張貼紙，我比她多 10 倍，請問我有多少張貼紙？

14×9=90+36=126

這類型的小朋友，有的是題意表達不清，有的是解題過程錯誤。

解題的錯誤可能是粗心大意，也有些是基本的數學概念仍不是很清 晰，而導致錯誤的產生。以第一個學童來說，研究者分析認為，其可 能受課本裡，多種解題方式的影響，但其本身對乘法的概念仍為完全 清晰，所以會出現 8×1=8,8+1=9,12×8=96 這種「多此一舉」的解題方 式。再看第二個學童，很顯然他仍未清楚地建立起「倍」的概念。這 樣的題型，是教師引發學童認知衝突的最好題材。教師可藉由孩童擬 題作品中出現的錯誤，設計情境，引發孩童「認知衝突」，進而澄清 孩童的數學概念。

4) 完整的擬題

小安有 300 元，去文具店買東西，有：小安買原子筆 3 枝，鉛筆 5 枝，橡皮擦一塊，鉛筆一枝 10 元，原子筆一枝 30 元，橡皮擦一塊 15 元，請問小安要付多少錢？

30+30=60,60+30=90,10×5=50,50+90=140,140+15=155. A:155 元

這類型的小朋友，在擬題的部分，其物件、運算元素和目標皆已 定義清楚，雖語意結構略顯稚氣，解題條件亦有多餘，但仍可歸納為 Reitman(1965)所稱之結構題。而解題的部分，從其記錄可發現，該 生已初步具備了「倍」的數學概念。

國內學者梁淑坤(1994)提及擬題行為包含了：個人化

(idiosyncratic)、可信推理(plausible reasoning)、可以發生在解 題的前、中、後、是粗糙的(primitive)或不完整的(incomplete)。

從上面所呈現的小朋友的擬題來看，就符合這些擬題行為特質。或許 學生的題目沒有像課本習題或老師命題那樣的精簡，但藉由擬題活動 的教學過程，可以讓小朋友產生數學性的思考和連結，也加深其概念。

3.情意部分

教學和上課方式的改變，小朋友的反應不一，有的人害羞、有的 人畏懼，但也有人很喜歡很興奮。

我覺得我上台時看著大家我都會很緊張。

今天的數學課非常好玩，老師叫我們自己討論，討論完後，老師發 了一張白紙，叫我們自己出題目，出完題目之後，老師叫我們跟她 一起念這六組的題目，念完了，老師就說：「今天的時間不多，所 以明天再解答」。

我覺得今天很快樂，因為我覺得第六組不但題目寫得好，解答也都 不同，如果我們那一組也向第六組，那該有多好哇！

我覺得我有一點不專心，可是我還是有學習，希望 Kitty 老師能教 新的作法，讓我學到新的作法。

老師今天妳教的數學我都會了。

從小朋友的心情分享中得知，從算老師的命題、聽老師的講解轉 變成自己創造題目並解決問題，雖然有些緊張或不習慣，但小朋友似 乎很享受這樣的轉變，從第四位小朋友的分享「我覺得我有一點不專 心，可是我還是有學習」，可以強烈的感覺到其學習動機的提升。而 第五位同學「老師妳今天教的數學我都會了」，似乎從擬題活動教學 中建立了對數學學習的自信心。第三位同學不但覺得上數學很快樂，

還能去欣賞別人的擬題和解題，這不就是欣賞數學的態度和能力最佳

的體現。

從上述分析可知，這個時期的小朋友，因為擬題活動教學的實 施，學習興趣大為提升。而對於上課要點的掌握，雖未完全，但上課 的專注力，已見提高。擬題的能力也不斷提升，且藉由教師利用孩童 擬題作品，引發討論，藉以澄清數學概念的作法，小朋友顯得興趣盎 然，也使得其對數學概念的理解和運用，愈顯進步。

二、 萌芽期的數學日記 1. 認知部分

此時期，不論是教師的教學或是學生的學習皆已進入了另一種層 次，雙方的反應交流更具流暢和熱烈，為了讓小朋友經驗乘法交換 率，老師採取了將 16 塊小正方形排成長方形，共有幾種排法的具體 物操作教學方式，小朋友的數學日記如此紀錄：

16 塊小正方形要排成長方形，全部有幾種拼法？

小朋友很快的做出了答案，但卻沒注意到各個算式之間的相關 性。這個時期，大部分的小朋友已經能很清楚的掌握到老師上課所要 溝通的重點，所以老師相對地提高要求，希望小朋友去察覺數學的關 聯性。

Kitty 老師去寵物店買了 13 隻小麻雀，一隻 6 元，Kitty 老師花了多 少錢？她又買了 125 元的金魚，金魚每隻 5 元，共買了幾隻金魚？

金魚的飼料一包 100 元，可以吃 10 天，請問金魚一天要吃多少錢 的飼料？

13×6=78, 125÷5=25, 100÷10=10

A:•花了 78 元‚買了 25 隻金魚ƒ金魚一天吃 10 元的飼料

4×4=16

8×2=16

1×16=16

2×8=16

16×1=16 有 5 種方法

小朋友對上課的重點掌握得越來越好，能以簡易的數學語言達到 溝通的目的，且題目的語句敘述亦顯流暢，解題的過程也清楚的呈 現，這不但讓老師瞭解其程度的進展，亦可讓家長明白清楚小朋友在 學校的學習狀況。

在此單元，教學者利用等分活動帶入單位分量的介紹（一塊餅乾 平分成四等分，其中的一等分叫四分之一，其中的兩等分叫四分之 二…），做分數的聽、說、讀、寫。並藉此提升至單位分數的概念（一 個四分之一是四分之一，兩個四分之一是四分之二，…），以為將來 的分數加減學習做鋪陳和奠基。

這個時期，大部分的學生對上課內容的掌握，已駕輕就熟，但還 是有少部分的同學無法達成目標，例如：

29 個金莎分給 29 人，每人可以分幾個？

29÷1=29 A : 每人一個

從這位同學的記錄可以發現，其對除法的被除數、除數和商數之 間的相關性及其概念，並未清楚掌握，故其答案雖正確，但解題過程

1/4

1/4 1/4

1/4 一個四分之一就是四分之一(1/4) 二個四分之一就是四分之二(2/4) 三個四分之一就是四分之三(3/4) 四個四分之一就是四分之四(4/4)，

也就是 1

卻是胡亂拼湊而成。教師可以藉此進行補救教學，再一次澄清學童的 除法概念。

這裡值得一提的是，實驗班有一位領有學習障礙鑑定證明的小朋 友，之前是一上課就哭鬧，自從進行了擬題活動教學之後，就變的很 愛上課，而且數學日記的撰寫非常認真。有一次老師上課的佈題是，

二月一日師丈給 Kitty 老師 230 元，二月二日給 350 元，二月三日拿 走 190 元，二月四日又給 450 元，然後讓同學進行討論擬題並解題。

那一天回家的數學日記，這位小朋友這樣寫著：

1/2,230 2/2,350 3/2 扣 190 4/2,450 1/2 和 2/2,Kitty 老師有多少錢？

350+230=580 580 元

該生將自己的想法轉譯成語言或文字記錄的能力非常薄弱，但經 過擬題活動教學的訓練，該生已可用簡易的數字和文字將上課的原佈 題記錄下來，並能做出正確的數學解題過程，這讓其家長、老師和研 究者，都感到非常欣慰。研究者認為，擬題活動教學的進行，其精髓 在於培養數學語言的溝通，和同儕合作和討論風氣的建立，若能在此 情境中學習，低成就的孩子，也能在潛移默化中提升學習興趣和成就。

2. 技能部分

經過上個階段的培養和訓練，在這個時期，小朋友的擬題功力，

有明顯的提升，不僅在語句的流暢、題型的變化和創意上，以及數學 概念的內部連結能力方面。

3 個百，5 個十，9 個一，3 個 0.1，合起來是三百五十點一。

1 個百，五個十，6 個一，8 個 01，合起來是一百五十六點八。

從上面小朋友的擬題作品，可以看出他試圖將一位小數的概念和 先前學過的整數數值概念作連結，這樣的嘗試受到老師的讚許，但從 小朋友的擬題中，也看到了練習不足所發生的錯誤，所以老師也利用 定位板，做位值概念的操作性練習，避免小朋友產生不必要的錯誤。

百位 十位 個位 十分位

3 5 9 3

1 5 6 8

圖 4-1 數值概念定位板

擬題活動教學的實施，最主要是希望透過這樣的教學，可以培養 孩子將數學知識系統化，在這裡研究者看到了數學教育曙光。

在擬題活動教學的過程中，Kitty 老師常跟小朋友強調，一個好 的數學學習者，不僅能正確的解題，還要能自行創造出數學題目，所 以小朋友除了解題外，在擬題上也多加著墨。因此在這個時期，開始

承第一題，除了找回的錢以外，Kitty 打工又賺了 300 元，也把它存 起來，請問 Kitty 總共存了多少錢？

因為要將題目以組合的方式呈現，故必須將數學概念的脈絡整理 清晰，所以研究者認為題組的擬題方式，能幫助小朋友將片段性的數 學知識統整為系統化的數學概念。

在擬題活動教學的分數學習時，有位小朋友將等分的概念擴充，

擬出了一個很有創意的題目。

怎麼將下面的四邊形平分成四等分？

1. 2. 3.

4 . 5.

這個小朋友的擬題和解題作品中，可以看出隱約含有等值分數的 概念在裡面，但這時實驗班的課程都還未曾接觸過等值分數的概念，

實驗班的學生藉著擬題活動教學的刺激提高解題的動機，該生利用 16 個白色方瓦拼排成正方形，再以平分白色方瓦的操弄畫出第 4 種 平分方式。可見擬題活動教學也讓學生學會尋求解決問題之道，學生

« ^{● ● ●}

« « « ^●

£

£ £ £

利用具體物操作而呈現的另類解法，讓教學者與研究者感到無限興 奮。而無獨有偶的另一位學童也產生了數學概念延展的情況。

一杯水四個人要喝，一個人可以喝多少？

1/4

A : 四分之一杯

研究者看到如此的擬題和解題過程，在下課後訪談該生，為什麼要把 杯子等分成八份，以下是該生的回答：

因為我想要想出和別人不一樣的解法，所以把它分成八份。一 開始以為錯了，可是看一看後，我覺得分成八份的二份，好像和分 成四份的一份，一樣多，所以我就把答案寫成 1/4 杯。

這樣的結果讓研究者和教學者對擬題活動教學的成果更具信心。

3. 情意部分

擬題活動教學至今已邁入第三階段，小朋友的表現越來越棒，甚 至常有令人意想不到的意外驚喜。而對擬題活動教學的參與和熱情，

從小朋友的分享中不難看出。另外學習數學所獲得的樂趣，在這一期 的分享中，亦常出現；上課中聽不懂的或是解題時遇到困難，小朋友

也會利用心得分享表明，提供老師做為教學的參考。

我覺得數學是用腦子想的，數學非常得好玩。

可以讓我學到不少，我從來不知道，其實數學也是可以玩的。

很有趣，因為老師讓我們玩題目接龍。

今天老師用昨天的兩題考我們，老師叫一位小朋友來解其中一題，

我也很想去。

今天老師說要請我交大家算法，雖然老師忘記了，可是我不會生 氣，老師提醒我們學數學的懂、快、狠、準。

上了這麼多堂加減直式的課，我才知道它這麼好用，比心算準多 了，用心算都錯好多，我一定好好的要用它來算數學。

我今天的數學課有點難，跟昨天不一樣。上課的時候，老師好像說 笑話一樣，說的好快，老師還陪我們玩走迷宮，我今天好快樂。

分析上面孩童的分享，可以知道，孩子在擬題活動的數學課堂中