指數平滑模式簡介

指數平滑模式(Exponential Smoothing Model)有下列三種形式：一種為簡單指數平 滑法(Simple Exponential Smoothing)，第二種為線性指數平滑法(Linear Exponential Smoothing) ， 第 三 種 為 溫 特 斯 季 節 指 數 平 滑 法 (Winters Seasonal Exponential Smoothing)。當用前面兩種平滑法之前需確定原始資料之時間數列的季節因素是可以 忽略的或季節因素已被調整掉。在此論文中，因為消費者物價指數有線性趨勢，所以 不考慮使用簡單指數平滑法，只運用線性指數平滑法和溫特斯季節指數平滑法分別對 消費者物價指數作預測，接下來將概述如何用此兩種方法對未作預測。

2.2.3.1 簡單指數平滑法(Simple Exponential Smoothing)

當預測未來數列的變化是平的，亦即線性趨勢的斜率為零時可用此法。而 ˆt l t

Y_ ，M

l  1, 2,...

，為對未來

l

期的預測值的公式，而

0 0

M Y

(1 ) 1

t t t

M Y  M _，

0  



1

上式中的M 為在時間 t 時的_t Y 與在時間_t

t  1

的M_t1的加權平均值亦為預測值 ˆY ，而_t Y₀ 是原始時間數列的第一個觀察值，至於是指數平滑常數，介於 0 到 1 之間，而最佳 的值應是使得均方誤(Mean Squared Error) ²

1

1 ( ˆ )

T

t t

t

MSE Y Y

T

_

  

^{最小的。下面是求}

預測的Y 的步驟：_t

步驟一：將原始資料以上述的公式計算出M ，其中_t M₀  ，而Y₀ 的起始值可自定。

步驟二：再利用 Excel 中規劃求解求出最適合的值。

步驟三：再由 ˆY_{t l} ，M_t

l  1, 2,...

，得到未來

l

期的預測值 ˆY ，並將原始的_t Y 與預測_t 值 ˆY 對 t 繪圖分析做比較。_t

2.2.3.2 線性指數平滑法(Linear Exponential Smoothing)

當預測未來數列變化的趨勢是呈線性增加或減少時可用此法。而 ˆY_{t l}  即a_t b l_t 為對未來

l

期的預測值公式，其中a 代表在時間_t

t

的水準(level)，而代表b 在時間 t 的_t 斜率(slope)。a 及_t b 的平滑方程式(Smoothing Equation)如下：_t

1 1

(1 )( )

t t t t

a Y   a_b_ ，

0  



1

( I )

1 1

( ) (1 )

t t t t

b a a_  b_，

0  



1

( II )

代表 level 的平滑常數，代表 slope 的平滑常數，而及 應選會使的均方誤(Mean

Squared Error) ²

1

1 ( ˆ )

T

t t

t

MSE Y Y

T

_

  

^最小的及 。下面為求預測的Y 的步驟：_t 步驟一：將原始 345 筆資料透過上述( I )、( II )公式計算出a 及_t b ，其中_t a₀  、Y₀ b₀ 0

為a 與_t b 的起始值，而、 的起始值可自行設定。_t

步驟二：最佳的及 值可利用 Excel 中規劃求解得到。

步驟三：將a 及_t b 代入 ˆ_t Y_{t l}  中得到未來a_t b l_t

l

期的預測值 ˆY ，再將原始的_t Y 與預測_t 值的 ˆY 對 t 繪圖分析作比較。_t

2.2.3.3 溫特斯季節指數平滑法(Winters Seasonal Exponential Smoothing)

在 2.2.3.2 節所介紹的線性指數平滑法只適用於沒有季節因素的時間數列，因此 在用此種方法作預測時，必須先檢查原始時間數列是否有季節因素，若存在須先調整 掉，等預測完後，再將季節因素調整回來。本節的溫特斯季節指數平滑法可直接提供 包含長期趨勢和季節因素的時間數列作預測，不必先將季節因素去除後再對時間數列 作預測。下面是對未來

l

期的預測值公式：

ˆ (_{t l t t} ) _{t l M}

Y_   a b l F_

上式中的

M

代表每一個完全季節週期的長度，例如在季資料時

M  4

、月資料 時

M  12

，在論文中台灣地區物價指數是月資料，所以使用

M  12

。上面未來

l

期的 預測公式包含二部分，一部分是線性趨勢a_t  ，另一部分是乘上的季節因素b_t l

t l M

F_ 。公式中的參數a 、_t b 及季節因素_t F 都與時間 t 有關，也都隨時隨著時間 t 的改_t 變而改變。下面是a 、_t b 及_t F 的更新公式：_t

1 1

(1 ) ( )

t

t t t

t M

a Y a b



F

 _{ }



     

，

0  



1

1 1

( ) (1 )

t t t t

b    a a_    b_ ，

0  



1 (1 )

t

t t M

t

G Y F



a

 _

    

，

0  



1

、 及都是介於 0 與 1 之間的平滑常數(smoothing constants)，參數是水準平滑 常數(level smoother)，參數是趨勢平滑常數(trend smoother)，參數則是季節平滑常 數(seasonal smoother)。每年G 的和應等於_t

M

若不等於

M

時再將G 調整，調整後的_t G_t

就是F 。至於_t a 、_t

b

_t及F 的起始值_t a 、₀ b 及₀ F 可由下面方法得到：₀

先將全部資料分成兩部分，第一部分由t0,1, ，,T_t F 可由 2.2.1 節所介紹的移0

動平均比率法(ratio-to-moving-average method)用第一部分的資料求得。而a 、₀ b 的值₀ 可由下列迴歸模式獲得：

0 0

Yt     ，a b t  t0,1,,T_i

另 外 最 佳 的  、  及  值 應 是 使 得 均 方 誤 (Mean Square

Error) ²

1

1 ( ˆ)

i

T

t t

it T

MSE Y Y

T T _{ }

 





最小的、 及。下面是求預測的Y 的步驟：_t 步驟一：將資料分成兩部分，第一部分是由 1981 年 1 月至 1982 年 12 月，第二部分

是由 1983 年 1 月至 2009 年 9 月，第一部分的資料共有 24 個月，將用來求a 、_t b 及t F 的起始值_t a 、₀ b 及₀ F 。₀

步驟二：用第一部份的資料及 2.2.1 節的估計季節變動的步驟，可得到季節因素S 也_t 就是這裡的F 。₀

步驟三：建立變數 t ，由 1 到 24，將第一部分的Y 對 t 做簡單線性迴歸，得到估計的_t 截距與斜率就是這裡的a 及₀ b 。₀

步驟四：在第二部分資料處，按照公式將a 、_t b 及_t G 、_t F 算出，而以、 及的起_t 始值可自定。

步驟五：將 ˆY 及_t

MSE

的公式設定好，再利用規劃求解求出最佳的、 及值。

步驟六：再由 ˆY_{t l}   (a_t b l_t ) F_{t l M} ，

l  1, 2,  ,

得到未來

l

期的預測值 ˆY ，並將原始_t 的Y 與預測的 ˆ_t Y 對 t 繪圖分析做比較。_t

在文檔中 中 華 大 學 碩 士 論 文 (頁 31-34)