第二節 第二節
第二節 整數運算錯誤類型 整數運算錯誤類型 整數運算錯誤類型 整數運算錯誤類型及相關教學研究 及相關教學研究 及相關教學研究 及相關教學研究
負數不像正數，可以由具體量來表示數的概念，它牽涉到意義相對的量，學 習負數，運算符號和結果不僅和以往不同，也無法從具體事物中習得觀念，使得 學生在學習時不易理解，也容易產生錯誤概念，學習效果不彰。
一、整數運算錯誤類型整數運算錯誤類型整數運算錯誤類型整數運算錯誤類型
((((一一一一))))正負整數正負整數正負整數正負整數加減加減加減加減計算計算計算計算錯誤類型錯誤類型錯誤類型錯誤類型
分析正負數教材，以國小正整數的運算及數線概念作為基礎，到了國中階段 加入負數的概念，數線不再只是零(原點)的右方而已，還擴及到零的左方，讓整 個數線更完整，整數代表的不再侷限於正整數(吳志偉，2009)。
在現行的國中小數學教材中可發現，記號「－」號的使用至少有三種意義：
運算、性質、相反數 (國立編譯館，2001)。學生需分辨「＋」、「－」是用來表 示數的正、負的性質符號，或是表示加減運算的運算符號，對於智能障礙學生可 能容易受到混淆。國小數學以正數作為數學課程的主軸，升上國中一年級的學生 第一個接觸的單元為抽象的負數概念及其加減運算，因此學生會遇到哪些困難及 錯誤類型，值得探究。
Mukhopadhyay(1990)的研究結果顯示，小學階段的學生已具備負數概念，只 不過學生是以欠錢的概念來表示負數。如果小學階段學生已具備負數概念，到國 中應該不會遭遇太大困難，事實卻並非如此。原因可能為以下：學生缺乏正負數 數量大小的感覺；對於「－」號性質符號及運算符號所表示的意義混淆；缺乏計 算代數的概念和直覺。
學習負數可能會碰到幾個問題(Voluntary Services Overseas,1992)：現實 較少經歷到負數的經驗；須開始熟悉正負數代表的概念及正號負號的呈現方式；
須分辯「＋」、「－」何時表示正負，何時表示加減；學生可能無法比較兩個負 數的大小。
邱明星(2005)研究屏東地區國一學生負整數迷思概念結果，將學生迷思分成 五部分，下表2-1引用與本研究較相關的「運算規則」加減法的迷思類型及成因。
表 2-1
表2-2
例如：25+（-12）＝-（25-12）＝-13。
5.誤認為小數減大數不夠減， 就用
例如：7+5+3+（-3）+（-5）＝23。
7.使用「負負得正」的規則後，仍保
例如：8-（-10）＝-（10-8）＝-2。
11.誤認為一正數與一負數之差，就
(((
(二二二二) ) ) ) 文字題文字題文字題文字題解題錯誤分析解題錯誤分析解題錯誤分析解題錯誤分析
教學中藉由分析學生的錯誤類型可得到學生學習結果的訊息，增進個別化教學。
導致學生錯誤的原因錯綜複雜，即使相同的錯誤，也可能是不同的訊息過程所導 致。
Babbitt（1990）將文字題錯誤類型廣泛分為四類：1.計算錯誤（computation errors）；2.運算錯誤（operational errors），包含倒返和簡化運算的錯誤、
不成熟的策略；3.未嘗試的錯誤（no-attempt errors），包括無法解題、未做任 何嘗試；4.其他的錯誤（miscellaneous errors），包括多餘訊息的錯誤、語言 順序的錯誤、獨特的錯誤。
秦麗花（1995）將文字題解題錯誤分為四類：1.缺乏檢驗工作，忽略答案合 理性、沒寫答案和單位，或者單位寫錯。2.執行計畫錯誤、基本運算不熟練、二 種運算混淆。3.基本概念不清，盲目運算，迷失於關鍵字中，或將所有數字湊在 一起。4.沒有解題能力及作答動機、對題目一知半解、畏懼作答。文字題解題歷 程涉及學生的數學概念、語文理解及計算等知識，秦麗花指出：「學生在解數學 文字題所犯的錯誤常是由於對問題結構的表徵多於計算錯誤。」
王雪瑜（2006）則將文字題錯誤類型分為四種：
1.無法理解題意
不了解題目在問什麼，將數字全加或全減；簡化或誤解題目，忽略關鍵語詞；對 於題目敘述沒有順序性的概念，誤用其運算符號。
2.擬定解題計畫有問題
無法判斷運算方法，隨便找一種最熟悉的規則來解題；缺乏完整的算式，漏寫了
＋、－、＝等運算符號；看到前一句就寫數字，忽略後一句的關連；算式中看錯 或代錯了其他數字；算式中多寫了其他無關數字。
3.不會使用解題策略
錯誤使用或不知該用哪種策略歸納題意，無法用簡化複雜的問題；無法運用習得 的策略在類似情境上；無法利用圖形表徵來簡化問題的描述，例如用數線表達題 目的意思；無法將文字題分解成幾個步驟解題；無法依據已知條件推論未知數。
4. 執行解題與回顧能力不足
只注意前面的數字，忽略題目最後的問題及單位；列式計算都正確，但沒寫最終
答案；只寫數字忘記寫單位；將題目數字抄寫下來的過程就已經抄錯；後續不懂 得檢查運算過程是否有誤。
綜上所述，可看出整數的加減運算及文字題錯誤原因大致為：不瞭解負號的 意義，不能接受小數可以減大數；認為某數前面加上負號就是負數。新舊學習經 驗的互相干擾，做出錯誤推論，對於題型相似的題目，依賴作答經驗寫出答案。
錯誤的使用運算規則，正負號混淆；先備知識的不足，正整數的運算即產生困難。
文字題方面，容易誤認為答案必與題目所給的數字有關係，亂套用算式運算，拼 湊答案；誤解題目設計或文字敘述而列式錯誤；從題目數字抄下的數字即抄錯；
忽略答案的完備性，習慣題目一個答案，而忽略有時問題中可能含有兩個以上的 答案；忽略題目給的條件，看了後一句就忘了前一句，沒有思考前後關聯性。學 生若是無法理解較為抽象的負數概念，自然就可能產生上述易犯的迷思。本節的 文獻探究幫助研究者了解學生的概念迷思及計算時可能犯的錯誤類型，提供研究 者實行教學研究時，一個重要參考。
二二
二二、、、、整數整數整數整數運算運算運算運算教學教學教學教學研究研究研究研究
正負整數加減法運算的教學，通常有兩種模式作為整數表徵，一為數線模式，
另一為正負電荷相消模式。電荷相消模式與我國古代的紅黑算籌表示法類似，這 是相反物的應用，假設相同數量但是正負相反的電荷合在一起，可以互相抵消。
在這種模式之下，加法可看成兩組電荷的合成，而減法則看成一組電荷的分解。
加法的就是「合併型」，減法就是「拿走型」。這樣的比喻方式較為學生所接受，
與學生「加減」概念較為符合。作運算時，數的正負號表示一組電荷的性質，其 絕對值表示該種電荷的數量（康軒文教事業，2005）
數線模式是將加數、和、被加數，分別用有向線段在數線的上方予以圖示。
數線模式較傳統和數學化，正、負代表在原點的右邊和左邊，被加數的線段起點 不一定在原點上。Cemen（1993）利用數線呈現整數的加減法，明確指出整數的減 法是運用加法的反運算上。從起點開始，面對正數，運算數字為正數就前進；運 算數字為負數就後退，遇到「一」符號就轉向。Ernest(1985)認為透過數線圖示 對於整數加減法學習扮演重要角色，數線表徵比數量的加減更加成熟。Hativa與 Cohen（1995）也認為透過溫度計等類似模型，數線是最自然的學習方式。
研究者整理近幾年整數錯誤類型及教學相關研究，如下表2-3所示：
研究者
研究者