第三章 懸索橋基本架構與分析理論
3.2 懸索橋靜態荷載反應分析理論
懸索橋通常是由主纜、支承主纜的橋塔、錨固纜索的錨定、直接
承受交通荷載的加勁梁以及將加勁梁和主纜聯繫在一起的吊索所組 成，因而在理論上的懸索橋應是索和梁的組合結構體系。
懸索橋在豎向荷載作用下的分析理論發展過程中展現了人們對 懸索橋結構特性的認識越趨正確，期間經歷了彈性理論、撓度理論和 有限位移理論三個階段，由此構成了近代懸索橋的理論基礎。
3.2.1 彈性理論
1823 年法國 Navier 首次發表無加勁懸索橋計算理論【27】，在經
過Rankine 及 D.B.Steinman 等學者修正整理後，逐步形成後來使用的 標準理論型式【28】【29】。
在利用彈性理論對懸索橋結構進行力學行為分析時，一般均假設 活載重對結構變形的影響可忽略不計，懸索橋主纜的幾何形狀由滿跨 均佈靜載重決定，其線形為二次拋物線，式如下︰
L
2x L fx 4
y
(3-1)式中：x、y 分別為主纜上各點的橫座標及縱座標，
L
為跨徑，f
為矢 高，主纜的幾何線形不因為活載重作用而發生任何改變。將上式代入式(3-2)可求得加勁梁任意斷面的活載彎矩
M
：y H M
M p 0 p
(3-2)式中：
H —活載產生之主纜拉力的水平分力； p M —相應簡支梁的 0 p
活載彎矩。由於未考慮靜載重對懸索橋豎向剛度的貢獻，亦未考慮大位移的 非線性行為影響，彈性理論所獲得的加勁梁彎矩值有偏大之現象。對 小跨徑懸索橋言，這種誤差帶來的材料浪費並不明顯，但當跨徑增大 到一定程度時，彈性理論的計算結果將嚴重浪費，以致使人無法接 受，因此後來發展出考慮變形影響的懸索橋撓度理論。
3.2.2 撓度理論
隨著懸索橋跨度的增加，梁的剛度相對降低，使得結構的非線性
行為更為突顯，Ritter(1887)、Melan(1888)等人提出了考慮位移影響主 梁的“撓度理論＂【30】，確定了近代懸索橋分析的理論基礎。在此 基礎上，李國豪教授提出了等代梁法【31】，使影響線加載的原理得 到有效利用。基於撓度理論的假定，加勁梁任意斷面的活載彎矩
M
式如下：
M M
0H
gH
py
(3-3) 式中：M
0為靜載彎矩；H
g為靜載重產生的主纜水平力；H
p為活載 重產生的主纜水平分力；y
為主纜的初始座標；v
為主纜的豎向變位。撓度理論的基礎微分方程是非線性的，故所求得的閉合解是以包 含未知的活載重所引發之水平纜力
H 的型式出現，為此就須先假設 p
一個H ，將它代入微分方程式解出撓度 p v
，再代入一個表達相容條 件的纜索積分方程式，以便反求H 。為了保證其所得的 p H 與假設值 p
一致，因此，當不一致時就必須反覆進行同樣的計算，所以工作量很 大。特別是由於疊加原理不適用於非線性的情況，這就增加了解題的 難度。由於此原因，Timoshenko 在 1928 年提出了求解撓度理論基礎 微分方程的完備級數解法，但閉合解析解法和完備級數解法不適合計 算機運算，所以一些學者便開始另行尋求適於計算機應用的撓度理論 基礎方程數值解法。倉西茂在 1962 年及 Poskitt 在 1966 年提出的方 法採用了與撓度理論相同的假定，且不考慮吊索的拉伸，故可以看作 是對撓度理論二階型式的微分方程式的微分運算子進行差分離散化 的算法。這種算法不僅適用於計算機運算，而且適用性比撓度理論更 好。但在反映結構行為的精度方面，與撓度理論大致是相同的，這是 因為它們繼承了撓度理論不考慮吊索傾斜、不考慮主纜和加勁梁縱向位移等缺陷。
撓度理論在大跨度懸索橋的發展過程中，起了甚重要的作用，至 今仍不失為分析懸索橋較簡單實用的方法。但是由於其基本假設中忽 略了(1)吊索的傾斜與伸長；(2)主纜節點的水平位移；(3)主梁的剪切 變形等因素，使得分析結果的準確度受到限制【32】。
3.2.3 有限位移理論
隨著 1943 年有限元素分析分法的提出及發展，1966 年 Brotton
【33】首次建立了一種以矩陣位移法進行求解的通用懸索橋結構分析 法，可以考慮主纜因承受活載重對結構大位移的影響。從此，懸索橋 的分析進入了有限位移理論時代並迅速發展；另外，Brooton 把懸索 橋視為平面結構，建立剛度方程式且採用鬆弛法求解；Saafan 的結構 大位移理論；Tezcen 的大位移矩陣結構分析法，將撓度的二次影響全 包括進去，並建立了增量平行剛度方程式求非線性方程組的解。
所謂有限位移理論是相對於微小位移理論而言的，在微小位移理 論中，認為外力所產生的變形不影響力的平衡；而在有限位移理論 中，載重的平衡狀態是以變形後的結構狀態為基礎的。現代有限位移 理論往往是透過有限元素法來實現的，故其可以處理任意形式的初始 條件及邊界問題，而不再需要撓度理論中的那些假設。因此，採用有
型，其結果當然也就更為準確。