改變導電梯度的影響

= ...(4-1) 當θ=0 ，為橫向模態，其k_x =k及k_y =0；當θ=π/ 2，為縱向模

態，其k_x =0及k_y =k。並以圖 4.1 說明兩模態的關係。而表4.1 為本 系統使用的物理係數參數，使用假設為有介電係數及黏滯係數的氯化 鉀(KCl)稀薄電解液[16]。

4.2 忽略邊界 EDL 效應

忽略邊界 EDL 效應最主要的影響在邊界因 EDL 效應造成的電滲 滑動速度將消失(因則塔電位的影響已很微小)，使邊界變成無滑動的 邊界。而原本因EDL 效應產生的滑動邊界所造成的基態流場，也因 忽略EDL 效應的影響而消失。使系統為「靜止」的基態流場，亦因 忽略EDL 效應，故與電滲速度相關的無因次參數Q 、ψ 及 n 可不考 慮。

4.2.1 改變導電梯度的影響

導電度為局部電荷密度所造成，因此當導電梯度增加，代表局部

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電荷密度增大。若加入電場作用力，將使得電荷密度與電場作用力分 布不均，將加速不穩定的現象產生。以圖4.2 說明，當固定Sc_e=500

時，觀察導電梯度H 增加時，其中性曲線變化發現，當導電梯度越

高的確會造成系統較不穩定，其所需的無因次參數臨界Ra_e^c不需提高 即可抵抗黏滯力的作用而產生不穩定機制。

值得一提的，此系統有兩個模態在控制。一個為固定模態

(stationary mode)，另一個為震盪模態(oscillatory mode)。會產生這兩 個模態的原因為系統並無基態流場。當此節討論忽略EDL 效應時，

就代表系統無法由邊界獲得滑動速度，使系統的基態速度是從靜止開 始。當慢慢施加電場時，會有「固定模態(stationary mode)」與「震盪 模態(oscillatory mode)」的發生。震盪模態代表，電場力與黏滯力兩 個不穩定與穩定的力量在互相拉扯，互相抵抗控制系統的現象，兩者 的作用力在此時相當，電場的驅動力在此時仍無法脫離黏滯力的束縛 的狀態。而固定模態(stationary mode)代表不穩定驅動力電場的影響力 低於黏滯力的作用，此時電場力並無能力與粘滯力對抗；或電場力的 影響已超過黏滯力的作用，並無與粘滯力拉扯的震盪(oscillatory )現象。

由圖4.2(b)中亦可發現當導電度增加時，其虛部成長率為零的區間增 大，即固定模態(stationary mode)的發生越明顯，代表電場力已能輕易 抵抗黏滯力的作用來控制系統的穩定性。

另外，除了低導電度(H=1)，因導電度太小，電場力作用不明顯，

系統並無固定模態(stationary mode)的情況外，其餘導電梯度的情形均 為固定模態(stationary mode)控制。代表當 H>1 的導電梯度強度已能 幫助電場力輕易克服黏滯力產生不穩定的現象。

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圖 4.16(a)則整理了，其導電梯度 H 與臨界Ra_ec的變化。由圖4.16(a) 觀察得到，當導電度增加電場對系統的作用力使系統更不穩定。而當 H>200 時發現，電場力已遠大於黏滯力作用，再增加導電梯度對系統 穩定性分析將無影響。

另外，圖 4.3 則繪出導電梯度為 H=1,H=10,H=100 的臨界流場。

可知，除了低導電梯度(H=1)系統的對流包為左右交互震盪(oscillatory) 的現象，代表低導電梯度，使得電場作用力亦小，電場力一直與黏滯 力相抗衡，無法輕易脫離黏滯力的束縛使系統不穩定。在高導電梯度 (H>10)，可觀察系統對流包為相當直角的矩形，對流包相當穩定。因 電場力已增強輕易抵抗黏滯力的束縛，使系統為電場力遠大於黏滯力 作用的固定模態(stationary mode)狀態。

4.2.2 改變電施密特數(electric Schmidt number)的影響

無因次參數，電施密特數(Sc_e)由其定義看，_{Sce =ν /keff} 為黏滯力 與離子擴散係數的比例關係。其物理意義在此系統討論的是擴散係數 的影響，若是固定擴散係數將Sc_e看成是黏滯性影響則難以看到全貌，

因黏滯係數在各控制方程式都有影響，因此通常將Sc_e看成是擴散的 影響因素。而當Sc_e越小代表擴散機制最明顯，反之亦是。

由 Melcher[14]可知，導電梯度的產生為離子經擴散作用的所造 成。當離子經擴散作用所形成的導電梯度，因離子的擴散效應增大，

使得離子經擴散作用所形成的導電梯度被擴散機制給予以衰減。使得 導電梯度減小，電場力的作用亦減弱而造成系統較穩定。

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觀察圖 4.5 發現，在圖 4.5(b)導電度較高(H=10)的情況，發覺即 使在Sc_e=100，擴散效應增強的情況下，並無法造成系統更穩定，其 臨界Ra_e並無變化，其不穩定的影響並不明顯。

但若考慮低導電度的情況，如圖 4.4(a)，H=1 的情況發現，改變Sc_e 對系統的穩定性有明顯的影響，但其結果並不如前述所述，擴散效應 增強會使系統穩定的物理現象。反而當Sc_e越小，擴散效應越大的情 況下，系統更不穩定了。因為此時，系統的狀況為低導電度的情況，

原先導電度的效應本來就很小，即使不加入擴散效應的影響。系統本 來就很穩定了，而擴散效應在此時並不是扮演穩定角色，而是使系統 不穩定的機制。因系統的擴散效應增加時，將加快導電梯度的產生使 電場力的影響增強，造成系統不穩定的現象。

最後，由圖 4.4(a)及圖 4.5(a)可歸納出，當在低導電度(H=1)，Sc_e 其擴散效應在系統扮演不穩定的機制，因系統離子擴散效應增加，即 代表經離子擴散效應所造成的導電梯度將加速產生，使得低導電度的 穩定系統，因擴散效應增加，而加快導電梯度的形成，進而使電場的 作用增強以造成系統不穩定現象發生。

而在高導電梯度(H=10)的情況，系統的擴散效應並不足以影響系 統穩定的現象發生，因此時導電梯度夠大，電場力夠強，擴散機制並 無法與之抗衡產生明顯的作用。

4.2.3 縱向模態

在縱向模態方面，即當 θ= / 2π 時，所作的數值運算。無論怎麼

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更改變數，收斂條件或運算邏輯皆無法算出θ= / 2π 的穩定性分析的中 性曲線。於是，由θ=0 ,10 ,20 ,...^{o o o} 每10 求出其中性曲線，而答案也^o 可呼之欲出了。觀察圖4.6(a)發現。當把角度增加時，其中性曲線的 無因次參數也開始提高，尤其又以80 以上成長最劇烈，而^o 89.8 即無^o 因次尺度在10 ，若考慮⁸ 90 其無因次參數^o Ra_e將在10 以上或更高。與⁹

橫向模態的10 尺度比相距甚遠。在此可以說當越接近縱向模態時，³ 其系統無因次參數Ra_e越趨於無窮大，系統幾乎不會發生不穩定的情 況。就算橫向模態已相當不穩定時，也很難對縱向模態有所影響。

依圖 4.6(b)更可發現當固定 H=10、Sc_e=500、k =2.1、Ra_e =10⁷的 情況下，其角度變化與成長率的關係。發現當角度為θ=0 時，其橫向^o 模態時，成長是最劇烈的。而在越接近θ=90 時，其成長率趨於零甚^o 至到負數去。表示在當越趨於縱向模態，越穩定。縱向模態在Ra_e =10⁷ 以下必為穩定狀態。由圖4.2 及圖 4.4 可知，若改變無因次參數，導 電梯度H 及電施密特數Sc_e其效應亦無法造成縱向模態的發生，其影 響程度有限。

在此可以下結論，在縱向模態的中性曲線尺度遠大於橫向模態尺 度，在正常的狀況下，絕無縱向模態的發生。

而會造成此結果，以物理來看，因為系統的驅動力電場，只加在 x 軸的橫向方向，故橫向模態最容易發生，成長率也最大。但本系統 並無其他機制使系統不穩定驅動力電場力作用在縱向 y 方向上，也無 浮力、溫度、壓力等作用力能將橫向不穩定擾動的影響擴及在縱向上。

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因此，正常狀態下無論在橫向 x 軸的水平電場加到多大，皆無法影響 到縱向模態。除非超過Ra_e =10⁹，換算成電場為E =3.4 10 V/m₀ × ⁶ 的話，

才有可能會發生縱向不穩定的模態。

最後，基於上述理由，我們不考慮縱向模態的穩定性分析。

4.3 考慮邊界 EDL 的效應

4.3.1 改變導電梯度的影響

由前節 4.2.1 所述，當導電梯度增加，將增強電場對系統不穩定 的作用力。由圖 4.7 所示，固定Sc_e=500、Q= 、1 n= −0.333、

ψ

=1 時，改變導電梯度為 H=1、10、20、50、100 的變化時當增加導電梯 度的影響，的確使得系統更不穩定。在此Ra_e即代表造成不穩定所需 的電場力。相較於前小節忽略EDL 的情況中，在此情形並無發現兩 模態。那是因為當考慮EDL 的邊界滑動條件時，系統在一輸入外加 電場產生邊界的滑動速度(即電滲速度)，進而使系統一開始就有基態 流場。因此，避免一開始由靜止開始時到產生不穩定擾動階段的「固 定模態(stationary mode)」與「震盪模態(oscillatory mode)」，因此時 基態流場其動能將增強系統抵抗流體對黏滯力的束縛。

當提高導電梯度時，發生不穩定所需的Ra_e^c會下降。此時電場代 表所造成的擾動的因素，而黏滯力代表穩定因素，當上下板的導電度 差異大時，則系統受電場作用的力量也越強，也造成邊界的電滲速度 影響加大，其擾動機制也增加以抵抗黏滯力的穩定作用的力量，因此 所需的Ra_e即電場強度會減少。在圖4.7(b)中更可觀察，當導電梯度

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增高時，其虛部成長率增高趨勢。而虛部成長率所代表的物理意義即 為頻率的變化，相對亦代表波速(velocity)的成長。因此當提高導電梯 度變化時，發現波速成長越大，不穩定度越高，因此所需的臨界電場 也越小。

而圖 4.16(a)中，我們觀察當提高導電梯度 H，其臨界Ra_e^c的變化。

結果發現，當導電梯度上升，電場力的影響加大，的確會造成系統的 不穩定發生。數據說明當H>5 時，其不穩定的影響已不再明顯。

4.3.2 改變電施密特數(electric Schmidt number)的影響

由 4.2.2 節所述，電施密特數(Sc_e)其物理意義可看成是擴散係數 的影響。而在高導電梯度時，Sc_e減小代表離子擴散效應增加。而擴 散效應增加，使得由離子擴散所造成的導電梯度因擴散加快而變得均 勻進而使導電梯度變小。電場力作用亦因此減小，使系統較穩定。

而低導電梯度時，擴散效應因加速離子擴散，使得原本就很穩定 的低導電梯度系統，更易形成導電梯度。進而使得電場力作用增大，

系統較不穩定。即在高導電梯度時，擴散效應代表穩定的機制；而低 導電梯度，擴散效應代表不穩定的機制。

原本在圖 4.5，忽略 EDL 效應的高導電梯度系統中，其擴散效應 並無法對系統產生穩定作用。而觀察圖4.9 發現，在考慮 EDL 效應 的系統，當Sc_e = 100，即擴散效應較強的狀況下，其擴散效應扮演穩 定的角色，使得系統穩定度提高。在Sc_e > 100，擴散機制並不足影響

原本在圖 4.5，忽略 EDL 效應的高導電梯度系統中，其擴散效應 並無法對系統產生穩定作用。而觀察圖4.9 發現，在考慮 EDL 效應 的系統，當Sc_e = 100，即擴散效應較強的狀況下，其擴散效應扮演穩 定的角色，使得系統穩定度提高。在Sc_e > 100，擴散機制並不足影響

在文檔中 流體在平行板間受導電梯度與水平電場作用之動力穩定特性分析 (頁 49-0)