我們要建立的二階多位元量化積分三角調變器設計模型（Model）中，希望 可以提拱設計者在規劃之初便可以清楚的獲得一些重要資訊，如數位電路的邏輯 閘數目、需要多少開關的數量、功率、面積…等等，可供設計者參考。在模型中 信號雜訊比（Signal-to-Noise Ratio, SNR）的估測是相當重要的，以一階積分三 角調變器的 PSNR 為例，如式（2.22），假設這個公式失去了準確性，那麼設計 者在規劃之初便會決定錯誤的 OSR 與量化位元數，如此設計出來的取樣頻率與 量化器（Quantizer）便無法達到所需要的 SNR，對於模型之後的規劃與所提供 的資訊也都將失去意義；所以在這一章節中，我們將說明一些考量以選擇二階多 位元量化積分三角調變器來建立模型，此外針對二階多位元量化積分三角調變器 的架構與原理，來討論信號雜訊比的公式是否精確以及需要做何改良。
4.1 積分三角調變器的考量
在第二章與第三章中詳細介紹了各個積分三角調變器的架構與原理，設計者 將隨著不同的輸入頻寬（Bandwidth）與解析度（resolution）需求來選擇適合的 架構設計，然而我們所討論的主題將以兩階單迴路多位元的架構為主，如圖 4.1 所示為示意圖。
圖4.1 兩階單迴路多位元量化示意圖
我們以此架構為主要考量有幾個因素：
(1) 積分三角 A/D 轉換器可藉由增加階數來達到解析度的需求，但是階數 太高將會對系統的穩定度產生影響，然而選擇二階的架構將可避免系統 不穩定的問題；圖4.2 為二階積分三角調變器在時域的表示圖，其中 g 代表積分器的增益，d 代表 D/A 轉換器的增益，α 代表運算放大器的漏 雜訊（Leakage noise），漏雜訊是由於運算放大器的有限增益引起，我 們將有限增益A 表示為
1－α = A
1 （4.1）
圖4.2 discrete time 二階 Σ∆ 調變器
由積分器的方塊圖可以推導出積分器函數為 H(z) = 1 1
z 1
gz
−
−
−
α
（4.2）而將D/A 轉換器的增益 d 考量進來，可推導 STF(z)為 STF(z) = ( 1 1
z ) gd ( 1
gz
−
−
−
+
α )2 （4.3）在式（4.3）的推導中我們假設了第一級積分器與第二級積分器的增益 以及運算放大的有限增益皆相同，此假設可減少分析的複雜度。所以由 式（4.3）中可發現會產生 gd－α 的極點，由以下的推導可以知道穩定 度的需求為：
gd −
α< 1
⇒ -1+α < gd <1+α （4.4）只要將二階積分三角調變器增益與 D/A 轉換器增益的乘積限制在式 （4.4）的範圍中，將可維持住系統的穩定性；若愈高階的架構，則可穩 定的範圍將愈小且愈難去實現。
(2) 將積分三角調變器的階數選定在二階則會有信號雜訊比是否會太低的 疑慮，所以我們在量化器的部分以多位元量化的方式來增加系統的解析 度，以求可達到更高的解析度應用，如圖4.3 所示。
圖 4.3 multi-bits 積分三角調變器示意圖
(3) 近年來有許多發表的論文以 MASH 的方式設計積分三角調變器 [23]～
[26]，此架構以串疊的方式達到高階的效果且又避免了穩定度的問題，
而雖然它可以消除前一級的量化誤差（Quantization error）但是對漏雜 訊（Leakage noise）的影響相當敏感，使得在數位雜訊消除電路（Digital cancellation circuit）中無法將此雜訊抵消，而且在深次微米的製程中，
要得到較高的運算放大器增益也愈趨困難，所以此雜訊將會大大的引響 積分三角調變器的效能。
綜合以上的考量，我們覺得以二階多位元量化架構來建立模型，將可廣泛的應用 在各個應用領域之中，且在電路的實現上也比較容易。
4.2 二階多位元量化積分三角調變器的相關雜訊
在第三章中我們計算了積分三角調變器的信號雜訊比，不過在推導的過程中 所考量的雜訊功率只有包括到量化雜訊而已，然而隨著電路愈來愈複雜以及元件
製程縮小的情形下，僅僅考慮一個雜訊的影響是不夠的，這也是為什麼在大部分 發表的論文中，若以理想的信號雜訊比公式來估測時，與實現後的結果通常有一 大段的誤差有關，所以我們覺得所考量的雜訊不足是導致信號雜訊比產生誤差的 原因，而我們將以此論點來找出更多應該被考量在內的相關雜訊。
圖 4.4 為二階積分三角調變器的電路圖，使用差動輸入/輸出的方式來設計，
其中快閃式A/D 轉換器（Flash A/D Converter）即為量化器，在這裡是以 4 位元 的量化器表示；另外由交換式電容（Switched Capacitor）電路來建立積分器與 D/A 轉換器，DEM（Dynamic Element Matching）是為了增進 D/A 轉換器的元件 線性度，我們將在第四章中加以詳述。
圖4.4 二階 4 位元量化積分三角調變器電路
我們的目的不是如何去設計電路，但可以由電路圖找出二階積分三角調變器 的相關雜訊，此雜訊可能是某個元件或是某個物理現象造成的，我們都必須加以
討論，並在最後找出對改善信號雜訊比有幫助的雜訊來納入考量。我們會討論的 雜訊有開關有限電阻的熱雜訊、閃爍雜訊、運算放大器的雜訊、劇跳雜訊、電容 不相稱誤差、電容非線性影響…等等，以下我們將深入了解各個雜訊的產生以及 是否對系統產生很大的影響。
(1) 開關有限電阻的熱雜訊（Thermal noise of switch）：由於二階多位元量 化積分三角調變器是使用切換式開關來設計，電路中將使用大量的開 關，而在討論開關的熱雜訊之前，我們必須先暸解一個電阻會產生的雜 訊有哪些。假設在導體中平均電流為零時，會由於些微的熱能使得電子 產生隨機運動並引起導體跨壓的變動，我們稱此因熱能所產生的不尋常 變動為熱雜訊，因此熱雜訊之頻譜與絕對溫度是成比例的。如圖4.5 所 示，電阻 R 的熱雜訊可以一串聯電壓原來建立其模型，其單邊頻譜密 度（Spectral Density）為
SR(f) = 4kTR , f ≧ 0 （4.4）
其中波茲曼常數 k = 1.38 × 10-23 J/K，T 代表絕對溫度。
圖4.5 電組熱雜訊模型與單邊頻譜
圖4.6 電組熱雜訊單邊頻譜密度
其中 SR(f)的單位以 V2/Hz 表示，所以我們也可以寫成
VR2 = 4kTR