 5. 等分概念 6. 等分概念

7. 已知單位量概念 8. 分數的意義 9. 分數的意義 10.已知單位量概念 11.文字題輔以圖形 12.等分概念

13.圖形表徵分數概念 14.文字題輔以圖形 15.圖形表徵分數概念

進行比較前先找出教學前、後學生之原始平均分數以及平均能力值，

如表 4-2-1。

表 4-2-1 教學前、後，學生的原始平均分數及平均能力值

原始平均分數 平均能力值

教學前 7.63 -0.02

教學後 10.34 -0.01

分別從教學前與教學後選出兩名最接近平均能力值的學生為代表，進 行知識結構圖分析比較。

（一）教學前

由圖4-2-2及4-2-3可發現在教學前學生之解題表現與標準參照的知識 結構差異很大，精確鏈結關係（即概念與概念的鏈結正確）僅有4個（2-12、

3-13、4-8、11-14）。且教學前實例一與實例二之學生的核心概念均是第14 題—文字題輔以圖形，未學習過分數概念的學生較容易透過圖形推測出答 案。第14題題目非常清楚的問「圈起的彈珠、桌上全部的彈珠」，學生可

圖 4-2-2 教學前實例一

（θ＝-0.006832）

圖 4-2-3 教學前實例二

（θ＝0.029231）

輕易從題目點數出圈起的彈珠數與桌上全部的彈珠數，我們可從圖4-2-4學 生作答實例看出，圖形上確實有學生點數的痕跡，因此此題對於尚未接觸 分數概念的學童而言，也較容易答對。

（二）教學後

由圖4-2-5及4-2-6（教學後的實例一與實例二）可發現在教學後學生之 解題表現已經較接近標準參照的知識結構，精確鏈結關係（即概念與概念 的鏈結正確）也增加為6個了，實例一為1-14、3-13、4-8、4-11、6-8、7-10；

實例二為1-14、4-8、4-11、6-8、7-10、12-13。教學前很難理出正確的鏈結 圖4-2-5 教學後實例一

（θ＝-0.019582）

圖4-2-6 教學後實例二

（θ＝-0.007025）

圖4-2-4 學生作答實例

圖形表徵—分數的記法與讀法，此概念由分數單元教材內容分析可發現其 為三年級學童才接觸的概念；概念3與概念12是歸類於等分概念，此概念 乃是分數最根本之概念，因此教學後才出現這兩個概念與概念的鏈結實屬 合理。且發現學生的核心概念均有第13題（圖形表徵轉分數的讀法），此 類型題目是三年級學童才接觸到的分數概念，顯示能力值接近平均能力值 的三年級學生已經建立起基本的分數概念了。其中能力值稍高於平均能力 值的實例二學生具有兩個核心概念，即概念13與概念12，除了圖形表徵轉 分數的讀法外，等分概念也是他的核心概念之一。此證據在在顯示出學生 在老師的教導下，分數概念已被建立。

二、能力值與知識結構分析

（一）不同組別的知識結構分析

以全對的作答結果作為標準參照知識結構圖，如圖4-2-1。將全部受試 者依能力值區分為高能力值組（前27％）、中能力值組、低能力值組（後 27％），資料如表4-2-2。

各組分別取該組能力值接近能力值平均的學生為實例來代表，以比較 各組知識結構圖的差異，各組實例之資料如表4-2-3。

表 4-2-2 各組人數及平均能力值、平均原始成績

組別 人數 平均

能力值

平均 原始成績 標準參照結構 － 1.908765 －

高能力值組 33 0.952292 13.0303 中能力值組 53 0.057783 10.64151 低能力值組 32 -1.1374 7.0625

表 4-2-3 各組實例之能力值與核心概念 組別 編號 核心概念 能力值θ 高能力值組 313 12 0.951137 中能力值組 230 12、13 0.044204 低能力值組 310 － -1.136387

各組實例之知識結構圖如圖4-2-7至圖4-2-9。

圖4-2-7 教學後高能力值組實例

（θ＝0.951137）

圖4-2-8 教學後中能力值組實例

（θ＝0.044204）

圖4-2-9 教學後低能力值組實例

（θ＝－1.136387）

由知識結構圖（圗4-2-7至圖4-2-9）分別整理出高、中、低能力值組的

3-13 3-10 3-12 3-12

3-15

3-15 4-8 3-13

4-8

4-8 4-11

4-6

4-11

4-11

5-11

4-8

5-7 5-14 5-14

5-7

6-8

6-8 6-8

5-11

7-10

7-10 7-10

7-14

9-12

9-12

9-13 8-11

10-15

11-14

10-12 9-15

11-14

12-13 12-13

10-12

12-13 13-15 13-15 13-15

鏈結總數：14 鏈結總數：14 鏈結總數：14 鏈結總數：14

精確鏈結數：10(.71) 精確鏈結數：6(.43) 精確鏈結數：4(.29) 缺失鏈結數：4(.29) 缺失鏈結數：8(.57) 缺失鏈結數：10(.71) 多餘鏈結數：4(.29) 多餘鏈結數：8(.57) 多餘鏈結數：10(.71)

註：括號內的數字為百分比值

係只達.29，其鏈結順序大部分不相同，只有1-14、3-13、4-8、5-7的鏈結 是與標準參照知識結構相同的。

綜合上述，學生的學習情形有其個別差異，從其知識結構圖觀之，概 念鏈結亦有不同的情形。高能力值組學生的知識結構圖最接近標準參照結 構圖；而相對地，低能力值組學生的知識結構圖則與標準參照結構圖差距 最大；至於中能力值組則介於高能力組與低能力組之間。此結果與蔡佳燕

（2000）研究發現相同。

能力值愈低的學生，其知識結構圖的呈現愈偏離標準參照知識結構 圖，教師即可根據學生的知識結構圖，找出學生的學習缺陷所在，針對這 些缺陷來進行有效的補救教學。

（二）原始分數相同，能力值不同之分數概念知識結構圖差異

在教學後學生分數概念已建立，但原始分數相同的學生，其能力值或 知識結構是否相同？本研究接著找出原始分數相同但能力值不同之受試 者，然後比較其知識結構圖有無差異。以最接近原始平均分數的原始分數 十分為實例，發現其知識結構圖共可歸類為四種不同圖示，茲舉例如圖 4-2-10至圖4-2-13。

圖4-2-11 原始分數十分之 第二類 圖4-2-10 原始分數十分之

第一類

圖4-2-13 原始分數十分之 第四類 圖4-2-12 原始分數十分之

第三類

表 4-2-5 原始成績為十分實例之能力值及知識結構圖類別 歸類 核心概念

(概念號碼) 實例 編號 能力值



1 113 -0.033113 2 120 -0.142569 第一類 13

3 316 -0.039399 第二類 7 4 301 -0.535773 5 106 -0.175300 6 205 -0.210943 7 212 -0.297606 8 213 -0.193456 9 223 -0.293387 10 326 0.627226

第三類 －

11 424 -0.228926 第四類 12、13 12 230 0.044204

由圖4-2-10至圖4-2-13及表4-2-5得知，原始分數相同之學生，其知識 結構不一定會相同，因此傳統評量以一個總分來標記學生不但無法確切描 述學生的學習狀況，而且也無法了解學生在學習上所遭遇的困難，更無法 有效地幫學生解決困難、進行補救教學。

第三節 以集群分析探討學生分數概念表現

一、以集群分析探討教學後分數概念知識結構

本研究主要根據第三章第四節之主成份因素分析，將試題分為「等分 概念」、「圖形表徵分數概念」、「已知單位量概念」、「分數的意義」

及「文字題輔以圖形」五個子概念，以這五個概念為指標求出因素分數

（factor score），針對這五個因素分數來進行集群分析。集群分析部分採用 K 平均數法，逐步嘗試分群數個，並考慮收斂及各群學生數目的合理性，

最後將教學後之樣本分為五個集群，各群人數及因素分數平均值如表 4-3-1。

表 4-3-1 教學後集群分析分群情形及相關資料分析表

是以等分概念為核心，與研究者實際教學狀況相同，大多數學生在學習分 數概念的確是以等分概念為樞紐概念再延伸至其他概念。

圖 4-3-1 第五群-實例一 圖 4-3-2 第五群-實例二

圖 4-3-3 第五群-實例三 圖 4-3-4 第五群-實例四

（二）第三群

第三群學生在平均原始分數得分歸類於中等的一群，在觀察第三群各 實例的知識結構圖後，發現四個實例亦可區分為四區，此四區與第五群所 區分的四區一樣，它們所分成的四區如下：第一區為：概念六、八、四；

第二區為：概念十一、五、十四、一；第三區為：概念七、十；第四區為：

概念十二、三、十三、十五、九、二。

由圖4-3-6至4-3-9可以發現，雖然與第五群一樣可區分為四區，但實際 上與標準參照知識結構圖有些許差距。第三群的學生實例一到實例四的核 心概念如下：實例一的核心概念較不明顯；實例二是以概念十三（圖形表 徵分數概念）為核心；實例三有三個核心概念，分別是概念五、概念十二 及概念十三；其中的概念五與概念十二是等分概念，而概念十三是圖形表 徵分數概念；實例四則是以概念十二、概念十三—等分、圖形表徵分數概 念為核心。因此可知第三群的學生雖然在知識結構圖上均可區分為四區，

但是核心概念均不相同，表示他們的知識結構不如第五群學生那麼接近標 準參照知識結構。

圖 4-3-5 第五群-實例五

觀察此群學生知識結構與第五群學生之相異處除了核心概念的不同 外，在概念十一與概念十四的鏈結表現也不太一樣，第五群學生在概念十 一與概念十四是有鏈結的，因為這兩題的概念都是文字題輔以圖形的題 目；但是第三群學生在概念十一與概念十四之間卻被概念五介入，推測此 群學生是藉由概念五連結起概念十一與十四，亦即透過等分概念去了解文 字題輔以圖形之概念。第三群學生對於文字題輔以圖形之概念不似第五群 學生發展的那麼純熟精練，因此建議教學者對於此群學生可再加強文字題 輔以圖形概念之教學與練習，使他們對於此概念能更為熟練。

圖 4-3-6  第三群-實例一 圖 4-3-7  第三群-實例二

（三）第二群

第二群學生在平均原始分數及因素分數得分屬於較低的一群，共計 5 人，觀察此群各實例知識結構圖，發現該群學生的知識結構圖與標準參照 之知識結構圖相差甚遠。將第二群學生的知識結構圖與標準參照知識結構 圖相比較，發現只有概念六、四、八能形成一區，且此群學生的核心概念 均不相同。仔細觀察第二群學生的知識結構圖，如圖 4-3-10 至圖 4-3-13，

概念十一與概念十四，概念七與概念十均未直接形成鏈結關係且相距甚 遠，但這兩個鏈結在標準參照知識結構圖上是有形成的，這代表此群學生 在概念十一與十四—文字題輔以圖形之概念，以及概念七與十—已知單位

概念十一與概念十四，概念七與概念十均未直接形成鏈結關係且相距甚 遠，但這兩個鏈結在標準參照知識結構圖上是有形成的，這代表此群學生 在概念十一與十四—文字題輔以圖形之概念，以及概念七與十—已知單位

在文檔中 探討教學前、後分數概念的知識結構—以三年級為例 (頁 56-0)