懸臂梯形板數值結果分析

4.4.1 數值結果分析 下：

觀察每一振態

5 個角函數之頻率值，發現項數為 9×9 加 10 個角函數之前五個振態頻 率值皆具至少3 位有效位數收斂之精確度。

(b) 以( I

× J )為 8×8 加 1 個角函數(總項數：192 項多項式加

準，比較 8×8 加 5 個角函數(比基準多 12 項角函數)與 9×9 加 1 個角函 數(比基準多 51 項多項式)減少量之百分比，減少量在第一個振態分別 為 1.01%及 0.30%，在第二個振態皆為 0.02%，在第三個振態為 3.82%

及 1.20%，在第四個振態為 0.85%及 0.28%，在第五個振態為 0.67%及 0.20%。明顯可看出增加角函數項數所降低之百分比大於增加多項式 項數之減少量。而且，在前三個振態中，項數為5×5+10 得到之頻率值 皆較 9×9+0 獲得之頻率之為低。由此可知，角函數對於梯形板收斂性 之影響較多項式更為顯著，能有效加速梯形板自然振動頻率解之收斂 速度。

本節主要針對弦長比

/b＝0.5

懸臂梯形板，探討幾何參數(a/b、

h/b、β)與材料參數(

c

之

b

t E

E 、^ρ_t ^ρ_b 、

n

)改變之情況下，懸臂平行功能梯度 板無因次化振動頻率之趨勢。此處仍採用收斂性分析(表 4.8)數值結果，以 允許函數中多項式項數(I

× J)為 8×8 且角函數項數

Nc＝5 之情況作為數值分 析 之 依 據 。 表 4.10為梯 形 板 斜 角 30^°、45^°、60^°， 在 波 松 比

υ

=0.3 、

c/b=0.5、a/b=1、

ρT ρb=10 情況下，對應不同楊氏模數Et Eb =2 與 5、體積 比例階數n =5 或 10、不同斜角β =30^°、45^°、60^°，與不同厚度與邊長比

h/b=0.01 與 0.05 之無因次化頻率。由表 4.10中觀察之數值結果現象如下：

(a) 與懸臂平行四邊形板相似，納入考慮體積比例階數ⁿ、斜角β、厚度與 邊長比h/b及楊氏模數比ET Eb 四變數之情況，在只改變楊氏模數比

b

T E

E 或體積比例階數n時，平行四邊形板與梯度板因勁度上升，使無 因次化振動頻率值皆隨變數之增加而增加；只針對傾斜角

β做更動

時，二類板扭曲與彎矩之耦合現象增大，使無因次化頻率隨斜角β之增 加而減小；只考慮厚度與邊長比h/b之改變時，厚度增加只對懸臂梯形 板無因次化振動頻率值造成小幅度之減少(少數例外如後方 (a) 點所 述)。

(b) 梯形板與平行四邊形板相似，在某些固定情況下出現無因次化頻率值 異常現象(即 (a) 點提及之例外)。出現異常之情況如下：斜角 β = 30^° 且對應厚度與邊長比

h/b＝0.05 之第五個振態；斜角 β = 45

^°且

h/b＝0.05

之第四個振態及斜角

β=60

^°且

h/b=0.05 之第三個振態。此現象仍顯示厚

度與邊長比

h/b＝0.05 時，β＝30

^°、45^°及 60^°之前五個模態中，有以面 內振動為主者出現。

4.4.2 節點線圖與變形圖

圖 4.5a與圖 4.6a為懸臂梯形板之節點線圖，圖 4.5a繪製表 4.10中楊氏模數 比^E_t ^E_b =2、體積比例階數ⁿ =5、弦長比c/b=0.5、邊長比a/b=1，斜角為 30°、45°、60°且對應厚度與邊長比h/b=0.01 及 0.05 之情況。

圖4 a繪製斜角固定為 60°，不同楊氏模數比、體積比例階數及對應不.6 同厚度與邊長比之節點線圖；圖4.5b、圖 4.6b則為對應圖 4.5a、圖 4.6a 中 同參數之變形圖。其使用之放大係數為1×10⁵倍。

綜觀表 4.9與圖 4.5～圖 4.6，可發現梯形板振態隨角度增加趨向複雜 化。另外，在圖 4.6 中，厚度與邊長比h/b=0.05，斜角β=30^°的第五振態、

斜角β=45^°的第四振態與斜角

β=60

^°的第三振態出現異常，其異常情況如 下：節點線圖與h/b=0.01 之情況無法對應，而變形圖在此三處出現明顯面 內之變形。由此可知懸臂梯形板在此三處出現面內振動為主者。此情況 下，比較平行四邊形板與梯形板，發現平行四邊形板最先在斜角β=45^°之 第五個振態出現，而梯形板則在斜角β=30^°之第五個振態出現，可知斜形 板在幾何圖形較複雜之情況下，其無因次化頻率更容易出現以面內振動為 主之振態，亦即面內與面外扭曲及彎矩耦合情況愈大。

在文檔中 奇異應力之功能梯度懸臂斜形薄板振動分析 (頁 45-48)