政府限制

n 2

ϕ _{( LGD－E}

mLGD)>(1－

n 2

ϕ )c。 (3.6)

，成立時銀行與外國銀行連結，反之則與本國銀行連結。

3.4 政府限制

以上的策略被實行時，若有銀行破產，很容易就會連累到其他銀行，政府通 常不會希望這種事情發生，因為這樣的連結策略雖然符合銀行的利益，但從整體 社會的角度來看不一定是好的，因此政府有誘因去制定相關的法令來管制銀行之 間的連結策略。為了避免破產發生傳染的現象，政府可以規定當銀行之間有連結 時，LGD 必須保持在 b₁以下，這個條件稱為政府限制。在現實中也有類似的條 款，例如銀行法第 33-3 條規定銀行與同一對象的交易金額上限由主管機關規定，

這與我們的假設同樣是為了避免銀行因為單一對象還不出錢而遭受過大的損 失，使危機擴散。

在存在政府限制的情況下，銀行之間若要交換存款，必須確保和自己有往來 的銀行破產時，受到的損失小於 b₁，也就是保證在任何銀行破產時，其他的銀 行都不會發生擠兌，導致損失擴大。因此銀行會增加交換存款的銀行數量，同時 每間銀行交換的金額減少(因為需要交換的總額不變)，直到所有與其往來的銀行 破產時造成的損失低於 b₁，也就是 LGD< b₁，如果銀行選擇連結的對象皆為外 國銀行則變成 LGDf< b₁。如同前面章節所提，銀行會優先和不同 type 的銀行交 換存款，只有在未連結的不同 type 的銀行已經不存在的情況下才會和同 type 的 銀行連結。但在現實中，大部分國家的銀行數量都相當多，例如台灣在西元 2015 年五月底時共有 40 家本國銀行、30 家外國銀行以及數量更多的其他金融機構(例 如信用合作社、農會信用部等)。即使不同 type 的銀行只有一半，數量應該也足 夠讓 LGD 降至 b₁以下。因此在本文中假設 n 的數量夠大，讓銀行只跟不同 type

的銀行連結即可達到目的。

引理 2 若銀行總數夠多，則銀行只會和不同 type 的銀行連結。

若同時連結本國及外國銀行，則由於 LGD>LGDf，所以只需要注意 LGD 的大小，

而與外國銀行相連和與本國銀行相連對 LGD 的影響相同，但與外國銀行相連要

銀行破產時，雙方互存的金額直接互相抵消，不用再換回外國貨幣還給對方。

2 )

數就是典型的風險趨避者，假設現在有兩個選擇，第一個選擇可以得到 100 元，

第二個選擇則是有一半的機率得到 120，一半的機率得到 81，若是風險中立者，

則由於 100.5 2

81 2

120+ = >100，會選擇第二個選項。但換成風險趨避者結果則會

有所不同，這時選擇第一個選項最終的效用為 10，選擇第二個選項的預期效用 則為 9.977

2 81 2

120 + ≅ ，因此風險趨避者會選擇第一個選項。由這個結果可以 看出，比起不確定但期望值較高的收入，風險趨避者較為偏好穩定確實的收入，

在風險上升的情況下，需要增加比平常更多的收益才能讓風險趨避者進行高風險 的選擇，我們接下來會選擇兩種不同的效用來進行討論。

4.2 一般的風險趨避者

如同前面所說，風險趨避者不喜歡風險較高的選擇，反過來說，較能穩定的 取得收入的投資方式就較受到喜愛，與其他銀行相連除了能在安全的情況下將較 多比例的金錢投資到非流動性資產上，還有 comsumption smoothing 的效果。這 裡的 comsumption smoothing 指的不是一、二期的收入接近，而是指不管第一期 時哪種領錢比例發生，最終的收入都會相同(當然，自己或相連的銀行破產時例 外)。也因此，在決策者為風險趨避的情況下會傾向與其他銀行連結而非無連結，

在本模型的架構下，唯一有可能讓決策者選擇無連結的情況只有當ϕ^{非常大且總} 銀行數較低的時候，此時與其他銀行連結帶來損失的機率太高，此時才有可能不 和其他銀行連結。

我們將效用函數設為 U(M)= M ，如下圖，其中 M 代表第二期結 束後銀行的收益，這是一個標準的風險趨避者，我們可以用與前面分

析線性效用時相同的方式來處理，但較難得到能簡單表示的解析解，因此在這裡 我們用數值的方式來進行討論。

0 2 4 6 8 10

0.00.51.01.52.02.53.0

M

U

Figure 4.1 效用函數 U(M)= M

Example 4.2.1

首先我們將焦點放在選擇連結時，要選擇國內或國外的銀行。從第三章的例 子來看，影響決定的主要因素是匯率變動和連結成本，匯率變動越大(也就是 E_m 越低)或是成本越低都會讓銀行傾向與外國銀行連結，現在我們要看看對風險趨 避者來說是否也是如此，以下是一個例子。

Figure 4.2 改變連結成本和匯率時的連結策略

這張圖中我們變動匯率和成本的數值，並觀察銀行會選擇的策略，各項外生 變數分別為 n=100、ϕ^=0.1、PL=0.3、P_H=0.7、C₁=1.1、C₂=1.3、r=0.1、R=1.7。

紅色的部分表示與本國銀行連結，米黃色的部分表示與外國銀行連結。可以看出 與先前的結論一致，當匯率變動較大或是連結成本較低時銀行會傾向與外國銀行 連結。

Example 4.2.2

下來我們來看看具體來說要在什麼樣的條件之下這件事才會發生，在 Figure 4.3 中，n=8、ϕ^=0.99、PL=0.49、P_H=0.51、C₁=1.05、C₂=1.3、R=1.7、c=0.00003。

紅色表示無連結，土黃色表示與本國相連，米黃色表示與外國相連。和前例相比，

主要的差別在於 n 大量減少且ϕ非常高，這符合之前的敘述，同時 P_L和 P_H的差 距也很小，只有在這樣的情況下無連結才是會被考慮的策略，在下圖中，紅色只 存在於 r 非常接近 1 的

Figure 4.3 改變 r 和匯率時的連結策略

位置，因為只有在將非流動性資產換回現金的代價很小時，銀行才能將較多金額 投資在非流動性資產的部份，而不至於在第一期有 P_H比例的人來領錢時有大量

的損失。E_m的部份則與前面的結果類似，較有趣的是 r 上升會讓銀行傾向於與 本國銀行連結，這是因為在這個數值區間中，s 和 h 皆為 1，而當 r 上升時，LGD 和 LGDf 因此下降，其中 LGD 下降較多，也因此對本國銀行較有利。從以上結 果可以看出，除了較傾向連結外，在該和哪國的銀行連結這方面風險趨避者的表 現和風險中立者並沒有太大的差異。

Example 4.2.3

Figure 4.4 改變 r 和匯率時的連結策略 2

當連結數增加時，事情又會有些不同。在 Figure 4.4 中，n=12、ϕ^=0.1、PL=0.3、

P_H=0.7、C₁=1.05、C₂=1.3、R=1.7、c=0.0001。若交界處為右下到左上的曲線，

則與前例情況類似。而某些時候 r 下降反而對本國銀行有利是因為和外國銀行連 結時，任何連結數的增加都會增加成本，當 r 下降導致連結數增加時，需要一口 氣降低大量匯率才能抵銷該效果。此外也可能是因為與本國銀行相連時 LGD 已 經大於 b₂，此時 r 變動只對和外國相連有影響，因此需要匯率的變動來抵消 r 的改變，這幾種情況反覆發生使得交界處會有這類鋸齒的形狀。

4.3 恐懼破產的風險趨避者

這一節我們會討論當決策者極度恐懼破產時會如何行動，假設銀行的效用為 U(M)=ln(M+ε )，其中 M 表示銀行在第二期結束後擁有的金錢數量，而ε 則是一 個無窮接近 0 的正數，可以看出在最終收入接近 0 時，效用會迅速的下降，趨近 負無窮大。對於這種效用的決策者來說，最重要的原則就是要避免任何增加破產 可能性的行為，也因此有些決策會和其他的決策者有所不同。這可以分成兩種情 況，第一，假設銀行在無連結的情況下存在一個最適的投資策略，能讓除了因不 可抗力而破產以外的情形收入皆非 0，這時若是線性效用的決策者，在選擇連結 但沒有政府限制時只會與一家不同 type 的銀行相連，而對效用為 log 的決策者來 說，除非只與一家銀行連結時 LGD 就小於 b₂，否則不可能出現這樣的結果，因 為若 LGD >b₂，則此時銀行增加了

n 2

ϕ _{的機會在最終的收入為}

0 2 4 6 8 10

-4-3-2-1012

M

U

Figure 4.5 效用函數 U(M)=ln(M+ε )

0，而在效用函數為 log 的情況下，收入為 0 會讓效用趨近於負無窮大。不管 n 2

ϕ

多低，只要不是 0，都會造成效用大幅降低，因此只有在 LGD <b₂的情況下銀行 才有可能選擇與其他銀行連結，下面是一個銀行選擇是否連結的例子。

Example 4.3.1

假設現在ϕ^=0.01、PL=0.4、P_H=0.6、C₁=1.1、C₂=1.3、r=0.1、R=2、c=0。

這時 b₂=0.0125，若 n=3，則即使與其他全部的銀行連結，LGD 也高達 0.0140。

也就是說此時若有任何其他銀行破產，該銀行也會受到牽連使最終收入為 0，因

Example 4.3.2

假設ϕ^=0.01、PL=0.3、P_H=0.7、C₁=1.1、C₂=1.3、r=0.1、R=1.6、c=0、n=2。

這時 b₂=0.004375，即使和全部的銀行連結，LGD 仍高達 0.0187037。但如果沒 有連結，不管是什麼投資方式銀行至少都會有

較與本國或外國銀行連結的優劣，而兩者的結果會有這樣的差異主要是因為 P_L 和 P_H在第二個例子中差距較大，讓銀行在不與任何人連結的情況下沒有能讓大 多數的情況都不破產的投資方式，因此銀行「被迫」要進行連結來減少破產的機 率。而在第一個例子中，銀行即使選擇最保守的投資策略(x= P_H、y=1－P_H)，

也能確保除了自然破產(機率為 n 2

ϕ )以外的情況皆不破產，而由於 LGD >b₂，增

加連結只會增加破產機率，因此不會選擇連結。

從前面的例子可以看出在效用函數為 log 的情況下，對銀行最重要的原則就 是「避免破產」，如果一個策略會增加任何破產的機率，即使在其他情況的收入 能增加，銀行也絕對不會採用。由於現在大多數的國家對於破產的企業皆有一定 程度的保護，因此極度恐懼破產的這種情況不太會出現，但在對破產者較沒有保 護的地方或許這樣的結果多少可以作為參考。

5.結論

在本文中我們討論了在不同的效用函數下銀行的行為，知道了銀行有不進行 連結、只和一家連結(無政府限制下)、只和本國銀行連結、只和外國銀行連結(有 政府限制時)這幾個可能的行動。同時探討影響決定的主要因素以及銀行的判斷 方式，並在模型中加入了匯率這個過去在相關文獻中較少討論的因素，讓這類金 融網路的模型與國際金融能有所關聯。在國際交流越來越密切的現代社會，這會

在本文中我們討論了在不同的效用函數下銀行的行為，知道了銀行有不進行 連結、只和一家連結(無政府限制下)、只和本國銀行連結、只和外國銀行連結(有 政府限制時)這幾個可能的行動。同時探討影響決定的主要因素以及銀行的判斷 方式，並在模型中加入了匯率這個過去在相關文獻中較少討論的因素，讓這類金 融網路的模型與國際金融能有所關聯。在國際交流越來越密切的現代社會，這會