第五章 球形齒輪之接觸齒印
5.3 接觸齒印
= ε δ
(5.5)
其中，nx、ny和nz為接觸點之單位法向量的三個分量。依照齒面外形法，
接觸齒印可定義為兩齒面間距為0.00632mm(紅丹顆粒大小)之點的集合，因 此 ， 接 觸 齒 印 之 求 法 ， 首 先 須 將 可 由 小 齒 輪 及 大 齒 輪 之 齒 面 表 示 在
(
T T T)
T X Y Z
S , , 座標系上，且在大小齒面之共同切平面XT −YT 平面上某一點 P(如圖5.1)距離原點OT為r，該點量測至大小齒輪齒面之距離d1及 d2的總和
等於 0.00632mm 之點，將此 P點紀錄下來並且投影到小齒輪及大齒輪上重
複相同方式，在每一遞增之θT及 r 下，比較ZT軸方向之高度差等於紅丹顆 粒 直 徑 來 求 得 這 些 點 P， 即 ZT( )1 −ZT( )2 =0.00632mm， 其 中 θT 之 範 圍 為
π
≤ θ
≤ π
− T 。若將前述求得之每一個符合點P集合，即可求得接觸橢圓之外 形及大小。
5.3 接觸齒印
以下將討論球形齒輪在不同配對情形(凸狀對凸狀、凸狀對凹狀及凸狀 對正齒輪)下之接觸齒印分佈情形，以及球形齒輪對在不同齒形壓力角與裝 配誤差下其接觸齒印之外形及接觸橢圓之長短軸比。
例題5.1 凸狀球形齒輪配對凸狀球形齒輪之齒印分析
當球形齒輪之設計參數如表5.1所示，且球形齒輪組之配對情形為凸狀 對凸狀，分析齒輪對在下列不同裝配條件下之接觸齒印：(a)理想狀況，(b) 中心距偏差ΔC =1.0mm(5.6%)，(c)水平軸向偏差Δγh =0.5o，(d)垂直軸向偏差
表5.1 球形齒輪之主要設計參數(1)
凸狀球形齒輪 凸狀球形齒輪
模數(mm/teeth) 4 4
齒數(齒) 36 48
壓力角(度)α n 20 20
球形半徑(mm)R 72 96
由第四章之齒輪接觸分析結果可知，當凸狀球形齒輪時配對凸狀球形 齒輪時，齒輪對在理想裝配狀況下，其接觸點將落於齒面之中央截面處(即
Z=0 mm)，因此接觸齒印的位置亦會在中央截面處，如圖 5.3(a)所示。若齒
輪組具有只考慮中心距裝配偏差(ΔC =1.0mm)時，接觸位置亦會在中央截面 處，且不具運動誤差，唯一不同的只有接觸點的位置往上移動，因此，接 觸齒印的分佈位置與理想狀況相比，亦會往上移動，如圖5.3(b)所示。當球 形齒輪組只考慮水平偏差Δγh =0.5o與只考慮垂直偏差Δγv =2.0o及同時考慮 水平偏差Δγh =0.5o與垂直偏差Δγv =2.0o及考慮各種裝配誤差之總合時，接觸 齒印的影響為齒印位置的改變，齒印之大小及外形沒有太大之變化，如圖 5.3(c)、圖5.3 (d)、圖5.3 (e)及圖5.3 (f)所示。
(a)理想狀況
(b) ΔC =1.0mm
(c) Δγh =0.5o
(d) Δγv =2.0o
(f) ΔC =1.0mm、Δγh =0.5o及Δγv =2.0o
圖5.3 凸狀球形齒輪配對凸狀球形齒輪在各種裝配狀況下之齒印分佈
例題5.2 凸狀球形齒輪配對凹狀球形齒輪之齒印分析
若球形齒輪之設計參數如表5.2所示，且球形齒輪之配對情形為凸狀對 凹狀，茲分析齒輪對在下列不同裝配條件下之接觸齒印：(a)理想狀況，(b) 中心距偏差ΔC =1.0mm(5.6%)，(c)水平軸向偏差Δγh =0.5o，(d)垂直軸向偏差
0o
.
=2 γ
Δ v ，(e)水平軸向偏差Δγh =0.5o及垂直軸向偏差Δγv =2.0o，(f)中心距偏 差ΔC=1.0mm(5.6%)、水平軸向偏差Δγh =0.5o及垂直軸向偏差Δγv =2.0o。
表5.2 球形齒輪之主要設計參數(2)
凸狀球形齒輪 凹狀球形齒輪
模數(mm/teeth) 4 4
齒數(齒) 36 48
壓力角(度)α n 20 20
球形半徑(mm)R 72 96
齒印分析結果如圖5.4所示，由於凸狀球形齒輪配對凹狀球形齒輪之齒 面曲率中心在兩齒面曲率的同一方向，使得兩齒面之間距大於紅丹大小之 點較往齒輪兩端靠近，亦即本例題之接觸橢圓其外形與例題5.1 之凸狀球形 齒輪配對凸狀球形齒輪之接觸橢圓相比，變得較為細長，亦即長短軸比較 大，此一現象可由圖5.4 中發現。考慮各種裝配誤差條件時，接觸橢圓之位 置與例題5.1相較大致相同，兩者最大的差別為接觸齒印的大小及外形。
(a)理想狀況
(b) ΔC =1.0mm
(c) Δγh =0.5o
(e)Δγh =0.5o及Δγv =2.0o
(f) ΔC =1.0mm、Δγh =0.5o及Δγv =2.0o
圖5.4 凸狀球形齒輪配對凹狀球形齒輪在各種裝配狀況下之齒印分佈 例題5.3 凸狀球形齒輪配對正齒輪之齒印分析
假設球形齒輪之主要設計參數如表5.3所示，且球形齒輪組之配對情形 為凸狀球形齒輪配對正齒輪，茲分析球形齒輪組在下列不同裝配條件下之 接觸齒印：(a)理想狀況，(b)中心距偏差ΔC=1.0mm(5.6%)，(c)水平軸向偏差
5o
.
h =0 γ
Δ ，(d)垂直軸向偏差Δγv =2.0o，(e)水平軸向偏差Δγh =0.5o及垂直軸向 偏差Δγv =2.0o，(f)中心距偏差ΔC=1.0mm(5.6%)、水平軸向偏差Δγh =0.5o及 垂直軸向偏差Δγv =2.0o。
表5.3 球形齒輪之主要設計參數(3)
凸狀球形齒輪 正齒輪
模數(mm/teeth) 4 4
齒數(齒) 36 48
壓力角(度)α n 20 20
球形半徑(mm)R 72 96
齒印分析結果如圖5.5所示，凸狀球形齒輪配正齒輪的接觸齒印與例題 5.1 及例題 5.2 的分析結果相較，其接觸齒印的大小介於凸狀球形齒輪配對 凸狀球形齒輪與凸狀球形齒輪配對凹狀球形齒輪之接觸齒印大小。這是因 為凸狀及凹狀球形齒輪為分別考慮負轉位及正轉位之正齒輪，其齒面會因 為轉位量的關係使得球形齒輪在不同 Z 截面時，會有不同之齒形。而正齒 輪因為沒有考慮轉位量，其齒面在每一 Z 截面皆相同。而凸狀球形齒輪配 對正齒輪之接觸齒印位置對於水平軸向裝配誤差較為敏感。
(a)理想狀況
(b) ΔC =1.0mm
(d) Δγv =2.0o
(e)Δγh =0.5o及Δγv =2.0o
(f) ΔC =1.0mm、Δγh =0.5o及Δγv =2.0o
圖 5.5 凸狀球形齒輪配對正齒輪在各種裝配狀況下之齒印分佈
例題5.4 不同齒形壓力角對齒印之影響(1)
球形齒輪之主要設計參數如表5.4所示。茲考慮三種球形齒輪組(Case1
配對Case2、Case1 配對Case3 及Case1 配對Case4)在三種不同齒形壓力角
下，齒輪組之接觸橢圓的長短軸比。
表5.4 球形齒輪之主要設計參數(3)
Case1 Case2 Case3 Case4
凸狀球形齒輪 凸狀球形齒輪 凹狀球形齒輪 正齒輪
模數(mm/teeth) 4 4 4 4
齒數(齒) 36 48 48 48
壓力角(度)α 14.5 20.0 25.0 14.5 20.0 25.0 14.5 20.0 25.0 14.5 20.0 25.0n
球形半徑(mm)R 72 96 96 96
分析結果如表5.5及表 5.6所示，其中，平均長短軸比之定義方式是在 球形齒輪單一顆齒之工作區間範圍內，當小齒輪每遞增一輸入轉角時，將 球形齒輪組之接觸長短軸比的值紀錄下來，並取其平均數，即為平均長短 軸比。而節點處之長短軸比之定義方式為球形齒輪組在理想裝配條件下，
球形齒輪之接觸齒印在節圓處之長短軸比。
由接觸橢圓長短軸比之大小即可看出齒印之外形，Case1配對 Case3(凸 狀配凹狀)之球形齒輪組因其齒面之曲率中心在同一方向，使得兩嚙合齒面 有較為細長的接觸橢圓，因此，其接觸橢圓之長短軸比其相對地較 Case1
配對Case2(凸狀配凸狀)之球形齒輪組者為大。而Case1 配對 Case4(凸狀配
正齒輪)則因正齒輪是沒有考慮轉位量的齒輪，亦即齒輪之齒面不會變化，
因此，其接觸橢圓長短軸比則會介於Case1 配對Case2及 Case1配對 Case3 之間。此外，前述三種配對之齒輪組在不同齒形壓力角的情形下，壓力角 越大則齒輪組接觸橢圓之長短軸比越小。
表5.5 凸狀球形齒輪配對凸狀球形齒輪在不同齒形壓力角下之接觸橢圓長 短軸比
壓力角(度) 14.5 20.0 25.0
平均長短軸比 4.381 2.994 2.383
表5.6 凸狀球形齒輪配對凹狀球形齒輪在不同齒形壓力角下之接觸橢圓長 短軸比
壓力角(度) 14.5 20.0 25.0
平均長短軸比 11.575 7.914 6.299 節點處(理想狀況) 10.588 7.730 6.263
表5.7 凸狀球形齒輪配對正齒輪在不同齒形壓力角下之接觸橢圓長短軸比
壓力角(度) 14.5 20.0 25.0
平均長短軸比 5.800 3.959 3.151
節點處(理想狀況) 5.309 3.872 3.130
例題5.5 不同齒形壓力角對齒印之影響(2)
球形齒輪之主要設計參數如表5.4所示。若考慮三種球形齒輪組(Case1
配對Case2、 Case1配對Case3 及Case1配對 Case4)在三種不同齒形壓力角
及垂直軸向裝配誤差Δγv =2.0o時，齒輪組在其節圓處之接觸橢圓長短軸比。
分析結果如表 5.8 所示，其中，節點處之長短軸比的定義方式與例題 5.4 相同。球形齒輪組(凸狀配對凸狀、凸狀配對凹狀及凸狀配正齒輪)在考 慮垂直軸向裝配誤差Δγv =2.0o時，其長短軸比與例題5.4 相較並無太大之變 化，這表示球形齒輪組在考慮垂直軸向裝配誤差時，垂直軸向裝配誤差對 齒輪組之接觸齒印長短軸比並沒有太大之影響，即接觸齒印的大小及外形 沒有太大之改變。且齒輪組考慮直軸向裝配誤差Δγv =2.0o時，其最大的差別 在於接觸齒印位置的不同。
表5.8 球形齒輪組在具垂直軸向裝配誤差Δγv =2.0o及不同齒形壓力角下之 接觸橢圓長短軸比
壓力角(度) 14.5 20.0 25.0
凸狀配對凸狀節點處 3.961 2.927 2.366
凸狀配對凹狀節點處 10.270 7.634 6.204
凸狀配對正齒輪節點處 5.263 3.860 3.122
5.4 小論
在本章中，吾人利用齒面外形法[11]將大、小齒輪齒面在其共同切平面 座標系建立齒面數學模式，且利用此數學模式配合齒印搜尋法來模擬齒輪 組之嚙合接觸齒印。且利用齒輪組在理想裝配條件下來驗證齒印分析數學 模式的正確性。亦探討齒形壓力角對球形齒輪組接觸橢圓長短軸比的影響。