第一章 緒論
1.1 研究背景
電流體力學(Electrohydrodynamics)是一門整合流體力學與靜電 學的跨領域學科。而電流體的穩定性分析，近來受到微機電技術的需 求，如生物反應晶片或化工過程之微型化技術，凡舉化學分析、生醫 系統、微幫浦、注射器、成分分離器、混合器等等，其應用層面相當 廣泛。由於微機電製程的進步，現更可將多樣系統整合於單一晶片上，
即「System on a Chip」，得以降低製造成本，並縮小系統的整體尺寸，
以提升可攜度[1]。亦由於尺寸的縮小，許多在維度較大的系統中被 忽略的效應則有更重要的影響，包括電磁場效應、熱傳遞、流道平滑 度…等等。
在微流體裝置的應用上，主要有微混合器與微分離器兩種。首先，
在微流體混合器中，由於流場之雷諾數通常都相當低，流體多以層流 方式流動，致使流體之間的混合通常僅能藉分子擴散來達成。增進微 流體混合器效率所採用的方式一般可分為被動式與主動式兩種：被動 式混合係以在流道中設置擋塊，或改變流道幾何形狀等方式促使流體 混合，此種方法在混合器製造後即無法變動，於使用上較缺乏彈性。
而主動式混合係以加入電力、磁力、熱力…等作用力，或是利用旋轉、
震動等運動作為增進混合的機制。但需要廣泛的研究成果來加以應用，
且其中牽涉較高深學理，需要專才解決。目前以電力來引發流體不穩 定來製造對流與混合[2,3]為其主要發展技術且以電力控制亦有較容 易操控的優點。
除了微流體混合器的研究外，另一個重要應用是在所謂的『等電
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位點聚焦電泳(isoelectric focusing, IEF)』技術。該技術源於生物技術 領域，主要被利用來分離蛋白質或高分子混合物之未知成份。在等電 位點聚焦電泳實驗操作中，若增加兩電極板間的電位差，通常可以加 速蛋白質分離的速度；但另一方面，電位差的增加亦會使得電泳力越 大而超越黏滯力的束縛，導致流體不穩定流動。此時乘載蛋白質的電 極緩衝液亦產生擾動，緩衝液黏性下降，分子自由擴散加劇，進而降 低PH 值分佈導致分離失效。因此，電壓施加的強弱，有其極限存在。
一般而言對於生物反應晶片來說，希望設計能增加系統的不穩定性混 合，來加速反應；但對於電泳分離技術而言，卻希望能提升系統的穩 定機制。故依據需求來設計流體的穩定性。
在微流體系統中，以驅動方式來說，主要有以下兩種方式：壓力 驅動與電動力驅動。在微流道中以壓力梯度驅動流體是相當沒有效率 的方式。且微流道的結構強度不高，無法承受太大的壓力梯度。因此，
電場驅動，是較合適的選擇。在微流體分析系統中，受處理的流體常 為可解離的溶液，或是具導電性的流體，若將流道的壁面設計成電極 板，便可藉由外加電場的方式驅動流體[4]。
1.2 文獻回顧
由前節提到，在生物晶片的研發上，為了加速物種混合效率，我 們希望能趨向設計系統產生不穩定；對IEF 則希望提升系統的穩定機 制。為了清楚了解這些物理機制的成因與其耦合作用，已有學者們先 後提出各種理論模型來分析與預測。
在 1965 年 Taylor & McEwan[5]研究在兩層不相容的液體界面做 過穩定性分析，1967 年 Melcher & Firebaugh [6] 率先研究弱導電的液
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體在加入溫度梯度後所引起的導電梯度變化對穩定性的影響。
1970 年 Michael & O’Neill[7]研究一通入垂直方向的電場，並在 兩個導電流體中隔著一層非導電體平板的穩定性分析。以上的研究在 在都顯示，在沒有接觸面間的張力影響下，靜止的流體也會產生擾動 現象。Hoburg & Melcher [8] 與 Hoburg [9] 分別在 1976 年及 1977 年 則考慮兩個彼此可互相混合的液體介面存在一線性的導電性梯度 (conductivity gradient)分佈，並探討在分別受到切平面方向以及垂直 方向之電場作用下的穩定性行為。
Rhodes[10]在 1989 年也將兩可互融的流線噴流做分析，說明在
沒有受接觸面間張力的阻力下，原本圓柱狀的噴流會變成帶狀。
Melcher & Taylor[11]也做了許多加入電力驅動相關的研究。Baygents
& Baldessari[12]和 Hoburg & Melcher[13]有提到當電場與導電梯度相 互作用時，靜電荷也可在流體內部作用，而不僅限於表面上。
而 Baygents & Baldessari[12]，在假設不流動的流場，加入導電梯 度的變化，此導電梯度為離子濃度擴散造成。當黏滯力的反應時間遠 比電解液受電場作用的反應時間大，其導電度的統御方程式可以簡化 幾乎近似於擴散方程式。此項觀念亦可由Melcher[14]所提的觀念相 通。而此項相較於Hoburg & Melcher[15]有所不同。因在 Hoburg &
Melcher[15]的研究中所分析為共向性(colinear)的流場及導電梯度，雖 然其導電梯度一樣也是離子濃度擴散造成，但不同的是其導電梯度在 穩定性分析推導過程中會被消除。其消除的原因為當keff /ν <<1 時，
流體擴散所需的時間比黏滯力的反應時間長。
雖然keff /ν <<1，但對影響流體的運動還是有其重要性，當電流體
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運動時，其離子的擴散效應會使得離子濃度均勻，衰減導電梯度的產 生，進而穩定流體。因為當離子的擴散效應減小，也就代表因離子擴 散所產生的導電梯度也減小。而當導電梯度減小，也就代表電場所能 對流體的作用力也減小，因此也就間接造成流體穩定。
再討論，如果擴散效應大於電泳效應，則流體將停止流動。因為 電場無法造成導電梯度讓帶電離子漂移。且流體的黏滯力在此扮演穩 定流體的功用，阻礙流體運動。假如keff /ν 假設趨於零，也就代表忽 略擴散效應的影響，等於只有討論外加電場對流體做穩定性分析。
在 Lin[16]文中討論在微流道中施加兩層均勻的電解液，上層導 電度較高，下層的導電度較低，其導電梯度僅存在於介面中。當施予 外加的水平電場時發現，所施予的電場越高，則其介面擾動的程度越 大。若固定電場，也發現當兩層的導電度差異越大，其擾動也越劇烈。
此一現象常用於，微流道的快速混合機制。
典型的微流道尺度大約在 10 microns 或更大，而杜拜長度(Debye lengths)大約在 10nm 等級，尺度相差 1000 倍。因此，將電雙層(electric double layer, EDL)在邊界的效應考慮為邊界滑動條件，其滑動速度與 局部電場和黏滯力有其比例關係。而Santiago[17]其物理模型中說明 如何考慮邊界EDL 效應，將 EDL 的電滲速度效應，考慮為邊界的滑 動速度效應而滑動邊界考慮在EDL 擴散層末端。Chen[18]更進一步 將EDL 中的電滲速度，其則塔電位(zeta potential)的部分，考慮與導 電度的影響關係。
1.3 研究動機與目的
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可從實驗了解在厚長比甚小的微流道中施加與流動方向垂直的 導電梯度時，發現當施予流動方向的電場時，流體會隨著所施加的電 場大小產生顯著不穩定的擾動現象，且電場越大其不穩定現象越明顯 亦越快。當考慮導電梯度越高時，亦有相同的現象。因此，常將此現 象用於微混合(micromixer)裝置上。另外也發現若流道厚度尺度很小 時，反而會有使流體趨向穩定的現象。因此要如何控制厚度尺度才能 達到最有效的混合效率亦是許多學者研究的方向。
而由 Lin[16]的模型中，討論在微流道中考慮邊界 EDL 效應下，
兩層相異導電度的電解液予以水平電場作用，分析此系統的混合機制。
並說明當外加電場越大，則混合機制越明顯。
此系統考慮在常溫下，忽略溫度作用，討論其流體穩定性分析；
而其中較少討論其縱向模態的變化，且其所討論的導電梯度為在各層 中為均勻僅在交界面產生梯度變化。因此，本研究的重點放在將系統 考慮為平行板系統，並藉由給予上下板離子濃度經由擴散作用而產生 線性的導電梯度變化下。分別討論其橫向模態與縱向模態的線性穩定 性分析。
在本研究的物理模型，亦將討論以下狀況的線性穩定性分析: (1).
考慮EDL 在邊界的影響。 (2).考慮當 EDL 尺度遠小於板高，忽略 EDL 邊界效應的影響。
1.4 研究方法
本研究之物理模型可簡述為:兩具導電度差之平行板間充滿導電 溶液在常溫下，通入一平行於平板的均勻水平電場。考慮邊界上的電 雙層(electric double layer, EDL)影響，在本研究中 EDL 的影響主要考
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慮在邊界上電滲流所造成的滑動速度，即電滲速度(electroosmotic velocity)所造成的邊界滑動[18]。
在本研究中，主要考慮則塔電位(zeta potential)、電場對電滲速度 的作用。在則塔電位中，依據Lin[16]考慮導電度對則塔電位有修正 關係。所以當給予上下板不同導電度時，將會引發不同的則塔電位，
進而在邊界上產生不同的電滲速度。而邊界導電度的給予，可以根據 Melcher[14]，當電荷鬆弛時間(charge relaxation time)<<黏滯擴散時間 (viscous diffusion time)時，可將電解質濃度直接線性正比於導電度分 佈。因此當給予上下板離子濃度，亦即給予邊界導電度。
本研究所使用的統御方程式除了連續方程式與動量方程式之外，
還使用電荷守恆方程式，考慮電場、導電度與自由電荷之間的關係，
導電度控制方程式。線性穩定性分析的流程，除了先確定物理模型，
使用的假設與統御方程式。之後由上述統御方程式內的各未知數配合 邊界條件解出基態解，再根據基態解選擇適合的特徵尺度將統御方程 式與基態解及邊界條件無因次化。利用微擾法對無因次化的方程式進 行線性穩定性分析，並以正規模態展開。運用數值分析方法求得未知 數，找出線性穩定性的中性曲線。
在數值方法中，本研究使用謝比雪夫配置方法，配合邊界條件，
求得在各種參數的組合下，要使流場發生不穩定現象所需的臨界波數
求得在各種參數的組合下，要使流場發生不穩定現象所需的臨界波數