本文之測試平台為Intel® Pentium® M 740處理器(1.73 GHz)、1Gb DRAM與 Microsoft® .NET Framework SDK v2.0。實作語言為Microsoft® Visual Studio 2005 的C# .NET。
本 文 比 較Hull-White(1993) 、 Chalasani-Jha-Egriboyun-Varikooty(1998) 和 Costabile-Massabó-Russo(2006)在不同的條件之下的運算時間。根據(表二)的結 果，Chalasani et al.(1998)與Costabile et al.(2006)在n≤100時所花費的時間十分接 近，成長的速度也十分一致。然而在 時，Chalasani et al.(1998)的運算時間 卻顯著高於其他模型。雖然Costabile et al.(2006)的演算法相較Chalasani et al.(1998) 簡單，但是在本文實做的過程之中發現搜尋內插區間是整個運算過程之中最耗費 資源的部分，而Costabile et al.(2006)在這個部分並沒有提出很具體的改進，因此 相較於Chalasani et al.(1998)的模型而言，在
100 n>
100
n≤ 時速度上並沒有出現明顯的提 升。不過在 的情形之下，Chalasani et al.(1998)樹狀模型的所需使用的記憶 體空間已經接近系統上限，因此必須要額外使用運算資源執行記憶體配置 (memory allocation)，因此執行速度相較Costabile et al.(2006)樹狀模型緩慢。
100 n>
Hull-White(1993)的模型的運算速度和模型中的則與參數h的相關程度較 高。我們發現當
h = 0.005, h = 0.003
時即使n成長至120，運算時間成長的速度也十 分緩慢。但是當h=0.001時，運算的時間卻大幅上揚，不過在準確度的部分也有 明顯的改進，在 的情況之下，甚至已經可以收斂至Chalasani et al.(1998) 的上下界區間之內(圖七)。110 n≤
本文發現隨著n的增加，Hull-White(1993)樹狀模型在h = 0.001之下的評價結 果會從原本十分接近Chalasani et al.(1998)樹狀模型下界逐漸向Chalasani et al.(1998)上界靠近之現象，最後甚至超過上界。這是因為Hull-White(1993)評價模 型並不會隨著階段數上升而增加替代路徑之密度，但是可能路徑的數目會隨著n
上升，上升的速度高達 。因此即使把參數h調整得很小，隨著n愈大，因內插 而產生的向上誤差仍然會增加；而Chalasani et al.(1998)與Costabile et al.(2006)的 模型之中每個節點的次節點數量均隨著n的上升而增加，雖然不能完全消除向上 誤差隨著n增加的情形，但是增加的速度相較於Hull-White(1993)的模型緩慢。
2n
steps HW(h=0.005) HW(h=0.003) HW(h=0.001) CJEV(UB) CJEV(LB) CMR 1 4.73455 4.73455 4.73455 4.73455 4.73455 4.73455
(表一) 三種樹狀模型之評價結果：HW代表Hull-White二元樹模型，參數h = 0.001, 0.003, 0.005；
CJEV代 表 Chalasani-Jha-Egriboyun-Varikooty(1998) 樹 狀 模型 之評價 結果 ： LB代 表下 界 (lower
bound)，UB代表上界(upper bound)；CMR代表Costabile-Massabó-Russo(2006)樹狀模型之評價結
果。起始股價S
0= 50，無風險利率 r = 10%，年化波動度 σ = 0.3，買權存續期間 T = 1。
4.91000
(圖七) 三種樹狀模型之評價結果：HW代表Hull-White二元樹模型，參數h = 0.001, 0.003, 0.005；
CJEV代 表 Chalasani-Jha-Egriboyun-Varikooty(1998) 樹 狀 模型 之評價 結果 ： LB代 表下 界 (lower bound)，UB代表上界(upper bound)；CMR代表Costabile-Massabó-Russo(2006)樹狀模型之評價結 0.005、0.003、0.001；CJEV 代表 Chalasani-Jha-Egriboyun-Varikooty(1998)樹狀模型；CMR 代表 Costabile-Massabó-Russo(2006)樹狀模型。橫座標為階段數(time steps)，縱座標為運算時間(單位：
秒)
steps HW(h=0.005) HW(h=0.003) HW(h=0.001) CJEV CMR 1 0.000 0.016 0.016 0.031 0.000 5 0.000 0.016 0.078 0.000 0.000 10 0.047 0.078 0.688 0.000 0.000 15 0.094 0.266 2.250 0.016 0.016 20 0.266 0.641 5.281 0.094 0.078 25 0.484 1.266 10.344 0.297 0.281 30 0.828 2.125 17.672 0.828 0.906 35 1.359 3.375 28.000 1.953 2.078 40 2.031 5.031 41.641 4.313 4.266 45 2.828 7.141 59.313 8.500 7.969 50 3.906 9.906 81.953 15.672 14.797 55 5.219 13.063 107.984 27.531 25.938 60 6.766 17.063 140.266 45.344 43.719 65 8.563 21.703 178.594 72.859 71.500 70 10.797 27.203 223.016 112.828 107.969 75 13.297 33.391 281.281 169.859 162.297 80 16.266 40.594 345.609 249.781 241.359 85 19.594 48.828 439.766 357.906 346.000 90 23.344 58.156 559.625 507.797 478.313 95 27.734 68.828 668.969 710.156 653.234 100 32.672 80.516 799.500 1007.547 886.891 105 37.719 98.297 902.125 1288.078 1142.609 110 43.234 139.219 1002.797 1677.719 1508.219 115 49.672 141.906 1159.906 3181.547 1976.719 120 56.031 143.828 1345.391 4396.391 2741.875
(表二) 三種樹狀模型之 CPU 運算時間(單位：秒)：HW 代表 Hull-White 二元樹模型，參數 h =
0.005 、 0.003 、 0.001 ； CJEVChalasani-Jha-Egriboyun-Varikooty(1998) 樹 狀 模 型 ； CMR 代 表
Costabile-Massabó-Russo(2006)樹狀模型。
本 文 利 用 Hull-White(1993) 、 Chalasani-Jha-Egriboyun-Varikooty(1998) 和 Costabile-Massabó-Russo(2006)三種樹狀模型對五種不同履約價 X 的美式亞式選 擇權的買權進行評價。比較在不同的n 之下，三種模型的評價結果。並且考慮價 內、價平以及價外的情形，選擇5 種不同的履約價格 X，分別為 X = 40, 45, 50, 55, 60。結果如(表三)所示。
我們發現在 的情況之下，Hull-White(1993)的模型(h = 0.005)之評價結果較Chalasani et al.(1998)所求得之上下界為高。而Costabile et al.(2006)所求得之評價結果則落在Chalasani et al.(1998)所估計之上下界之內。此 乃導因於Costabile et al.(2006)之演算法使用線性內插的次數較少，所產生之向上 誤差較小的緣故。而Hull-White(1993)模型相較於其他兩個模型之所以產生較高
除此之外，我們發現本文的結論與Costabile et al.(2006)的結果相異。(圖九) 為Costabile et al.(2006)文章之中的表格，Costabile et al.(2006)之原文討論 時 該模型與Chalasani et al.(1998)之上下界的關係，所得出的結論是該模型的評價結 果稍微低於Chalasani et al.(1998)之下界，而本文實作的結果卻是介於上下界之 間。出現不同的解釋乃根源於原文之中改良二元樹模型
40 n=
40
n= 的選擇權價值與本 文所計算出的價值不一致，而我們合理地懷疑可能是Costabile et al.(2006)的結果 有誤。原因分述如下：
1. 本文在n=10、n=20、n=60及n=80所估算的結果與原文的數據一致，而 在這四種情形之下，Costabile et al.(2006)模型的評價結果均落在 Chalasani et al.(1998)之上下界之內。只在n=40時發生評價結果低於下界的情形並不合
理。在檢驗其他有限可數n 的情形之下，也沒有發現 Costabile et al.(2006)之 評價結果落在下界之外的情形。
2. Costabile et al.(2006)之模型雖然有效地減少使用線性內插的次數，但是並沒 有完全避免使用線性內插法進行評價。因此Costabile et al.(2006)的評價結果 仍然存在因線性內插法所導致的高估，只是程度較為輕微。在詳細檢視演算 法後，我們也沒有發現任何會造成評價結果低估的原因，因此出現評價結果 低估的情況並不合理。
3. Dai-Huang-Lyuu(2005)及 Dai-Wang-Wei(2007)之樹狀模型的評價結果在其他 情形下與Costabile et al.(2006)之評價結果十分接近。但是在 的情形之 下，Dai-Huang-Lyuu(2005)和 Dai-Wang-Wei(2007)的評價結果也和原文的數據 存在較大的誤差。反之，以上兩個模型的評價結果和本文所計算的評價結果 十分接近。
40 n=
(圖九) Costabile-Massabó-Russo(2006)原文之表格。在n = 40，起始股價S
0= 50，無風險利率 r =
10%，年化波動度 σ = 0.3，買權存續期間 T = 1。時，本文所計算出來的結果與上表的結果不一
致，本文所估算之結果分別為 13.1502、8.5464、4.8883、2.5329、1.2052。
steps Strike price
DHL DWW LSM HW HW
(s.e.) (h=0.005) (h=0.001)
CJEV(UB) CJEV(LB) CMR
40 12.6818 12.6818 12.6713 (0.0221)
12.6820 12.6819 12.6824 12.6819 12.6824
45 8.1758 8.1758 8.1603 (0.0222)
8.1775 8.1759 8.1771 8.1757 8.1766
50 4.7085 4.7085 4.6627 (0.0194)
4.7096 4.7085 4.7097 4.7085 4.7097
55 2.4384 2.4384 2.4211 (0.0150)
2.4389 2.4384 2.4412 2.4384 2.4391 10
60 1.1270 1.1270 1.1553 (0.0106)
1.1276 1.1270 1.1297 1.1270 1.1279
40 12.9558 12.9559 12.9812 (0.0218)
12.9568 12.9559 12.9567 12.9557 12.9562
45 8.3944 8.3944 8.4049 (0.0221)
8.3976 8.3945 8.3959 8.3942 8.3949
50 4.8126 4.8126 4.7841 (0.0194)
4.8150 4.8127 4.8145 4.8124 4.8134
55 2.4952 2.4951 2.4890 (0.0151)
2.4970 2.4952 2.4971 2.4946 2.4960 20
60 1.1766 1.1766 1.1805 (0.0107)
1.1780 1.1766 1.1785 1.1760 1.1772
40 13.1500 13.1499 13.1620 (0.0216)
13.1533 13.1500 13.1508 13.1498 13.1502
45 8.5462 8.5461 8.5445 (0.0220)
8.5507 8.5462 8.5472 8.5458 8.5464
50 4.8882 4.8879 4.8782 (0.0196)
4.8924 4.8881 4.8891 4.8876 4.8883
55 2.5329 2.5326 2.5584 (0.0153)
2.5362 2.5327 2.5337 2.5321 2.5329 40
60 1.2052 1.2049 1.2059 (0.0109)
1.2076 1.2050 1.2058 1.2042 1.2052
40 13.2345 13.2345 13.2467 (0.0214)
13.2393 13.2346 13.2352 13.2343 13.2347
45 8.6111 8.6111 8.6009 (0.0217)
8.6178 8.6113 8.6121 8.6107 8.6114
50 4.9174 4.9173 4.9064 (0.0195)
4.9239 4.9174 4.9181 4.9169 4.9175 60
55 2.5471 2.5470 2.5499 2.5523 2.5471 2.5476 2.5463 2.5470
(0.0152) 60 1.2152 1.1251 1.2147
(0.0107)
1.2190 1.2152 1.2156 1.2143 1.2152
40 13.2819 13.2829 13.2818 (0.0203)
13.2884 13.2821 13.2825 13.2816 13.2820
45 8.6489 8.6501 8.6459 (0.0217)
8.6569 8.6490 8.6496 8.6483 8.6490
50 4.9335 4.9349 4.9384 (0.0197)
4.9418 4.9336 4.9339 4.9329 4.9334
55 2.5548 2.5561 2.5542 (0.0152)
2.5615 2.5547 2.5549 2.5539 2.5545 80
60 1.2206 1.2219 1.2236 (0.0109)
1.2254 1.2205 1.2206 1.2196 1.2203
40 - - - 13.4370 13.4290 13.4290 13.4280 13.4290