第三章 ARIMA 模式之分析與預測結果
3.1 模式的確認
在模式確認部份首先將消費者物價指數X 的時間數列圖(time series plot)、自相關t 函 數 圖 (autocorrelation function plot ， 簡 稱 ACF 圖 ) 及 偏 自 相 關 函 數 圖 (partial autocorrelation function plot，簡稱 PACF 圖)畫出，然後判斷消費者物價指數的變動是 否符合平穩性，再決定是否需要對X 做差分或轉換，若需要，再將差分及/或轉換後t 的時間數列圖、ACF 圖及 PACF 圖畫出，再根據圖所顯現的樣式找出其所適配的季節 自迴歸移動平均整合模式(seasonal autoregressive integrated moving average model，簡 稱 SARIMA)及階次 p, d, q 與 P, D, Q，最後再檢定模式中是否要包含常數項。
3.1.1 消費者物價指數的時間數列圖
將自中華民國統計資訊網取得的由 1981 年 1 月至 2009 年 9 月共 29 年 345 筆消 費者物價指數的季資料，放在附錄 1 中，然後用統計軟體 SPSS 11.0 繪圖，得到消費 者物價指數的原始時間數列圖，如圖 3.1 所示。
由消費者物價指數的時間數列圖可明顯看出平均數不穩定，因為消費者物價指數 由 1981 年起一直遞增，其中 1988 年到 1997 年之間遞增幅度較大，另外在 1998 年到 2007 年間遞增幅度較小，在 2007 年受高油價、高糧價效應影響，國內民生物資接連 跟漲，消費者物價指數創歷年之新高，2008 年後期因油價回檔，導致多項相關商品(如 油料費、燃氣費、機票等)調降售價，減弱部分漲勢，但消費者物價指數仍在高點。
所以時間數列圖的平均數不穩定，另外變異數變化不大，大致穩定。
Time series Plot
date(1981.1~2009.9)
2008 2005 2002 1999 1996 1993 1990 1987 1984 1981
C on su m er Pr ic e In d ex
120
110
100
90
80
70
60 50
圖 3.1 消費者物價指數的時間數列圖
3.1.2 消費者物價指數的 ACF 圖與 PACF 圖
接著將消費者物價指數的 ACF 圖及 PACF 圖畫出來並作進一步的分析，如圖 3.2 及圖 3.3 所示。
消費者物價指數的 ACF 有漸漸減小，但非常慢，而消費者物價指數的 PACF 在時差一期(lag 1)時最大，之後有漸漸消失，由圖 3.1、3.2 及 3.3 知，消費者物價指 數的時間數列的平均數不符合平穩性，所以需做一次差分。
Consumer Price Index
Lag Number
46 43 40 37 34 31 28 25 22 19 16 13 10 7 4 1
A C F
1.0
.5
0.0
-.5
-1.0
Confidence Limits
Coefficient
圖 3.2 消費者物價指數的 ACF 圖
Consumer Price Index
Lag Number
46 43 40 37 34 31 28 25 22 19 16 13 10 7 4 1
P ar ti al A C F
1.0
.5
0.0
-.5
-1.0
Confidence Limits
Coefficient
圖 3.3 消費者物價指數的 PACF 圖
3.1.3 一次差分後的消費者物價指數的時間數列圖
Time Series Plot
(1st differencing)
Transforms: difference (1)
date(1981.1~2009.9)
2008 2005
2002 1999
1996 1993 1990
1987 1984
C o n su m er P ri ce In d ex
4 3 2 1 0 -1 -2 -3
圖 3.4 一次差分後的消費者物價指數的時間數列圖
先計算消費者物價指數的一次差分，公式為(1B X) t Xt Xt1，然後繪出一次 差分後的消費者物價指數的時間數列圖，放在圖 3.4 中。由圖 3.4 可知，消費者物價 指數取一次差分後，平均數穩定，變異數也大致穩定。
3.1.4 一次差分後消費者物價指數的 ACF 圖與 PACF 圖
接著將一次差分後的消費者物價指數的 ACF 圖及 PACF 圖畫出，並進一步觀察 是否仍需做二次差分或一次季節差分，如圖 3.5 及圖 3.6 所示。由一次差分後的消費 者物價指數的 ACF 圖，可看出 ACF 在 lag 1、2、7、12、18、24、31、36、48 時較 大，其中季節週期 12 的倍數時消失很慢，所以有季節因素的影響，因此還需做一次 季節差分。另外由圖 3.6 知一次差分後的 PACF 在 lag 1、2、7、12、23、24、36
時較大，之後有漸漸消失。
Consumer Price Index
(1st differencing)
Transforms: difference (1)
Lag Number
46 43 40 37 34 31 28 25 22 19 16 13 10 7 4 1
A C F
1.0
.5
0.0
-.5
-1.0
Confidence Limits
Coefficient
圖 3.5 一次差分後的消費者物價指數的 ACF 圖
Consumer Price Index
(1st differencing)
Transforms: difference (1)
Lag Number
46 43 40 37 34 31 28 25 22 19 16 13 10 7 4 1
P ar ti al A C F
1.0
.5
0.0
-.5
-1.0
Confidence Limits
Coefficient
圖 3.6 一次差分後的消費者物價指數的 PACF 圖
3.1.5 一次差分與一次季節差分後的消費者物價指數 的時間數列圖
用公式
W
t (1 B )(1 B
12) X
t計算一次差分與一次季節差分後的消費者物價指 數，然後畫時間數列圖，如圖 3.7 所示。消費者物價指數經一次差分及一次季節差分 後，平均數穩定，變異數則有輕微遞增再遞減的現象。Time Series Plot
(1st diff and 1st seasonal diff)
Transforms: difference (1), seasonal difference (1, period 12)
date(1981.1~2009.9)
2008 2005 2002 1999 1996 1993 1990 1987 1984
C o n su m er P ri ce In d ex
4
2
0
-2
-4
圖 3.7 一次差分與一次季節差分後的消費者物價指數的時間數列圖
3.1.6 一次差分與一次季節差分後消費者物價指數的 ACF 圖與 PACF 圖
接著將一次差分與一次季節差分後的消費者物價指數的 ACF 圖及 PACF 圖畫 出，並進一步觀察是否仍需做二次差分或二次季節差分，如圖 3.8 及圖 3.9 所示。
Consumer Price Index
Transforms: difference (1), seasonal difference (1, period 12)
Lag Number
46 43 40 37 34 31 28 25 22 19 16 13 10 7 4 1
A C F
1.0
.5
0.0
-.5
-1.0
Confidence Limits
Coefficient
圖 3.8 一次差分與一次季節差分後的消費者物價指數的 ACF 圖
一次差分與一次季節差分後的消費者物價指數
W
t (1 B )(1 B
12) X
t的 ACF，除 了在 lag 1、2、7、11、12、18、19、30、31、33、36、37、45、47、48 外，其餘都 幾乎為 0。Consumer Price Index
Transforms: difference (1), seasonal difference (1, period 12)
Lag Number
46 43 40 37 34 31 28 25 22 19 16 13 10 7 4 1
P ar ti al A C F
1.0
.5
0.0
-.5
-1.0
Confidence Limits
Coefficient
圖 3.9 一次差分與一次季節差分後的消費者物價指數的 PACF 圖
一次差分與一次季節差分後的消費者物價指數
W
t (1 B )(1 B
12) X
t的 PACF，除了在 lag 1、2、3、7、10、11、12、23、24、37 外，其餘都幾乎為 0，因此不必再 做任何差分了。
3.1.7 模式階次的建立
根據圖 3.8 及圖 3.9，考慮符合消費者物價指數的可能 SARIMA(p,d,q)×(P,D,Q)s
模式有
SARIMA(0,1,2)×(0,1,3)12
SARIMA(0,1,2)×(0,1,1)12 SARIMA(0,1,1)×(0,1,1)12
，因此在後面的章節中將會針對這三個模式做比較與選擇。
3.1.8 常數項的檢定
由於消費者物價指數的時間數列有經過差分，所以需要檢定模式中是否需包含常 數項，因此接著將執行下面假設檢定：虛無假設0 H0: ，對立假設0 0 H1: ，0 0 檢定統計量為
0
W
t W S
當H 為真時，0
S
Wt W
，所以決策法則為若t 1.96時則拒絕H ，其中012
1 1
1 1
(1 )(1 )
n n
t t
t t
W B B X W
n
n
n SW SW
2
12 2 2
1 1
((1 )(1 ) ) ( )
n n
t t
t t
W
B B X W W W
S n n
表 3.1 是用統計軟體 SPSS 11.0 所計算出來的平均數與標準差的敘述統計表，再計算 出 統 計 檢 定 量 t 的 值 。 統 計 量 1
0.1261
0.008658978 0.78518
344
t
，2
1.4650
0.050241883 1.59790
333
t
， 30.0122
-0.0006823005 0.98133
332
t
，有檢定統計量 t 的絕對值皆小於 1.96，因此在模式中都不必包含常數項 。
表3.1 敘述統計表
n Minimum Maximum Mean Std. Deviation 物價指數Xt 345 62.10 107.91 84.7981 13.77221
DIFF(UR,1)
一次差分 344 -1.97 3.46 0.1261 0.78518 SDIFF(UR,1,12)一次
季節差分 333 -2.49 5.86 1.4650 1.59790 SDIFF(UR_1,1,12)
一次差分與一次季 節差分Wt
332 -3.55 3.23 -0.0122 0.98133