教師需要何種知識與能力才能夠進行教學？教師知識的相關研究中不能不 提到 Shulman 的研究，Shulman(1986)把教師須具備的專業知識分成三類：學科 內容知識(Subject Matter Content Knowledge)、學科教學知識(Pedagogical Content Knowledge)、與課程知識(Curricular Knowledge)。學科內容知識指的是每位教師 腦中所具備的學科專業知識與組織架構，每個學科領域都擁有其獨特的知識的架 構與脈絡；學科教學知識包含教師用來表達學科知識的最有用的表徵形式(the most useful forms of representation)，最有力(the most powerful)的類比(analogies)、
圖示(illustrations)、例子(examples)、文字示範(demonstrations-in a word)、讓人容 易理解之表達(representing)與敘述(representing)方式，由於沒有表徵可以單獨地 (content knowledge)、一般教學知識(general pedagogical knowledge)、課程知識 (curriculum knowledge)、學科教學知識(pedagogical content knowledge)、學習者及 其特點的知識(knowledge of learners and their characteristics)、教育環境的知識 (knowledge of educational contexts,ranging from the workings of the group or classroom,the governance and financioging of school directs,to the character of communities and cultures)、教育目標與歷史背景知識(knowledge of educational ends, purposes, and values, and their philosophical and historical grounds)等七類，
並且指出，學科教學知識是教師獨有的知識，也是區分學科內容專家(content specialist)與教育者(pedagogue)的重要知識。
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自學科教學知識的概念被提出後，引起眾多學者們的回響，各家學者們對於 學科教學知識的定義與意涵都進行了更深的探究與拓展(例如：Grossman,1990；
Park & Oliver,2008)，許多相關研究都在特定的學科中進行，每個學科領域的教 學知識皆有其特殊性，當我們把焦點放在數學這門學科時，數學教學知識又會是 種樣貌？
Hill,Ball 與 Schilling(2004)提出「為教學所需的數學知識(mathematical knowledge for teaching,MKT)」，描述為了完成數學教學工作所需的數學知識，並 且進一步的描述 MKT 的細部內涵(Domain map for mathematical knowledge for teaching,MKT)(Hill,Ball 與 Schilling,2008)，他們把 MKT 分成學科知識(Subject Matter Knowledge)與學科教學知識(Pedagogical Content Knowledge)兩大類，並且 進一步的論述學科知識與學科教學知識的內涵，如下圖。
圖2-2-1 翻譯自 Hill,Ball 與 Schilling(2008)
上圖的左半橢圓為學科知識，在此架構中，學科知是只討論純粹的數學知識，
包含一般內容知識(Common Content Knowledge,CCK)、與專門內容知識 (Specialized Content Knowledge,SCK)與橫向內容知識(Knowledge at the
mathematical horizon)；其中一般內容知識指的是一般受過教育後所需具備的基本
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數學知識跟技能，而專門內容知識指的是如何精準的表達數學概念、解釋數學定 理、以及了解不同解題過程的知識；橫向內容知識則是對數學內、外知識間的水 平連結的知識，例如在生活情境下建立與使用數學模型來解決問題。右半橢圓為 學科教學知識，整理與詮釋了 Shuman 當年所提的 PCK 概念，把學科教學知識 分成內容與學生知識(Knowledge of Content and Students,KCS)、內容與教學知識 (knowledge of content and teaching,KCT)，以及課程知識 (knowledge of
curriculum)。
由於教學是一個動態的歷程，Fennema 和 Franke (1992)提出了教學情境知識，
他們從動態的觀點建立出數學教師的數學知識模型，此模型特別強調教師知識之 間的互動，並將數學教師在課堂中會使用的知識分成四類，包含數學知識、教學 知識、對學習者的認識以及教學情境知識，更能展現出教師在實習教學現場中的 表現。
圖2-2-2 翻譯自 Fennema 與 Franke (1992)
從教學的實務面來看，只有具備知識是不夠的，數學教師培育的跨國比較研 究(Teacher Education and Development Study in Mathematics,TEDS-M)提出數學教 學知識(mathematical content knowledge,MCK)架構的三個面向內容(Content domain)、認知(Cognitive domain)、課程(Curricular-level domain)，其中認知面向
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包含了理解(knowing)、應用(applying)、與推理(reasoning)，謝豐瑞(2008)分析 TEDS-M中的試題，認為其探測的並不只是數學職前教師對數學事實知識、技能 的理解，也包含其數學能力的使用，純粹以「知識」來論述似乎稍嫌不足，因此 以「數學知能」(mathematics competences)來一詞來表示。而謝豐瑞(2012)以學生 觀點為主建立出國中與高中數學教學專業知能的指標項目與內涵，數學知能包含：
具備數學專業知識、具備邏輯推理能力、充分熟悉中學數學教材及其結構性與連 貫性；而數學教學知能包含：能於課堂中展現良好的數學教學技巧、能營造良好 的數學學習環境，提升學生的參與度、能選用適當的方式來進行教學與引導學生、
能安排恰當的教學程序以幫助學生學習、能安排恰當的學生演練活動、能恰當安 排數學教學材料以幫助學生理解數學內容、能以恰當的方式進行數學概念的教學，
促進學生概念學習、能使用恰當的表徵方式呈現數學概念，促使學生形成概念、.
能以恰當的方式進行數學解題的教學，促進學生理解題目解法，及培養自行解題 的能力、能善用教學資源、能使用恰當的評量方式以掌握學生的數學學習情形、
能針對學生的學習困境給予指導與補救、能善用各種方式以引發學生的學習動機、
能安排可引發學生數學思考的課堂活動、能培養學生數學能力、能培養學生良好 的數學態度、能培養學生良好的數學學習態度；教師的態度與特質則包含：能注 重自我成長、能有良好的態度。
14 實際的教學上可能較偏向理論，且較缺乏彈性；O'connor 與 Fish(1998)也認為新 手教師的教學欠缺靈活的應變能力與溝通表達的能力；Borko 和 Livingston(1989) 也指出當新手教師試著回答學生提問時，會導致自己的教學與備課時所計畫的越