1.1 研究動機與方法
功能梯度材料(Functionally graded materials)是由不同成分組成的複合 材料，例如陶瓷與金屬以特定比例混合以達成力學性質之特殊要求；其中 陶提供低密度、高強度與耐熱性，而金屬材料則提供陶器缺乏之硬度以避 免破壞。
功能梯度材料最初約於1984 年因其耐熱特性被引入航太、能源等相關 工業中。有別於傳統複合層狀材料，功能梯度材料之物質特性在厚度方向 變化具連續性，即在此方向為非齊性。此特性可減少或避免傳統複合材料 因材料性質不連續，而在界面或層間形成應力集中或應力不連續之現象，
導致層狀破壞脫離之缺點。
功能梯度材料因具有良好耐熱性與極佳硬度，常被使用於各類結構元 件，在結構工程相關應用中，振動問題相當常見且重要；因此，為能更適 當地使用功能梯度材料，研究其振動行為是必須的。
板結構常因(1)材料性質之陡變(如複合材料) (2)幾何形狀不連續(如裂 縫尖銳切角或邊界條件) (3)載重點處(如集中力或載重強度驟變)……等原 因面臨應力奇異(singularity)之問題(England【1】;Leissa【2】)。當分析之結 構元件含奇異應力時，須找出可正確描述該奇異應力特性之漸近解，方能 得到準確之收斂數值解。
本文以古典薄板理論為基礎，針對懸臂斜形板問題(參看圖 1.1)，於允 許函數(admissible function)序列中，引進由Huang與Chang【3】所得之漸近 解，此漸進解用以描述懸臂斜形板固定端re-entrant角處之應力奇異(stress singularity)行為，再以Ritz法探討具有幾何應力奇異性板之振動行為。由於 Huang與Chang【3】所推導之漸近解能正確描述邊界條件所引起之奇異特 性，故可加速數值解收斂的特性，以求得準確之數值解。
1.2 文獻回顧
由於懸臂斜形板在航空器之廣泛應用，探討該類板之振動特性相當重 要。因其無解析解，故需使用數值方法(如有限元素法、有限差分法或 Ritz 法)求解。
分析薄板振動問題，當以利用古典薄板理論最為方便。但由於古典薄 板理論要求 1-type之形狀函數，故很少利用有限元素法進行分析。Barton
【4】利用古典薄板理論與Rayleigh-Ritz法，以樑特徵方程式近似位移函 數，最早獲得懸臂斜形板近似解，而Claassen【5-6】採取Fourier-sine級數之 方法，連結Rayleigh-Ritz法，延伸Barton【4】之研究。關於懸臂板自由振動 之相關理論由Hall與其同事【7 - 8】提出，藉由使用靜止方程式(station function)求解。Beres與Bailey【9】使用Ritz法，以冪級數多項式模擬位移方 程式，針對懸臂斜形板之自由振動頻率，探究斜形板邊長比與斜角之影 響。Nagaraja【10】探討懸臂三角形板尖端處移動對自然振動頻率之影響。
以斜三角形座標為基底使用Ritz法建構近似之能量方程式，使用樑函數假 設位移函數，Nagaraja計算上邊界(upper bounds)兩內角皆為 90°之懸臂梯形 板，其第一與第二振態自然振動頻率。Srinivasan與Babu【11】以斜四邊形
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另外，McGee【12 - 13】等人為了獲得更精確的懸臂斜形薄板振動頻率，
於數值近似法中引入應力奇異函數：文獻【12】使用允許角函數(admissible corner function)連接數學上完整之多項式函數之效應，以大量懸臂斜平行四 邊形板之Ritz收歛性表格證明。文獻【13】以Ritz法討論準確之懸臂斜形薄 板自然振動頻率，結合古典薄板理論與數學上完整之幾何多項式假設側向 位移函數及角函數(說明reentrant角處彎曲應力之奇異行為)。二文獻延伸該 方法至含括平面梯形與三角形板之斜形板，是首度探討此類板在reentrant 角處引入應力奇異性之振動分析，針對梯形板提出大量且準確之無因次化 頻率圖表，藉以表示邊長比、弦長比及斜角角度之效應。並提出懸臂斜形 板振動頻率隨斜角增加，且隨邊長與弦長比遞減之重要結論。
針對功能梯度板之振動現象，目前已有許多論文被提出：Yang 及 Shen 14】論述具起始應力(initially stressed)功能梯度矩形薄板動力反應(dynamic response)之相關研究，以古典薄板理論為基礎，引入一維微分求積近似 (one-dimensional differential quadrature approximation)與Galerkin法，探討邊 界條件為兩端固定，另兩側由固定端、簡支承或彈性支承組合之矩形薄板 自由振動分析，並帶入討論體積比例參數、基礎勁度、板邊長比與平面內 載重等變數之效應。Woo【15】等人探討功能梯度矩形薄板的非線性自由振 動行為，以von Karman 理論針對大側向位移獲得功能梯度矩形薄板之基礎 方程式，並依據Fourier 級數求解。此篇文獻討論功能梯度板振動行為中物
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上述文獻中，並無考慮應力奇異性之影響，但針對功能梯度材料板振 動實際應用之分析，其應力奇異性影響甚劇必須被考慮。故本文以邊界條 件造成之應力奇異性為出發，參考Huang與Chang【3】中描述應力奇異性之 漸近解，期望本文在數值解中能有更佳之準確性與收斂性。
1.3 內容概要
本論文共分為五章，其內容如下：
第一章 說明本文研究動機與目的，提出相關文獻之回顧並指出研究之方 法與內容。
第二章 簡述於古典薄板理論中，引入Huang和Chang【3】推導之漸近解，
得符合懸臂斜形薄板邊界條件奇異性之角函數。
第三章 以 Ritz 法建構懸臂斜形板之振動分析，列出 Ritz 法所需之能量式與 允許函數，求取自然振動頻率。
第四章 以懸臂平行板與梯形板為例，探討奇異性函數對板自然振動頻率 收斂性之差異，並探討功能梯度斜形板不同幾何參數與材料特性
第五章 本研究之結論與建議。