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國立中山大學教育研究所碩士在職專班 碩士論文
『教』與『學』之成長實錄
-擬題活動教學融入國小三年級數學課堂之行動研究
研究生：林群雄 指導教授：梁淑坤
中華民國 93 年 7 月
『教』與『學』之成長實錄
－擬題活動教學融入國小三年級數學課堂之行動研究 摘要
本研究旨在透過擬題活動融入數學課堂，探討國小三年級學童數 學能力成長的過程，並透過行動研究的方式，探討研究過程中的教師 專業成長，並瞭解擬題活動教學在實際執行上的困難與解決方法及可 供教師於課堂上運用的擬題素材。
研究期程從發現問題進行解決到退出研究現場，大約一年。在研 究期間，研究者透過訪談、教學實況錄影、教師教學手札、隨堂記錄、
學童數學日記及擬題教學回饋問卷等多種方式進行資料的蒐集，並以 三角校正法進行資料檢核。
研究結果發現，教師不僅在教材內容要點的掌握，教學流程的鋪 陳，重點提問的介入時機，引導討論的氣氛和走向的能力獲致成長，
最重要的是教師本位的心態轉為學生本位的考量。
而學童從上數學課畏懼發言到欲罷不能；討論內容的空洞到具有 邏輯推理；下課的吵鬧轉為對數學問題的爭辯；擬題內容的不知所云 到多元創意；解題的模仿到自我的見解，在在都顯示出，學童在擬題 活動教學的實施中成長的腳步，並提升了學童學習數學的學習興趣、
動機和自信。
關鍵字：擬題、擬題活動、國小三年級數學、行動研究
The Growth of Teaching and Learning
-An Action Research onThird Grade Mathematics integrated with Problem Posing Activities
Abstract
This study discusses third grade elementary school children’s growth in mathematics ability through a mathematics curric ulum integrated with problem posing. By applying action research method, this study tries to find out the participating teacher’s progress in her teaching method. In particular, also to find out the problems that may arise from carrying out problem- posing instruction, the possible solutions to these problems, and the problem-posing activities that can be readily applied in classroom setting.
The time this study takes, from identifying the problem to the point of retreating from the research setting, is about one year. During this year, the investigator used various methods to collect data: interviews, video recordings of class teaching, teachers’ notes and recordings, and children mathematics diaries. He included research-related surveys and triangulation for data analysis.
It is found that, the teacher has to do more than having a firm grasp of the teaching materials, but also to attend to the teaching processes, the timing of introducing the critical questions related to the main points, and the ability to conduct a discussion atmosphere that is conducive for the students’ growth. Most important of all, the mindset has to be changed from a teacher-oriented one to a more student-oriented set.
Compared to the original teaching without problem posing, it is found that students became more active in class discussions, and showed more logic in their solutions. They debated about mathematics
problems instead of aimless quarreling. Moreover, the content of the
problem-posing products become more creative and no longer mechanical.
In addition, students’ solution processes were no longer by imitation, but instead, showing expressions of elaborated thoughts. All these show that the integration of problem-posing instruction has increased students’
interests and motivation in studying mathematics.
Key words: problem-posing,problem posing activities,third grade mathematics,action research
目錄
第 一 章 緒 論 … … … 1
第 一 節 研 究 動 機 … … … 1
第 二 節 研 究 目 的 … … … 4
第 三 節 待 答 問 題 … … … 5
第 四 節 名 詞 界 定 … … … 5
第 二 章 文 獻 探 討 … … … 6
第 一 節 擬 題 的 意 義 與 內 涵 … … … 6
壹 、 擬 題 的 定 義 與 特 徵 … … … 6
貳 、 擬 題 的 類 型 … … … 9
參 、 擬 題 與 解 題 的 相 關 性 … … … 1 4 肆 、 擬 題 在 數 學 教 育 上 的 重 要 性 … … … 1 6 第 二 節 擬 題 的 相 關 研 究 … … … 2 2 壹 、 國 內 的 實 徵 研 究 … … … 2 2 貳 、 國 外 相 關 論 述 … … … 2 7 第 三 節 擬 題 活 動 在 三 年 級 數 學 課 程 的 定 位 … … … 3 2 壹 、 課 程 目 標 分 析 探 討 … … … 3 3 貳 、 國 小 三 年 級 數 學 科 教 材 分 析 … … … 3 5 第 三 章 研 究 設 計 … … … 44
第 一 節 行 動 研 究 法 … … … 4 4
壹 、 行 動 研 究 的 意 義 與 特 徵 … … … 4 4 貳 、 行 動 研 究 的 歷 程 … … … 4 8 參 、 行 動 研 究 的 功 能 … … … 4 9 第 二 節 研 究 信 念 … … … 5 0
壹 、 研 究 者 的 信 念 … … … 5 0 貳 、 教 學 者 的 信 念 … … … 5 1
第 三 節 研 究 樣 本 … … … 5 2
壹 、 學 校 氛 圍 … … … 5 2 貳 、 任 課 教 師 簡 介 … … … 5 3 參 、 研 究 對 象 … … … 5 3
第 四 節 研 究 工 具 … … … 5 5
壹 、 教 材 和 單 元 的 選 擇 … … … 5 5 貳 、 擬 題 素 材 的 編 製 … … … 5 5 參 、 資 料 的 蒐 集 … … … 5 7
第 五 節 資 料 編 碼 與 分 析 … … … 5 9
壹 、 資 料 編 碼 … … … 5 9 貳 、 資 料 分 析 試 做 - 悲 喜 交 加 的 一 天 … … … 6 1
第 六 節 教 學 實 施 流 程 … … … 6 3 第 七 節 研 究 流 程 … … … 6 6
第 四 章 研 究 的 結 果 與 發 現 … … … 6 8
第 一 節 教 學 篇 － 擬 題 教 學 的 實 施 與 解 難 … … … 6 8
壹、播種篇………68
貳、耕耘篇………70
參、萌芽篇………79
肆、豐收篇………84
第 二 節 學 習 篇 － 成 長 的 印 記 … … … 8 7 壹、童言童語－精彩的數學對話………87
貳、數學的創作－兒童的數學日記… ……… 98
第 三 節 回 饋 篇 － 家 長 和 孩 子 的 心 聲 … … … 1 2 0 第 四 節 省 思 篇 - 研 究 後 的 省 思 … … … 1 2 6 壹 、 研 究 者 的 省 思 … … … 1 2 6 貳 、 教 學 者 的 省 思 … … … 1 2 8 第 五 章 結 論 與 建 議 … … … 1 3 0 第 一 節 結 論 … … … 1 3 0 壹、擬題素材與方法的使用……… 130
貳、擬題教學的實施與解難……… 130
參、教師的專業成長……… 132
肆、學童數學能力的成長……… 132
第 二 節 建 議 … … … 1 3 3 參考文獻（中文） ………135
參考文獻（英文） ………140
附 錄 一 -教師教學手札舉隅 ………148
附 錄 二 -學 生 數 學 日記作品舉隅 ………150
附 錄 三 -教學錄影帶轉譯文稿舉隅 … … …… … …… … … …161
附 錄 四 － 教 室 觀 察 記 錄 … … … 169
附 錄 五 -擬題教學回饋單……… ………170 附 錄 六 -訪 談 記 錄 舉 隅 ………180
表次
表 2-1 Reitman 的題目結構表………10
表 2-2 各種擬題類型分析對照表………13
表 2-3 數學領域 82 年課程標準與九年一貫課程目標分析比較…33 表 2-4 82 年康軒版國小三年級數學第五冊單元教學目標……36
表 2-5 82 年康軒版國小三年級數學第六冊單元教學目標……38
表 3-1 擬題素材和教學單元對照表………56
表 3-2 各種原案資料編碼意義………60
表 4-1 問卷問題（一）回答統計表………121
表 4-2 問卷問題（二）回答統計表………123
表 4-3 問卷問題（三）回答統計表………124
圖次
圖 2-1 擬題四步驟………15
圖 2-2 學生擬題行為過程………15
圖 2-3 行動研究歷程圖………48
圖 3-1 教室配置圖………54
圖 3-2 坪田耕三(1987)的擬題教學流程………64
圖 3-3 擬題教學活動實施流程圖………65
圖 3-4 研究流程………67
圖 4-1 數值概念定位版………110
第一章 緒論
第一節 研究動機
自從民國七十六年解嚴之後，我國社會朝向民主、多元的趨勢發 展。但在民主社會中，溝通、講道理是國民應具備的基本素養；而在 多元的社會中，開放與尊重則為國民必須具備的特質。在數學課室 裡，透過多元開放的討論過程，一方面可以激發各個學生的獨立思考 方式，另一方面則可以養成尊重各種不同的合理觀點的習慣。除了多 元開放討論過程之外，利用數學語言溝通，明確有效，讓數字說話，
有根有據，所以數學是理性溝通的重要工具之一。然而，欲達成上述 的數學學習目標，教學的教師必須對於數學知識本身、學生的認知發 展結構和數學教學的知識，有相當程度的了解與掌握。
82 年公佈之國小課程標準到 90 年 9 月九年一貫課程的陸續實 施，不但打破學生學習時思考的框架，連同以往國中小學教材設計的 中央集權制度也要打破，教材設計權下放到各學校、到基層教師，這 樣的改革理念相當值得肯定，但相對應的是各校的行政能力與基層教 師的教學能力也要提升。
傳統的數學教室中，教師經常把課本或指引設定好的題目，拿來
當作佈題的素材，然後將解題過程和技巧示範給學生模仿（林文生，
1996），然後經過反反覆覆的練習，學生就在「成功的模仿下學習」，
直到學會教師要傳授的功夫（梁淑坤，1997）。然而，許多研究指出，
學生再解題時多由題目的表面數字著手而未能思考題目的深層意義
（Riley，Greeno & Heller，1983；翁嘉英，1988；徐文鈺，1996；
陳美芳，1995；楊惠如，2000；劉芳妃，1998）。也有研究指出，只 有解題活動是不夠的，因為用解題去評量，似乎只知道學生不懂什 麼，卻不知道學生真正懂什麼（梁淑坤，1997）。而研究者在國小的 數學教學經驗，亦發覺很多的小朋友只是把運算符號和數字加以拼 湊，就以為解題完成，並沒有去真正瞭解題意，甚至老師沒教過的題 目就不會算。這樣的學習並未能達成民國 82 年教育部所公佈的課程 標準數學科的教學目標-「養成主動地從自己的經驗中，建構與理解 數學的概念，並透過瞭解及評鑑別人解題過程的方式，進而養成尊重 別人觀點的態度」。也未符合九年一貫課程暫行綱要（2000）的數學 領域課程目標-「發展形成數學問題與解決數學問題的能力」。 美國數學教師協會編製的課程與評量標準(NCTM ，1989)，其中 明確陳述：「學生應有一些經驗來察覺和形成他們自己的問題，並以 此作為數學的重心」，同時也建議教師（NCTM，1991）-「學生應有機 會從已知的情境中形成問題，並藉由修正已知問題的條件中來創造新
的問題」。
這兩項建議正好反映出台灣現行課程上的缺點。在一般教室裡，
學生只回答被人(教師或課本)擬好之題目，並沒有主動去擬題
(Dillon,1988; Kilpatrick,1987)，而學生亦常認為教師所教授之解 答，為題目唯一之解。美國全國普查(NAEP)亦有相同結果
(Lindquist,1989)。若要回應 NCTM Standards 所建議的，專家們認 為可用「開放性」(open-ended)的作業去激發學生主動地擬題，亦可 鼓勵學生作「一題多解」(Hashimoto,1987; Silver & Adams,1987;
Silver & Mamoma,1990)。
這裡所謂的擬題（problem posing），是依據自己的想法造出一 個數學題目來（梁淑坤，1994）。在這個過程中，學生必須以自己的 數學知識和生活經驗把情境、人物、事件、數字、圖形等建立關係並 組織起來，擬出一個數學題目，並以數學技巧和方法解決問題。如此 才能符合新課程標準的精神。
此外，在教育部 82 年數學課程標準及九年一貫數學領域課程目 標中，皆提到培養以數學作為明確表達和理性溝通的能力。NCTM
（1989）在數學課程與評量標準中，亦明確的將溝通視為一項數學的 教學與評量的標準。在擬題教學的過程中，我們可以透過討論來增加 兒童的溝通能力，坪田耕三（1987）更認為，透過擬題的方式，兒童
之間的討論會更活潑，同時可以培養正確的批判能力和態度。
就以上所述，多元開放討論的教學，會對教師的教學能力有額外 需求，也會對學童的數學能力有所助益，而造成這些「教」與「學」
的新挑戰，可以透過擬題活動來進行。因此，本研究希望透過擬題教 學的實施，讓學生利用合作擬題和個別擬題的方式，並配合數學日記 的撰寫，來了解擬題活動教學在實際課堂上施行的困難與限制，並透 過行動研究的歷程真實呈現學童和教師在研究中所獲得的成長。希望 本研究可以提供有心致力於數學科教學的教師一個教學的參考。
第二節 研究目的
綜合上述研究動機，本研究之研究目的如下：
1. 設計並實施國小三年級數學科擬題教學活動。
2. 瞭解擬題活動教學在實際運作上的困難與解決的方法。
3. 透過行動研究探討教師的專業成長。
4. 探討國小三年級學童在擬題活動中數學能力之成長。
第三節 待答問題
根據上述研究動機與目的，本研究之待答問題如下：
在實施擬題教學活動的時候，
1. 教師可採用哪些素材融入國小中年級數學科教學之中？
2. 實際運作上的困難與解決方法為何？
3. 協同研究的過程中，教師的專業有何成長？
4. 學童數學能力成長為何？
第四節 名詞界定
一、擬題
學生必須以自己的數學知識和生活經驗把教師所給定的情境、人 物、事件、數字、圖形等建立關係並組織起來，擬出一個數學題目。
二、擬題活動教學
教師視各單元內容而定，再選擇課堂佈題，經由全班討論、辯證 後，教師提供擬題素材或情境，要求學生擬題，並配合數學日記的撰 寫。再以學生所擬題目佈題，討論、解答的一個教學循環。
第二章 文獻探討
第一節 擬題的意義與內涵
本節分成四部份來探討擬題的意義與內涵：首先探討擬題的定義 與特徵；其次分析擬題的類型；再者解析擬題與解題的相關性；最後 剖析擬題在數學教育上的重要性。
壹、擬題的定義與特徵
近年來數學擬題的教學活動和研究，已經引起世界上許多數學家 和數學教育學者的注意（梁淑坤，1993；Borba，1994；Leung & Silver，
1997；Silver & Cai，1993； Schloemer，1994；Winograd，1990）。
美國的課程和評鑑標準（NTCM ，1989）也提及加設擬題於課程中，
其他國家也先後對擬題的研究和課程發展工作有所實施。擬題的重要 性，自然不容輕忽。國內也有許多相關性研究（周幸儀，2002；徐文
? ，1996；梁淑坤，1993，1994，1995；陳佩琦，2003；莊美蘭，2003；
楊惠如，2000；劉芳妃，1998）。其中某一些研究者，也重視孩子自 行出題的活動。
擬題（problem posing）的定義究竟是什麼呢？國內學者梁 淑坤（1994）對擬題下了一個定義：「自己想出一個題目來」，就是「擬
題」，在擬題的過程中，擬題者會用自己的數學知識和生活經驗把情 境、人物、事件、數字、圖形等建立關係並組織起來，擬出一個數學 題目；美國學者 Silver（1994）指出擬題是由經驗或情境中創造出 新的問題，或是由給定的題目中，創造新的題目；Dillon（1982）則 認為，擬題是解題之後，尋找題目的過程；澳大利亞的 Stovanova 和 Ellerton 則將擬題定義為：「依據數學經驗的基礎，學生建構以及創 造有意義的數學題目，是一個屬於個人化的基礎」。
綜合上述國內外學者對擬題的定義，本研究將擬題界定為學生根 據教師所給定的題目、情境、故事或條件，依據自己的數學知識和生 活經驗，創造出一個新的數學題目。
根據以上所述擬題的定義，我們得知，擬題過程中，擬題者會依 據自己的數學知識和生活經驗，將所獲得的情境、人物、事件、數字、
圖形等建立關係並組織起來，擬出一個新的數學題目。所以擬題行為 應包含以下特徵（梁淑坤，1994）：
一、組織的方法是屬於個人的（ idiosyncratic）：擬題是依據自己的 數學知識和生活經驗，創造出一個新的數學題目，是把非結構題 用個人的組織寫成一個結構題的動作，是自己想出來的題目，是 個人的產品，不一定和別人想的一樣。
二、擬題過程當中包括猜想及可信推理（plausible reasoning）：擬
題是在模擬的過程中想出一個題目來，擬題者再擬一個新題目 時，會反問自己一連串問題像「假如是…？」（What if…？），「假 如不是…？」（What if not…？）（Brown & Walter，1983），也 許要用數學的猜想與可信推理（Polya，1945）。
三、擬題可以發生在解題前（before）、解題中（during）、以及解題 後（ after problem solving）：例如，我們給予學生一組「2、
3、5」的質數，要求其擬出一新的題目，擬題者可能擬出將三個 質數相加是不是一個質數？解題後發現不是，又想如果全部相乘 呢？解題中又想，若把數字換掉，結果會不會一樣？所以，在解 題過程的任何階段我們都可以擬題。
四、擬題者將想出的題目寫出來時是較課本的題目「粗糙的」
（primitive）。這些題目可能是不完整的（incomplete）；非可 行的（implausible）；亦可能尚缺足夠解題資料的
（insufficient）：擬題產品是先把想出的數學題目馬上寫下來 而未經修飾，並不像教師佈題或課本問題那樣的深思熟慮和完 整，擬題者可能是在一剎那間在腦袋中想出題目，所以題目可能 是較粗糙的。
由以上擬題的特徵（梁淑坤，1994）得知，本研究所指的擬題，
都在學習者身上發生，而非教師設計某個數學問題讓學生去解答。而
擬題可能發生解題之前，或是解題的過程中，甚至於可能發生在解題 之後。由於題目組織是屬於擬題者個人的，其中包含猜想及可信推 理，因此所擬出的題目不像教師佈題那樣的縝密，也不像教科書上的 題目，是經由多位學者審核過的詳細、清楚和可解，所以有可能顯得 較粗糙或不完整，或欠缺解題足夠的資料。
此外，對於擬題、佈題和命題之間的差異，我們亦須有所區分。
教師為配合其教學目標而設計題目讓學生解答，稱之為「佈題」。若 為了考試而設計題目，則稱為「命題」；而擬題的行為，多發生在學 習者身上，非由教師設計某種數學題目，讓學生去解答。根據以上區 分，我們可以了解三者的差異點是在於其「目的」。佈題的目的是為 達成「教學目標」；而命題則是為了考試而產生；至於擬題，則以增 進學生的「數學學習」為目的。
貳、擬題的類型
擬題類型的分類方式有很多不同的方式，各學者的分類原則亦不 盡相同。以下就各個學者的分類方式加以探討：
一、Reitman（1965）的題目結構分類方式
Reitman（1965）提及題目的結構有下列四種情況：
表 2-1 Reitman 的題目結構表（引自梁淑坤，1993）
已知（Given） 目標（goal）
1 ˇ ˇ
2 ˇ ×
3 × ×
4 × ˇ
「ˇ」為定義清楚
「×」為未定義清楚
Reitman 把題目分為結構題與非結構題。若是一個題目能夠具有 清楚的物件、運算元素以及目標，就可以稱為結構題（Leung,1997）
，即第一類型的題目。在題目中有已知的資料和清楚的目標，學生可 根據已知的資料用解題方法將目標找出來，即 為目前一般課堂上所使 用的課本和習作或評量試卷上常出現的題目方式；非結構題為定義或 目標其中一項已知，另一項未知，上述第二、三、四類型即為非結構 問題。若我們將它視為教師佈題的題材，或作為學生上課或課後的活 動，學生利用自己的數學知識和生活經驗，將非結構題寫成結構題，
就是本研究所稱的擬題了。
二、坪田耕三（Tsubota）的擬題類型
坪田耕三（1987）在其所著生動的算術一書中提及，擬題的方法 方法可分為七種：
1. 模仿法或類題法：學習某個問題之後，讓學生擬出和此問題同類
結 構 類 型
型的題目。
2. 算式法：提出一個公式，讓學生擬出適用此公式的問題。
3. 原理法：給予四則運算法或通分等原理，讓學生擬出符合此運算 法或原理的題目。
4. 訂正法：在題目中故意漏掉必要的條件，或是給予其他不必要的 條件，或作出矛盾而要學生訂正後，擬出一個完整的題目。
5. 實驗法：作實驗或以具體的東西操作，再以此事象為根基讓學生 擬出問題。
6. 自由法：以開放自由的題材，讓學生擬出自由型式的問題。
7. 題材法：給予限定題材，讓學生擬出問題。
三、Silvｅr 的擬題類型
Silver（1994）將擬題類型分為兩種：
1. 從已給的題目中再產生新的題目。
2. 從情境或經驗中再創造出新類型的題目。
四、Stovanova 和 Ellerton 的擬題類型
Stovanova 和 Ellerton（1996）將擬題分為下列三種類型：
1. 結構（structure）的情境：擬題者可以利用現有的題目加以改變，
而成新的題目。
2. 半結構（semi-structure）的情境：學生利用先前的數學知識、
技巧、概念以及關係連結，完成一個完整結構問題。
3. 自由（free）的情境：讓學生在一個給定的自然情境下自由發揮。
五、梁淑坤的擬題類型
梁淑坤（1997）根據教育部（1993）公佈之國小數學課程標準所 訂定的內容，編製了一套擬題的評量工具。在其擬題的教材中，將擬 題類型分為算式、文字、圖表、解法、答案和題目六大類：
1. 算式類：給一個算式，讓學生根據這個算式擬出題目來。
2. 文字類：呈現一段文字的敘述，再讓學生依據文字敘述中所給的 條件，再擬出一道題目。
3. 圖表類：給一個圖表，讓學生依據圖表擬出一個跟圖表內容相關 的題目。
4. 解法類：規定一種運算方法，如「加法」或「減法」，讓學生擬出 能運用此運算方法來解題的題目。
5. 答案類：給予一個答案或一組計算過程，要求學生擬出符合規定 的題目。
6. 題目類：給一個題目，要求學生解題後，再根據此題目擬出一個 新的題目來。
六、各種擬題類型之分析比較
上述各學者的各種擬題類型，研究者以下表做綜合的分析比較：
表 2-2 各種擬題類型分析對照表
Reitman
（1965）
坪田耕三
（1987）
Silver
（1994）
Stovanova Ellerton
（1996）
梁淑坤
（1997）
結構題
1.已知、目標 均已定義清 楚。
1.模仿或類 題法。
1.從已給的 題目再產生 新題目。
1.結構的情 境。
6.題目題
2.已知已定 清楚，目標為 定義清楚。
2.算式法 3.原理法 4.訂正法 5.實驗法 7.題材法
2.從情境或 經驗中再創 造出新類型 的題目
2.半結構的 情境
1.算式類 2.文字類 3.圖表類 4.解法類
3.已知未定 義清楚，目標 已定義清楚
- - -
5.答案類 非結構題
4.已知、目標 均未定義清 楚
6.自由法
-
3.自由的情
境 -
從研究者的分析中得知，坪田耕三的「模仿或類題法」、Silver 的「從已給的題目再產生新題目」、Stovanova 和 Ellerton 的「結構 的情境」，以及梁淑坤的「題目題」，和 Reitman 所提出的第一類型的 擬題結構是相同的，都是已知和目標均定義清楚的問題結構，屬於結 構題。而坪田耕三的「算式法」、「原理法」、「訂正法」、「實驗法」、「題 材法」，Silver 的「從情境或經驗中再創造出新類型的題目」、
Stovanova 和 Ellerton 的「半結構的情境」、梁淑坤的「算式類」、「文 字類」、「圖表類」、「解法類」，都和 Reitman 第二類型已知已定義清 楚，目標未定義清楚的題目結構相同。另梁淑坤的「答案類」，則和
學 類 者
型
Reitman 的第三類型已知未定義清楚，目標已定義清楚的題型相同。
至於 Reitman 的擬題第四類型，已知、目標均未定義清楚，則與坪田 耕三的「自由法」和 Stovanova & Ellerton 的「自由的情境」具有 異曲同工之妙。
參、擬題與解題的相關性
Polya（1945）在其所著『如何解題』（How to solve it）中，
提及解題的過程共有四個階段：理解（Undertand）→策劃（Plan）
→執行（Carry out）→回想（Look Back）。解題者在解題之前，必 先了解題意，知曉題目的已知條件和欲達成的目標，再著手策劃解題 的步驟和策略，接著按計畫進行實際的解題，解題之後，解題者再回 顧是否按照題意及計畫解題，並思考是否有更好的解題策略或方法或 可將此解題方法運用去解決其他問題。
國內學者梁淑坤（ 1995）認為解題者為何先要了解題目？因為解 題者在解答別人擬好之題目，如果解題者亦是擬題者，當然清楚題目 的內容，馬上可以做策劃的功夫。而且，解題者在解題時，也許會想 出新的題目來，然後再策劃、再解題。再解題後可將所得結果整理後 再擬出新的題目來，這樣下去，可以變成永無休止的擬題和解題活動。
故其根據 Polya 的解題模式，將擬題取代理解，而成為擬題四步驟，
如圖 2-1：
圖 2-1 擬題四步驟（梁淑坤，1994，p.159）
研究者參考 Polya（1945）的解題步驟和梁淑坤的擬題步驟，並 依據實際上課經驗，將學生的擬題過程呈現如下：
圖 2-2 學生擬題行為過程
當學習者根據教師佈題或所提供的情境擬好自己的題目，因為是 自己擬的題目，所以清楚題目內容，故其逕行規劃解題策略，並按計 畫進行解題。在進行規劃解題策略時，解題者有時會發現題目條件不
回顧（Look Back） 策劃（Plan）
執行（Carry out）
解題失敗
解題成功
回顧（Look Back） 策劃（Plan）
執行（Carry out）
擬題（Pose）
擬題（Pose）
足，便會重新檢視題目或重新擬題。有些解題者，在執行解題步驟時，
遇到窒礙難行之處，會重新規劃解題策略，若還是無法解題，便會再 檢視題目或重新擬題，再進行解題。透過如此不斷擬題又解題的循環 過程，學習者不會因為發現問題和解題過程的分離，而降低其認知行 為（Dillon，1982）。反而透過這個循環可以做到創造數學（ｍaking mathematics，Polya，1945）。這種自行創造數學，才是數學家的精 神，是數學家常常做的事。
肆、擬題在數學教育上的重要性
美國學者 Silver（1994）在其報告中提及世界各地的數學教育 家在關注擬題的研究，如日本的 Shimada，英國的 Greer，澳大利亞 的 Ellerton，荷蘭的 van den Brink 及希臘的 Mamona。亦有許多研 究指出擬題是數學教育的重心（Schloemer，1994）。楊惠如（2000）
陳佩琦（2003）也各由許多的文獻中，整理出六項擬題的重要性。究 竟擬題在數學教育中的重要性為何？研究者認為擬題的重要性有以 下幾點：
一、可以提升學生解題的動機與興趣
坪田耕三（1987）指出以個人有關的問題做教學，可以喚起小孩 子求知的欲望。Silverman，Winograd 和 Strohauer（1992）的研究 亦指出，學生較不喜歡課本中的題目或是教師的佈題，他們會期待且
注意由自己來擬題。同樣地，梁淑坤（1994）亦認為問題若是由解題 者所擬出來，解題的動機就會很高。而 Schloemer（1994）也認為擬 題可以讓低成就的學生提高學習的意向，也可以提供學生一個機會，
讓他們可以在數學學習中表達他們的興趣和關心的焦點。而且，問題 既然是由學習者自己想出來的，答案自然很容易解答出來，因此擬題 可以提高解題的動機和興趣。且 English（1997）也認為，鼓勵學生 擬題是十分重要的，如此可以提升學生的解題興趣。一般教學中所訓 練出來的學生，只習慣去解答已擬好的題目（National Research Council，1989），且記誦一些專為應付升學考試的片段知識而少求自 我發揮的機會。而擬題正提供學習者這樣的一個機會，因此擬題可以 提高學生解題的動機與興趣。此外，擬題教學活動也給了學生不一樣 的學習經驗，透過擬題教學，學生有機會成為小老師，這個經驗打破 了以往教師出題，學生解題的學習模式，讓學生覺得數學的學習是很 有趣的（陳佩琦，2003）。
二、可以培養學生數學思考與分析發展問題的能力
除了可以提升學習動機之外，擬題的重要性包括了思考與分析能 力的培養。在現行的數學教育中，我們的學生記得了各種文字題的解 題公式，卻無法推理思考（周筱亭，1995），學生習得的是僵化的格 式化數學。但是在擬題的過程中，學生以個人的數學知識和能力，在
自由、開放的情境中，經由個人的思考，組織方式來產生新的問題，
在這樣的過程當中，不但可以培養學生數學思考的能力，也可以提高 學生分析發展問題的能力。所以 Schloemer（1994）認為擬題可以促 進學生更成熟的思考。而坪田耕三（1987）亦指出擬題可以自然形成 數學化的思考方式，透過這樣的思考方式，學習者藉由擬題活動，將 自己的數學知識重新組織，並且發現教材的系統性和關聯性。陳佩琪
（2003）也認為，透過擬題練習，學生樂於去嘗試不同類型的題目，
並能夠仔細地觀察擬題資料，從資料中去發現線索，組合或調整成一 個題目，並發展出一套解決問題的方法。
三、可使學生的數學知識結構意義化
有意義的學習是指兒童能有自己的想法，而不是大人決定是否對 兒童有意義的做法（周筱亭，1995）。而 Writze 和 Kahn（1982）認 為擬題可以幫助學生將具體情境與數學抽象連結，使數學意義化。且 坪田耕三（1987）也指出，在擬題的活動中，不管是怎樣的小孩，都 可依自己的能力，盡力的展開學習活動。同樣地 Silverman 等人
（1992）也指出學生利用數學知識和技能去建構題目是具有意義的。
另 Borba（1994）透過擬題研究發現，學生在擬題活動中，感覺到他 們可以掌控自己的數學學習。國內研究者劉祥通（1996）也指出，在 課堂中要求學生擬題，可以加深學生對問題結構的瞭解。而陳佩琪
（2003）在其研究結論亦提出擬題教學對學生的數學概念發展是很有 幫助的。以往的學習，往往是由教師佈題或命題，學生在被動的的情 境下解題，對於數學抽象不容易瞭解，但透過擬題活動，我們可以使 數學抽象具體化，讓學習變得有意義。由此可知，擬題活動不但能提 高孩童學習動機，培養思考分析能力，還能使其將數學知識結構意義 化，其重要性自然不可言喻。
四、可以將學生的生活經驗與數學世界相結合
以兒童為中心的教學，是「教人」不是「教書」（鍾靜，1996）。
Silverman 等人（1992）指出，擬題活動的目標之一，在幫助學生將 數學與日常生活連結，並且透過文字的敘述，反應生活經驗。而劉芳 妃（1998）在合作擬題的研究中，發現學生對於以周遭相關的人、事、
物作為擬題素材，反應最為熱烈。同樣地，林德宗（1999）亦認為，
透過擬題活動可以增進學生對數學概念的理解，並將知識連結到日常 生活經驗中。且陳佩琪（2003）亦指出，學生為了讓自己所擬的題目 比別人更多元、更特別，所以必須注意觀察生活周遭的環境以及身邊 的人、事、物。在擬題的過程中，學生會將日常生活經驗與對周遭生 活的觀察融入其所擬出的題目當中，故教師可以透過擬題活動將數學 知識與學生生活經驗相結合，並可從學生數學題目的文字敘述中去了 解學生的生活經驗及想法。
五、可以培養學生相互欣賞與批判問題的能力
Borba（1994）認為，學生在擬題活動中擬出一個新的數學題目 後，又能夠自己完成解題，透過這樣的過程，可以修正題目中不適當 的敘述。而在觀摩別人的擬題後，可以欣賞到別人的優良作品，作為 自己擬題改進的參考。對於有錯誤的題目，也可以提出自己的看法，
彼此加以討論，如此可以增加學生數學溝通的機會，因此擬題活動可 以培養學生批判的能力。而劉芳妃（1998）在其研究中也指出，小組 合作擬題活動可提供學生數學概念溝通的機會，加強社會化的發展；
在擬題的活動中，透過觀摩別人的擬題後提出自己的看法，從中可培 養學生的批判能力。林德宗（1999）則指出，學生透過擬題活動中的 討論過程，可以修正題目，學習接納別人的意見，培養欣賞批判的態 度。同樣地，陳佩琪（2003）在其研究中亦指出，學生完成擬題作品 之後，在欣賞別人優秀的作品時，能給予適當的稱讚與鼓勵；對於有 錯誤的題目，亦能腦力激盪，提供解決的方法。因此擬題活動可以培 養學生欣賞與批判的能力。
六、可以提升學生的創造力
以往的數學教學所訓練出來的學生，只習慣去解答已擬好的題 目，且記誦一些專為應付升學考試的片段知識而少求自我發揮的機 會。若要改變學生被動解題的現象，美國課程標準建議（NCTM，1989；
1991）教師在上課時可多讓學生自行擬題再解題。
日本教師坪田耕三（1987）認為數學的目標在培養小孩的創造 力，養成適應現代激烈變化的社會，以保持心理健康，如果總是做既 定的事情，漸漸會失去創造力。國內學者梁淑坤（1997）也指出擬題 是一種創造力的表現，數學擬題能力有別於一般創造思考能力，是數 學創造力的一種指標（陳美芳，1995；徐文鈺，1996）。擬題本身就 是一個創造問題的過程（ Leung，1997），所以發現問題的本身可以視 為創造力的過程（Dillon，1988）。而劉芳妃（1998）在其研究中亦 指出，在擬題的歷程上，創造力需依賴個人豐富的知識並受文化和情 境的影響，再經個人的思考方式來產生新事物、理念和價值。同樣地，
莊美蘭（2003）亦認為擬題活動可以激發學生擬題的創意。數學的創 造（making mathematics）包括解釋性推理和可性推理，我們的學生 甚少可以看到數學開始被創造出來的過程，我們只在學生面前呈現了 已完成的數學面貌（finished face of mathematics，Stanic &
Kilpatrick，1988）。擬題要求學生做大膽的假設，對關係做猜測，
以及推翻不合理的架構，故擬題是創造數學的一個習作。
以上是研究者整理出的六種擬題活動在數學教育的重要性。在 82 年版數學課程標準中指出，國民小學數學教學的目標，在於輔導 兒童從日常生活經驗中，獲得有關數學的知識，進而有效運用數學方
法，以解決實際問題的態度和能力。而九年一貫課程強調的是能力的 開拓，是要為國民的終身學習奠下基礎，故數學課程的發展應以生活 為中心，配合各階段學生的身心與思考型態的發展歷程，提供適合學 生能力與興趣的學習方式，據以發展數學學習活動。數學學習活動應 讓所有學生都能積極參與討論，激盪各種想法，激發創造力，明確表 達想法，強化合理判斷的思維與理性溝通的能力，期在社會互動的過 程中建立數學知識。擬題教學活動正提供了一個這樣的學習環境和方 式，可見擬題在數學教育上的重要性。
第二節 擬題的相關研究
在本節裡，筆者將相關研究資料分國內及國外，並用年份排序逐 一呈現。並簡述各研究的內容如下：
壹、國內的實徵研究
西元 1993 年梁淑坤以美國某教育學院修「國小數學教材研究」
的 18 位學生為對象，設計一份開放性作業-「十五枝火柴」，以同時 研究「擬題」與「一題多解」，並提出須在師資培育的課程中增設擬 題的課程之建議。並在 1994 年撰文分析擬題在課程的角色，建議應 自低年級開始就列入擬題的活動。
緊接著，在西元 1995 年，梁淑坤又以 65 位職前教師及 127 位在 職教師為對象，探討其在三種實驗擬題作業形式（純文字敘述、包含 數值、包含符號）下的擬題行為。研究發現職前教師與在職教師在擬 題的數量上並無顯著差異。在三種擬題作業形式中，有數值的形式較 其它兩種形式被教師們接受；在文字敘述方面，教師們則自行提供資 料或擬出資料不足甚至不可行的題目；在包含符號的形式中，教師們 傾向於寫出非題目、非數學或不可行的題目。並指出，未來教師若想 把擬題介紹到教室讓小學生嘗試擬題的話，教師們自己要有更豐富的 擬題經驗，也要懂得設計作業及評量學生的作品，這是師資培育須注 意的一環。
而後，徐文鈺於 1996 年，以 104 位國小五年級學生為對象，將 學生分為合作擬題組、個別擬題組及控制組三組。三組學生各接受每 週兩次，每次 40 分鐘的課，為期六週不同教學方式之分數課程教學。
研究結果發現，合作擬題組在複雜的「部分－整體」概念的表徵轉換 能力、分數解題能力、分數擬題能力流暢性、精緻性、獨特性效果均 優於個別擬題組和控制組，而在分數概念的增進效果上三者並無顯著 差異。
其後，在 1997 年發表的國科會補助大學生研究專案計畫，職前 教師孫秀芳（1997）研究國小二年級學生的加減法擬題能力，以及學
生對擬題的認知程度。結果發現大多數學生都具有擬題能力，學生所 擬出的題目多是熟悉的情境，並且確定擬題與解題的活動是相關聯 的。
梁淑坤（1997）更指出若要將擬題活動推廣至一般教室，必須先 設計好一些擬題教材及評量擬題能力的工具，再來才介紹給教師使 用，最後才要求教師們用自己的方式設計擬題教材。秉此信念，梁淑 坤設計了一套共 18 題的數學擬題能力測驗（Test of General Mathematical Problem Posing，TGPP）。
而以國中一年級數學課堂中的擬題作業表現與活動來探討學生 學習合作時的情意層面以及擬題能力的研究，劉芳妃亦於 1997 年發 表。其研究中指出，與學生生活經驗或班級中的人、事、物相關的次 文化之擬題題材最能引發學生的討論及參與。合作擬題時，學生傾向 擬困難或奇特的問題，且組員間合作的技巧會影響其學習品質，並指 出學生的數學成就高低和擬題的流暢性及變通性無顯著差異。
接著，國內教師以將錯就錯的方式進行擬題活動，給予學生不完 整的題目，例如題目中遺漏某些重要的解題訊息，讓學生無法解題成 功，再讓學生試著去修正題目成為一新的完整題目來，如此提供了學 生擬題的機會也能釐清學生的數學概念（Leung & Wu，1999）。
同年，職前教師林德宗（1999）在國小五年級數學教室中，探討
擬題活動的應用。其研究發現，學生透過擬題活動可增進其對數學概 念的理解並能協助學生將數學知識和生活經驗相連結。學生透過討論 的過程能修正自己所想出來的題目，並學習接納其他同學的意見。
而梁淑坤與鄔瑞香（Leung & wu，2000）也曾合作研究讓家長與 學生用日記的形式在自己家中進行擬題與解題，藉此把擬題活動帶入 家庭變成家中的親子活動，再藉由日記與他人分享擬題心得。
繼之，楊惠如（2000）用行動研究的方式，以一班國小三年級學 生為對象，實施擬題教學活動。研究顯示，教學活動經歷三個階段：
初試啼聲、漸入佳境、步入軌道。教學活動中教師扮演了教學設計者、
佈題者、引導者、時間掌控者以及成效評估者等五種角色，顯示了教 師在擬題教學活動中的重要性。
到了 2002 年，鍾雅琴以合作擬題的教學方式，探討國小五年級 學生分數概念、分數解題能力與分數擬題能力的增進效果。其研究有 以下幾點發現：1.合作擬題教學能增進實驗組學生在整體與複雜的分 數概念、分數的數線概念兩種表徵轉換的學習。2.合作擬題教學方式 對分數解題能力的增進效果，實驗組優於對照組，且資優班優於普通 班。3.合作擬題教學方式，對分數擬題的流暢性、變通性、精緻性和 獨特性四個向度，其效果實驗組優於對照組，資優班優於普通班。4.
在合作擬題教學方式自評表上，在認知部分，大部分學生均認為合作
擬題策略教學對其數學的學習有很大的幫助；在技能方面，大部分學 生均認為合作擬題策略教學對其數學解題的能力提升有很大的幫 助；在情意部分，大部分學生均認為合作擬題策略教學對其想像力之 激發有很大的幫助。
而李承華（ 2002）則探討擬題活動對學生數學文字題語意結構之 掌握及對文字題解題的影響，並整理擬題教學過程中的相關現象。研 究結果顯示，擬題教學活動確實提昇了學生在文字題語意結構的掌 握，但解題能力上並無顯著差異。
同樣地，周幸儀（2002）透過合作擬題教學活動來探討國小二年 級學生的擬題學習歷程以及擬題教學對學生數學概念、擬題能力、解 題能力的增進效果。結果發現合作擬題教學對學生的學習歷程、數學 概念發展、擬題和解題能力均有增進之效果。且為使學生數學概念得 以釐清，學習條件得以提昇，教師於教學中會不斷改變教學引導策 略，因此也促成教師的專業成長。
至於陳佩琦（2003）則針對一個國小二年級班級實施擬題教學，
從中探討學生擬題的歷程，擬題作品的特色與錯誤類型，算式、圖畫、
文字三種擬題類型的擬題情形，高低擬題能力組在解題能力上的表現 以及擬題教學對於解題能力的增進與否。從研究中得到，經由擬題教 學後，學生不論在擬題與解題的速度或正確率都有明顯進步，擬題作
品則呈現多樣化，並指出擬題教學可以增進學生解題能力。
另外，莊美蘭（2003）探討國一數學課程中不同單元進行合作擬 題或個別擬題時學生所採取的擬題方法和內容，期望能對有興趣從事 擬題教學之教師提供建議。研究中發現，合作擬題可以透過同儕的互 動提供討論的機會促進小組的學習，而個別擬題則是能讓學生激發個 人擬題的創意與實力，增加自我的成就並發現自己在數學概念上的錯 誤。
從上述的各研究中，我們可以發現到，透過擬題活動，不但可以 激發學童的學習興趣，還可將數學知識與日常生活相結合。更有研究 指出，擬題活動可以提升學童文字題語意結構之掌握；其中，楊惠如
（2000）在研究中提及教師在擬題活動中的重要性。國內學者梁淑坤 亦呼籲師資培育須重視此一環節。以上國內的研究結果，再再顯示了 擬題活動在數學課堂上的可行性和對學童的助益性，更加強了研究者 對此一研究的信念。
貳、國外相關論述
日本的數學教育非常重視學生創造力的培養，所以在解題活動中 建議教師採用開放性的解題（Open-end problem solving）。近來在 日本提倡開放取向教學（Open approach teaching）的幾位學者，更 主張擬題能幫助學生更完整地分析問題，有助其問題解決能力
（Nohda，1984；Hashimoto，1987）。美國數學教師學會（NCTM，1989）
在數學課程與評鑑標準中（The Curriculum and Evaluation Standard for School Mathematics）提出應讓學生在數學課程中經驗、察覺和 形成他們的問題，並以此作為數學教學的重心，透過擬題活動提升學 生的解題興趣。澳大利亞教育學會（ Australian Education Council）
認為鼓勵學生擬題是非常重要的，他們應該學習如何擬題，並且試著 去解出自己所擬的題目（Stovanova & Ellerton，1996）。可見擬題 在國際數學教育上越來越受重視，以下就針對各國學者的研究做簡述 說明：
Keil（1965）以八百多位六年級學生為對象，將其分成實驗組與 控制組，並請科任教師擔任教學。實驗組每週一堂由教師提供與數學 課本類似的情境，讓學生進行擬題；而控制組只解課本題目。實驗歷 時十六週，從結果發現實驗組學生的解題能力高於控制組的學生，因 此擬題教學活動對於解題能力有正面的影響。
而 Cohen 與 Stover（1982）教導六年級學生將已知的故事題以 圖形或增加其他訊息、編排訊息來改寫故事題，在此研究中寫作變成 數學課的一部份，學生經過這樣的訓練後，在解題上有明顯的進步。
另外，〝what-if-not〞的擬題教學策略，由 Brown 和 Walter 於 1983 年提出，他們鼓勵學生在獲得答案後，先接受答案，再挑戰各
種假設，想想情況若不是這樣，那答案又會是如何？最後將學生擬出 的題目整理成「The art of problem posing」一書。
接著，在 1986 年，Ellerton 用測驗將學生分成高低能力組，再 研究其間擬題的差異，結果發現高能力組的學生會在出題目時做有系 統的策劃。
Tsubota（1987）則針對國小一至六年級學童，以開放性問題進 行數學教學，並鼓勵學生以解過的問題為基礎，從原本的問題再想出 新的問題來。並將實際上課內容編成”生動的算術”一書出版，希望 對努力改善教學品質的老師有所幫助。
至於 Van den Brink（1987）曾要求國小一年級學生擬出故事題，
而學生在整個學年中進行許多擬題的活動，並且呈現出一些附有創意 的擬題作品。
此外，Skinner（1990）將其任教幼稚園至二年級的教學經驗和 學生作品寫成一本書—「What’s your problem？」。他在書中強調，
上課的問題必須是自己擬出來的，但問題不能太簡單，需動點腦筋才 能解題，否則就無法達到擬題教學的效果。而在同儕的討論和質疑中 去發現題目的漏洞和不當之處再加以修改的過程中，則對澄清自己的 數學觀念很有助益。
同年，Winograd（1990）研究國小五年級的學童，讓他們嘗試擬
題和解題並在小組中分享其過程，透過這樣的方式瞭解擬題課程中的 數學信念，學生擬題的行為表現和困難點，並了解小組共同解題的行 為。研究時間長達一年，每星期有三到四次的課程安排。研究結果發 現，學童在擬題過程中表現出多樣化的型態，小組合作學習，學生多 以任務導向完成學習任務，並且在擬題寫作過程中表現出數學的信 念，其結果並建議學生的擬題作品可以成為教師佈題以及教材的來 源。
另外，在 1983 年由 Brown 和 Walter 所提”what-if-not”的擬 題教學策略，被 Schloemer（1994）以認知師徒制的方式來教導大學 生學習高等代數。結果控制組與實驗組在數學成就中並無顯著差異；
在擬題能力方面，實驗組的表現比控制組佳；在數學態度的表現上，
兩組學生前後測均下降。根據研究者的結論，實驗組已習慣原來 UCSMP 教材的學生，用擬題的教學方式在數學態度上會產生負面的影響。
Borba（1994）研究二百位八年級的學生，在九星期的課程中，
每一小組必須選定一個主題，並且擬出一個題目，小組成員通力合作 來解決他們所擬出的問題。研究結果發現，很多學生覺得透過擬題活 動，讓他們感受到對於學習的自主權。研究者並發現，在小組擬題的 過程中，教師必須適時給予引導，才能讓學生分工合作完成任務。
而 Van den Brink（1995）以百分比的教材讓學生進行擬題活動，
請學生擬出兩個有關百分比的題目，一題簡單另一題則困難，透過這 樣的方式瞭解學生的擬題能力。
Silver、Mamona-downs、Leung 和 Kenney（1996）以個別擬題或 是合作擬題的方式，研究 53 位中學教師和 28 位職前教師，探討其 Initial Posing、problem Posing 和 Additional Posing 階段，結 果發現受試者具有數學擬題的能力，且在解題前比在解題後所擬的題 多，而這個能力將可以影響將來教學時教師的佈題。另外，Leung 和 Silver （1997）嘗試建立擬題作品系統化分類的工具，其以 TAPP（Test Arithmetic Problem Posing）來測驗 63 位職前教師，研究結果發現 許多受試者都可以擬出「可行的」題目。
English（1997）以五年級和七年級的學生為對象，研究不同能 力的組別在課程中對於擬題的表現。其研究結果發現，擬題能力強的 學童，平常的數字計算能力並不強，但針對特殊題目的解題，表現卻 不錯。另發現學生的擬題具有複雜性，可見學生具有豐富的創造思考 能力。此外，English（1998）亦研究 54 位三年級學生的擬題能力。
研究發現學生在數概念以及解題能力方面，表現出不同的類型。在許 多非例行性的情境中，可以擬出多樣化的題目，但在加法和除法的類 型中，學生所擬出來的題型傾向一致，這可能受到教材裡例行性題目 的影響，造成學生思考模式固化。
至於跨文化的比較，Cai 在 1998 年，以 181 位美國和 223 位中 國的六年級學生為研究對象，探究其擬題和解題的認知分析。結果發 現，雖然中國學生在計算方面優於美國學生，但在擬題方面卻有許多 相似之處。而先前研究中關於美國學生在擬題和解題之間的關係，同 樣可以用在中國學生的身上。
從上述國外的研究中，研究者發現其研究方向傾向探討分析學童 擬題的行為或能力，亦或研究擬題和解題之間的相關性。對擬題活動 中教師的「教」與學童的「學」之間的互動和成長，較少著墨。這應 是一個好的研究方向。
由以上國內外的相關研究的介紹，可以讓我們了解到，世界各 地，不管在實徵研究方面，或是教學方面，確實有許多的擬題教學活 動在進行，可見擬題活動在數學教育上越來越受重視。
第三節 擬題活動在三年級數學課程的定位
大多數教師往往認為只需扮演進行教學的實務工作者角色，只需 將別人所設計的課程產品內容加以照本宣科，進行忠實的課程實施
（歐用生，1996），不僅未能從情境的觀點界定課程（黃光雄，1996），
亦往往忽略了教師積極主動的研究角色，更漠視課程可能涉及教育實
務反省批判的歷程（Mckernan，1991）。
本研究嘗試將擬題活動融入國小三年級數學課程之中，鑒於上 述，研究者在此章節先針對數學學習領域課程目標，再就康軒版三年 級數學教材逐一做分析探討，企圖尋找出擬題活動在三年級數學課堂 中實施的定位：
壹、課程目標分析探討
本研究之樣本班級，三年級所使用之數學教材是 82 年版康軒教 材，但因九年一貫課程的正式實施，該班升上四年級之後，亦須面對 九年一貫的課程目標。故研究者將 82 年數學課程標準與九年一貫課 程目標做一綜合分析，如下表：
表 2-3 數學領域 82 年課程標準與九年一貫課程目標分析比較
82 年數學課程標準 九年一貫數學領域課程目標
一、 養成主動地從自己的經驗中，建 構與理解數學的概念，並透過瞭 解及評鑑別人解題方式的過程，
進而養成尊重別人觀點的態度。
二、 養成從數學的觀點考慮週遭事 物，並運用數學知識與方法解決 問題的能力。
三、 培養以數學語言溝通、討論、講 道理和批判事物的精神。
四、 養成在日常生活中善用各類工具 從事學習及解決問題的習慣。
一、 培養學生的演算能力、抽象能 力、推論能力及溝通能力。
二、 學習應用問題的解題方法。
三、 奠定下一階段的數學基礎。
四、 培養欣賞數學的態度及能力。
民國八十二年公佈的「國民小學課程標準」，由於受到建構主義 的影響，「數學」的概念有很大的不同，在民國八十二年之前的課程
主張，數學是一種知識和技能，數學課程旨再讓兒童發現數學的意 義；數學的教學旨在能讓兒童在最精簡的時間裡，達到數學的最前 線。在這次的數學課程中，數學由發現轉向建構（甯自強，1993），
知識並非由被動的吸收而得，而是由知識的主體主動建構而來的，因 此，知識並不是客觀存在的，它是依附在人身上的（ 黃敏晃，1994）。
而九年一貫課程亦強調以學習者為主體，以知識的完整面為教育的主 軸，以終身學習為教育的目標。
我們以擬題的角度來看，在擬題的過程中，組織的方法是屬於個 人的（梁淑坤，1994），擬題者必須透過本身的經驗，試著將所學過 的知識、技能和想法加以彙整，整理出來形成問題並加以解決，也就 是九年一貫數學領域課程目標「學習應用問題的解題方法」，換句話 說，就是「養成主動從自己的經驗中，建構與理解數學的概念，並運 用數學知識與方法解決問題的能力」，這和八十二年數學課程標準，
亦相符合。
NCTM（1989）在數學課程與評量標準中，明確的將溝通視為一項 數學的教學與評鑑的標準。在數學課堂中我們可以透過討論活動來增 加兒童溝通的能力，坪田耕三（1987）更進一步的認為，透過擬題的 方式，兒童之間的討論活動會更活潑，同時可以培養正確的批判態度 和能力。此外，擬題之後，教師可讓同學互相評鑑彼此所擬出的題目，
這樣的過程，也可以讓兒童養成「尊重他人」的態度。而評鑑的過程 中，發現錯誤，進而改正錯誤，推論的能力應運而生。梁淑坤（ 1999）
也認為，擬題的教學可以讓學生欣賞別人的題目。是故，擬題教學可 以讓兒童培養「以數學溝通、討論、講道理和批判及推論的能力，並 培養欣賞數學的態度和能力」。
Writz 和 Kahn（1982）認為擬題可以幫助學生將具體情境與數學 抽象連結，使數學意義化。坪田耕三（1987）亦提出，以一個問題為 出發點，再由此衍生出新的問題的活動，對兒童來說，自然可稱做歸 納性的思考或可稱為類推性的思考，而這樣思考的方式，就是所謂數 學化的思考方式。如此一來，就可培養兒童數學抽象思考的能力。
透過擬題教學活動，可以讓兒童將所學的知識和技能做統合性的 發展和運用，奠定下一階段的數學基礎，並進而養成分析、批判、溝 通、欣賞、抽象、推論和解決問題的能力，而當這些能力養成之後，
兒童自然能養成在日常生活中善用各類工具從事學習及解決問題的 習慣。
由以上課程目標的分析中，我們得知擬題活動不但符合八十二年 數學課程標準的要求，亦可達成九年一貫數學領域的課程目標。接 著，我們探討擬題活動在三年級數學教材中實行。
貳、國小三年級數學科教材分析
自從民國八十五年教科書開放以來，國編本的教材不再是唯一的 教材。研究樣本班級的年段教師，經過多方面的因素考量，選擇了康 軒版的教科書，且因本研究的研究時程共歷時一年。因此以表 2-4，
2-5 針對康軒版國小第五、六冊數學課程教材共二十四個單元做分析。
表 2-4 82 年康軒版國小三年級數學第五冊單元教學目標
單元 單元名稱 教學目標 學習主題
一 2000 以內的數
1.建立 2000 以內的數詞序列 2.認識四位數的位值
3.2000 以內數的說、讀、聽、寫、
做
4.2000 以內個數的化聚
5.用＞、＝、＜的符號，表示兩數的 大小關係
數與計算
二 時間 1.認識時、日、月、年間的關係
2.認識時、日、月、年的化聚 量與實測
三 除法（一）
1.認識除法的意義
2.利用乘法記錄除法問題的解題過 程
3.使用除法算式，摘要記錄除法問題
數與計算
四 長度
1. 長度的實測 2. 認識 1 毫米
3. 認識以毫米為單位的長度 4. 能用毫米為單位實測長度 5. 透過實測，進行估測
量與實測
五 三位數的加減
1. 記錄三位數加減的解題活動 2. 解決三位數的合成、分解問題，
並記錄解題過程
3. 用直式記錄三位數加減的解題活 動
4. 經驗加減法的可逆性
數與計算
六 角與圖形
1. 認識角 2. 認識直角 3. 認識三角形 4. 認識四邊形
圖形與空間
七 重量
1. 用天平秤重
2. 使用 50 克、100 克為刻度單位 3. 實測物品重量
4. 估測物品重量
5. 察覺物品重量具有不變性
量與實測
八 乘法
1. 認識 0 和 1 的乘法 2. 認識乘法直式記錄
3. 認識被乘數、乘數、積等名詞 4. 會解決三位數乘以一位數的問題 5. 複習乘式意義，並經驗乘法運算
的交換律
6. 瞭解乘數未知的算式填充題
數與計算
九 分數
1.等分具體物後，用分數表示其中的 部分量
2.等分具體物後，用分數表示部分量 是全體量的多少
3.認識分母為 20 以內的真分數 4.認識「分數」「分母」「分子」等術 語
5.認識分母為 10 的真分數
數與計算
十 面積與周長
1.間接比較面積的大小 2.測量面積
3.認識周界與周長
量與實測
十一 除法（二）
1.解決有餘數的除法問題 2.用除法算式填充題記錄問題 3.認識被除數、除數、商和餘數 4.能用直式記錄除法問題
數與計算
十二 長條圖
1.用畫記法將資料整理成統計圖表 2.繪製長條圖
3.報讀簡易長條圖 統計圖表
表 2-5 82 年康軒版國小三年級數學第六冊單元教學目標
單元 單元名稱 教學目標 學習主題
一 10000 以內的數
1.認識 10000 以內的數詞序列 2.說、讀、聽、寫、做 10000 以內的 數
3.10000 以內數的化聚 4.認識位值
5.認識 10000 以內數的大小關係 6.10000 以內數的應用
數與計算
二 角度
1.認識角的大小 2.比較角的大小 3.認識量角器
量與實測
三 加減直式
1.用直式算則計算加、減問題 2.解決 10000 以內數的應用問題 3.應用加、減互逆關係解題
數與計算
四 立體圖形
1.認識正方體和長方體的構成要素 2.認識正方體和長方體的透視圖 3.認識正方體和長方體的展開圖
圖形與空間
五 公分和公尺
1.認識公分和公尺的關係及化聚 2.認識公分和毫米的關係及化聚 3.長度的比較
量與實測
六 小數
1.認識一位小數
2.瞭解一位小數的化聚與位值 3.能比較一位小數的大小 4.認識一位小數的數線
數與計算
七 乘和除
1.能做二、三位數乘以一位數進位的 乘法
2.經驗乘法的直式算則
3.從各種情境中認識乘法的意義 4.能察覺乘法交換律的事實 5.能用除法算式記錄問題 6.用直式記錄除法的解題過程
數與計算
單元 單元名稱 教學目標 學習主題
八 體積
1.認識體積的意義
2.直接比較兩物體體積的大小 3.經驗體積的保留概念
4.使用以立方公分為單位的測量工 具
量與實測
九 小數的加減
1.能解決一位小數的合成與分解問 題
2.能用算式記錄一位小數的合成與 分解問題
3.能計算一位小數的加減問題
數與計算
十 容量
1.使用以分公升為刻度單位的工具
2.認識容量的保留現象 量與實測
十一 兩步驟的四則 問題
1.會用算式記錄兩步驟乘除混合問 題的解題活動
2.會用算式記錄兩步驟加、減、乘、
除混合問題的解題活動 3.在情境中經驗乘、除的關係 4.能驗算除法的答數
數與計算
十二 序列
1.觀察生活中常見的序列
2.發現數列的簡單規律 數量關係
在本研究中，研究者希望能將擬題教學活動，徹底地融入日常的 數學課堂之中，故在和教學者討論後，並請指導教授指正，將上，下 學期共二十四個單元，分別以不同的情境或方式，讓兒童進行擬題。
在了解三年級上、下學期數學教材各單元的教學目標之後，接下來我 們就 82 年國小課程標準數學科五大學習主題：數與計算、量與實測、
圖形與空間、統計圖表、數量關係等五個面向來加以分析探討：
一、數與計算
在國小三年級康軒版數學課本中，數與計算的部分在上學期有：
2000 以內的數；除法（一）（二）；三位數的加減；乘法；分數，六 個單元。在下學期有：10000 以內的數；加減直式；小數；乘和除；
小數的加減；兩步驟的四則問題，六個單元，合計共十二個單元。在 所有學習主題中所佔比例最重。國小數與計算教材所處理的內容其實 大多在於發展新計數單位。首先熟悉「1」單位的計數活動，再逐步 發展比「1」大的整數為新計數單位。待學童能熟悉若干個比「1」大 的新單位之一切有關活動後，再逐步發展比「1」小的新單位，如：
分數、小數。然後也發展若干個比「1」大的新單位與若干個比「1」
小的新單位混用所成的新單位，例如：帶分數、帶小數。
更進一步地，數與計算教材也發展「關係」為一新計數單位，例 如「3 枚郵票賣 20 元，12 枚郵票賣多少元？」，是為了幫助學童發展 把對等的兩量「3 枚郵票賣 20 元」這個關係，看成是一個新計數單 位，透過兩量同次數的累加，或同樣的等分割活動，以解決問題。這 樣對具有關係的兩量施予同方法的操作，即是把此關係看成為新計數 單位。（陳竹村、林淑君、陳俊瑜，2002）
國小數與計算教材除了藉以發展學童解決問題的能力之外，不斷 地發展新計數單位以為日後學習數學的基礎，亦是另一重要的目標。
