數學學習 數學學習
數學學習和生活直觀 和生活直觀 和生活直觀 和生活直觀之 之 之 之舊經驗有關 舊經驗有關 舊經驗有關 舊經驗有關
三位自然教師知覺學生完全具備相關數學先備知識的概念大多為國小已學過 且較為簡單的部分、國中應用多次於自然單元中的數學概念或是國中已學過且較 簡單的數學概念。而A、C自然教師皆指出，當學生過去未曾學過相關的數學概念 時，對學生數學先備知識的評定會較低。
1、對學生數學先備知識評定較高分之分析
研究者將表4-1~4-3中，三位自然教師對學生數學先備知識評定為10分的單元 及數學概念重新整理為表4-7。由表4-7可以發現，自然教師知覺學生完全具備相關 數學先備知識的概念大多為國小已學過的且為簡單的部分，例如比例、擴約分、
座標軸讀圖及國中應用多次於自然單元中的數學概念，例如正反比。其他皆被評 定為10分的單元，其所需的數學概念分別為等差數列、特殊三角形、切線與全等。
其中等差數列、特殊三角形以及切線等，雖是國中才出現的數學概念，但教師們 認為學生在學習自然科學時已經學過相關的數學概念，且這些內容對學生來說相 對較為簡單，因此對學生數學先備知識的評定也較高。其中較為獨特的是，B 師 認為學生在學｢光｣這個單元時已經完全具備全等三角形的概念，但就教材編排來 說，學生學習該單元時，在數學課尚未學習全等三角形。此一結果顯示，教師對 於學生先備知識的評定乃是個人對學生學習的主觀知覺，評定分數的高低與教材
的實際安排先後順序未必一致。
2、對學生數學先備知識評定較低分之分析
尚未學習相似三角形的概念(參見例4-1-21~23)，但學生具有生活上的直觀舊經驗。
例 4-1-21
A：光這邊的問題是相似形，這邊數學沒有搭上。
R：那你會說相似三角形這五個字嗎？
A：我必須要講，因為他們沒學過他們沒學過他們沒學過，所以他們不知道什麼是相似三角形他們沒學過 他們不知道什麼是相似三角形他們不知道什麼是相似三角形他們不知道什麼是相似三角形。但我舉一下 例子他們就可以理解。我會舉市面上買的三角板，因為像學生買的一套是兩支，有 小小的、有大的，還有老師用的更大，但是不管是哪一套他的角度都是一樣的，所 以我會說角度是相等的，還有等比例放大…。這邊數學完全沒有，所以我會從最基 本的開始教，我只是沒有讓他做很多數學相似形的練習。
(A-I-1010810) 例 4-1-22
B：人的高度和影子的高度和樹的高度和樹影的高度會成比。這裡會講到太陽平行光 這部分，我會畫圖給他們看，但是我不會去說這個角等於這個角，會直接說相似，
這個是幾何圖形，在說明時一定要畫圖，這裡會跟他們說這兩個相似，我不刻意去 強調他條件，我會跟他們說：這兩個是不同大小的相似三角形的意思就對了，我不 會去說因為這個角等於這個角，因為小學的時候他們是看起來一樣就相似，所以他 們看起來就一樣嘛！只是大小不同，你去影印店放大幾倍幾倍。所以他們生活中都生活中都生活中都生活中都 有這樣的例子
有這樣的例子 有這樣的例子
有這樣的例子，我覺得他們沒有太大問題啊！我會再畫一個比較歪的。可能譬如說 是如果沒有平行光的時候，我就會問他們這是相似嗎？所以他們其實也可以很容易 判斷，所以我不會去講 AA
(B-I-1010809) 例 4-1-23
C：相似三角形，會出現三角形的圖，他們不懂什麼是相似形他們不懂什麼是相似形他們不懂什麼是相似形，這裡有路燈，這裡有他們不懂什麼是相似形 人然後影子多長，我有問他們，他們說沒上他們說沒上他們說沒上他們說沒上，所以他們是沒有基礎沒有基礎沒有基礎沒有基礎的，但我覺得他 們是可以接受的。但有一種，他們比例會比錯。
R：所以你是會去怎麼說？
C：我會說小三角形、大三角形的高比高等於底比底…
R：所以你會解釋什麼是相似三角形嗎？
C：我只會說他們長的差不多，所以就是相似三角形，它們特性就是邊長成比例。他 們都可以用照片、影印生活經驗體會得到生活經驗體會得到生活經驗體會得到生活經驗體會得到…
(C-I-1010806) 在例4-1-21中，A師指出學生並未學過相似三角形，因此不具備學習自然科學 單元內容的先備知識。C師在例4-1-23也提到，根據學生在課堂上的反應，他們過 去未曾學習過相似三角形，因此C師知覺到學生過去未習並且完全不具備相關先備
知識。雖然三位自然教師皆認為學生有生活上的直觀經驗，但A、C兩師對學生數 學先備知識的評定皆為0分，而B師則是6分，因此很明顯地可以發現B師和其他兩 位教師採取不一樣的看法。而B師在例4-1-22中提到因為學生有相關直觀經驗，好 比影印店的影印機一樣，因為有很多生活上的舊經驗，因此B師對學生數學先備知 識的評定也較高分。所以B師在評定學生數學先備知識時會將學生的生活直觀經驗 納入考慮。(從下面的例4-1-25也可以看出)
除了在光這個單元的例子外，在例4-1-24~26中，研究者請三位老師評估學習｢
速度｣這個單元，學生在所需要有關斜率的先備經驗情形時，三位老師的看法略有 不同(參見例4-1-24~26)。
例4-1-24
A：這邊提到的瞬時速率，我會跟他們說先從定義看，因為速率就是距離/時間，所以 看到例如一秒~兩秒和兩秒~三秒同樣是一秒鐘，誰的位移比較大，你會發現從這個 x-t 圖可以看到，兩秒到三秒位移的量較多，所以同樣時間內移動比較多，代表速率 比較快，這時候就會跟他們說到斜率斜率斜率斜率這個詞，因為他他他他們完全沒學過們完全沒學過們完全沒學過，所以他們完全們完全沒學過 完全完全完全 不知道斜率是什麼
不知道斜率是什麼 不知道斜率是什麼
不知道斜率是什麼？這時候我就會說其實就是高/底(縱座標變化/橫座標變化)，再來 就會跟他們說斜率就是坡度，這時候就會教他們畫切線，例如 2 秒瞬時速度就是從兩 秒這裡畫一條切線看他的坡度，看誰抖就誰快。所以會先從科學概念在代到數學斜 率這個詞。我不會一開始就講斜率這個東西。
(A-I-1010822) 例4-1-25
B：例如說再畫一條，先比較這兩條誰比較快，在畫一條平的這就是靜止的，比較斜 的就斜率大，越斜的越快，x-t 圖變平的時候這樣會越來越慢。
R：你會說到斜率這個詞嗎？
B：會，說到斜斜斜斜率率率這個詞，但不會解釋，因為學生沒有問題率 學生沒有問題學生沒有問題學生沒有問題，知道學生並沒學過知道學生並沒學過知道學生並沒學過知道學生並沒學過，但 我不要跟他說這是什麼東西，因為這個會混淆他而已，而且當我說到斜率的時候，
學生表情看起來都很 學生表情看起來都很 學生表情看起來都很
學生表情看起來都很 OKOKOKOK，學生會說斜率就是山坡傾斜的程度，所以學生先備知識沒 啥問題…
(B-I-1010823) 例4-1-26
C：我會解釋什麼是斜率。因為學生以前沒學過學生以前沒學過學生以前沒學過學生以前沒學過啊！而且問他們有沒有學過他們也說
沒有，他們也說不出個所以然，所以既然他們沒學過我就要介紹一下。斜率就是傾 斜的程度。我會用 X-t 圖兩條線去看，先固定時間，會發現 x 變化量大的速度快，所 以越抖的就越快。他們其實對斜率沒有這個概念，且也很難體會這個，因為從來沒 有哪個東西會用到這個來說，他們沒有切身經驗…
(C-I-1010820) 在例4-1-24中，A師提及學生完全不知道斜率，因此教師知覺學生完全不具備 相關數學先備知識；同樣地C師也說到當他在詢問學生什麼是斜率時，學生無法回 答出來，所以C師知覺到學生完全不具備相關數學先備知識(參見例4-1-26)；而B師 雖知道學生過去未學過，但是往年當他在教學時，說到斜率這個詞，學生都沒有 提出問題，表情也無茫然的感覺，因此他認為斜率這個詞對學生來說是先備知識 是足夠的，學生可以將斜率自行想像就好比爬坡的坡度，不需要教師的額外教授，
因此教師對學生數學先備知識評定也和教師對於學生生活直觀經驗的知覺有關(參 見例4-1-25)。