第五章 球形齒輪之接觸齒印
5.2 齒面外形法
齒面外形法其原理如圖 5.1(a)所示，其中OT為兩齒面Σ1及Σ2之瞬間接 觸點，n為兩齒面在接觸點OT之共同單位法向量，T為兩齒面之共同切平 面。在此定義座標系ST
(
XT,YT,ZT)
為接觸點座標系，其座標系原點與兩齒面 之瞬間接觸點OT重合，ZT軸選定為與兩齒面接觸點共同法向量n同方向，因此，XT −YT平面必為兩齒面之切平面。齒面外形法主要是模擬齒輪對在 嚙合時，兩齒面在接觸點附近的紅丹顆粒將因齒面間距小於紅丹顆粒而被
刮除，此刮除的區域即形成接觸齒印。因此，使用數值模擬來計算接觸點 附近齒面間距時，齒面間距小於紅丹顆粒大小的區域即為接觸齒印。
齒面外形法的實際做法是將兩嚙合的齒輪之齒面方程式，利用座標轉 換至兩齒輪嚙合齒面之共同切平面座標系ST
(
XT,YT,ZT)
上，再沿著與XT軸夾 一θT角之r 向量的方向，如圖5.1(a)所示，計算兩齒面之間的距離。圖5.1(b) 為固定一個θT角而沿著 r 方向之截面圖，由該圖可知，若將兩齒面方程式 轉換至切平面座標系ST(
XT,YT,ZT)
之後，齒面到切平面的距離等於在ZT軸的 分量大小，因此，兩齒面在ZT軸之分量兩者相減之絕對值即為兩齒面之間 的距離。當計算所得之間距等於紅丹顆粒大小(0.00632mm)時，此點之紅丹 顆粒將因齒面嚙合而被刮落，此點也正是齒印輪廓上的一點，故予以紀錄 此點之極座標值(r,θT)，接著再改變一個θT值重複進行上述步驟，即可求得 齒印輪廓上其他的相對應點，而這些點的集合即是兩嚙合齒面之接觸齒印 的外形。為進行齒面外形法分析接觸齒印，如前所述首先將兩嚙合之小齒輪及 大齒輪之齒面方程式經由座標轉換至切平面座標系ST
(
XT,YT,ZT)
，其座標系 之相對關係如圖 5.2 所示，其中座標系Sf(
Xf,Yf,Zf)
為球形齒輪組之固定座 標系，座標系Sm(
Xm,Ym,Zm)
及Sn(
Xn,Yn,Zn)
為輔助座標系，δ角為Zm軸與Zn軸 之夾角，ε角則為Zn軸與ZT軸之夾角。位置向量Rf 由座標系Sf(
Xf,Yf,Zf)
轉 換至座標系ST(
XT,YT,ZT)
之齊次座標轉換矩陣方程式如下：( ) ( )i
f mf nm Tn i
T M M M R
R = (5.1)
) (i f TfR
=M (i=1,2) 其中
⎥⎥
⎤
⎢⎢
⎡
−
− 0 1 0
0 0
1 x
p p
圖 5.1 嚙合齒面與其切平面關係圖
圖5.2 接觸點與其切平面座標關係圖
⎥⎥
由於ZT軸與接觸點之法向量n係同一方向，由圖5.2 的幾何關係可知：
2
tan 2
tan
z y
x z y
n n
n n n
= +
= ε δ
(5.5)
其中，nx、ny和nz為接觸點之單位法向量的三個分量。依照齒面外形法，
接觸齒印可定義為兩齒面間距為0.00632mm(紅丹顆粒大小)之點的集合，因 此 ， 接 觸 齒 印 之 求 法 ， 首 先 須 將 可 由 小 齒 輪 及 大 齒 輪 之 齒 面 表 示 在
(
T T T)
T X Y Z
S , , 座標系上，且在大小齒面之共同切平面XT −YT 平面上某一點 P(如圖5.1)距離原點OT為r，該點量測至大小齒輪齒面之距離d1及 d2的總和
等於 0.00632mm 之點，將此 P點紀錄下來並且投影到小齒輪及大齒輪上重
複相同方式，在每一遞增之θT及 r 下，比較ZT軸方向之高度差等於紅丹顆 粒 直 徑 來 求 得 這 些 點 P， 即 ZT( )1 −ZT( )2 =0.00632mm， 其 中 θT 之 範 圍 為
π
≤ θ
≤ π
− T 。若將前述求得之每一個符合點P集合，即可求得接觸橢圓之外 形及大小。