縱向模態

4.2.3 縱向模態

在縱向模態方面，即當 θ= / 2π 時，所作的數值運算。無論怎麼

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更改變數，收斂條件或運算邏輯皆無法算出θ= / 2π 的穩定性分析的中 性曲線。於是，由θ=0 ,10 ,20 ,...^{o o o} 每10 求出其中性曲線，而答案也^o 可呼之欲出了。觀察圖4.6(a)發現。當把角度增加時，其中性曲線的 無因次參數也開始提高，尤其又以80 以上成長最劇烈，而^o 89.8 即無^o 因次尺度在10 ，若考慮⁸ 90 其無因次參數^o Ra_e將在10 以上或更高。與⁹

橫向模態的10 尺度比相距甚遠。在此可以說當越接近縱向模態時，³ 其系統無因次參數Ra_e越趨於無窮大，系統幾乎不會發生不穩定的情 況。就算橫向模態已相當不穩定時，也很難對縱向模態有所影響。

依圖 4.6(b)更可發現當固定 H=10、Sc_e=500、k =2.1、Ra_e =10⁷的 情況下，其角度變化與成長率的關係。發現當角度為θ=0 時，其橫向^o 模態時，成長是最劇烈的。而在越接近θ=90 時，其成長率趨於零甚^o 至到負數去。表示在當越趨於縱向模態，越穩定。縱向模態在Ra_e =10⁷ 以下必為穩定狀態。由圖4.2 及圖 4.4 可知，若改變無因次參數，導 電梯度H 及電施密特數Sc_e其效應亦無法造成縱向模態的發生，其影 響程度有限。

在此可以下結論，在縱向模態的中性曲線尺度遠大於橫向模態尺 度，在正常的狀況下，絕無縱向模態的發生。

而會造成此結果，以物理來看，因為系統的驅動力電場，只加在 x 軸的橫向方向，故橫向模態最容易發生，成長率也最大。但本系統 並無其他機制使系統不穩定驅動力電場力作用在縱向 y 方向上，也無 浮力、溫度、壓力等作用力能將橫向不穩定擾動的影響擴及在縱向上。

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因此，正常狀態下無論在橫向 x 軸的水平電場加到多大，皆無法影響 到縱向模態。除非超過Ra_e =10⁹，換算成電場為E =3.4 10 V/m₀ × ⁶ 的話，

才有可能會發生縱向不穩定的模態。

最後，基於上述理由，我們不考慮縱向模態的穩定性分析。

4.3 考慮邊界 EDL 的效應

4.3.1 改變導電梯度的影響

由前節 4.2.1 所述，當導電梯度增加，將增強電場對系統不穩定 的作用力。由圖 4.7 所示，固定Sc_e=500、Q= 、1 n= −0.333、

ψ

=1 時，改變導電梯度為 H=1、10、20、50、100 的變化時當增加導電梯 度的影響，的確使得系統更不穩定。在此Ra_e即代表造成不穩定所需 的電場力。相較於前小節忽略EDL 的情況中，在此情形並無發現兩 模態。那是因為當考慮EDL 的邊界滑動條件時，系統在一輸入外加 電場產生邊界的滑動速度(即電滲速度)，進而使系統一開始就有基態 流場。因此，避免一開始由靜止開始時到產生不穩定擾動階段的「固 定模態(stationary mode)」與「震盪模態(oscillatory mode)」，因此時 基態流場其動能將增強系統抵抗流體對黏滯力的束縛。

當提高導電梯度時，發生不穩定所需的Ra_e^c會下降。此時電場代 表所造成的擾動的因素，而黏滯力代表穩定因素，當上下板的導電度 差異大時，則系統受電場作用的力量也越強，也造成邊界的電滲速度 影響加大，其擾動機制也增加以抵抗黏滯力的穩定作用的力量，因此 所需的Ra_e即電場強度會減少。在圖4.7(b)中更可觀察，當導電梯度

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增高時，其虛部成長率增高趨勢。而虛部成長率所代表的物理意義即 為頻率的變化，相對亦代表波速(velocity)的成長。因此當提高導電梯 度變化時，發現波速成長越大，不穩定度越高，因此所需的臨界電場 也越小。

而圖 4.16(a)中，我們觀察當提高導電梯度 H，其臨界Ra_e^c的變化。

結果發現，當導電梯度上升，電場力的影響加大，的確會造成系統的 不穩定發生。數據說明當H>5 時，其不穩定的影響已不再明顯。

4.3.2 改變電施密特數(electric Schmidt number)的影響

由 4.2.2 節所述，電施密特數(Sc_e)其物理意義可看成是擴散係數 的影響。而在高導電梯度時，Sc_e減小代表離子擴散效應增加。而擴 散效應增加，使得由離子擴散所造成的導電梯度因擴散加快而變得均 勻進而使導電梯度變小。電場力作用亦因此減小，使系統較穩定。

而低導電梯度時，擴散效應因加速離子擴散，使得原本就很穩定 的低導電梯度系統，更易形成導電梯度。進而使得電場力作用增大，

系統較不穩定。即在高導電梯度時，擴散效應代表穩定的機制；而低 導電梯度，擴散效應代表不穩定的機制。

原本在圖 4.5，忽略 EDL 效應的高導電梯度系統中，其擴散效應 並無法對系統產生穩定作用。而觀察圖4.9 發現，在考慮 EDL 效應 的系統，當Sc_e = 100，即擴散效應較強的狀況下，其擴散效應扮演穩 定的角色，使得系統穩定度提高。在Sc_e > 100，擴散機制並不足影響 流體使其穩定，其臨界Ra_e^c並無變化，其不穩定的影響並不明顯。。

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而自然界中，並無法找到Sc_e<100 的流體。故可說明在此系統下Sc_e對 系統穩定性無法發揮作用。

4.3.3 改變 n 的影響

n 在本研究為邊界電滲速度則塔電位(zeta potential)與導電度關 係的影響因子，當 n 越大則導電度影響則塔電位越高，受則塔電位影 響的電滲速度也會越快，造成系統不穩定的影響也會越大。而使用

n= −0.5，為假設在表面電荷密度為常數時為的理論值。而當考慮邊 界為矽硼酸玻璃(borosilicate)表面，則所實驗出的n= −0.333[1]。本文 以此實驗值n= −0.333為系統的參考值。並代入此值與系統做出比較，

觀察圖4.10，改變此參數並無太大影響。

4.3.4 改變 Q 的影響

為完整定義電滲速度的無因次參數，特別令Q=σ σ₀/ _r來代表底 板的無因次導電度。依據之前的觀念我們知道，當導電梯度越大則系 統越不穩定。因此，當我們提高底板導電度，但無因次導電梯度

/ 0

σ σ

Δ 保持不變。則頂板的導電度亦增大，相對也造成上下板導電

度差變大，系統也較不穩定。觀察圖4.11 也可發現計算的結果，改 變此參數並無太大變化。代表改變底板導電度並不會造成系統的穩定 性分析，因導電梯度固定時，上板導電度也會呈相對比例的成長。因 此造成系統Ra_e^c極值並不會改變。

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4.3.5 改變

ψ

的影響

ψ

此無因次參數，由其定義來^Rv = −^1/ξr ⋅

(

μkeff ^/ε

)

^{1/ 2}Rae^{1/ 2} 1/ 2

Rae

ψ

= 。其中，R_v代表無因次電滲速度，即系統邊界滑動速度。

而

ψ

在本系統，代表則塔電位的效應。也可看成有無 EDL 效應的影響。

當

ψ

減小代表 EDL 效應明顯；反之，則代表可忽略 EDL 效應的作用。

因此，若控制

ψ

即代表控制系統是否考慮 EDL 效應的作用當減小

ψ

。其結果應趨近考慮 EDL 效應的影響。若增大

ψ

，其結果應趨近忽 略 EDL 效應的作用。

由圖 4.12 及圖 4.13，繪出

ψ

其(a)中性曲線變化；(b)虛部成長 率與波數的關係曲線。說明，當ψ >10其結果已相當趨近忽略EDL 效應的結果。並可由4.12(a)觀察，當ψ =0.1,H=10的高導電梯度系統 反而對系統有穩定的作用。理論上，當提高則塔電位效應，應會造成 電滲速度加快，使系統不穩定才對。但圖 4.12(a)卻反而變穩定。其 原因為，當把則塔電位效應增大至某一程度時，其則塔電位在邊界對 電荷的吸引力加大的原故，反而會使 EDL 的厚度加大。電解質內的自 由電荷都被吸附在邊界上，使系統電泳力下降。且 EDL 厚度亦增加，

使系統不穩定性降低。若討論ψ =0.1,H=1的低導電梯度系統 ，由圖 4.16(a)所示，系統將變得比較不穩定。代表當低導電梯度系統，其 電力作用較小時，則塔電位將扮演使邊界電滲速度滑動加快的角色。

因電力較低時，系統由則塔電位及黏滯力所控制。此時ψ 越小代表黏 滯力越小，則塔電位越大，使邊界得滑動速度也越快，加大系統不穩 定作用。

而圖 4.13 更說明，當ψ >10其中性曲線與忽略 EDL 效應的比較，

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幾乎重合。代表當其ψ >10則塔電位影響已相當小，系統趨於忽略 EDL 效應的作用。

觀察 4.14，

ψ

所影響的臨界流場變化。說明當ψ =0.1其則塔電 位影響明顯時，其對流包成震盪的變化。代表系統的則塔電位吸附離 子所造成的穩定機制與外加電場的不穩定機制相互抗衡，所產生的震 盪現象。而當ψ >0.1，其對流包有趨於固定的現象發生。此為則塔效 應減弱，電場的趨動力對系統更易造成不穩定的作用有關。

由圖 4.17 更可進一步說明，在低導電梯度系統(H=1)的情形下。

EDL 效應越強，即

ψ

越小時。系統會有不穩定的情形出現，印證前 述所說，在此情形，因電場強度很小，故則塔電位的影響將增大。此 時則塔電位扮演不穩定的角色。當邊界則塔電位增大時，將使得邊界 的電滲速度加快，增加系統基態流場的動能進而抵抗黏滯力的穩定力，

產生不穩定的作用。而當在高導電梯度系統(H>10)時，將有相反的情 形出現。當EDL 效應增強時，系統將更穩定了。因此時電場的不穩 定驅動力已遠大於邊界EDL 的不穩定效應，系統已不需要邊界上則 塔電位所產生的基態速度，其所造成系統的不穩定動能。此時邊界的 則塔電位將扮演穩定的角色，將流體內的離子吸附在邊界上，使得流 體內因帶電離子減少，而減少電泳力的作用。且邊界EDL 的厚度亦 增加，如同邊界層般，加強流體的黏滯力作用，使系統穩定。

4.3.6 縱向模態

同理，依據 4.2.3 節的理由說明。無論如何控制參數變化，其縱 向模態的中性曲線尺度都遠大於橫向模態。但我們還是試著觀察，在 考慮EDL 的物理模型，是否還會有相同結果。我們觀察圖 4.15(a)，

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無論如何控制H、Q 、n、

ψ

及Sc_e，皆發現在角度超過80°後，無因 次參數Ra_e的變化依然很陡峭，且尺度也遠大於橫向模態，與4.2.3 節有相同的結果。再觀察圖4.15(b)，角度與成長率的關係圖，仍然 可以發現在角度0°的橫向模態其成長率最高，依角度上升其成長率遞 減，到90°時期成長率為負成長。故在Ra_e =10⁸的尺度下，縱向模態 不存在或趨於∞。系統幾乎不會發生不穩定的情況。就算橫向模態已 相當不穩定時，也很難對縱向模態有所影響。

會造成此結果，以物理來看，因為系統的驅動力電場，只加在 x

會造成此結果，以物理來看，因為系統的驅動力電場，只加在 x

在文檔中 流體在平行板間受導電梯度與水平電場作用之動力穩定特性分析 (頁 52-0)