第四章 數值結果分析
4.2 懸臂平行四邊形薄板數值結果分析
到收斂頻率值，且此過程中常因程式發生ill-condition 而無法求得收斂 頻率值之缺失。故我們知道角函數能有效加速功能梯度懸臂平行四邊形薄 板自然振動頻率解之收斂速度。
4.2.1 數值結果分析
本節主要針對不同幾何參數a/b、h/b、β角 (參看圖 1.1)、不同材料參 數Et Eb 、ρt ρb 與不同體積比例階數n 之情況下，探討功能梯度懸臂平行 四邊
表4. 表4. 時
表 4.4為斜角 30°、45°、60°、75°，且分別對應h/b=0.01 與 0.05 的無因次化 頻率，其中，波松比
形板振動頻率之變化。在進行數值分析前，由前節收斂性分析數值結 果( 2與 3)得知，在斜角β＝60° ，採用多項式項數( I
× J )為 8×8 且
引入5 個角函數可在前五個振態得到三位有效數字之收斂解；在斜角β＝75° 時，項數為 11×11＋5 可得三位有效數字之收斂解，故此節所做之數值結 果，在斜角30°、45°、60° 時項數皆採用8×8＋5，75° 時則為11×11＋5 予以 求解。3 .
=0
υ
、a/b=1、ρt ρb =10。表 4.4與表 4.5之不同處在 於表(a) 當體積比例階數
4.5之邊長比a/b=2。以下將表 4.4與表 4.5之數值結果，觀察而得之現 象整理如下：
n、傾斜角
β 及厚度與邊長比 h/b 皆固定之情況下，懸
臂平行四邊形板之無因次化振動頻率值會隨板頂面與底面楊氏模數比b
t E
E 之增加而增加。其原因為勁度變大，故無因次化振動頻率值隨之 增加。
(b) 在固定楊氏模數比Et Eb 、傾斜角
β 及厚度與邊長比 h/b 之情況下，懸
臂平行四邊形板之無因次化振動頻率值將隨體積比例階數n
增加而增(c) 在固定楊氏模數比
加；此亦為勁度加大造成之現象。
、體積比例階數
n
及厚度與邊長比h/b 之情況
b
t E
E
下，懸臂平行四邊形板無因次化振動頻率值隨傾斜角
β 之增加而減
小。(d) 當楊氏模數比Et Eb 、體積比例階數
n
、與傾斜角β皆固定之情況下，在厚度與邊長比h/b由 0.01 增加為 0.05 後，懸臂平行四邊形板無因次化 振動頻率值最多只有小數後一位數之降低，並無顯著之變化；但發現 少數例外如下 (e) 點所示。
(e) 以表 4.4中Et Eb =2、 =5 之情況為例，斜角β = 30
n
°之前五個振態無因 次化頻率值在不同厚度比下都十分相似；斜角β =45°，在第五振態下厚 度比h/b=0.05 之頻率值 14.78 與h/b=0.05 之頻率值 17.92 相差甚多；斜 角β =60°，在第四振態下厚度比h/b=0.05 之頻率值 6.397 與h/b=0.01 之 頻率值 7.999 相差較大，且h/b=0.05 之第五振頻率值 7.924 與h/b=0.01 之第四振態頻率值7.999 較為接近；斜角β＝75°時，第二振態下厚度比h/b=0.01 頻率值 1.167 與h/b=0.05 之頻率值 1.067 相差較大，而與 h/b=0.05 之第三振態頻率值 1.172 較為接近，厚度比h/b=0.01 第三振態
頻率值2.307 與h/b=0.05 第四振態頻率值 2.262 較接近，厚度比h/b=0.01 第四振態頻率值3.438 與h/b=0.05 第五振態頻率值 2.922 又有較大之差 異。此現象是由於板厚度比h/b為 0.05 時，斜角β大於等於 45°之前五個 模態中，出現以面內振動為主之模態(可參閱下節之結果)。表4.6顯示斜角β＝60°、厚度比h/b=0.01、波松比
υ
=0.3、邊長比a/b=1 情況 下，改變楊氏模數比Et Eb 、體積比例階數n
及密度比ρt ρb 的無因次化頻 率。由表4.6之數值結果，將觀察之現象整理如下：於變數體積比例階數
n
(f) 與密度比ρt ρb 固定時，同(a)點之說明可看到無
因次化頻率隨楊氏模數比Et Eb 之增加而增加，但近一步發現當楊氏模 數比增加時，無因次化頻率之變化為線性。以
n
＝0.5、ρt ρb =2 為例：b
t E
E ＝5 的無因次化頻率值 1.840 約為Et Eb ＝2 無因次化頻率值 1.283 之 1.43 倍，且前五個模態無因次化頻率值皆有相同之倍數關係；而
b
t E
E ＝10 的前五個模態無因次化頻率值則皆約為Et Eb ＝2 無因次化 頻率值之1.94 倍。
(g) 接續(f)點，我們發現體積比例階數
n
相同時，改變密度比ρt ρb 並不影 響無因次化頻率隨楊氏模數比Et Eb 之增加之倍數關係。如當n
=0.5：b
t ρ
ρ =2、5、10 三情況下Et Eb ＝5 的前五個模態無因次化頻率值皆為
b
t E
E ＝2 之 1.43 倍，Et Eb ＝10 的前五個模態無因次化頻率值皆為
b
t E
E ＝2 之 1.94 倍；當
n
=2：ρt ρb=2、5、10 三情況下Et Eb ＝5 的前 五個模態無因次化頻率值皆為Et Eb ＝2 之 1.23 倍，Et Eb ＝10 的前五 個模態無因次化頻率值皆為Et Eb ＝2 之 1.48 倍；當n
=5：ρt ρb=2、5、10 三情況下Et Eb ＝5 的前五個模態無因次化頻率值皆為Et Eb ＝2 之 1.18 倍，Et Eb ＝10 的前五個模態無因次化頻率值皆為Et Eb ＝2 之 1.33 倍。
(h) 於變數體積比例階數
n
與楊氏模數比Et Eb 固定時，可發現無因次化頻 率值隨密度比ρt ρb之增加而減小，且無因次化頻率值之變化仍為線性 關係。以n
＝0.5、Et Eb =2 為例：ρt ρb＝5 的無因次化頻率值 0.865 約為ρt ρb ＝2 無因次化頻率值 1.283 之 0.67 倍，且其前五個模態之無 因次化頻率值皆為相同之倍數關係；ρt ρb ＝10 的前五個模態無因次化 頻率值則皆為ρt ρb ＝2 無因次化頻率值之 0.49 倍。表 4.7列出斜角β＝60°、波松比
υ
=0.3、邊長比a/b=1，改變楊氏模數比b 、體積比例階數
t E
E
n
及密度比ρt ρb的無因次化頻率。其與 較內 主 外
表 4.6之差異 在於厚度比由h/b=0.01 變為h/b=0.05。比 表 4.7與表 4.6，發現表 4.7仍如(e) 點所示出現以面 振動為 之模態。另顯示以面 振動為主之模態，在厚 度比改變情況下，無因次化頻率值之變化趨勢與線性倍數關係皆不變。由表 4.7觀察得到之結果可整理如下：
(i) 同(f)點，發現
n
與ρt ρb 固定時，第一、二、三及第五振態無因次化頻 率值與楊氏模數比Et Eb 為正比之線性關係且其改變之倍數相同。以n
＝0.5、ρt ρb=2 為例：表 4.7與表 4.6中， t b ＝5 的無因次化頻率值 皆為
E E
b
t E
E ＝2 之 1.43 倍；Et Eb ＝10 無因次化頻率值皆為 t b ＝2 之 1.94 倍。而在以面內振動為主之第四振態中，
E E
b
t ＝5 的無因次化頻 率值為
E E
b
t E ＝2 之 1.48 倍；
E Et Eb ＝10 無因次化頻率值為 t b ＝2 之 2.05 倍。
(j) 同
E E
前五個模態中(含面內與面外振動為主之模態)體積比例階數 (g)點，在
n
相同時，改變密度比ρt ρb並不影響無因次化頻率隨楊氏模數比 t b 而增加之倍數關係。(k) 同
E E
中(含面內與面外振動為主之模態)發現無因次化 (h)點，在前五個模態
頻率值與密度比ρt ρb 為反比之線性關係。以
n
＝0.5、Et Eb =2 為例：b
t ρ
ρ ＝5 的前五個振態無因次化頻率值約為ρt ρb＝2 之 0.67 倍；ρt b
＝10 的前五個振態無因次化頻率值則皆約為ρt ρb ＝之0.49 倍。
ρ
4.2.2 節點線圖與變形圖
圖4.1為類似齊性懸臂平行四邊形板之節點線圖，圖 4.2a、圖 4.3a與圖 4.4a 則為
似齊性板之參數，斜角β＝30°、45°、60°、75°懸臂平行 四邊
功能梯度懸臂平行四邊形板之節點線(nodal line)圖。節點線的繪製是以 平板振動時，w方向位移量為 0 之點的連線，可顯示面外(out-of-plane)方向 之振動情況。
圖4.1繪製表 4.1中近
形板，前五個振態之節點線圖； 圖 4.2a繪製 表 4.4中楊氏模數比
b
t E
E =2、體積比例階數n =5，斜角β＝30 、45°、60 、75 且分別對應厚度 與邊長比h/b=0.01 與 0.05 懸臂平行四邊形板，前五個振態之節點線圖；
° ° °
圖 4.3a繪製固定斜角β＝60°、邊長比a/b=1，不同楊氏模數比Et Eb 與體積比 例階數n及其對應不同厚度與邊長比之情況；圖 4.4a與圖 4.3a 者為考 慮邊長比a b＝2。
瞭解面外的振動情
不同
/
況後，以面內(in-plane)變形圖探討振動後平面內之 變化
圖
3
h/b= 0.05，斜
角β= ° °
°
。圖 4.2b、圖 4.3b與圖 4.4b為懸臂平行四邊形板面內之變形圖。面內 變形圖是在平板振動時，將u、v方向變化量以最大特徵向量
W 正規化後
max 同乘一放大倍數，得到振動變形後座標值予以繪製。圖 4.2b、 4.3b與圖 4.4b繪製對應圖 4.2a、圖 4.3a與圖 4.4a情況之變形圖，其中圖 4.2b與圖圖 4.3b經正規化後使用放大係數為 1×104，圖 4.4b為 1 ×10 。觀察表4.4、表 4.5及圖 4.1~圖 4.3，發現在厚度與邊長比
45 的第五振態、斜角β = 60
°的第四振態與斜角β = 75 的第二、五振態 出現異常：面外節點線圖與無因次化頻率在此四處跟h/b= 0.01 之情況無法 對應(如圖 4.2b中，斜角β=45 之第五振態，h/b=0.01 之頻率值為 17.92，h/b=0.05 之頻率值為 14.78，節點線圖也有明顯差異)；而面內變形圖在此
二處也出現明顯變形。由此現象，吾人可推斷異常處為面內振態(in-plane mode)之影響，即板厚度增加時，前五個振態中會顯現以面內振動為主之 情況。故相對來說，在板厚度愈薄時，面內與面外扭轉及彎矩之耦合現象 愈不明顯。
對應表 4.4及圖 4.1 ~圖 4.3可觀察到，在邊長比a/b＝1，楊氏模數比
b 、體積比例階
t E
E
n
與密度比ρt ρb皆固定之情況下；當斜角β = 30°時，並 內振動為主之 態出現； 45°，厚寬比h/b=0.05 之第五個振態即 為面內振動為主之模態；β＝60
°時，厚寬比h/b=0.05 之第四振態為面內振動 為主之模態；β＝75°時，h/b=0.05 之第二振態與第五振態皆為以面內振動 為主之模態。無以面 模 當β＝
表4.5與圖 4.4顯示變數a/b＝2，Et Eb 、
n
與ρt ρb 皆固定之情 況下；以面內振動為主之模態出現在厚寬比h/b=0.05，斜 β＝45 四振 態、斜角β＝60°之第三振態與斜角β＝75°之第二振態及第五振態。角 °之第