對高中生而言，複數的概念是相當抽象且難以理解的，雖然高中數學有介紹「複數 與複數平面」及「複數的極式」兩個單元，但學生往往只學會複數運算的技巧，沒有真 正瞭解其背後所隱含的幾何概念，因而無法感受到複數的實用性。
複數平面的建立，使複數本身及其運算具有直觀的幾何意義，讓大家對複數的存在 有比較實在的感覺，更推動了複數的研究及應用。反過來，運用複數的幾何概念為工具，
也可以用來解決一些平面幾何的問題，而且往往使問題的處理能化繁為簡，對幾何的研 究有很大的助益。
本章就高中數學所介紹複數的相關內容為題材，從幾何的觀點探索複數的幾何性 質，並舉出幾個例子，說明這些幾何性質如何應用在解決平面幾何的問題上，希望讓學 生對複數的概念有更清楚的認識，同時也能感受到其實複數是有用的。本章共分為四 節，分別說明如下。
5-1 複數平面
主要內容為複數的幾何表示、複數的絕對值、共軛複數及複數極式的幾何意義，並 透過動態幾何軟體 GSP 設計一個實驗，讓使用者在複數平面上實際體驗複數的幾 何概念。
5-2 複數四則運算的幾何意義
探討複數加、減、乘、除四則運算的幾何意義，用幾何的觀點解釋代數的運算，並 透過動態幾何軟體 GSP 設計一個實驗，讓使用者在複數平面上實際體驗複數四則 運算的幾何意義。
5-3 複數n 次方根的幾何意義
探討複數 n 次方根的幾何意義，將複雜的公式用圖形呈現出來，並透過動態幾何軟 體 GSP 設計一個實驗，讓使用者在複數平面上實際體驗複數 n 次方根的幾何意義。
5-4 應用複數解平面幾何問題實例
舉出五個平面幾何的例子，用前三節所探討複數的幾何性質來解題，說明複數在平 面幾何的應用。
5-1 複數平面
本節的主要內容為複數的幾何表示、複數的絕對值、共軛複數及複數極式 的幾何意義，並透過動態幾何軟體 GSP 設計一個實驗，讓使用者在複數 平面上實際體驗複數的幾何概念。
複數平面的建立，是探討複數幾何性質最重要的開始。
複數的幾何表示
每一個複數z= +a bi, 其中a, b 為實數，由複數相等的意義，我們知道 a, b 是確定 的，所以任一複數z= +a bi, 在坐標平面上有一點 ( , )P a b 與之對應；反之，對坐標平面 上的任一點 ( , )P a b , 必有一複數z= +a bi與之對應。因此，所有複數與坐標平面上的所 有點，形成一一對應的關係，坐標平面可用來表示複數，而一個用來表示複數的坐標平 面，就稱為複數平面，又稱高斯平面，如圖 5-1-1。
z = a + bi b
a O
y
x
圖 5-1-1 複數的幾何表示
複數的絕對值
在複數平面上，複數z= +a bi（a, b 為實數）與原點 O 的距離為 a2+b2 , 我們將 其定為 z 的絕對值，以| |z 表示，即| |z = a2+b2 , 如圖 5-1-2。設複數z1= + , a bi z2 = + , c di
x y
O
| z |
z = a + bi
圖 5-1-2 複數的絕對值
共軛複數
當複數z= +a bi（a, b 為實數）時，我們稱a bi− 為 z 的共軛複數，以 z 表示，即 z = −a bi. 因此，在複數平面上，複數 z 與其共軛複數 z 的位置對稱於 x 軸，如圖 5-1-3。
z = a - bi z = a + bi
O y
x
圖 5-1-3 共軛複數
複數的極式
在複數平面上，若複數 z 的絕對值為 r, 且 z 在有向角θ 的終邊上，則 cos ( sin ) (cos sin )
z=r θ + r θ i=r θ +i θ , 此時θ 稱為 z 的一個輻角，而 (cosr θ+isin )θ 稱為 z 的極式。一個複數的輻角不是唯一的，但是每一個非零的複數 z 恰有一個輻角θ 滿足
0≤ <θ 2π , 此輻角稱為 z 的主輻角，以 Arg( )z 表示。複數 0 的絕對值是 0, 任何有向角θ 都可以做為它的輻角，它沒有主輻角，極式為 0(cosθ +isin )θ , 其中θ 可以是任意實數。
因此，當複數 z 的絕對值為 r, 且θ 為 z 的一個輻角，即 z 的極式為z=r(cosθ+isin )θ 時，
在複數平面上，z 在有向角θ 的終邊，且與原點 O 的距離為 r 的位置上，如圖 5-1-4。
r
x y
O θ
z = r ( cos θ + i sin θ )
圖 5-1-4 複數的極式
最後，我們透過動態幾何軟體 GSP 設計一個實驗，來呈現複數的幾何概念，如圖 5-1-5。
圖 5-1-5 複數平面實驗
當複數 z 在複數平面上的位置給定時，使用者可以點選畫面左上角的按鈕，以顯示 複數 z 的幾何表示、複數的絕對值、共軛複數或極式在複數平面上的情形。同時，使用 者也可以任意改變複數 z 在複數平面上的位置，針對不同的複數做相關內容的觀察。
5-2 複數四則運算的幾何意義
本節探討複數加、減、乘、除四則運算的幾何意義，用幾何的觀點解釋代 數的運算，並透過動態幾何軟體 GSP 設計一個實驗，讓使用者在複數平 面上實際體驗複數四則運算的幾何意義。
以下我們依序探討複數的加、減、乘、除四則運算。
複數的加法
設複數z1 = + , a bi z2 = + , 其中 a, b, c, d 為實數，則c di z1+z2 =(a+ + +c) (b d i) . 因 此，令z3 = + , 在複數平面上，當原點 O, z1 z2 z , 1 z 三點不共線時，原點 O, 2 z , 1 z , 3 z2 四點依序形成一個平行四邊形，如圖 5-2-1；當原點 O, z , 1 z 三點共線時，2 z 也在此直3 線上，且線段Oz 與線段3 z z 的中點重合。 1 2
z3 = z1 + z2 z2
z1 y
O x
圖 5-2-1 複數的加法
複數的減法
設複數z1 = + , a bi z2 = + , 其中 a, b, c, d 為實數，則c di z1−z2 =(a c− + −) (b d i) . 因 此，令z3 = − , 在複數平面上，當原點 O, z1 z2 z , 1 z 三點不共線時，原點 O, 2 z , 3 z , 1 z2 四點依序形成一個平行四邊形，如圖 5-2-2；當原點 O, z , 1 z 三點共線時，2 z 也在此直3 線上，且線段Oz 與線段1 z z 的中點重合。 2 3
z3 = z1 - z2 z1 z2
O x y
圖 5-2-2 複數的減法
複數的乘法
我們用複數的極式來探討複數的乘法。設複數z 與1 z 的極式分別為2
1 1(cos 1 sin 1)
z =r θ +i θ 與z2 =r2(cosθ2+isinθ2), 利用三角函數的和角公式，可得
1 2 1 2[cos( 1 2) sin( 1 2)]
z z =r r θ θ+ +i θ θ+ , 即z z 的絕對值為1 2 r r , 且1 2 θ θ1+ 為2 z z 的一個輻1 2 角。因此，令z3 =z z1 2, 在複數平面上，z 在將3 z 的位置以原點 O 為中心旋轉有向角1 θ2 後，再將其與原點 O 的距離伸縮為r 倍的位置上，其中三角形2 Oz z 與三角形1 3 O z 相似，1 2 如圖 5-2-3。特別地，當r2 = , 即1 z2 =cosθ2+isinθ2時，
3 1 2 1[cos( 1 2) sin( 1 2)]
z =z z =r θ θ+ +i θ θ+ , 在複數平面上，z 在將3 z 的位置以原點 O 為中心1 旋轉有向角θ2的位置上。
z3 = z1z2
1
z1 z2
x O
y
圖 5-2-3 複數的乘法
複數的除法
可得 1 1 1 2 1 2
5-3 複數 n 次方根的幾何意義
圖 5-3-1 複數的 n 次方根
圖 5-3-3 複數的 n 次方根實驗
當複數α 在複數平面上的位置給定時，使用者可以點選畫面左上角的按鈕，以顯示 複數α 的 2 次方根、3 次方根、4 次方根、5 次方根或 6 次方根在複數平面上的情形。同 時，使用者也可以任意改變複數α 在複數平面上的位置，針對不同的複數做相關內容的 觀察。此外，「 alpha 1= 」（即α =1）按鈕的設計，是特別讓使用者可針對 1 的 n 次方根 做觀察，當然，直接將複數α 移到複數平面上 1 的位置，也能達到相同的目的。
5-4 應用複數解平面幾何問題實例
本節舉出五個平面幾何的例子，用前三節所探討複數的幾何性質來解題，
說明複數在平面幾何的應用。
用複數解平面幾何問題，是將幾何圖形視為在複數平面上，而圖形上每一個點對應 一個複數，透過複數運算的結果，進而解決平面幾何的問題。
例 1.
試證平行四邊形定理：平行四邊形兩對角線長的平方和等於四邊長的平方和。
證明：
設平行四邊形的四頂點在複數平面上所對應的複數分別為 0, z , 1 z1+ , z2 z , 如2 圖 5-4-1。
z1 + z2 z2
z1
0 y
x
圖 5-4-1 平行四邊形 兩對角線長分別為|z1+z2|及|z1−z2|, 且
2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2
|z +z | =(z +z )(z +z )=(z +z )(z +z ) |= z | +z z +z z+|z | ,
2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2
|z −z | =(z −z )(z −z )=(z −z )(z −z ) |= z | −z z −z z+|z | ,
上面兩式相加，得|z1+z2|2 +|z1−z2|2=2(|z1|2 +|z2| )2 , 故兩對角線長的平方和等 於四邊長的平方和。 ▓
例 2.
2 2 2 2
例 5.
參考文獻
King, J. & Schattschneider, D. (Eds.), Geometry turned on: Dynamic software in learning, teaching, and research, The Mathematical Association of America, Washington, D.C., 1997.
Nelsen, R. B., Proofs without words: Exercises in visual thinking, The Mathematical Association of America, Washington, D.C., 1993.
Nelsen, R. B., Proofs without words II: More exercises in visual thinking, The Mathematical Association of America, Washington, D.C., 2000.
蔡聰明，數學的發現趣談，三民書局，台北，2000。
李政豐，資訊科技融入數學教學模組實務的研究，交通大學理學院網路學習學程碩士論 文，台灣新竹，2003。
湯誌龍、孟祥仁、鄭明長、徐西森、吳思達、吳雅玲、羅希哲、張碧如、劉永元，教育 概論，五南圖書，台北，2005。
張國恩，從學習科技的發展看資訊融入教學的內涵，北縣教育，41 期，2002。
霍秉坤（主編），教學方法與設計，商務印書館，香港，2004。
中華人民共和國教育部，普通高中數學課程標準，人民教育出版社，北京，2003。
蔡政樺，在電腦套裝軟體環境下經營數學探究之研究，交通大學理學院網路學習學程碩 士論文，台灣新竹，2006。
左台益，淺談資訊科技融入數學實驗教學，數學新天地，2 期，2002。
全任重教授，http://140.114.32.3/
維基百科，http://zh.wikipedia.org/
顏貽隆，建構互動式學習環境實務之研究，交通大學理學院網路學習學程碩士論文，台 灣新竹，2003。
國立台灣師範大學數學系網路小組，動態幾何入門指引，九章出版社，台北，1999。
學習加油站高中數學軟體資源，http://content.edu.tw/senior/math/soft.htm
林保平，公切圓之圓心軌跡－用動態幾何軟體探討幾何性質，科學教育月刊，271 期，
2004。
國立台灣師範大學附屬高級中學，數學充實教材第一輯，教育部中等教育司，1990。
黃華民，本期徵答問題－8102 求橢圓內接三角形最大面積，數學傳播季刊，八卷一期，
1984。
張耀文、陳信成、徐仲誼，上期徵答問題－8102 求橢圓內接三角形最大面積解答，數學 傳播季刊，八卷二期，1984。
笹部貞市郎，解析幾何學辭典，九章編輯部譯，九章出版社，台北，1987。
常庚哲，神奇的複數，九章出版社，台北，1995。
堀場芳數，虛數 i 的奧秘，丁樹深譯，凡異出版社，台灣新竹，2003。
李虎雄、陳昭地、黃登源、李政貴、林礽堂、儲啟政，高中幾何學教師手冊上冊，康熙 圖書，台灣台中，2003。