碩 士 論 文 中 華 大 學

中 華 大 學

碩 士 論 文

自錨式懸索橋靜態力學行為之研究

系別所：土木與工程資訊學系碩士班 學號姓名：M09404003 蕭裕民

指導教授：苟昌煥 博士 高金盛 博士

中華民國九十六年八月

誌謝

兩年的研究所生活，在不知不覺間已經接近尾聲，兩年的時間，

是學生最需要感謝的一段時光，因為有恩師 苟昌煥博士與淡江大學 營建系 高金盛博士在專業學術上的悉心指導，以及待人處事上的諄 諄教誨，使學生在各方面的知識都有豐富的收穫，也因有老師們的指 導，學生的論文才得以完成，在此致上最深的敬意與謝意。

同時要感謝本校所有指導過學生的老師們， 廖述濤老師， 李 錫霖老師， 張奇偉老師， 楊國湘老師， 徐增興老師， 范德威 老師，老師們的指教學生會永記於心。

在研究所生活中，除了有老師們的指導外，更有學長、同學及學 弟、妹們大力的幫助，在此特別感謝許富閔學長、張祐銘學長、鍾玉 鉉學長、蔡政霖學長、馬世瑋學長、郭冠廷學長、呂貞影學姊、郭宇 軒學長、李金龍學長以及同門同學江坤霖、林冠佑、范竣傑以及同門 學弟依仁、奕寧、智榮、士軒，與各位同窗等在學業上及生活中的互 相支持與鼓勵，使學生在研究所辛苦的課業中，仍感到十分快樂及溫 暖。

最後也將本文獻給關心我支持我的父母和家人，他們讓我在求學 階段中無後顧之憂，在此表達我最深切的謝意和祝福。

蕭裕民 謹致 中華民國九十六年六月

目錄

摘要... 1

ABSTRACT... 2

表目錄... 3

圖目錄... 4

第一章 緒論... 14

1.1 研究動機...14

1.2 研究目的...15

1.3 研究內容...15

第二章 文獻回顧 ... 17

2.1 自錨式懸索橋...17

2.2 懸索橋靜態荷載反應分析 ...18

2.3 懸索橋影響線分析 ...19

2.4 懸索橋極限承載能力分析 ...20

第三章 懸索橋基本架構與分析理論 ... 23

3.1 懸索橋之主要構件 ...23

3.2 懸索橋靜態荷載反應分析理論 ...25

3.2.1 彈性理論...25

3.2.3 有限位移理論...28

3.3 懸索橋影響線分析理論 ...29

3.3.1 換算剛度法...29

3.3.2 位移互等定理...35

3.3.3 有限元素法...39

3.4 懸索橋極限承載分析理論 ...41

3.4.1 折減勁度法...42

3.4.2 材料應力－應變關係...44

3.5 計算流程...47

3.5.1 靜態荷載計算流程...47

3.5.2 影響線計算流程...48

3.5.3 極限荷載計算流程...49

第四章 自錨式懸索橋之靜態荷載反應分析 ... 50

4.1 分析基本資料...50

4.2 分析模式...51

4.3 分析結果與探討比較 ...54

4.3.1 地錨式與自錨式懸索橋之靜態荷載反應 ...54

4.3.2 幾何形狀變化對自錨式懸索橋靜態荷載反應之影響 ..56

4.3.3 結構參數變化對自錨式懸索橋靜態荷載反應之影響 ..61

4.4 小結...79

第五章 自錨式懸索橋之影響線分析 ... 81

5.1 分析模式...81

5.2 分析結果與探討比較 ...81

5.2.1 地錨式與自錨式懸索橋之影響線 ...81

5.2.2 幾何形狀變化對自錨式懸索橋影響線之影響 ...84

5.2.3 結構參數變化對自錨式懸索橋影響線之影響 ...92

5.3 小結...115

第六章 自錨式懸索橋之極限承載能力分析 ... 117

6.1 基本分析資料...117

6.2 分析模式...117

6.3 分析結果與探討比較 ...118

6.3.1 自錨式懸索橋之極限承載能力 ...118

6.3.2 結構參數變化對自錨式懸索橋極限承載能力之影響 122 6.4 小結...142

第七章 結論與建議 ...144

7.1 結論...144

7.2 建議...145

摘要

自錨式懸索橋體系屬於由主纜和主梁構成的一種柔性懸索組合 體系，它的跨越能力佳，受力分佈合理，最能發揮材料特性。本文針 對地錨式與自錨式懸索橋的力學行為進行模式建立與分析比較，並探 討比較地錨式與自錨式懸索橋力學行為之差異，以及探討比較矢跨 比、主梁拱度等因素對自錨式懸索橋力學行為之影響。

在橋梁結構分析時，一般需藉由影響線和極限承載能力分析來確 定活載重的臨界位置，進而得出斷面最大應力值，以作為斷面設計之 依據，因此如何針對非線性與高靜不定度的懸索橋進行影響線分析，

便成為一項值得探討的研究課題。

關鍵字：懸索橋、自錨式、影響線、極限承載

ABSTRACT

Suspension bridges of self-anchored are structures of flexible suspension assemblages with main cables and girders. This kind of structures usually has excellent spanning capability and reasonable loading distribution and therefore the strength of materials can be fully utilized. In this paper the numerical models for simulating the mechanical behavior of earth-anchored and self-anchored suspension bridges were setup for analysis and comparison purposes. In addition, the effects of span ratio, cambering of main girders, and shrinking and creeping of concrete on the mechanical behavior of the bridges will be studied.

During the structural analysis of a bridge, it is generally required to verify the critical positions of live loads by way of influence line analysis and limit load-bearing capacity analsis, for attaining the maximum stress value of a section - as the basis for the section design. It is therefore worthwhile to explore the subject of nonlinearity and high statical indeterminacy of a suspension bridge.

Key words:Suspension, Self-anchored, Influence, Limit load-bearing

表目錄

表4-1 懸索橋斷面參數 ...51

表4-2 結構參數表 ...53

表4-3 地錨式與自錨式懸索橋計算結果之比較...56

表4-4 矢跨比改變對自錨式懸索橋分析結果之比較...59

表4-5 有無拱度對自錨式懸索橋分析結果比較...61

表4-6 改變結構參數對自錨式懸索橋分析結果比較...78

表5-2 矢跨比改變對自錨式懸索橋分析結果之比較...89

表5-3 有無拱度對自錨式懸索橋分析結果比較...92

表5-4(a) 改變結構參數對自錨式懸索橋分析結果比較 ...113

表5-4(b) 改變結構參數對自錨式懸索橋分析結果比較 ...114

圖目錄

圖3-1 地錨式懸索橋的構造型式...24

圖3-2 自錨式懸索橋的構造型式...25

圖3-3 連續梁是意圖 ...30

圖3-4 一端固定一端鉸接梁示意圖...30

圖3-5 兩端固定梁示意圖 ...31

圖3-6 連續梁剖析圖 ...33

圖3-7 一端固定一端鉸接梁示意圖...34

圖3-8 兩端固定梁示意圖 ...35

圖3-9 簡支梁 ...35

圖3-10 第一狀態 ...36

圖3-11 單元節點力 ...36

圖3-12 單元節點位移 ...36

圖3-13 第二種狀態 ...38

圖3-14 混凝土的應力－應變關係...45

圖3-15 鋼材的應力－應變關係...45

圖3-16 主纜及吊索鋼絲的應力－應變關係...46

圖3-16 懸索橋靜態荷載計算流程圖...47

圖3-18 懸索橋極限荷載計算流程圖...49

圖4-1(a) 主梁斷面...50

圖4-1(b) 懸索橋側面形狀 ...50

圖4-2(a) LINK10 元素………50

圖4-2(b) LINK8 元素………..50

圖4-2(c) BEAM4 元素 ...51

圖4-3(a) 地錨式懸索橋加載示意圖...52

圖4-3(b) 自錨式懸索橋加載示意圖 ...52

圖4-4 矢跨比定義之示意圖 ...52

圖4-5 主梁軸力圖 ...54

圖4-6 主梁剪力圖 ...55

圖4-7 主梁彎矩圖 ...55

圖4-8 主梁變位圖 ...56

圖4-8 矢跨比改變對自錨式懸索橋跨中軸力之比較...57

圖4-9 矢跨比改變對自錨式懸索橋跨中剪力之比較...57

圖4-10 矢跨比改變對自錨式懸索橋跨中彎矩之比較...58

圖4-11 矢跨比改變對自錨式懸索橋跨中變位之比較...58

圖4-12 有無拱度對自錨式懸索橋主梁軸力比較圖...59

圖4-13 有無拱度對自錨式懸索橋主梁剪力比較圖...60

圖4-14 有無拱度對自錨式懸索橋主梁彎矩比較圖...60

圖4-15 有無拱度對自錨式懸索橋主梁變位比較圖...61

圖4-16 改變主纜彈性模數對自錨式懸索橋主梁軸力比較圖...62

圖4-17 改變主纜彈性模數對自錨式懸索橋主梁剪力比較圖...62

圖4-18 改變主纜彈性模數對自錨式懸索橋主梁彎矩比較圖...63

圖4-19 改變主纜彈性模數對自錨式懸索橋主梁位移比較圖...63

圖4-20 改變主塔彈性模數對自錨式懸索橋主梁軸力比較圖...64

圖4-21 改變主塔彈性模數對自錨式懸索橋主梁剪力比較圖...64

圖4-22 改變主塔彈性模數對自錨式懸索橋主梁彎矩比較圖...65

圖4-23 改變主塔彈性模數對自錨式懸索橋主梁位移比較圖...65

圖4-24 改變主梁彈性模數對自錨式懸索橋主梁軸力比較圖...66

圖4-25 改變主梁彈性模數對自錨式懸索橋主梁剪力比較圖...66

圖4-26 改變主梁彈性模數對自錨式懸索橋主梁彎矩比較圖...67

圖4-27 改變主梁彈性模數對自錨式懸索橋主梁位移比較圖...67

圖4-28 改變吊索彈性模數對自錨式懸索橋主梁軸力比較圖...68

圖4-29 改變吊索彈性模數對自錨式懸索橋主梁剪力比較圖...68

圖4-30 改變吊索彈性模數對自錨式懸索橋主梁彎矩比較圖...69

圖4-31 改變吊索彈性模數對自錨式懸索橋主梁位移比較圖...69

圖4-33 改變主纜斷面積對自錨式懸索橋主梁剪力比較圖...70

圖4-34 改變主纜斷面積對自錨式懸索橋主梁彎矩比較圖...71

圖4-35 改變主纜斷面積對自錨式懸索橋主梁位移比較圖...71

圖4-36 改變主梁斷面積對自錨式懸索橋主梁軸力比較圖...72

圖4-37 改變主梁斷面積對自錨式懸索橋主梁剪力比較圖...72

圖4-38 改變主梁斷面積對自錨式懸索橋主梁彎矩比較圖...73

圖4-39 改變主梁斷面積對自錨式懸索橋主梁位移比較圖...73

圖4-40 改變主塔彈性模數對自錨式懸索橋主梁軸力比較圖...74

圖4-41 改變主塔彈性模數對自錨式懸索橋主梁剪力比較圖...74

圖4-42 改變主塔彈性模數對自錨式懸索橋主梁彎矩比較圖...75

圖4-43 改變主塔彈性模數對自錨式懸索橋主梁位移比較圖...75

圖4-44 改變主梁慣性矩對自錨式懸索橋主梁軸力比較圖...76

圖4-45 改變主梁慣性矩對自錨式懸索橋主梁剪力比較圖...76

圖4-46 改變主梁慣性矩對自錨式懸索橋主梁彎矩比較圖...77

圖4-47 改變主梁慣性矩對自錨式懸索橋主梁位移比較圖...77

圖5-1 主梁軸力影響線包絡圖 ...82

圖5-2 主梁剪力影響線包絡圖 ...82

圖5-3 主梁彎矩影響線包絡圖 ...83

圖5-4 主梁變位影響線包絡圖 ...83

圖5-5 矢跨比改變對自錨式懸索橋跨中最大正軸力之比較...85

圖5-6 矢跨比改變對自錨式懸索橋跨中最大負軸力之比較...85

圖5-7 矢跨比改變對自錨式懸索橋跨中最大正剪力之比較...86

圖5-8 矢跨比改變對自錨式懸索橋跨中最大負剪力之比較...86

圖5-9 矢跨比改變對自錨式懸索橋跨中最大正彎矩之比較...87

圖5-10 矢跨比改變對自錨式懸索橋跨中最大負彎矩之比較...87

圖5-11 矢跨比改變對自錨式懸索橋跨中最大正位移之比較...88

圖5-12 矢跨比改變對自錨式懸索橋跨中最大負位移之比較...88

圖5-13 有無拱度對自錨式懸索橋主梁軸力影響線包絡比較圖...90

圖5-14 有無拱度對自錨式懸索橋主梁剪力影響線包絡比較圖...90

圖5-15 有無拱度對自錨式懸索橋主梁彎矩影響線包絡比較圖...91

圖5-16 有無拱度對自錨式懸索橋主梁位移影響線包絡比較圖...91

圖5-17 改變主纜彈性模數對自錨式懸索橋主梁軸力影響線包絡比較 圖...93

圖5-18 改變主纜彈性模數對自錨式懸索橋主梁剪力影響線包絡比較 圖...93

圖5-19 改變主纜彈性模數對自錨式懸索橋主梁彎矩影響線包絡比較 圖...94

圖...94 圖5-21 改變主塔彈性模數對自錨式懸索橋主梁軸力影響線包絡比較 圖...95 圖5-22 改變主塔彈性模數對自錨式懸索橋主梁剪力影響線包絡比較 圖...96 圖5-23 改變主塔彈性模數對自錨式懸索橋主梁彎矩影響線包絡比較 圖...96 圖5-24 改變主塔彈性模數對自錨式懸索橋主梁位移影響線包絡比較 圖...97 圖5-25 改變主梁彈性模數對自錨式懸索橋主梁軸力影響線包絡比較 圖...98 圖5-26 改變主梁彈性模數對自錨式懸索橋主梁剪力影響線包絡比較 圖...98 圖5-27 改變主梁彈性模數對自錨式懸索橋主梁彎矩影響線包絡比較 圖...99 圖5-28 改變主梁彈性模數對自錨式懸索橋主梁位移影響線包絡比較 圖...99 圖5-29 改變吊索彈性模數對自錨式懸索橋主梁軸力影響線包絡比較 圖...100

圖5-30 改變吊索彈性模數對自錨式懸索橋主梁剪力影響線包絡比較 圖...101 圖5-31 改變吊索彈性模數對自錨式懸索橋主梁彎矩影響線包絡比較 圖...101 圖5-32 改變吊索彈性模數對自錨式懸索橋主梁位移影響線包絡比較 圖...102 圖5-33 改變主纜斷面積對自錨式懸索橋主梁軸力影響線包絡比較圖 ...103 圖5-34 改變主纜斷面積對自錨式懸索橋主梁剪力影響線包絡比較圖 ...103 圖5-35 改變主纜斷面積對自錨式懸索橋主梁彎矩影響線包絡比較圖 ...104 圖5-36 改變主纜斷面積對自錨式懸索橋主梁位移影響線包絡比較圖 ...104 圖5-37 改變主梁斷面積對自錨式懸索橋主梁軸力影響線包絡比較圖 ...105 圖5-38 改變主梁斷面積對自錨式懸索橋主梁剪力影響線包絡比較圖 ...106 圖5-39 改變主梁斷面積對自錨式懸索橋主梁彎矩影響線包絡比較圖 ...106 圖5-40 改變主梁斷面積對自錨式懸索橋主梁位移影響線包絡比較圖 ...107

...108

圖5-42 改變吊索斷面積對自錨式懸索橋主梁剪力影響線包絡比較圖 ...108

圖5-43 改變吊索斷面積對自錨式懸索橋主梁彎矩影響線包絡比較圖 ...109

圖5-44 改變吊索斷面積對自錨式懸索橋主梁位移影響線包絡比較圖 ...109

圖5-45 改變主梁慣性矩對自錨式懸索橋主梁軸力影響線包絡比較圖 ...110

圖5-46 改變主梁慣性矩對自錨式懸索橋主梁剪力影響線包絡比較圖 ...111

圖5-47 改變主梁慣性矩對自錨式懸索橋主梁彎矩影響線包絡比較圖 ...111

圖5-48 改變主梁慣性矩對自錨式懸索橋主梁位移影響線包絡比較圖 ...112

圖6-1 懸索橋側面形狀 ...117

圖6-2 為加載模式的示意圖 ...118

圖6-3 吊索拉力圖 ...119

圖6-4 主纜拉力圖 ...119

圖6-5 主梁跨中位移圖 ...120

圖6-6 側跨中點位移圖 ...120

圖6-7 塔頂水平位移圖 ...121

圖6-8 主梁軸力圖 ...121

圖6-9 主梁剪力圖 ...122

圖6-10 主梁彎矩圖 ...122

圖6-11 改變主纜彈性模數吊索拉力比較圖 ...124

圖6-12 改變主纜彈性模數主纜拉力比較圖...124

圖6-13 改變主纜彈性模數主梁跨中位移比較圖...125

圖6-14 改變主纜彈性模數側跨中點位移比較圖...125

圖6-15 改變主纜彈性模數塔頂水平位移比較圖...126

圖6-16 改變主纜彈性模數主梁軸力比較圖...126

圖6-17 改變主纜彈性模數主梁剪力比較圖...127

圖6-18 改變主纜彈性模數主梁彎矩比較圖...127

圖6-19 改變主梁彈性模數吊索拉力比較圖...129

圖6-20 改變主梁彈性模數主纜拉力比較圖...129

圖6-21 改變主梁彈性模數主梁跨中位移比較圖...130

圖6-22 改變主梁彈性模數側跨中點位移比較圖...130

圖6-23 改變主梁彈性模數塔頂水平位移比較圖...131

圖6-24 改變主梁彈性模數主梁軸力比較圖...131

圖6-25 改變主梁彈性模數主梁剪力比較圖...132

圖6-26 改變主梁彈性模數主梁彎矩比較圖...132

圖6-28 改變吊索彈性模數主纜拉力比較圖...134 圖6-29 改變吊索彈性模數主梁跨中位移比較圖...135 圖6-30 改變吊索彈性模數側跨中點位移比較圖...135 圖6-31 改變吊索彈性模數塔頂水平位移比較圖...136 圖6-32 改變吊索彈性模數主梁軸力比較圖...136 圖6-33 改變吊索彈性模數主梁剪力比較圖...137 圖6-34 改變吊索彈性模數主梁彎矩比較圖...137 圖6-35 改變橋塔彈性模數吊索拉力比較圖...139 圖6-36 改變橋塔彈性模數主纜拉力比較圖...139 圖6-37 改變橋塔彈性模數主梁跨中位移比較圖...140 圖6-38 改變橋塔彈性模數側跨中點位移比較圖...140 圖6-39 改變橋塔彈性模數塔頂水平位移比較圖...141 圖6-40 改變橋塔彈性模數主梁軸力比較圖...141 圖6-41 改變橋塔彈性模數主梁剪力比較圖...142 圖6-42 改變橋塔彈性模數主梁彎矩比較圖...142

第一章 緒論

1.1 研究動機

臺灣地勢陡峭，於颱風暴雨侵襲時，由於河川水量暴漲加上水流 流速湍急，甚至加上河面漂流物以及土石流，常使得跨河橋梁之河中 橋墩遭到沖毀、造成橋梁坍塌，用路人生命及財物損失。有鑑於此，

經濟部水利署於民國 90 年頒佈之跨河建造物設置審核要點內，建議 採用大跨度及減少落墩數為未來不論是新建或是改建橋梁之設計準 則，使得斜張橋與懸索橋成為未來興建橋梁之重要趨勢。

懸索橋無論是採用地錨式或自錨式，體系都屬於由主纜、吊索與 主梁構成的柔性組合結構，具有跨越能力佳，受力分佈合理，最能發 揮材料特性的優點。相對於地錨式懸索橋而言，自錨式懸索橋不需要 修建體積龐大的錨固體，不受限制於地形及地質較差的地區，而且使 用混凝土材料可以克服以往懸索橋用鋼量大，後期維護費較高的缺 點。另外，主纜錨固於主梁兩端所提供的水平軸力，對於混凝土這種 抗壓能力好的材料來說是相當於提供了免費的預應力。

然而懸索橋係由許多構件組合而成，各個構件的材料性能及幾何 尺寸等基本設計參數常存在甚多不確定性。而且各個基本設計參數對 橋梁結構力學反應的影響程度也不盡相同，因此有必要探討這些基本

士在設計懸索橋前有粗淺之認識，本文之研究成果將可供國內工程實 務界與學術界人士參酌引用。

1.2 研究目的

先藉由靜態荷載分析對自錨式懸索橋結構力學有初步的了解，並 對地錨式和自錨式懸索橋進行比較，以便了解兩者在結構力學行為之 差異。

在橋梁結構分析時，一般需藉由影響線來確定活載重的臨界位置 以及進行極限承載能力分析，進而得出斷面最大應力值，以作為斷面 設計之依據，因此如何針對非線性與高靜不定度的懸索橋進行影響線 及極限承載能力分析，便成為一項值得探討的研究課題。

為了明確了解懸索橋的基本結構行為，除了進行基本的靜態荷載 分析外，並針對改變自錨式懸索橋的主纜、主梁、吊索及橋塔的結構 參數（彈性模數、斷面積、慣性矩）以及懸索橋的幾何形狀（矢跨比、

有無拱度）進行分析比較，探討這些設計基本參數對自錨式懸索橋結 構力學的反應影響，以作為往後設計的參考資料。

1.3 研究內容

本論文之研究內容分為七個部份，各章節內容概述如下：

第一章：緒論。內容包含研究動機、目的及研究內容。

第二章：文獻回顧。蒐集國內外相關文獻，並做一簡要說明。

第三章：懸索橋基本架構與分析理論。說明橋梁基本特性及影響 線與極限承載分析理論。

第四章：自錨式懸索橋之靜態荷載反應分析。進行幾何形狀、結 構參數變化對自錨式懸索橋靜態荷載反應之影響。

第五章：自錨式懸索橋之影響線分析。進行幾何形狀、結構參數 變化對自錨式懸索橋影響線之影響。

第六章：自錨式懸索橋之極限承載能力分析。進行幾何形狀、結 構參數變化對自錨式懸索橋極限承載能力之影響。

第七章：結論與建議。對本文之案例分析做一完整的結論說明以 及對後續研究方向的建議。

第二章 文獻回顧

2.1 自錨式懸索橋

2002 年樓莊鴻,嚴文彪【1】 述了自錨式懸索橋的優缺點，介紹

了日本、韓國、美國、愛沙尼亞幾座自錨式懸索橋的情況。

2003 年張哲和石磊等【2】提出混凝土自錨式懸索橋的受力特徵 以及與地錨式懸索橋的差別，透過實例計算，研究其拱度、矢跨比變 化時引起的內力變化規律，以及混凝土收縮、潛變對內力影響的規 律，其中，對於中小跨度的自錨式懸索橋而言，除了主梁的軸力偏大 以外，結構其餘內力與地錨式懸索橋的差別不大。

2005 年樓莊鴻和酈鈴福【3】介紹了中國已建和正在施工中的一 些自錨式懸索橋，有獨塔、雙塔；加勁梁有混凝土梁、鋼混組合梁、

鋼樑及鋼管混凝土桁架梁；結構體系有塔梁固結、塔梁墩固結及飄浮 體系，主纜採用平行鋼絲成品索及鋼絞線。

2005 年徐風雲和陳德榮等【4】介紹自錨式懸索橋發展概況,對這 種橋型的合理性及施工方法進行分析評價。論證了自錨體系是“軸向 力自平衡閉環傳遞系統＂,因而不會發生鋼箱梁整體失穩問題。

2006 年孫立剛【5】提出自錨式懸索橋的特點，並介紹了自錨式 懸索橋的建造歷史、結構形式、理論研究、設計和施工等方面的發展 狀況。

2.2 懸索橋靜態荷載反應分析

1993 年 Carl C. ULstrup【6】提出了於不同載重案例下懸索橋之

狀態，其懸索橋之原理可以使用實際的答案在勁度桁架或錨定應力的 決定、撓度及旋轉，其皆為充分確定的。

2001 年 Gregor P. Wollmann【7】整理了懸索橋撓度理論的基本分 析之基礎方程式的由來，並提出此方法可提供並得到合理的數值分析 與簡易案例的驗證及提出在自錨式懸索橋中有限元素模型與垂直吊 索的結果若以撓度理論而言，必須為正確的。

2004 年王天雄【8】在懸索橋整體構想、結構型式擬定、計算理 論和方法、力學特性等方面的論述中，認為於力學特性研究中的分析 數據可為懸索橋的結構設計及合理選擇主纜線型提供一定的參考價 值。

2005 年張志國和鄒振祝等【9】指出，若懸索橋主纜之自重是沿 弧長均勻分佈，而加勁梁與橋面等其餘靜載重是沿水平均勻分佈時，

提出考慮和不考慮主纜彈性拉長對主纜線性比重影響的計算模型，根 據主纜力學平衡關係，藉由加入一個參數，分別導出了懸索橋主纜成 橋線形的解析參數方程式。

2005 年譚冬蓮【10】通過有限位移理論和解析迭代法，對基本

法，以主纜為切入點，在確定主纜狀態及吊索、加勁梁內力的情況之 下，最終得到主纜和吊索的無應力長度及施工結構狀態。

2.3 懸索橋影響線分析

1986 年王國鼎【11】運用換算剛度法的基本原理，對連續梁的 內力分析，提供了比較簡單的計算方法。並利用此原理計算一般連續 梁的內力影響線。

1988 年胡世駿和陸世元【12】應用變形體虛功原理導出連續梁 的影響方程式，把傳統力學基本理論和CAD 方法相結合，用於解決 連續梁的內力與位移計算。

1994 年余蓮英和李明瑞【13】以功與位移互等定理為基本理論，

提出一種計算任意結構位移和內力影響圖的有限元算法。

1995 年唐燮黎【14】提出求結構影響線方程式的系統方法，式 中的參數由力法分析，他歸結為求解一組三對角方程採用追趕法解方 程式無須矩陣求逆以減少計算，連續梁上任意截面的彎矩、剪力以及 支承返力的影響線方程可根據疊加原理由支承彎矩的影響線方程得 到。

1998 年郭向榮和戴公連【15】基於動態規則法加載原理，將橋 梁結構傳統的影響線加載拓展成影響面加載以便獲得橋梁結構最不 利荷載效應質。

2000 年蔣志剛和劉滋銀【16】應用彈性結構的互等定理和疊加 原理，按位移計算多跨連續曲線梁橋和彎形剛構橋的內力、變形影響 線。

2003 年吳暉【17】利用功的互等原理和局部座標系下梁單元的 剛度方程，推導矩陣位移法計算桿細結構指定截面內力影響線的方 法。

2004 年李華和劉軍【18】應用純扭轉理論對常見的約束扭轉簡 支承等截面連續曲線梁進行分析，推導單位豎向荷載和單位扭矩作用 下的內力影響線方程。

2005 年李華和武蘭河【19】基於純扭轉理論單根曲線梁法，對 約束扭轉簡支承等截面連續曲線梁進行分析，求出單位豎向荷載和單 位扭矩作用下的內力影響線。

2005 年王家林、彭凱和孫全勝【20】提出應用平面桿細有限元 程序來分析橋梁橫向分佈影響線的計算模型。

2.4 懸索橋極限承載能力分析

1998 年田啟賢【21】介紹了一種基於有限元理論的懸索橋非線 性方法。對懸索橋的非線性特徵進行了論述和驗證，並將非線性分析 的計算結果與模型試驗的結果進行了比較。

法導出的幾何非線性方程出發，對於纜索採用具有較小抗彎剛度參數 的梁單元，對懸索橋的施工過程及使用階段進行了全過程的幾何非線 性分析，繪製了完整的Ｐ－δ曲線。

2000 年潘家英、張國政和程慶國【23】介紹用幾何非線性及材 料非線性耦合的方法分析大跨度橋樑的極限承載力問題。幾何非線性 採用 UL 列式法，材料非線性採用分層有限單元法，兩者結合達到了 既保證計算精度又節省內存及機時的目的。通過算例驗證，該法已被 成功地應用於一座鐵路是索橋方案的極限承載力分析。

2000 年奉龍成、汪宏和趙人達【24】對平面杆系幾何非線性的 有限元理論和鋼筋混凝土拱橋受力行為幾何與材料非線性分析作了 簡要的介紹，推導了割線剛度矩陣關於位移的顯式。採用所編的程序 對文獻提供的兩個模型拱進行了計算分析，可見幾何與材料非線性耦 合分析的數值計算更加接近實驗結果，還可見拱的極限承載能力主要 受材料非線性的影響。

2004 年邱文亮【25】結合工程實際，在自錨式懸索橋的受力性 能、極限跨度、極限承載力以及施工控制方面進行了研究和探討。

2006 年邱文亮和張哲【26】全面考慮結構的材料非線性和幾何 非線性，通過對一座跨徑160 m 混凝土自錨式懸索橋進行全過程非線 性分析，得到了結構的極限承載力。同時研究了材料非線性、加載方

式、約束條件對結構極限承載力的影響。結果表明，混凝土自錨式懸 索橋的彈塑性極限承載力遠小於彈性極限承載力，中跨加載情況的極 限承載力與全橋加載情況相差不大，但主纜錨固端主樑的約束情況對 結構的極限承載力影響較大。

第三章 懸索橋基本架構與分析理論

3.1 懸索橋之主要構件

懸索橋主要是由主纜、橋塔及加勁梁所組成的結構體，其次的構 件包括鞍座、連接主纜與加勁梁的吊索及錨固主纜的錨固體等。而主 纜是承載荷載最主要的構件。以下將針對五個主要構件來說明：

(1) 主纜

懸索橋主要的承載構件。經由吊索承受活載和加勁梁的自重，主 要是承受拉力作用，此外，主纜還承擔一部分的橫向風荷載並將它直 接傳遞到橋塔頂部。主纜有很大的初始張力，對於後續結構形狀提供 強大的“重力勁度＂，而這也是懸索橋可以使用大跨徑的主要原因。

目前設計的主纜大部分為二次拋物線的形狀。

(2) 吊索

為傳遞活載與加勁梁自重到主纜的構件。吊索的佈置形式有垂直 式和傾斜式，而其初始軸力的大小，將會決定加勁梁的靜載彎矩，是 研究懸索橋成橋狀態的主要關鍵。

(3) 橋塔

支撐主纜的重要構件。橋塔是懸索橋抵抗垂直向荷載的主要承重 構件，並傳遞到下部的橋墩和基礎。而橋塔在靜載重的作用下，以受 壓之軸力為主；在活載重的作用下，以負彎矩為主，呈現梁柱的構件

特徵。

(4) 加勁梁

其主要功能是提供橋面主要的結構勁度，防止過大的撓曲和扭曲 變形，並且是承受橫向水平力的主要構件。懸索橋大部分的荷載都是 由主纜來承擔，使得加勁梁的功能退化成將荷載傳遞到主纜其自身抗 彎能力對結構的影向也逐漸減小。

(5) 錨固構造

錨固構造是錨固主纜的主要構件。在地錨式懸索橋中，如圖 3-1，

將主纜中的拉力經重力式錨固體(錨定)或岩洞式錨固體(岩錨)傳給基 底，因此在錨固體處一般要求地基具有較大的承載力，最好是有良好 的岩層作持力地基。而在自錨式懸索橋中，如圖 3-2，是將主纜錨定 在加勁梁的兩端，因此會使加勁梁產生較大的水平軸力，並且還承受 主纜的豎向分力而受彎，所以應該盡量減小錨固處主纜與加勁梁的水 平夾角以減小豎向上拔力。

錨固體

圖 3-2 自錨式懸索橋的構造型式 3.2 懸索橋靜態荷載反應分析理論

懸索橋通常是由主纜、支承主纜的橋塔、錨固纜索的錨定、直接

承受交通荷載的加勁梁以及將加勁梁和主纜聯繫在一起的吊索所組 成，因而在理論上的懸索橋應是索和梁的組合結構體系。

懸索橋在豎向荷載作用下的分析理論發展過程中展現了人們對 懸索橋結構特性的認識越趨正確，期間經歷了彈性理論、撓度理論和 有限位移理論三個階段，由此構成了近代懸索橋的理論基礎。

3.2.1 彈性理論

1823 年法國 Navier 首次發表無加勁懸索橋計算理論【27】，在經

過Rankine 及 D.B.Steinman 等學者修正整理後，逐步形成後來使用的 標準理論型式【28】【29】。

在利用彈性理論對懸索橋結構進行力學行為分析時，一般均假設 活載重對結構變形的影響可忽略不計，懸索橋主纜的幾何形狀由滿跨 均佈靜載重決定，其線形為二次拋物線，式如下︰

L

2

x L fx 4

y

(3-1)

式中：x、y 分別為主纜上各點的橫座標及縱座標，

L

為跨徑，

f

為矢 高，主纜的幾何線形不因為活載重作用而發生任何改變。

將上式代入式(3-2)可求得加勁梁任意斷面的活載彎矩

M

：

y H M

M _p ⁰ _p

(3-2)

式中：

H —活載產生之主纜拉力的水平分力； _p M —相應簡支梁的 ⁰ _p

活載彎矩。

由於未考慮靜載重對懸索橋豎向剛度的貢獻，亦未考慮大位移的 非線性行為影響，彈性理論所獲得的加勁梁彎矩值有偏大之現象。對 小跨徑懸索橋言，這種誤差帶來的材料浪費並不明顯，但當跨徑增大 到一定程度時，彈性理論的計算結果將嚴重浪費，以致使人無法接 受，因此後來發展出考慮變形影響的懸索橋撓度理論。

3.2.2 撓度理論

隨著懸索橋跨度的增加，梁的剛度相對降低，使得結構的非線性

行為更為突顯，Ritter(1887)、Melan(1888)等人提出了考慮位移影響主 梁的“撓度理論＂【30】，確定了近代懸索橋分析的理論基礎。在此 基礎上，李國豪教授提出了等代梁法【31】，使影響線加載的原理得 到有效利用。基於撓度理論的假定，加勁梁任意斷面的活載彎矩

M

式

如下：

M M

₀

H

_g

H

_p

y

(3-3) 式中：

M

₀為靜載彎矩；

H

_g為靜載重產生的主纜水平力；

H

_p為活載 重產生的主纜水平分力；

y

為主纜的初始座標；

v

為主纜的豎向變位。

撓度理論的基礎微分方程是非線性的，故所求得的閉合解是以包 含未知的活載重所引發之水平纜力

H 的型式出現，為此就須先假設 _p

一個

H ，將它代入微分方程式解出撓度 _p v

，再代入一個表達相容條 件的纜索積分方程式，以便反求

H 。為了保證其所得的 _p H 與假設值 _p

一致，因此，當不一致時就必須反覆進行同樣的計算，所以工作量很 大。特別是由於疊加原理不適用於非線性的情況，這就增加了解題的 難度。由於此原因，Timoshenko 在 1928 年提出了求解撓度理論基礎 微分方程的完備級數解法，但閉合解析解法和完備級數解法不適合計 算機運算，所以一些學者便開始另行尋求適於計算機應用的撓度理論 基礎方程數值解法。倉西茂在 1962 年及 Poskitt 在 1966 年提出的方 法採用了與撓度理論相同的假定，且不考慮吊索的拉伸，故可以看作 是對撓度理論二階型式的微分方程式的微分運算子進行差分離散化 的算法。這種算法不僅適用於計算機運算，而且適用性比撓度理論更 好。但在反映結構行為的精度方面，與撓度理論大致是相同的，這是 因為它們繼承了撓度理論不考慮吊索傾斜、不考慮主纜和加勁梁縱向

位移等缺陷。

撓度理論在大跨度懸索橋的發展過程中，起了甚重要的作用，至 今仍不失為分析懸索橋較簡單實用的方法。但是由於其基本假設中忽 略了(1)吊索的傾斜與伸長；(2)主纜節點的水平位移；(3)主梁的剪切 變形等因素，使得分析結果的準確度受到限制【32】。

3.2.3 有限位移理論

隨著 1943 年有限元素分析分法的提出及發展，1966 年 Brotton

【33】首次建立了一種以矩陣位移法進行求解的通用懸索橋結構分析 法，可以考慮主纜因承受活載重對結構大位移的影響。從此，懸索橋 的分析進入了有限位移理論時代並迅速發展；另外，Brooton 把懸索 橋視為平面結構，建立剛度方程式且採用鬆弛法求解；Saafan 的結構 大位移理論；Tezcen 的大位移矩陣結構分析法，將撓度的二次影響全 包括進去，並建立了增量平行剛度方程式求非線性方程組的解。

所謂有限位移理論是相對於微小位移理論而言的，在微小位移理 論中，認為外力所產生的變形不影響力的平衡；而在有限位移理論 中，載重的平衡狀態是以變形後的結構狀態為基礎的。現代有限位移 理論往往是透過有限元素法來實現的，故其可以處理任意形式的初始 條件及邊界問題，而不再需要撓度理論中的那些假設。因此，採用有

型，其結果當然也就更為準確。

3.3 懸索橋影響線分析理論

在設計結構斷面時，必須依此斷面可能產生的最大應力來進行設 計，例如，在鋼筋混凝土結構設計中，為了配置鋼筋，則必須知道各 斷面之內力在靜載重和活載重共同作用下的最大值。連結各斷面最大 內力值所形成的曲線就稱為內力包絡線，而內力包絡線是工程師在結 構設計時之重要依據。

目前計算影響線較多使用的方法有：換算剛度法、有限元素法、

CAD 法等等…其基本原理列舉如下：

3.3.1 換算剛度法

利用換算剛度法的基本原理，可以方便的求出連續梁的支承彎矩 影響線，計算步驟如下：

1. 求單跨梁的抗彎剛度及傳遞抗彎剛度 2. 計算單跨梁的固端彎矩影響線

3. 求連續梁的換算抗彎剛度 4. 求各支承轉角

5. 利用位移互等定理計算連續梁的支承兩端彎矩影響線

圖 3-3 所示的連續梁中，當 a 截面產生單位轉角( 1)時，a 點所 需施加的彎矩值，稱為連續梁的換算抗彎剛度

S

_A,a，

S

_A,a中第二個下角

a 表示連續梁的梁數目。

圖3-3 連續梁是意圖

計算連續梁的換算剛度時，需要知道單跨梁的抗彎剛度。在兩端 固定梁中，尚須知道梁的傳遞抗彎剛度。先求單跨梁抗彎剛度及傳遞 抗彎剛度的一般計算公式，作為計算多跨連續梁換算抗彎剛度的基 礎。

1. 一端固定一端鉸接梁

如圖3-4(a)所示一般單跨梁，當 b 端產生單位轉角( _b 1)時，b 端所施加的力矩為

S

_b,ao，取圖3-4(b)為基本結構，由力法方程得

圖3-4 一端固定一端鉸接梁示意圖

X

_{1 11 1p} 0

1 1

1 p

l M x

，

1 2 i a 1 a

0 1 2

i a

1 _a

1 a S

^Aa

I

1

I

₂

I

_i

I

_{a 1}

I

_a

S

ab

A

_b

1 B

a

X

1

A B

b X

1 0

2 2

1 0

2 11 1

1 1

1

EI dx x

l EI dx

S M X

x x p

ba (3-4)

當

EI

_x

E

I(常數)時

i

l EI

ba 3 3

S

2. 兩端固定梁

圖3-5(a)所示一般單跨梁，當 a 端產生單位轉角( _a 1)時，a 端 所需施加的力矩為

S

_ab，b 端的力矩為

CS

_ab(方向如圖 3-5(a))。

取圖3-5(b)為基本結構，由力法方程得

圖3-5 兩端固定梁示意圖

0 0

2 22 2 21 1

1 12 2 11 1

p p

X X

X

X

(3-5)

0 1 ₂

1p ， p

將上式帶入(3-4)得

2 12 22 11

12 2

2 12 22 11

22 1

X CS

X S

ab

ab (3-6)

CS

ab

A B

a

1 a

S

ab

X

1

A B

b X

X

2

式中

1 0

1 0

2 2 2

2 22

1 0

1 2 0 2

1 12

1 0

1 0

2 2

2 1 11

1

) ( 1

) ( 1

EI dx x dx l

EI M

EI dx x l x dx l

EI M M

EI dx x l dx l

EI M

x x

x x

x x

(3-7)

當EI 為常數 EI 時

l i CS EI

l i S EI

ab ab

2 2 4 4

當連續梁的梁數目為 a(a=2、3、4…)時，換算剛度

S

_A,a可用遞推 法求得。

圖 3-6(a)所示兩跨連續梁，當截面 2 產生單位轉角 ₂ 1 時，用 換算剛度法求解，可取圖3-6(b)為基本結構，根據疊加原理，圖 3-6(b) 所示結構的受力狀態和變形狀態，可由圖 3-6(c、d、e)疊加而得。即 先在單跨梁的兩端，各加上一個能控制轉動的剛臂，使其成為單跨固 定梁(圖 3-6(C))，然後再放鬆剛臂，使截面 2 產生轉角 ₂ 1(圖 3-6(d))、截面 1 產生轉角 ₁(圖 3-6(e))，最後與原結構具有相同的變 位。由於原結構中兩端點上的彎矩是互相平衡的，故兩剛臂上彎矩和 必為零。

圖3-6 連續梁剖析圖

由 0

0

2 1

M

M

有

1 12 2 21 2 2 ,

1 12 2 21 1

1 ,

CS S

S

S CS

S

A

A (3-8)

由(3-7)式得

12 1 ,

21 12 21

12 1 ,

21 12

21 2 ,

2 12 1 ,

21 1

S S

CS S CS

S S CS CS S

S

S S

CS

A A

A

A (3-9)

若求 n 個連續梁的換算抗彎剛度時，只需將(3-9)式做相對的變 換。於是

n n n n

A

n n n

n n n

A

n n n n n

n n A

S S

CS S S

CS S CS

S

1 1

,

1 1

1 1

,

1 1

1 ,

(3-10)

(3-10)式即為連續梁換算抗彎剛度及支點轉角的一般計算公式。

0 1 2

a

b

2

1

1

S

A2

1 1

S

A

1 ₂

1 S

_{A2 2}

1 2 2

c

2

CS

21

d

2

S

^{21 2}

2

1

S

12

e

2

CS

^{12 1}

2 1

1 1

1

1

2

1

計算連續梁支承截面內力影響線的方法，是以相映單跨梁的固端 彎矩影響線為基礎。為此，先求單跨梁的固端彎矩影響線。

1. 一端固定一端鉸接梁

如圖3-7(a)所示單跨梁時，可取圖 3-7(b)所示基本結構，由力法 方程得

圖3-7 一端固定一端鉸接梁示意圖

x x

p

x x

p p

EI EI dx xM

EI dx x

EI dx M l M

X

1 0

1 0

2 1 0 2 1

11 1

1 （3-11）

式中：Ix為梁中任意截面的慣性矩 2. 兩端固接梁

如圖3-8(a)所示兩端固接梁時，可取圖 3-8(b)所示基本結構，由 力法方程得

A

A B

X X

1

1 p

a b

1 p a

b

圖3-8 兩端固定梁示意圖

0 0

2 22 2 21 1

1 12 2 11 1

p p

X X

X

X

（3-12）

2 12 22 11

11 2 21 1 2

2 12 22 11

22 1 12 2 1

p p

p p

X X

（3-13）

式中：常變位 ₁₁、 ₁₂、 ₂₂按(3-7)式計算；

1 0

1

1

dx

EI M M

x p

p ， ¹

0 2

2

dx

EI M M

x p p

3.3.2 位移互等定理

以圖 3-9 的簡支梁為例，設結構在單位力作用下為第一狀態，如 圖3-10 所示。以 i、j 為節點，取一單元 m 為研究對象，單元 m 的節 點力與節點位移分別如圖3-11、圖 3-12 所示。

圖3-9 簡支梁

A

A B

X X

1

1 p

x

1 p a

b

B

X

2

i j x

y

圖3-10 第一狀態

圖3-11 單元節點力

圖3-12 單元節點位移

根據位移互等定理，當單位力作用在 k 點時在 i 截面引起的位移 與單位力或力矩作用在

i 點在 k 截面引起的撓度之間有如下互等關

係：

1

1

Ni

ki ik

p

u

；

1 1 Qi

ki

ik

p

；

1 1 Mi

ki ik

p

其中：

1

1

Ni

ki ik

p

u

、 _{ik p 1}分別為單位力

P=1 作用在 k 截面時在 i

截面引起的軸向位移、豎向位移和轉角；

1 1 Qi

ki

ik

p

、 ₁

Mi

ik 分別為在

i 截面作用單位軸力 N

_i

=1、剪力 Q

i

=1 和彎矩 M

i

=1 時在 k 截面引起的撓度。

對於截面 j 也有類似的關係，寫成矩陣形式：

P=1

i j x

y

Qi

Ni

Mi Mj

Nj

Qj

Vi

Ui

Qi Qj

Uj

Vj

式中： _{mk p}

u

_{i i i}

u

_{j j j} ^T_P

1 1為

P=1 引起的單元 m 兩端 i、j

的位移；

_{km p km ki km Qi km Mj} ^T

m _{1 1}

,

₁

,... ,

₁ 為在單元

m 的 i、j 兩端分別

加

N

_i

=1, Q

_i

=1,……… M

_i

=1 等荷載在 k 截面引起的撓度。

單元節點力為

F

_m ^e

N

_i

Q

_i

M

_i

N

_j

Q

_j

M

_j ^T、P=1 引起的單位 節點力為

P

_m ^e

N

_i

Q

_i

M

_i

N

_j

Q

_j

M

_j ^T

單位力作用下節點力和節點位移之間的關係為：

1

1 m km Pm

km P m e

m

K K

P

即

m l

m K

km P e

P

m

其中：

K

_m 為單元剛度矩陣，

P

_m

K

_{m l}表示

P

_m 分別等於

K

_m 的第

l

列。

對於平面桿件系統，每個節點只考慮兩個平動自由度和兩個轉動 自由度，其剛度矩陣為6×6 的對稱矩陣；

對於空間桿件系統，每個節點均考慮三個平動自由度和三個轉動 自由度，其剛度矩陣為12×12 的對稱矩陣，等截面平面梁單元的剛度 矩陣如下式所示：

l EI l

EI l

EI l

EI l

EI l

EI l

EI l

EA l

EA l

EI l

l EI l EI

EA

K

_m

4 0 6

2 0 6

0 12 6

0 12

0 0

4 0 6

0 12

2 2

3 2

3 2 3

稱 對

f

₁^e

f

₂^e

f

₃^e

f

₄^e

f

₅^e

f

₆^e

由此可見，分別將

K

_m 的各列作為荷載加於單元

m 兩端，求出的

位移 _km 就是單元

m 各節點力的影響線在 k 處的值。現用

f

₁^e 1

,

2

,

3

,

4

,

5

,

6 表示單元剛度矩陣的6 個列向量，如欲求

j 端的彎矩影響線，取 f

₆^e求

i 端的剪力影響線，取 f

₂^e依次類推。利用 ANSYS 計算時，先根據 E、I 和 l 的值計算 N_i、Q_i、M_i、N_j、Q_j和

M

_j然後按照圖 3-13 所示的第二種狀態把這 6 個力分別施加在單元 m 的節點

i、j 上，得到的變形圖就是所求內力的影響線。

圖 3-13 第二種狀態

x y

Ui

Ni

Mi Mj

Nj

Uj

3.3.3 有限元素法

為了簡單起見以平面梁架結構為例，如果在結構中各點分別加單 位力矩，而希望求得 C 截面處的垂直撓度

V

_c的影響線，可以在 C 點

加 垂 直 方 向 的 載 荷 向 量

0 1 0

P

c ， 分 別 求 出

i

1,2,....各 點 的 位 移

i i i

i

v

u

，由位移互等定理可以得知位移向量 i 的轉角分量 _i在數

值上將等於在i 點加單位力矩而求出的

v

_ci。一般而言，在結構上某指 定點 C 處加一個單位力

P

c

e

^k ，其中

e

^k = 0,...,0,1,0,...,0^T

e

^k 是一個 除第k 個分量為 1，其他分量為 0 的向量，這個向量的對數為 NDF，

即該點的自由度。) 由此求得結構各點的位移向量後，就相當於分別 在結構上各點加

X

_i或

Y

_i或

M

_i（分別為在

i

1,2,....各點上施加

X

、

Y

方 向的荷載及彎矩）時求得的在 C 截面處沿第 k 個位移分量的 3 條位 移影響線(在一般情況下，求得了 NDF 條位移影響線。)所以我們如 果採用有限元素法在作了結構的剖分後，就能方便地解決位移影響圖 問題。

用有限元素法求內力影響圖，實質上是要求出某一單元在移動載 荷下的內力值，這樣就必須知道該單元所連結的各節點的位移值，現 仍以平面梁架為例，為要求某一單元的內力影響圖，並設該單元的聯

繫節點是 C 與 D 點，必須知道在梁架上各點分別加某一方向的單位 力時，同時求得C 點與 D 點的位移向量。

下面用功與位移互等定理來研究這個問題。如果希望求出在1 點 作用

Y

₁ 1時，C 點的位移向量

u

_c,

v

_c, _c ^T，只要在 C 點分別加載荷

c 1

X

，

Y

_c 1，

M

_c 1時求出1 點的三組位移

u

_1X,

v

_1X, _1X ^T，

u

_1Y,

v

_1Y, _1Y ^T，

T M M

M

v

u

₁ , ₁ , ₁ ，並從中進行挑選構造一組新的位移向量

u

_c,

v

_c, _c ^T即為 C 點在

Y

₁ 1作用下的位移向量。

推廣到一般情況，如要在 i 點加載

P

i

e

^k 希望求出在 C 點的 各 位 移 向 量 C

u

₁,

u

₂,...,

u

_NDF ^T ， 則 應 在 C 點 分 別 加 以

m

c

e

P

m

1,2,...,

NDF

而求 i 點的 NDF 組位移向量

m NDF u

u

u

^m

iNDF i i

ic ² 1,2,...,

1

再分別取出其中的第k 個分量，構成一個向量

m ik ik ik

c

u u u

2 1

這個向量即為所求 C 點的位移向量，可以用同樣的方法求出 D 點的位移向量，對於更複雜的結構而言，設所求單元的節點數為

依次加上

e

j^k 載荷(j=1,2….,NEN,m=1,2,…,NDF)。然後求出相應的 NEN×NDF 組位移，再分別進行挑選並重組位移向量即可。

3.4 懸索橋極限承載分析理論

自從 1862 年由 Ostenfelel 首先研究偏心受壓柱臨界荷載的計算，

到目前人們已經可以對複雜的結構進行極限承載能力分析，且可以 合考慮材料非線性和幾何非線性互相耦合影響。

在平面鋼筋混凝土結構極限承載能力分析中，桿件的幾何非線性 主要是用

P

效應來考慮，由此可知，用一般矩陣位移法建立結構有 限元平衡方程式，逐漸加載可求得單元幾何勁度矩陣。又因為鋼筋混 凝土結構達到極限承載力時的位移很小，所以用

P

效應考慮幾何非 線性，用桿件變勁度模型考慮材料非線性，按一般矩陣位移法分析，

已足夠準確。

而以往梁單元的材料非線性分析模型，為了反應梁單元上各不同 點的應力、應變情況及其對整個梁單元勁度矩陣的貢獻，一般沿梁軸 向及其橫截面上取一定數量的高斯點，其單元勁度矩陣的形成就是對 每個高斯點進行數值積分。但此方法有限制斷面形式、計算複雜等缺 點。因此另一種求解單元勁度矩陣的方法就是把梁單元劃分的較短，

並且假設單元內的應力或應變沿軸向是不變的，也就是上述方法裡沿 其軸向只取一個高斯點。這種方法梁單元的勁度矩陣不必通過數值積

分，大大的提高計算速度，也對使用的材料模式沒有什麼限制。

3.4.1 折減勁度法

首先對鋼筋混凝土構件作合理的假設：

1. 忽略剪應力和剪應變的影響 2. 鋼筋和混凝土間無相對滑移

3. 取單元的平均勁度作為單元的勁度 4. 梁斷面應變均勻分佈

5. 鋼筋和混凝土均為彈塑性材料，其本構關係分別為 _{s s} 和 _{c c} 。

當構件材料進入彈塑性階段，斷面的抗拉壓勁度 EA 和抗彎勁度

EI 都是隨著荷載變化而變化，且荷載增量不大，單元長度劃分的足

夠小時，物理關係可用下式表示：

A EA N

Bx EIx

M

(3-15)

式中：M、N 分別為斷面彎矩和軸力； 、 分別為抗彎和抗拉壓勁 度折減係數；

x

、 分別為斷面的曲率和斷面幾何中心處的應變；B、

A 分別為斷面的抗彎、抗拉壓折減勁度。

在進行結構極限承載能力分析中，Ni、Mi分別為第 i 個荷載步時 某個構件的軸力和彎矩，且構件在第i 個荷載步時斷面的折減勁度為

先設斷面幾何中心的應變和曲率為 _i ⁰

N A

_{i 1} ，

x

_i⁰

M B

_{i 1}， 並將鋼筋混凝土構件斷面在彎矩平面內分成 m_c層，設第 j 層混凝土 的面積為

F

_cj。而第j 層混凝土的形心處應變為

0 0

i cj i

cj

y x

(3-16) 式中：

y

_cj為第j 層混凝土形心到斷面幾何形心的距離。

並且由混凝土的應力－應變曲線可求得各分層的應力 _ci，並得 到該分層混凝土所承擔的軸力為

cj cj cj

cj

cj

F F

P

(3-17) 同樣的，假設構件斷面內存在 m_s個鋼筋層，而第 j 層鋼筋的斷 面積為

F

_sj，其形心至構件斷面幾何中心的距離為

y

_sj，則該層鋼筋形 心處的應力、應變及其所承擔的軸力分別為

sj s

sj (3-18)

0 0

i sj i

sj

y x

(3-19)

sj sj

sj

F

P

(3-20) 則相應 _i⁰ 和

x

_i⁰ 的構件斷面所承擔的軸力和彎矩為

s c

s

c m

j sj sj

m

j cj cj

m

j sj

m

j cj

P

P P F F

N

1 1

1 1

(3-21)

sj m

j sj sj

m

j cj cj cj

m

j sj sj

m

j cj cj

P

P y P y F y F y

M

^{c s c s}

1 1

1 1

(3-22) 令

N N

_P

N

，

M M

_P

M

，若

N

、

M

均小於或等於指定的 允許誤差，那麼上述 _i⁰ 和

x

_i ⁰ 假定正確，即已求得真解。否則，需對

0

i 和

x

_i⁰ 進行如下調整， _i¹ _i⁰ ，

x

_i¹

x

_i⁰

x

調整的原則是 使 _i¹和

x

_i¹ 相應的

N

、

M

為零， 、

x

為斷面幾何中心應變和曲 率的修正值，要使

N

、

M

同時為零， 、

x

應滿足下列方程式

0 0

M x x

M M

N x x

N N

(3-23)

且

sj m

j st

cj m

j j

P

ct F E F

N

N

^{c c}

E

1

1

(3-24)

sj sj m

j st

cj cj m

j j

P

ct F y E F y

x N x

N

^{c c}

E

1

1

(3-25)

sj sj m

j st

cj cj m

j j

P

ct F y E F y

M

M

^{c c}

E

1

1

(3-26)

2 1

2

1 sj sj

m

j st

cj cj m

j j

P

ct F y E F y

x M x

M

^{c c}

E

(3-27)

令

a ^N

，

^M

x

b N

，

x

c M

，則解得

b

2

ac

N c M

b

(3-28)

b

2

ac

M a N

x b

(3-29)

式中：

E

_ct、

E

_st分別為混凝土和鋼材的切線模量

經過反覆迭代直到

N

、

M

均小於指定的允許誤差。最後可以求得斷 面的折減勁度為

n i i

n i i

M x B

A N

(3-30)

圖3-14 混凝土的應力－應變關係 AB 段：

t t

t

E

t

0

0 1 (3-31) OA 段：

E

₀ (3-32) OC 段：

2

0 0

0 2 ₀ 0 (3-33) CD 段： _{0 u 0} (3-34) 其中 ₀ 0.85

f

_ck，

f

_ck為混凝土標準圓柱體抗壓強度，且 ₀ 0.002， 極限壓應變 _u 0.0035。

圖 3-15 鋼材的應力－應變關係