奇異應力之功能梯度懸臂斜形薄板振動分析

國 立 交 通 大 學

土木工程學系碩士班

碩 士 論 文

奇異應力之功能梯度懸臂斜形薄板

振動分析

Vibrations of Cantilevered Thin Skewed FGM Plates

with Stress Singularities

研 究 生：林 佳 穎

指導教授：黃 炯 憲 博士

奇異應力之功能梯度懸臂斜形薄板

振動分析

研究生：林佳穎 指導教授：黃炯憲 博士

國立交通大學土木工程學系碩士班

摘 要

本文探討在功能梯度材料下，具應力奇異性之懸臂斜形薄板之自然振 動頻率分析。將一完整且符合邊界條件之多項式函數，結合Huang與Chang 【3】中推得可描述懸臂固定端re-entrant角處應力奇異行為之漸近解引入允 許函數，以Ritz法與古典薄板理論求解自然振動無因次化頻率值。此引入 之漸近解能正確描述邊界條件引起之應力奇異行為，加速數值結果之收 斂。以懸臂平行四邊形薄板與懸臂梯形薄板為分析之案例，特別以懸臂斜 角上升造成應力奇異階數增加之情況為主要分析重點。另討論此二類幾何 形狀之懸臂斜形板，對於幾何、材料性質等相關參數造成自然振動頻率分 析數值解之影響。

Vibrations of Cantilevered Thin Skewed FGM Plates

with Stress Singularities

Student:Chia-Ying Lin Adviser: Dr .

Chiung

-Shiann Huang

Department of Civil Engineering

National Chiao-Tung University

Abstract

This study investigates the vibration behaviors of cantilevered functionally graded material (FGM) skewed plates via the Ritz method. Since an FGM plate is nonhomogeneous in the thickness direction, out-of-plane displacement of such plate is coupling with its in-plane displacement components. The complicated stress singularities at the reentrant corner are properly taken into account by adding cornerfunctions into the admissible functions in the Ritz method.The corner functions are derived from the asymptotic solutions of a sectorial FGM plates without loading. Comprehensive convergence studies on the nondimensional frequency parameters demonstrate that the corner functions indeed accelerate the convergence of the numerical solutions, especially for plates with large skew angles. Numerical results with the accuracy of at least three digits are presented for plates with a trapezoidal shape and a parallelogram shape and having two different thickness ratios and various skew angles. Nodal patterns are also given to further exhibit the vibration behaviors of FGM plates. The effects of nonhomogeneity of material properties on vibrations of FGM plates are also investigated.

致 謝

研究與寫論文的過程，是一種全新階段的學習，感謝黃炯憲老師的悉 心指導，使我在交大研究所的生活，過的相當豐富且充實，最後能順利完 成論文。 感謝口試委員洪士林教授、劉俊秀教授、鄭復平副教授對本論文的指 教，讓我能改善不足之處，使論文更趨於完整。另外也感謝交大諸位老師 在課業與觀念上的指導，讓學生受惠無窮。 除了黃炯憲老師的悉心教導，就讀博士班的明儒學長亦給予我相當多 的指導與協助，讓我由衷感激，且能與明儒學長、威智學長、連杰學長、 存峰學長、志偉學長、加地學長、慎謙學長、宇祥學長、同窗增尉、勝彥、 嘉宜以及學弟仲維、昱成、靖俞、政淵、榕師一起在生活和課業中成長學 習、相互激勵，更是相當幸運。另外在交大結交的好友芯芸、東庭、家銘 和學妹欣瑜、宜容，更讓我對交大的生活充滿回憶。 最後感謝我的家人，有你們的支持與鼓勵，才讓我能順利度過目前人 生所接觸之階段與過程，感謝你們！

目 錄

中文摘要... i 英文摘要...ii 致 謝 ...iii 目 錄 ... iv 表 目 錄 ...vii 圖 目 錄 ...viii 第一章 緒論... 1 1.1 研究動機與方法... 1 1.2 文獻回顧... 2 1.3 內容概要... 4 第二章 奇異漸近解之推導... 6 2.1 基本公式... 6 2.1.1 功能梯度材料... 6 2.1.2 位移場... 6 2.1.3 力與位移函數關係式... 7 2.2 奇異性之漸近解... 10 2.3 邊界條件、特徵方程式與角函數... 13

2.3.1 邊界條件... 13 2.3.2 特徵方程式與角函數... 14 第三章 懸臂斜形薄板振動分析... 16 3.1 功能梯度懸臂斜形薄板之應變能與動能... 16 3.1.1 位移、應力與應變之關係... 16 3.1.2 功能梯度懸臂板之應變能... 17 3.1.3 功能梯度懸臂板之動能... 19 3.2 以Ritz法求取自然振動頻率... 20 3.2.1 Ritz法... 20 3.2.2 質量矩陣與勁度矩陣... 22 3.3 允許函數... 24 3.3.1 邊界條件... 24 3.3.2 角函數... 25 第四章 數值結果分析... 27 4.1 懸臂平行四邊形薄板收斂性分析... 27 4.2 懸臂平行四邊形薄板數值結果分析... 29 4.2.1 數值結果分析... 30 4.2.2 節點線圖與變形圖... 33 4.3 懸臂梯形板收斂性分析... 35

4.4 懸臂梯形板數值結果分析... 36 4.4.1 數值結果分析... 36 4.4.2 節點線圖與變形圖... 38 第五章 結論... 39 5.1 結論... 39 5.2 建議... 40 參考文獻... 41 附表... 44 附圖... 56

表目錄

表2.1 線性代數方程組之係數... 44 表4.1 近似齊性平行四邊形板無因次化頻率(ωl2 ρbh Db ) 之收斂性分析(β=60°) ... 46 表4.2 功能梯度懸臂平行四邊形板無因次化頻率(ωl2 ρbh Db ) 之收斂性分析(β=60°) ... 47 表4.3 功能梯度懸臂平行四邊形板無因次化頻率(ωl2 ρbh Db ) 之收斂性分析(β=75°)... 48 表4.4 功能梯度懸臂平行四邊形板無因次化頻率(ωl2 ρbh Db )... 49 表4.5 功能梯度懸臂平行四邊形板無因次化頻率(ωl2 ρbh Db )... 50 表4.6 功能梯度懸臂平行四邊形板無因次化頻率(ωl2 ρbh Db )... 51 表4.7 功能梯度懸臂平行四邊形板無因次化頻率(ωl2 ρbh Db )... 52 表4.8 功能梯度懸臂梯形板無因次化頻率(ωl2 ρbh Db ) 之收斂性分析(β=60°) ... 53 表4.9 功能梯度懸臂梯形板無因次化頻率(ωl2 ρbh Db ) 之收斂性分析(β=75°) ... 54 表4.10 功能梯度懸臂梯形板無因次化頻率(ωl2 ρbh Db )... 55

圖目錄

圖1.1 斜形板示意圖... 56 圖2.1 薄斜板之座標系統與位移場示意圖... 56 圖3.1 卡氏座標和極座標之轉換關係... 57 圖4.1 不同斜角之類齊性平行四邊形板面外節點線圖... 58 圖4.2a 不同斜角與厚度之平行四邊形板面外節點線圖... 59 圖4.2b 不同斜角與厚度之平行四邊形板面內變形圖... 60 圖4.3a 不同參數與厚度之平行四邊形板面外節點線圖... 61 圖4.3b 不同參數與厚度之平行四邊形板面內變形圖... 62 圖4.4a 不同參數與厚度之平行四邊形板面外節點線圖... 63 圖4.4b 不同參數與厚度之平行四邊形板面內變形圖... 64 圖4.5a 不同斜角與厚度之梯形板面外節點線圖... 65 圖4.5b 不同參數與厚度之梯形板面內變形圖... 66 圖4.6a 不同參數與厚度之梯形板面外節點線圖... 67 圖4.6b 不同參數與厚度之梯形板面內變形圖... 68

第一章 緒論

1.1 研究動機與方法

功能梯度材料(Functionally graded materials)是由不同成分組成的複合 材料，例如陶瓷與金屬以特定比例混合以達成力學性質之特殊要求；其中 陶提供低密度、高強度與耐熱性，而金屬材料則提供陶器缺乏之硬度以避 免破壞。 功能梯度材料最初約於1984 年因其耐熱特性被引入航太、能源等相關 工業中。有別於傳統複合層狀材料，功能梯度材料之物質特性在厚度方向 變化具連續性，即在此方向為非齊性。此特性可減少或避免傳統複合材料 因材料性質不連續，而在界面或層間形成應力集中或應力不連續之現象， 導致層狀破壞脫離之缺點。 功能梯度材料因具有良好耐熱性與極佳硬度，常被使用於各類結構元 件，在結構工程相關應用中，振動問題相當常見且重要；因此，為能更適 當地使用功能梯度材料，研究其振動行為是必須的。 板結構常因(1)材料性質之陡變(如複合材料) (2)幾何形狀不連續(如裂 縫尖銳切角或邊界條件) (3)載重點處(如集中力或載重強度驟變)……等原 因面臨應力奇異(singularity)之問題(England【1】;Leissa【2】)。當分析之結 構元件含奇異應力時，須找出可正確描述該奇異應力特性之漸近解，方能 得到準確之收斂數值解。

本文以古典薄板理論為基礎，針對懸臂斜形板問題(參看圖 1.1)，於允 許函數(admissible function)序列中，引進由Huang與Chang【3】所得之漸近 解，此漸進解用以描述懸臂斜形板固定端re-entrant角處之應力奇異(stress singularity)行為，再以Ritz法探討具有幾何應力奇異性板之振動行為。由於 Huang與Chang【3】所推導之漸近解能正確描述邊界條件所引起之奇異特 性，故可加速數值解收斂的特性，以求得準確之數值解。

1.2 文獻回顧

由於懸臂斜形板在航空器之廣泛應用，探討該類板之振動特性相當重 要。因其無解析解，故需使用數值方法(如有限元素法、有限差分法或 Ritz 法)求解。 分析薄板振動問題，當以利用古典薄板理論最為方便。但由於古典薄 板理論要求 1-type之形狀函數，故很少利用有限元素法進行分析。Barton 【4】利用古典薄板理論與Rayleigh-Ritz法，以樑特徵方程式近似位移函 數，最早獲得懸臂斜形板近似解，而Claassen【5-6】採取Fourier-sine級數之 方法，連結Rayleigh-Ritz法，延伸Barton【4】之研究。關於懸臂板自由振動 之相關理論由Hall與其同事【7 - 8】提出，藉由使用靜止方程式(station function)求解。Beres與Bailey【9】使用Ritz法，以冪級數多項式模擬位移方 程式，針對懸臂斜形板之自由振動頻率，探究斜形板邊長比與斜角之影 響。Nagaraja【10】探討懸臂三角形板尖端處移動對自然振動頻率之影響。 以斜三角形座標為基底使用Ritz法建構近似之能量方程式，使用樑函數假 設位移函數，Nagaraja計算上邊界(upper bounds)兩內角皆為 90°之懸臂梯形 板，其第一與第二振態自然振動頻率。Srinivasan與Babu【11】以斜四邊形 c

另外，McGee【12 - 13】等人為了獲得更精確的懸臂斜形薄板振動頻率， 於數值近似法中引入應力奇異函數：文獻【12】使用允許角函數(admissible corner function)連接數學上完整之多項式函數之效應，以大量懸臂斜平行四 邊形板之Ritz收歛性表格證明。文獻【13】以Ritz法討論準確之懸臂斜形薄 板自然振動頻率，結合古典薄板理論與數學上完整之幾何多項式假設側向 位移函數及角函數(說明reentrant角處彎曲應力之奇異行為)。二文獻延伸該 方法至含括平面梯形與三角形板之斜形板，是首度探討此類板在reentrant 角處引入應力奇異性之振動分析，針對梯形板提出大量且準確之無因次化 頻率圖表，藉以表示邊長比、弦長比及斜角角度之效應。並提出懸臂斜形 板振動頻率隨斜角增加，且隨邊長與弦長比遞減之重要結論。 針對功能梯度板之振動現象，目前已有許多論文被提出：Yang 及 Shen 14】論述具起始應力(initially stressed)功能梯度矩形薄板動力反應(dynamic response)之相關研究，以古典薄板理論為基礎，引入一維微分求積近似 (one-dimensional differential quadrature approximation)與Galerkin法，探討邊 界條件為兩端固定，另兩側由固定端、簡支承或彈性支承組合之矩形薄板 自由振動分析，並帶入討論體積比例參數、基礎勁度、板邊長比與平面內 載重等變數之效應。Woo【15】等人探討功能梯度矩形薄板的非線性自由振 動行為，以von Karman 理論針對大側向位移獲得功能梯度矩形薄板之基礎 方程式，並依據Fourier 級數求解。此篇文獻討論功能梯度板振動行為中物 【

上述文獻中，並無考慮應力奇異性之影響，但針對功能梯度材料板振 動實際應用之分析，其應力奇異性影響甚劇必須被考慮。故本文以邊界條 件造成之應力奇異性為出發，參考Huang與Chang【3】中描述應力奇異性之 漸近解，期望本文在數值解中能有更佳之準確性與收斂性。

1.3 內容概要

本論文共分為五章，其內容如下： 第一章 說明本文研究動機與目的，提出相關文獻之回顧並指出研究之方 法與內容。 第二章 簡述於古典薄板理論中，引入Huang和Chang【3】推導之漸近解， 得符合懸臂斜形薄板邊界條件奇異性之角函數。 第三章 以 Ritz 法建構懸臂斜形板之振動分析，列出 Ritz 法所需之能量式與 允許函數，求取自然振動頻率。 第四章 以懸臂平行板與梯形板為例，探討奇異性函數對板自然振動頻率 收斂性之差異，並探討功能梯度斜形板不同幾何參數與材料特性

第二章 奇異漸近解之推導

由於板幾何之急遽改變(如尖角)，常造成該處之剪力或彎矩無限大； 為引入描述彎矩與剪力奇異性之角函數(corner function)於完備允許函數序 列中，本章依Huang和Chang【3】推導本研究所須之角函數。

2.1 基本公式

2.1.1 功能梯度材料 功能梯度材料板之特點為材料性質隨厚度改變，其材料彈性參數可表 示成 ， ， (2.1a) G V G z G( )= _b + Δ E(z)=E_b +VΔE 其中 ， (2.1b) n h z V ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = 2 1 E、 分別為彈性與剪力模數，V 為體積比例參數(volume fraction variation)表示式， 為厚度方向座標， 為體積比例階數(非負值)、 為板 總 厚 度 ， 、 則 為 底 部 與 頂 面 材 料 性 質 之 差( 、 ，其中 、 定義為板底面材料性質， 、 定義為板頂面材 料性質)。 G z n h E Δ ΔG ΔE =Et −Eb b t G G G= − Δ E_b G_b E_t G_t 2.1.2 位移場 功能梯度材料之材料特性只隨板厚度方向(z 方向)變化，故本文考慮之 斜形板只在厚度方向為非齊性(non-homogeneous)。以古典薄板理論為基

r r r r zw u z r u( ,

θ

, )= ( ,

θ

)− _, ， (2.2a) θ θ

θ

θ

, ) ( , ) _, , ( w_r r z r v z r v = − ， (2.2b) ， (2.2c) ) , ( ) , , (rθ z w r θ w = _r 其中 、 及 分別為 、 、 向之位移分量， 、 及 分別為平板中平 面(midplane)於 、 及 向之位移，而下標”,j”代表對自變數 j 偏微。 u v w r

θ

z ur vθ wr r

θ

z 2.1.3 力與位移函數關係式 引入以下內力與應力關係：

∫

− = 2 2 ) , , , , ( ) , , , , (N_r N_θ N_rθ Q_r Q_θ h_h σ_rr σ_θθ σ_rθ σ_rz σ_θz dz _{， (2.3a)}

∫

− = 2 2 ) , , ( ) , , (M_r M_θ M_rθ h_h z σ_rr σ_θθ σ_rθ dz _{， (2.3b)} 式中 是各方向應力； 、 及 分別為 方向單位長度之軸力、剪

力與彎矩。使用最小勢能原理(stationary potential energy)，可得無外力作用 之平衡方程 ij

σ

N_β Q_β M_β β 0 / ) ( , , +N r+ N −N r= Nrr rθθ r θ ， (2.4a) 0 / 2 , , +N r+ N r= Nrθr θθ rθ ， (2.4b) 0 / , , +Q r+Q r= Qrr θθ r ， (2.4c) 0 / ) ( , ,r + r + r − − r = r M r M M r Q M θθ θ ， (2.4d)

0 / 2 , , + θθ + θ − θ = θ M r M r Q Mr r r ， (2.4e) 及於

θ

=

α

的邊界條件須界定 r u or Nrθ 、 vθ or Nθ 、 wr,θ or Mθ 、wr or Vθ 其中θθ=Vθ =Qθ +Mrθ,θ；而沿r =R之邊界條件須界定 r u or Nr 、 vθ or Nrθ 、 wr,r or Mr 、 wr or Vr 其中 θ,θ=。 1 r r r M r Q V = + 依式(2.3)之定義，並利用線彈性之應力-應變關係，可將內力 (stress results)以位移函數表示如下： θθ θ θ 2 , 1 , 1 , 1 , 0 , 0 0 r rr r r r r r r r w r D w E w r D v r D u E u r D N = + + − − − ， (2.5a) θθ θ θ θ 2 , 1 , 1 , 1 , 0 , 0 0 r rr r r r r r r w r E w D w r E v r E u D u r E N = + + − − − ， (2.5b) θ θ θ θ θ θ r r r rr r w r G w r G v G v r G u r G N 1 _, , 2 1 , 0 0 , 0 _{− + +} 2 ₋2 = ， (2.5c) θθ θ θ 2 , 2 , 2 , 2 , 1 , 1 1 r rr r r r r r r r w r D w E w r D v r D u E u r D M = + + − − − ， (2.5d) θθ θ θ θ 2 , 2 , 2 , 2 , 1 , 1 1 r rr r r r r r r w r E w D w r E v r E u D u r E M = + + − − − ， (2. 5e) θ θ θ θ θ θ r r r rr r w r G w r G v G v r G u r G M 2 _, , 2 2 , 1 1 , 1 _{− + +}2 ₋2 = ， (2. 5f) ) ( ) ( , 1 _{, 1 2}, , 2 , 1 , 2 1 r v r v G v r D r u r u u E u r G Q r rr _r r rr r r r θ θ θ θ θ θ θθ + − + + + − + = ) ( ) 2 2 ( ,₂ 3 , 2 2 , 3 , 2 , 2 1 r w r w D r w r w G v r E rθθ rrθθ rθθ rrθθ θ θ + − + − −

) ( , _, 2 , 3 , 2 rrrr rr r r r r _w r w r w r w E + − − + θθ _{， (2.5g)} ) ( ) ( 1 _{, 1 2} , _, , 2 1 , 2 , 1 rr r r r r r r r v r v r v G u r D u r E r u r u G Q_θ = θ + θ + _θ + _θ + − θ + θ + _θ θ θ θθθ θ θθ θ rrr r r r rr r w r D r w r w E w r G v r E , 2 2 , 3 , 2 , 2 , 2 1 ₋2 _{− ( + )−} + ， (2.5h) 其中， dz z E E h h i i =

∫

₋2 ₋ 2 2 1 υ , G Gz dz h h i i =

∫

₋2 2 , D E z dz h h i i =

∫

₋2 ₋ 2 2 1 υ υ ， (2.6)

G、E、

υ

皆為 z 之函數且分別為剪力模數(shear modulus)、彈性模數

(young’s modulus)及浦松比(poisson’s ratio)。

將式(2.5a)~(2.5c)與式(2.5g)~(2.5h)代入式(2.4a)~(2.4c)，可得到以位移 函數表示之平衡方程式： ) ( ) ( ₂ , _{, 2}, _{1 2}, , _, ,₃ 0 r w w r w r w E r v u r u r u E ₋ r ₊ rr _{+ rrr −} θθ ₊ rr ₋ rrr _{− rrrr +} rθθ ) ( ) ( ) ( , ,₂ 2 , 0 2 , 3 , 1 , 0 r u r v r v G r w r w D r v D θ rθ ₊ rθθ ₋ rrθθ _{+ −} θθ ₊ θrθ ₊ rθθ + 0 ) 2 2 ( ₃, ₂, 1 − = + r w r w G rθθ rrθθ ， (2.7a) ) ( ) ( ) ( ) ( , 1 , 0 3 , 2 , 1 2 , 2 , 0 r w D r u D r w r w E r v r u E ₋ rθ ₊ θθθ _{+ −} rrθ ₋ rθθθ ₊ rrθ _{+ −} rrrθ 0 ) 2 ( ) ( ₂ , _{, 2}, , ₁ , 0 + + + + + − = − + r w G r u r u v r v r v G θ θr _θrr rθ rrθ rrrθ ， (2.7b) ) 2 ( , ₃ , , , 2 , , 3 , 1 r v u u r u r v u r v u E r rrr r rr r r r r r + θθ ₋ + θ θ _{+ + +} θθ + θθθθ ) 2 2 ( ₃, ₂, ₄, , ,_{4 ,} 2 rrrrr r rrr r r rr r r r w r w r w r w r w r w E − + − − − − + θθ θθθθ

) 2 2 2 ( ) ( ,₂ 3 , 4 , 2 2 , , 1 r w r w r w D r u r v D θrrθ ₊ rrθθ _{+ −} rθθ ₊ rrθθ ₋ rrrθθ + 0 ) 4 4 4 ( ) 2 2 ( , ₂, _{2 4}, ₃, ₂, 1 + + − + − = + r w r w r w G r u r v G θ rrθ rrθθ rθθ rrθθ rrrθθ ， (2.7c) 從式(2.7)可明顯看出，平面內位移分量(in-plane) 及 與平面外位移 (out-of-plane)具耦合現象。 r u v_θ

2.2 奇異性之漸近解

利用分離變數觀念，式(2.7)之齊性解(homogeneous solution)可被假設 為 ) ( ) ( ) , ( θ _{u r} θ r r r U u =Ω _， ) ( ) ( ) , ( θ _θ θ θ r r V v =Ω_{v ， (2.8)} ) ( ) ( ) , ( θ _{w r} θ r r r W w =Ω _， 以 Frobenius 級數解之觀念，我們可將r函數以冪級數表示，式(2.8)則 可進一步寫為 ) , ( ) , ( 1 , 0 λ θ θ λ rn n n r r r U u

∑

= + = _， ) , ( ) , ( 1 , 0 λ θ θ λ θ θ n n n_V r r v

∑

= + = _{， (2.9)} ) , ( ) , ( 1 , 0 1 _{θ λ} θ λ rn n n r r r W w

∑

= + + = _， 其 中

λ

可 以 是 複 數 。 為 滿 足r 趨 近 於 零 處 位 移 分 量 之 正 規 性(regularity requirement)，

λ

之實部必為正。將式(2.9)代入式(2.7)可得

(

)(

)

{

∑

+ − + − + + + + n rn rn n _{E n n U GU} rλ 2 ₀ λ ₁ λ _{1 0 ,θθ}

(

)

(

)

(

λ+n D0 −E0 + λ+n−1G0

)

Vθn,θ E

(

n

)(

n

)

Wrn 2 1 + −1 + +1 − λ λ

(

)

(

)

(

₁− + ₁ +2 ₁

)

_,

}

=0 + E λ n D G Wrn_θθ ， (2.10a)

(

)

(

)

(

)

{

∑

+ − + + + + + n rn n _{E G n D G U} rλ 2 _{0 0} λ _{0 0 ,θ}

(

λ+n−1

)(

λ+n+1

)

G0Vθn +E0Vθn,θθ

(

+ +1

)

(

₁ +

(

+

)

(

₁+2 ₁

)

)

_, − _{1 ,}

}

=0 − λ n E λ n D G Wrn_θ E Wrn_θθθ ， (2.10b)

(

) (

)

{

(

1

(

)

(

1 1

)

)

2 1 3 _{E n 1 n 1U E n D 2G} r n rn n _{+ − + + + + + +}

∑

λ+ − _{λ λ λ}

(

)

(

(

)

(

)

)

_{θ θ} θθ λ 1 λ 1 1 , , 1 2 n rn n E n D G V U + + − − + + +

(

) (

)

rn n E n n W V E_{1 ,} − ₂ + −12 + +12 + _{θ θθθ} λ λ

(

)

(

)

(

−2 ₂ −2 + 2 ₂ +2 ₂

)

_, − _{2 ,}

}

=0 + E λ n D G W_rnθθ E W_rnθθθθ 。 (2.10c) 以式(2.10)看來，r之不同階數係數必須為 0。為了探究r =0鄰近區域 之應力奇異特性，吾人只考慮r的最低階數；即令式(2.10)中n=0：

(

λ

)(

λ

)

0 0 0,_θθ

(

λ 0 0

(

λ

)

0

)

_θ0,_θ 0 1 1U GU D E 1 G V E − + _r + _r + − + −

(

1

)(

1

)

2 ₀

(

₁

(

₁ 2 ₁

)

)

_0, 0 1 − + + − + = −E λ λ W_r E λ D G W_{r θθ} ， (2.11a)

(

)

(

E0 +G0 +λ D0 +G0

)

Ur0,_θ +

(

λ−1

)(

λ+1

)

G0V_θ0 +E0V_θ0,_θθ

(

+1

)

(

₁+

(

₁ +2 ₁

)

)

_0, − _{1 0,} =0 − λ E λ D G Wr _θ E Wr _θθθ ， (2.11b)

(

1

) (

2 1

)

₀

(

₁

(

₁ 2 ₁

)

)

_0,

(

1

)

1 λ− λ+ Ur + E +λ D + G Ur θθ + λ− E

(

)

(

−E1 +λ D1+2G1

)

Vθ0,θ +E1Vθ0,θθθ

(

)

(

2 2 2 ₂ 2 ₂

)

_{0, 2 0,} 0 2 − + − = − + E λ D G Wr _θθ E Wr _θθθθ ， (2.11c) 式(2.11)是常係數線性微分方程組。當其係數未被明確表示，很難獲得一簡 單且明確之解析解。故須考慮物質特性，做進一步之假設。 既然波松比之變化範圍很小，且考慮等向複合材料板接合角之應力奇 異階數時，發現其與波松比之相關性低【17】。因此，假設厚度方向之波松 比為常數。依式(2.1)與式(2.5)中定義之E_i、G_i與D_i，可得 dz z E h z E D h h i n b i

∫

₋ ⎟ Δ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + − = 2 2 2 ₂ ] 1 [ 1 1 υ υ _{， (2.12a)} dz z E h z E G h h i n b i

∫

₋ ⎟ Δ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + − − = 2 2 2 ₂ ] 1 [ 1 1 2 ) 1 ( υ υ ， (2.12b) 將式(2.12)代入式(2.11)，並依照解線性微分方程組之典型步驟，可得 到一般解Ur0、Vθ0、Wr0為 θ λ θ λ λ θ , ) cos( 1) sin( 1) ( _{1 2} 0 = A + + A +

U_r +A₃cos(λ−1)θ +A₄sin(λ−1)θ _{， (2.13a)}

θ λ κ κ θ λ θ λ λ θ

θ0( , )= A2cos( +1) −A1sin( +1) +( 1A4 − 2B4)cos( −1)

V θ λ κ κ )sin( 1) (− _{1 3} + _{2 3} − + A B _{， (2.13b)} θ λ θ λ λ θ , ) cos( 1) sin( 1) ( _{1 2} 0 =B + +B + W_r θ λ θ λ 1) sin( 1) cos( ₄ 3 − + − +B B _{， (2.13c)}

其中 κ λ_λ υ_υ λυ_λυ + + + − + − + = 3 3 1 ，

(

)

0 1 2 3 8 E E λυ υ λ λ κ + + + − = _{， (2.14)} 係數Ai及Bi(i=1,2,3,4)及

λ

由邊界條件決定。可明顯地看出，當E1為零時， 中平面(mid-plane)上平面內與平面外之位移分量成為非耦合。 針對此小節做一簡短的總結，假設厚度方向上之波松比為常數時，式 (2.7)之解為 { ) , (r θ rλ u_r = A₁cos(λ+1)θ+A₂sin(λ+1)θ ) ( ) 1 sin( ) 1 cos( 1 4 3 + Ο + − + − +_{A λ θ A λ θ r}λ _{} ， (2.15a)} ) ( ) 1 sin( ) 1 cos( { ) , (r r A₂ A_{1 1}A_{4 2}B₄ vθ θ = λ λ+ θ − λ+ θ + κ −κ ) ( } ) 1 sin( ) ( ) 1 cos( 1 3 2 3 1 + Ο + − + − + − _{θ κ κ λ θ} λ λ A B r ， (2.15b) θ λ θ λ θ₎ λ _{{ cos( 1) sin( 1)} , (_{r =r} +1 _{B1 + +B2 +} w_r ) ( } ) 1 sin( ) 1 cos( 2 4 3 + Ο + − + − +_{B λ θ B λ θ r}λ _{， (2.15c)} 其中_O(_rλ+1)_{為r之階數高於(或等於)}

_λ

_{+1之項。由式(2.4)中位移函數} 與力之關係式可看出當

λ

值實數部分小於 1 時，力( , , , , 與 )具奇異性。 r N N_θ N_rθ M_r M_θ θ r M

2.3 邊界條件、特徵方程式與角函數

2.3.1 邊界條件 解平衡方程後，希望由邊界條件決定係數Ai、Bi(i=1,2,3,4)及

λ

。以本 文欲探討之功能梯度懸臂薄板(如圖 1.1)為例，沿自由端(

θ

= )上之邊界條

α

件為 0 = = = = _{θ θ θ} θ N M V N_{r ， (2. 16)} 而在固定端(

θ

=0)則為 0 , = = = = _{θ r rθ} r v w w u ， (2. 17) 將式(2.14)代入式(2.16) 與式(2.17)，可得與未知係數 i、 (i=1,2,3,4) 有關的一組八元一次線性聯立方程式 A B_i 0 4 18 3 17 2 16 1 15 4 14 3 13 2 12 1 11A +a A +a A +a A +a B +a B +a B +a B = a _(2.18a) 0 4 28 3 27 2 26 1 25 4 24 3 23 2 22 1 21A +a A +a A +a A +a B +a B +a B +a B = a _(2.18b) 0 4 38 3 37 2 36 1 35 4 34 3 33 2 32 1 31A +a A +a A +a A +a B +a B +a B +a B = a _(2.18c) 0 4 48 3 47 2 46 1 45 4 44 3 43 2 42 1 41A +a A +a A +a A +a B +a B +a B +a B = a _(2.18d) 0 3 1+ A = A _(2.18e) 0 4 2 4 1 2+ A − B = A κ κ (2.18f) 0 3 1+ B = B _(2.18g) 0 ) 1 ( ) 1 (λ+ B₂+ λ− B₄ = (2.18h) 其中式(2.18)所對應邊界條件與 、 (i=1,2,3,4)前之係數( , i=1~4, j=1~8) 詳列於表(2.1)。 i A B_i aij 2.3.2 特徵方程式與角函數 因為Ai、Bi(i=1,2,3,4)必須有非零解(nontrivial solution)，故上述聯立方

程組之係數矩陣行列式值必須為零。整理可得到兩條特徵方程式為 0 sin ) 1 )( 3 ( sin ) 1 ( 4_−λ2 _{− +υ} 2 2_{α+ +υ − +υ} 2_{λα = (2.19a)} 0 sin ) 1 )( 3 ( sin ) 1 ( 4₊ 2 ₊ 2 2 _{− − + +} 2 ₌ − λ υ α υ υ λα (2.19b) 當

λ

滿足式(2.19)，可由式(2.18)獲得係數 與 (i=1,2,3,4)，得到相對 應之漸近解如下： i A B_i

(

λ

)

θ λ

(

λ

)

θ η λ λ_{[ (1 ) cos 1 (1 )sin 1} 0 1 1 0 1 4 + + + − + = E E E E r B u_r

(

1

)

(1 )sin

(

1

)

] cos ) 1 ( 0 1 1 0 1 ₊λη λ₋ θ _{+ +}λ λ₋ θ − E E E E ， (2.20a)

(

λ

)

θ λη

(

λ

)

θ λ λ θ [ (1 )cos 1 (1 ) 1sin 1 0 1 0 1 4 − + − + + = E E E E r B v

(

1

)

( (1 ) ) sin

(

1

)

] cos ) 1 ( _{2 1} 0 1 1 0 1 1 λ λ θ κ λ κ η λ θ κ + − + + − − + E E E E ， (2.20b)

(

_{) ( ) ( )}

λ θ λ λ θ λ η λ _{sin 1} 1 ) 1 ( 1 cos [ ₁ 1 4 ₊ + − + + =_{B r} + w_r

(

1

)

sin

(

1

)

] cos 1 λ θ λ θ η − + − − ， (2.20c) 其中

κ

₁、

κ

₂定義於式(2.14)，而 λα α υ υ λ λα α λα α υ α λα υ λ η sin sin ) ) 1 ( 1 ( cos cos 2 sin cos ) 1 ( sin cos )) 1 ( 2 ( 1 _{+ + − + +} + + + − + − = _(2.21) 這些漸近解也稱之為對應特徵方程式之角函數。

第三章 懸臂斜形薄板振動分析

本章將應用Ritz法，配合座標轉換，以滿足幾何邊界條件之完整集合 允許函數，配合Huang和Chang【3】針對FGM薄板所推導之漸近解，分析 含有奇異應力懸臂斜形功能梯度薄板之振動。

3.1 功能梯度懸臂斜形薄板之應變能與動能

本文欲分析長度為 a、寬度為 b 且厚度為 h 之等向性(isotropic)懸臂斜 形功能梯度薄板(如圖 1.1)。 3.1.1 位移、應力與應變之關係 將斜形板之位移場以直角座標表示，可表示成 x zw y x u z y x u∗( , , )= ₀( , )− _0, y zw y x v z y x v∗( , , )= ₀( , )− _0, ， (3.1) ) , ( ) , , (x y z w₀ x y w∗ = 其中_u∗_、v∗_及w∗_{分別為 x、y、z 向之位移分量， 、 及 分別為平板中平} 面(midplane)於 x、y 及 z 向之位移。 0 u v₀ w₀ 應力-應變關係為： ) ( 1 2 xx yy xx E _{ε υε} υ σ + − = ， (3.2a) ) ( 1 2 yy xx yy E _{ε υε} υ σ + − = ， (3.2b)

xy xy Gγ σ = _{， (3.2c)} 其他剪應變則為零 。應變-位移關係為： ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ xy yy xx xy yy xx w w w z x v y u y vx u , 0 , 0 , 0 0 0 0 0 2 γ ε ε ， (3.3) 式(3.1)~(3.3)中，下標”,”代表對自變數x_{或 之微分。} y 3.1.2 功能梯度懸臂板之應變能 古典板應變能定義為

∫

= dV U σ_ijε_ij 2 1 ， (3.4) 將式(3.1)~(3.3)代入式(3.4)，可得功能梯度懸臂板之應變能為

∫

∫

+ − + = E u v dA E u w v w dA U [( _x) ( _y) ] ( _{x xx y yy}) 2 1 , 0 , 0 , 0 , 0 1 2 , 0 2 , 0 0

∫

∫

∫

+ + − + + E [(w _xx) (w _yy) ]dA D (u _xv _y)dA D (u _xw _yy v _yw _xx)dA 2 1 , 0 , 0 , 0 , 0 1 , 0 , 0 0 2 , 0 2 , 0 2

∫

∫

+ + +D w _xxw _yy dA G u _y v _x 2dA , 0 , 0 0 , 0 , 0 2 ( ) 2 1 ) (

∫

∫

+ + −2G [(u _y v _x)w _xy]dA 2G (w2_xy)dA , 0 2 , 0 , 0 , 0 1 ， (3.5) 式(3.5)以直角座標表示功能梯度懸臂板之應變能。但本文欲分析懸臂斜形 板，故以斜座標表示更為適切。如圖1.1 所示，斜座標(ξ,η)與直角座標(x,y) 之關係為：

β η β ξ tan sec x y x − = = ， (3.6) 並將中平面上位移在直角座標之分量以斜座標分量表示為 ) , ( ) , ( sin ) , ( ) , ( ) , ( cos ) , ( ) , ( 0 0 0 η ξ β η ξ η ξ β η ξ ξ η ξ w y x w u v y x v u y x u = + = = ， (3.7) 此處uξ、 與vη w 分別為中平面上 ξ、η 與 z 方向之位移。 各函數對x-y 之微分與對ξ −η之微分轉換為 η ξ β β , , , tan cos 1 f f f_x = − _{， (3.8a)} η , , f f_y = _{， (3.8b)} ηη ξη ξξ β_β β β , 2 , 2 , 2 , tan cos sin 2 cos 1 f f f f_xx = − + _{， (3.8c)} ηη , , f f_yy = _{， (3.8d)} ηη ξη β β , , , tan cos 1 f f f_xy = − _{， (3.8e)} 其中β定義為x 軸與 ξ 軸之夾角(如圖 1.1)。 若將式(3.5)中位移函數均以ξ −η_{座標系統表示，則}

∫

− + + = E u u v u dA U [( sin ) ( sin ) ] 2 1 2 , , 2 , , 0 ξξ β ξη ηη β ξη

∫

− − + − , tan , ) cos sin 2 , cos 1 )( sin [( 2 2 2 , , 1 uξξ βuξη _β wξξ β_β wξη βwηη E

dA w u v sin ) , ] ( η_,η + β ξ_,η ηη +

∫

− + + + E w w, tan w, ) (w, ) ]dA cos sin 2 , cos 1 [( 2 1 2 2 2 2 2 2 _β ξξ β_β ξη β ηη ηη

∫

− + +D₀ [(u_ξ,ξ sinβu_ξ,η)(v_η,η sinβu_ξ,η)]dA

∫

− + + −D₁ [(uξ_,ξ sinβuξ_,η)w,ηη (vη_,η sinβuξ_,η) dA w w w , tan , )] cos sin 2 , cos 1 ( 2 2 2 ξξ _β ξη β ηη β β − +

∫

− + +D (w, 2sin w, sin w, )w, ]dA cos 1 [ 2 2 2 _β ξξ β ξη β ηη ηη

∫

+ + − + + G u v u v u 2dA , , , , ,

0 ( sin ) tan ( sin )]

cos 1 cos [( 2 1 η ξ η η ξ ξ ξ η η ξ β _β β β β

∫

+ − + − − G u u v v w, tan w, ]dA cos 1 ][ cos 1 ) ( tan cos 2 cos [ 2 _{1 ξ,η ξ,ξ η,η η,ξ ξη} β _ηη β β β β β

∫

− + G w w 2dA 2 , tan , ) cos 1 ( 2 _ξη β _ηη β (3.9) 3.1.3 功能梯度懸臂板之動能 將式(3.1)~(3.3)代入古典板之動能表示式可得

∫

∗ ₊ ∗ ₊ ∗ = u v w dV T [( ) ( ) ( ) ] 2

1 _{ρ &} 2 _& 2 _& 2

) ( 2 ) ( [ 2 0 0, 0 0, 2 0 2 0 2 0 2 y x v w w u z w v u + + − + =ω

_∫

ρ ρ _+ρz2(w_0,x2 ₊w_0,y2)]dV _， 令 =

∫

zidz i ρ ρ _，則 dA w v w u dA w v u T [ ( ) 2 ( _{x y}) 2 1 0 0, 0 0, 2 0 2 0 2 0 0 2 + − + + =ω

_∫

ρ ρ dA w w _{x y} )] ( _0, 2 _0, 2 2 + +ρ _{。 (3.10)}

相同地，將式(3.10)中位移函數以ξ−η座標系統表示，可得到以斜座 標表示之功能梯度板動能表示式

∫

+ + + = u v u w dA T { [( cos ) ( sin ) ] 2 2 2 2 0 2 ξ η ξ β β ρ ω

∫

− + + − u w, tan w, ) (v sin u )w, ]dA cos 1 )( cos [( 2 _{1 ξ ξ} β _{η η} β _{ξ η} β β ρ } ] ) , ( ) , tan , cos 1 [( 2 2 2 2

∫

− + + w_ξ βw_η w_η dA β ρ _{。 (3.11)}

3.2 以 Ritz 法求取自然振動頻率

3.2.1 Ritz 法 利用 Ritz 法求解自然振動頻率，我們必須定義一能量方程式(energy functional) max max T U − = ∏ _{， (3.12)} 其中 Tmax：一振動週期內最大動能， max U _{：一振動週期內最大應變能，} 假設_{u U e}iωt、 、 ， ξ ξ(ξ,η)= (ξ,η)⋅ vη(ξ,η)=Vη(ξ,η)⋅eiωt w(ξ,η)=W(ξ,η)⋅eiωt ω為自 然振動頻率，則

∫

− + + = E U U V U dA U [( sin ) ( sin ) ] 2 1 2 , , 2 , , 0 max ξξ β ξη ηη β ξη

∫

− − + − , tan , ) cos sin 2 , cos 1 )( sin [( 2 2 2 , , 1 Uξξ βUξη _βW ξξ β_βW ξη βW ηη E dA W U V sin ) , ] ( η_,η + β ξ_,η ηη +

∫

− + + + E W W, tan W, ) (W, ) ]dA cos sin 2 , cos 1 [( 2 1 2 2 2 2 2 2 ξξ _β ξη β ηη ηη β β

∫

− + +D₀ [(Uξ_,ξ sinβUξ_,η)(Vη_,η sinβUξ_,η)]dA

∫

− + + −D₁ [(U_ξ,ξ sinβU_ξ,η)W,_ηη (V_η,η sinβU_ξ,η) dA W W W , tan , )] cos sin 2 , cos 1 ( 2 2 2 ξξ _β ξη β ηη β β − +

∫

− + +D (W, 2sin W, sin W, )W, ]dA cos 1 [ 2 2 2 _β ξξ β ξη β ηη ηη

∫

+ + − + + G U V U V U 2dA , , , , ,

0 ( sin ) tan ( sin )]

cos 1 cos [( 2 1 η ξ η η ξ ξ ξ η η ξ β _β β β β

∫

+ − + − ] cos 1 ) ( tan cos 2 cos [ 2 _{1 ξ,η ξ,ξ η,η η,ξ} β β β β V V U U G dA W W, tan , ] cos 1 [ _ξη β _ηη β −

∫

− + G W W 2dA 2 , tan , ) cos 1 ( 2 _ξη β _ηη β ， (3.13)

∫

+ + + = U V U W dA T { [( cos ) ( sin ) ] 2 2 2 2 0 2 max ω ρ ξ β η β ξ

∫

− + + − U W, tan W, ) (V sin U )W, ]dA cos 1 )( cos [( 2 _{1 ξ ξ} β _{η η} β _{ξ η} β β ρ } ] ) , ( ) , tan , cos 1 [( 2 2 2 2

∫

− + + W _ξ βW _η W _η dA β ρ _{。 (3.14)} 將Uξ 、Vη、W利用具完備性之允許函數序列展開，假設表示成

∑

= (ξ,η) ξ AiUi U _，

∑

= (ξ,η) η BiVi V _{， (3.15)}

∑

= C_iW_i(ξ,η) W _，

其中Ai、Bi、Ci 為待定係數，Ui、Vi、Wi 為滿足邊界條件之允許函數。 將式(3.9)、式(3.11)與式(3.15)代入式(3.12)，欲求得最小能量函數 Π： 0 = ∂ ∏ ∂ = ∂ ∏ ∂ = ∂ ∏ ∂ i i i B C A ， 則可知 ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ j j j j j j C B A M M M M M M M M M C B A K K K K K K K K K 33 32 31 23 22 21 13 12 11 2 33 32 31 23 22 21 13 12 11

ω

。 (3.16) 要求得薄板的自然振動頻率，我們需解得式(3.16)中

ω

，其為一般地特 徵值問題。 3.2.2 質量矩陣與勁度矩陣 由式(3.16)可知勁度矩陣

[ ]

K 與質量矩陣

[ ]

M 之關係，經推導可得其中 勁度矩陣

[

K

]

矩陣為： + − − =E

∫

U U U U dA K_ij11 ₀ [( _i, sin _i, )( _j, sin _j, )] η ξ η ξ β β sin E0

∫

(Ui, Uj, )dA 2 η η β

∫

−

+D₀ [(U_i,ξ sinβU_i,η)(sinβU_j,η) +sinβU_i,η(U_j,ξ −sinβU_j,η)]dA

∫

+ + +G U_i U_i U_j tan U_j )]dA cos 2 cos )( tan cos 2 cos [( _{, , , ,} 0 η ξ _β η β ξ β β β β ， (3.17a) dA V U E K_ij12 ₀ (sin _{i, j,} ) η η β

∫

= +D₀

∫

[(U_i,ξ −sinβU_i,η)V_j,η]dA

∫

+ + tan ) cos 2 cos [( _{, ,} 0 _β η β ξ β i i U U G V_j tan V_j )]dA cos 1 ( _,ξ β _,η β − ， (3.17b)

∫

− − + − = tan ) cos sin 2 cos 1 )( sin [( 2 _, , 2 , 2 , , 1 13 ηη ξη ξξ η ξ β i _β j β_β j β j i ij E U U W W W K

dA W U_{i j} ] sinβ _{,η ,ηη} + −D1

∫

[(Ui,ξ −sinβUi,η)Wj,ηη dA W W W U_{i j j} tan _j )] cos sin 2 cos 1 ( sin 2 _, , 2 , 2 ,η _β ξξ β_β ξη β ηη β − + +

∫

+ − − G U_i U_i W_j tan W_j )]dA cos 1 )( tan cos 2 cos [( 2 _{1 ,η ,ξ ,ξη} β _,ηη β β β β ， (3.17c) dA V V E K_ij22 = ₀

∫

( _{i, j,} ) η η dA V V V V G _{i i j} tan _j )] cos 1 ( ) tan cos 1 [( _{, , , ,} 0 _β ξ − β η _β ξ − β η +

_∫

_{， (3.17d)}

∫

− = E V W dA K_ij23 ₁ ( _{i, j,} ) ηη η dA W W W V D

∫

_{i j} − _j + _j − tan )] cos sin 2 cos 1 ( [ 2 _, , 2 , 2 , 1 η ξξ _β ξη β ηη β β

∫

− + − − G V_i V_i W_j tan W_j )]dA cos 1 )( cos 1 tan [( 2 _{1 ,η ,ξ ,ξη} β _,ηη β β β _{， (3.17e)} = 33 ij K

∫

− +tan ) cos sin 2 cos 1 [( 2 _, , 2 , 2 2 ξξ _β ξη β ηη β βWi Wi Wi E dA W W W W W_{j j} tan _j ) _{i j} ] cos sin 2 cos 1 ( 2 _{, , ,} , 2 , 2 ξξ _β ξη β ηη ηη ηη β β − + +

∫

− + + _ξξ β _ξη β _{ηη ηη} β , , 2 , , 2 2 ( 2sin sin ) cos 1 [ W_i W_i W_i W_j D dA W W W W_i ( _j 2sin _j sin _j )] cos 1 , 2 , , , 2_β ηη ξξ − β ξη + β ηη +

∫

− − + G W_i W_i W_j tan W_j )]dA cos 1 )( tan cos 1 [( 4 _{2 ,ξη ,ηη ,ξη} β _,ηη β β β ， (3.17f) 質量矩陣

[

M

]

為：

∫

= UU dA M_ij11 _ρ0 ( _{i j}) ， (3.18a)

∫

= UV dA M_ij12 _ρ0sin_β ( _{i j}) ， (3.18b)

∫

− + − = U W W UW dA M_{ij i j} tan _j ) sin _{i j} ] cos 1 )( [(cos _{, , ,} 1 13 η η ξ β β β β ρ _{， (3.18c)} dA V V M_ij22 = _ρ0

∫

( _{i j}) ， (3.18d)

∫

− = VW dA M_ij23 ₁ ( _{i j,} ) η ρ _{， (3.18e)} dA W W M_ij33 =_ρ0

∫

( _{i j})

∫

− + tan ) cos 1 [( _{, ,} 2 _β ξ β η ρ W_i W_i dA W W W W_j tan _j ) _{i j} ] cos 1 ( _,ξ β _{,η ,η ,η} β − + ， (3.18f) 且

[ ]

[ ]

T ， K K21 ₌ 12

[ ] [ ]

_K31 _{= K}13 T_，

[ ] [ ]

_K32 _{= K}23 T _，

[ ] [

T M M21 ₌ 12

]

，

[ ] [ ]

_M31 _{= M}13 T，

[ ] [ ]

_M32 _{= M}23 T ， (3.19)

3.3 允許函數

3.3.1 邊界條件 此處使用的允許函數由一完整函數序列與角函數所組成，假設為 ) , ( ) , ( ) , (ξ η ξ ξ η ξ θ ξ U U r U = _p + _{c ， (3.20a)} ) , ( ) , ( ) , (ξ η η ξ η η θ η V V r V = _p + _{c ， (3.20b)} ) , ( ) , ( ) , (ξ η W ξ η W r θ W = _p + _{c ， (3.20c)} 其中下標“p＂表示滿足幾何邊界條件之傳統多項式函數，下標“c＂表示 角函數。

本論文分析之懸臂斜形板，所假設之形狀函數必須滿足固定端之邊界 條件： 0 ) , 0 ( η = ξ u _、 vη(0,η)=0 、 w(0,η)=0 、 w,ξ (0,η)=0 ， 式(3.20)中之傳統多項式函數可表示成：

∑∑

= = − = I i J j j i ij p a U 1 1 1 ) , (ξ η ξη ξ ， (3.21a)

∑∑

= = − = I i J j j i ij p b V 1 1 1 ) , (ξ η ξη η ， (3.21b)

∑∑

= = − + = I i J j j i ij P c W 1 1 1 1 ) , (ξ η ξ η _{， (3.21c)} 3.3.2 角函數 為 了 滿 足 在 尖 角 處 所 產 生 的 彎 矩 與 剪 力 奇 異 性 ， 若 只 考 慮 式 (3.21a)~( 3.21c)之完備允許函數序列，無法確實描述出應力奇異性。因 此，加入由Huang 和Chang【3】所推導的角函數，用以描述於reentrant corner處之應力奇異行為。取 )) , , ( Im( ~ )) , , ( Re( 1 k r k k r K k k c A u r A u r Uξ =

∑

θ λ + θ λ = ， (3.22a) )) , , ( Im( ~ )) , , ( Re( 1 k k k K k k c B v r B v r V_η =

∑

_θ θ λ + _θ θ λ = ， (3.22b) )) , , ( Im( ~ )) , , ( Re( 1 k r l k r L l l c C w r C w r W =

∑

θ λ + θ λ = ， (3.22c) 因第二章中角函數定義於極座標系統，故須將座標系統從極座標轉換 至ξ −η座標系統。兩座標系統關係如下(參看圖 3.1)： θ θ θ cos ursin v u∗ = + _，

θ θ θ sin urcos v v∗ = − _， 且 β β ξ cos cos ∗ = ′ = x u 、 η 'tanβ tanβ 2 ∗ ∗ ₋ = − + ′ = y b x v u ， 轉換後可得到 β θ θ β θ ξ _cos ) sin cos ( cos r c u v u U = ∗ = + ， (3.23) r c v u v u

V_η = ∗− ∗tanβ =(sinθ−cosθtanβ) _θ +(−cosθ−sinθtanβ)

， (3.24) 其中 及 為極座標中之角函數，如式(2.20a)～(2.20b)所示。另參看圖 1.1 即可推得斜座標與極座標之關係式： r u v_θ

(

)

(

)

[

_{2 2} 1/2 sin 2 / 2 2 / −η +ξ − ξ −η β = b b r

]

，

(

)

⎟⎟_⎠⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − = − β ξ η β ξ θ sin 2 / cos tan 1 b 。

第四章 數值結果分析

懸臂斜形板包含相當多種形狀，本章以功能梯度懸臂平行四邊形板與 懸臂梯形板為例進行數值分析，探討角函數對板自然振動頻率收斂性之影 響，並考慮功能梯度斜形板不同幾何參數與材料特性對自然振動頻率之效 應。

4.1 懸臂平行四邊形薄板收斂性分析

本章節欲探討之懸臂平行四邊形板，其幾何圖形為圖 1.1 所示弦長比 c/b=1 之情況。經前述章節得知，利用 Ritz 法，考慮邊界條件所引起的應力 奇異性，引入描述此奇異性且完整之允許函數序列。將式(3.20)、(3.21)、 (3.22)帶入式(3.17)與(3.18)，經數值積分後，得到式(3.16)之特徵方程式， 期盼所獲之特徵根能收斂至固定值。在本節收斂性分析中，主要探討加入 角函數後，能否得到懸臂平行四邊形板自然振動頻率之收斂解。以下的分 析中，取波松比υ =0.3，而所有數值結果是以 FORTRAN 程式語言撰寫， 且採用四倍精確度的浮點計算而得到的。 為確認程式之可靠性，先針對近似齊性(homogeneous)板分析，此處取 厚度和邊長比h/b＝0.01、邊長比a/b＝1.0、體積比例階數n＝ _×10 頂、 底面材料性質比 5 1 −_，板 b t E E 、ρt ρb為 似齊性 − × 近 板取為 1.00001(即ΔE=_1×10−5_、Δ ρ=1 ₁₀ 5)之懸臂平行四邊形，並和文獻_{【19】中探討的齊性板做無因次化} 振動頻率值之比較。表4.1顯示類齊性板自由振動頻率收斂值與文獻【19】 列出之無因次化振動頻率收斂值非常一致，至此，我們可進一步確認本文 使用FORTRAN程式之可靠性。

表 4.2所示者為β＝60° 功能梯度懸臂平行四邊形板之無因次化頻率收斂性 分析。該板寬厚比h/b＝0.01、邊長比a/b＝1.0、體積比例階數n＝5，板頂面 與 底 面 材 料 性 質 比Et Eb 、ρt ρb 分 別 為 5 及 10。無因次化頻率取為 b bh D l ρ ω 2 _{(其中l =acosβ )。表中之( I}

_×

_{J )為式(3.21a) ~ (3.21c)內形狀函數} 中ξ、η項數i、j所使用之個數，而角函數數目Nc No. of corner functions )則

代表式(3.22a)~ (3.22c)中各角函數之個數(Uξc、 ηc、 c個別之數目)。此時， 該解所對應之整體自由度為 ( V W ) ( 3 I×J +Nc 。 4.3 表4.3為例，發現只使用多項式為允許函數時，多項式項數( I

×

J ) 最多 表 4.2可觀察相關現象如 下： (a) 察每一振態在各多項式與角函數項數 表 所示者為β＝75°功能梯度懸 臂平行四邊形板之無因次化頻率收斂性分析，其中相關參數皆與表4.2相同。 吾人以 只能增加至16×16，將( I

×

J )增加到 17×17(含)以上時程式會發生數值錯 誤(ill-condition)之現象。當( I

×

J )＝16×16 時所獲之前五振態無因次化頻率值 依序為0.3396、1.394、2.767、4.164、5.327，與表 4.3列出已收斂之前五個 振態頻率值 0.3366、1.387、2.720、4.054、5.315 比較，可知只使用多項式 無法使無因次化頻率值達到三位有效數字之收斂，故在分析此類問題時加 入角函數有其必要性。 針對前五個振態之無因次化頻率來探討，由 觀 (I×J+Nc)為 8×8＋5 或 10 個角 ×9 、 、 各加1 項，共 3 函數與 9×9＋_{5 之頻率值，可發現項數 9} ＋_{10 所得前五個振態之頻率} 值具至少3 位有效位數收斂之精確度。 (b) 以第一振態為例，可觀察到加 1 個角函數(Uξc Vηc Wc 項)與增加多項式項數所降低之頻率值相差不大，但在增加 5 個角函數

(共 15 項)時，頻率值之降低則與增加多項式項數有明顯差異。如以( I

×

J )為 5×5 不加角函數(多項式共 75 項)之頻率值為 1.161 為基準，6×6 不 加角函數(多項式增加 33 項)之頻率值為 1.127，5×5 加 1 個角函數(角函 數增加 3 項)之頻率值為 1.128，兩者頻率值只相差 0.001，而 5×5 加 5 個角函數(角函數增加 15 項)之頻率值為 1.096，低於 6×6 加 1 個角函數 之頻率值1.116，甚至較 9×9 加 1 個角函數(多項式共 243 項、角函數共 3 項)之頻率值為 1.098 更低。而且，在前四個振態中，項數為 5×5＋10 所獲得之頻率值皆比9×9＋1 所獲得之頻率值低。由此可知，角函數對 於懸臂平行功能梯度板收斂性之影響較多項式更為顯著。 (c) 另外，觀察表 4.2與表 4.3，比較只增加多項式函數得到之頻率值與加 入角函數所得收斂頻率值：如β＝60° 情況下項數為 9×9+0 與 9×9+10 第一個振態之頻率值 1.100 及 1.092，發現角函數影響頻率值降低之效 應約為1%；比較在β＝75° 、項數為 11×11+0 與 11×11+5 第一振態頻率 值0.348 及 0.337，發現角函數之效應約為 3%。由此我們可知角函數對 自然振動頻率值收斂之效應在斜角大時更為明顯。 從數值結果得知角函數可補足斜角大時，需加入更多多項式函數，方 可得

4.2 懸臂平行四邊形薄板數值結果分析

到收斂頻率值，且此過程中常因程式發生ill-condition 而無法求得收斂 頻率值之缺失。故我們知道角函數能有效加速功能梯度懸臂平行四邊形薄 板自然振動頻率解之收斂速度。

4.2.1 數值結果分析 本節主要針對不同幾何參數a/b、h/b、β角 (參看圖 1.1)、不同材料參 數Et Eb 、ρt ρb 與不同體積比例階數n 之情況下，探討功能梯度懸臂平行 四邊 表4. 表4. 時 表 4.4為斜角 30°、45°、60°、75°，且分別對應h/b=0.01 與 0.05 的無因次化 頻率，其中，波松比 形板振動頻率之變化。在進行數值分析前，由前節收斂性分析數值結 果( 2與 3)得知，在斜角β＝60° ，採用多項式項數( I

×

J )為 8×8 且 引入5 個角函數可在前五個振態得到三位有效數字之收斂解；在斜角β＝75° 時，項數為 11×11＋5 可得三位有效數字之收斂解，故此節所做之數值結 果，在斜角30°、45°、60° 時項數皆採用8×8＋5，75° 時則為11×11＋5 予以 求解。 3 . 0 =

υ

、a/b=1、ρt ρb =10。表 4.4與表 4.5之不同處在 於表 (a) 當體積比例階數 4.5之邊長比a/b=2。以下將表 4.4與表 4.5之數值結果，觀察而得之現 象整理如下： n、傾斜角β 及厚度與邊長比 h/b 皆固定之情況下，懸 臂平行四邊形板之無因次化振動頻率值會隨板頂面與底面楊氏模數比 b t E E 之增加而增加。其原因為勁度變大，故無因次化振動頻率值隨之 增加。 (b) 在固定楊氏模數比Et Eb 、傾斜角 β 及厚度與邊長比 h/b 之情況下，懸 臂平行四邊形板之無因次化振動頻率值將隨體積比例階數n增加而增 (c) 在固定楊氏模數比 加；此亦為勁度加大造成之現象。 、體積比例階數n及厚度與邊長比 h/b 之情況 b t E E

下，懸臂平行四邊形板無因次化振動頻率值隨傾斜角 β 之增加而減 小。 (d) 當楊氏模數比Et Eb 、體積比例階數n、與傾斜角β皆固定之情況下， 在厚度與邊長比h/b由 0.01 增加為 0.05 後，懸臂平行四邊形板無因次化 振動頻率值最多只有小數後一位數之降低，並無顯著之變化；但發現 少數例外如下 (e) 點所示。 (e) 以表 4.4中Et Eb =2、 =5 之情況為例，斜角β = 30n °之前五個振態無因 次化頻率值在不同厚度比下都十分相似；斜角β =45°，在第五振態下厚 度比h/b=0.05 之頻率值 14.78 與h/b=0.05 之頻率值 17.92 相差甚多；斜 角β =60°，在第四振態下厚度比h/b=0.05 之頻率值 6.397 與h/b=0.01 之 頻率值 7.999 相差較大，且h/b=0.05 之第五振頻率值 7.924 與h/b=0.01 之第四振態頻率值7.999 較為接近；斜角β＝75°時，第二振態下厚度比 h/b=0.01 頻率值 1.167 與h/b=0.05 之頻率值 1.067 相差較大，而與 h/b=0.05 之第三振態頻率值 1.172 較為接近，厚度比h/b=0.01 第三振態 頻率值2.307 與h/b=0.05 第四振態頻率值 2.262 較接近，厚度比h/b=0.01 第四振態頻率值3.438 與h/b=0.05 第五振態頻率值 2.922 又有較大之差 異。此現象是由於板厚度比h/b為 0.05 時，斜角β大於等於 45°之前五個 模態中，出現以面內振動為主之模態(可參閱下節之結果)。 表4.6顯示斜角β＝60°、厚度比h/b=0.01、波松比

υ

=0.3、邊長比a/b=1 情況 下，改變楊氏模數比Et Eb 、體積比例階數n及密度比ρt ρb 的無因次化頻 率。由表4.6之數值結果，將觀察之現象整理如下： 於變數體積比例階數n (f) 與密度比ρt ρb 固定時，同(a)點之說明可看到無