實驗結果總整理

Bootstrap 法 0.14 0.11 Rebonato 法 0.49 0.04 Global 法 0.35 0.25

* 資料來源：本研究整理。

4.4 實驗結果總整理

負利率環境下的模型檢測

在負利率環境下檢測 Shifted SABR 模型、Free Boundary SABR 模型、與 Normal 模 型的結果，歐洲三個月利率之 Cap 市場三種模型的比較如表 4 所示。實驗以價平波動 度進行模型參數校準，從表 5 與表 6 中選出 Shifted SABR 模型與 Free Boundary SABR 模型，在實驗中誤差較小的參數組與 Normal SABR 模型做比較，各模型的參數組間誤 差亦可由圖 21 與圖 22 觀察出，並且整理三個模型的價平波動度校準誤差如表 14 所示。

‧

表 19 所示。實驗結果指出非價平的波動度校準誤差，Free Boundary SABR 在履約價較 大、期間較長的波動度校準誤差較大，而 Shifted SABR 在非價平的誤差表現仍然是三 者中最好的。

表 4 的結果亦指出 Normal SABR 模型在價平波動度誤差的表現些許優於 Free Bound-ary SABR 模型，甚至由表 17 與表 19 之非價平波動度誤差也顯示 Normal SABR 模型優 於 Free Boundary 模型。因此，歐洲三個月利率的 Cap 市場資料中，Normal SABR 模型 並沒有過分高估負利率發生的機率，為了封閉解的簡易性，Normal SABR 模型的確不 失為一個選項。

接著考慮歐洲六個月的利率市場 Cap 價平波動度，從表 7 指出誤差最小的仍是 Shifted SABR 模型，從表中也可以發現，Normal 模型在價平波動度的誤差表現還是優 於 Free Boundary SABR 的表現。實驗流程仍如上述，自表 8 與 9 中選出 Shifted SABR 模型與 Free Boundary 模型誤差最小的參數組與 Normal SABR 模型做比較，同樣亦可從 圖 24 與圖 25 觀察出各模型的參數組間誤差。 21、與表 22 所示。由實驗結果指出，不論是 Normal SABR 模型、Shifted SABR 模型 或是 Free Boundary SABR 眉型在高履約價、期間比較長的欄位誤差比較大，但 Shifted SABR 模型仍是三者當中表現較好的。Free Boundary SABR 在履約價格為零的位置，其 波動度誤差劇烈增大，關於這部份的解釋可以透過圖 17 （f）觀察出，在履約價格為零 的位置，某些參數的選取或是估計結果不夠好，會導致機率值的定義不慎恰當，產生 波動度發散的現象。

‧

Normal SABR 模型表現最差，而且還超過我們論文設定的所設定的較大誤差邊界，

0.25%（一碼）。此結果亦可從圖 26 觀察到，實驗步驟從表 11 、表 12 、與表 13 中選 出 Shifted SABR 模型、Free Boundary SABR 模型與傳統 SABR 模型的最佳參數組與 Normal SABR 模型比較，圖 27 、圖 28 與圖 29 也指出各模型的參數組間誤差。

進一步探討負利率模型的表現，表 10 實驗結果推測，在美國的利率市場中，Nor-mal SABR 模型應是過度高估了負利率發生的機率，因此造成其表現差於其他的負利率 模型如 Shifted SABR 模型與 Free Boundary SABR 模型。而 Free Boundary SABR 模型價 平波動度校準誤差小於 Shifted SABR 模型，因此，使用負利率模型時，正確設定負利 率發生的機率，是非常重要的議題。

使用表 7 參數估計結果計算 Normal SABR 模型、Shifted SABR 模型、Free Boundary SABR 模型、與傳統 SABR 模型的非價平波動度校準誤差如表 23、表 24 、表 25、與表

‧

與歐洲六個月利率 Cap 市場都是可承受的利率下界設定。Free Boundary SABR 模型的 最佳參數組是 β = 0.04，但其價平波動度校準誤差略高於 Shifted SABR 模型，因此架 設未來的金融市場要採用 Free Boundary SABR 模型作為評價標準，勢必在參數校準的 的研究上，還必須有更多的深入討論與研究。

的利率下限在某些短年期的利率商品市場中，可以作為參考設定。至於 Free Boundary SABR 模型需要克服的困難是，關於 β 的適當選擇會決定模型的表現情況，也因此需要

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第 五 章 結論與展望

負利率經濟環境下，傳統商品定價模型面對了許多困境。本篇論文回顧了過去四十 年學者們在傳統利率環境下的衍生性商品的定價發展，自 2.1節的 Black[8, 1976] 評價公 式開始，至 2.3 節的 Hagan[16, 2002] 的隱含波動度封閉近似解，直到 Antonov[1, 2015]

模型。長久以來金融市場的對數常態假設數學建模，使得資產價格過程的刻劃在當前 經濟產生了許多價格矛盾，論文初衷在於期待找到適當的改進方法，解決負利率環境 下商品定價的發展困境。

在論文方法論上我們使用了這兩年來專論文章與研究報告中時常備受討論的三個 模型設定：常態模型設定、位移模型設定、以及自由邊界模型設定，並採用 Hagan[16, 2002] 所定義的一般化隱含波動度公式，嘗試討論與分析負利率下商品定價的議題。關 於論文資料的引用，本研究使用了 Jönsson [27, 2016] 所提供的商品波動度資料，分別 針對歐洲三個月利率市場、歐洲六個月利率市場、以及美國六個月利率市場進行實證。

本學位論文的主要貢獻點在於：（i）國內一直都缺乏負利率環境下的定價研究文 獻，本論文研究嘗試初探性進行負利率環境下的訂價實驗，試圖發展新的研究空間

（ii）Antonov[1, 2, 2015,2015] 一系列文章中皆針對他的 Free Boundary SABR 理論模型 與商品定價提出貢獻點，但一直都沒有市場的實證研究做模型的參數校準，本論文首 次針對他的模型做市場實證貢獻點（iii）Jönsson[27, 2016] 在其學位論文中針對 Shifted SABR 做了完整的市場實證貢獻，給了我們許多研究上的啟發。本論文使用了其研究中 的市場資料，本論文首次針對三個負利率模型：Normal SABR、Shifted SABR、與 Free Boundary SABR 模型的市場實證的比較貢獻。

實驗技術上本研究使用了相對簡化且粗糙的校準方法，在參數設定與選取上還有許 多的改善空間。若要在負利率環境下使用 SABR 模型，並且考慮波動度結構的參數校 準，Jönsson [27, 2016] 在其論文中完整論述了其使用的三種參數校準法的比較。

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關於未來展望部分，其一是關於負利率環境的定價議題部分，目前還有許多不同的 切入觀點，我們研究選擇以隨機波動度的觀點出發，冀望未來選擇相同出發點的研究 者們可以在這個領域提出更多更創新、更突破性、更有趣的學術觀點。其二是關於參 數的選取與校準上，由於現在市場上的負利率的商品資料相對稀少，在負利率政策繼 續往前走的同時，期待會有更多的人參與市場的實證貢獻。其三是關於新的產品設計，

在這個負利率的時代裡勢必會針對新奇商品、另類投資、與多元資產分配增加許多需 求，冀望有更多的洞悉市場需求的產品設計者能造出更多適合新的市場環境的金融商 品。其四是關於利率模型的均數回歸性質，本論文探討的改良式 SABR 模型未能夠捕 捉利率長期的均數回歸性質，關於負利率經濟環境下的均數回歸性質的探討，仍需要 更多的研究投入，在定價模型的套利空間議題上，期待未來能有更嚴謹的學術探究。

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考慮上述 Kolmogorov 向前方程式，其機率密度轉移函數滿足:

∂

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Hagan 對局部模型的論述

Hagan[15, 1999] 論文裡指出，先設定與時間無關係的動態過程的特例如 (6) 式所示。

dFt= σLV(Ft)FtdWt (6) 在此設定下，可推出 (2.11) 式的隱含波動度近似解與 Black 隱含波動度關係如(7)式。

σ_B(K, F₀)≈ σLV([F + K]/2)[1 + 1 24

σ_LV^′′ ([F + K]/2)

σLV([F + K]/2)(F₀− K)²] (7) 考慮評價利率選擇權，不失一般性假設：|F0− K| ≪ 1，可得到近似式如 (8) 式。

σ_B(K, F₀) = σ_LV([F + K]/2) (8) 假設市場上波動度為：σ_B^M(K, F₀)，F₀為初始的遠期利率，則根據 (8) 式可得：

σLV(F ) = σLV(F₀+ (2F − F0)

2 ) = σ_B^M(2F − F0, F0) (9) 考慮由 F₀ 至 F 變化過程，變化後的波動度以 σ_B^M,new 表示，則考慮 (10) 關係式。

σ^M,new_B (K, F ) = σ_LV(F + K

2 ) = σ^M_B(2[F + K

2 ]− F0, F₀) = σ_B^M(K + F − F0, F₀) (10) 定義價格變化量為 ∆F ≡ F − F0，可得以下的關係式：

σ^M,new_B (K, F₀+ ∆F ) = σ_B^M(K + ∆F, F₀) (11) 取 σ_B^M(K, F₀) = (F₀− K)² 的近似解，當 ∆F > 0 時得：

σ_B^M,new(K, F ) = σ_B^M(K + ∆F, F₀) = (F₀− (K + ∆F ))² = ((F₀− ∆F ) − K)² (12) 可判斷在標的資產價格變大時，微笑曲線是往左移的，與市場上真正的行為相反。

‧

1024s⁶ (14b)

g(s) = s coth s− 1 (14c)

R(t, s) = e˜ ^t8 − 3072 + 384t + 24t²+ t³

3072 (14d)

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‧

‧

Cholesky 分解（Cholesky Decomposition）如下：

dFt= αtF_t^β(ρdW_t⁽²⁾+√

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參 考 文 獻

[1] Antonov, A., Konikov, M., & Spector, M. (2015). The free boundary SABR: natural ex-tension to negative rates. Available at SSRN 2557046.

[2] Antonov, A., Konikov, M., & Spector, M. (2015). Mixing SABR models for negative rates.

Available at SSRN 2653682.

[3] Antti, H. (2016). Using a normal jump-diffusion model for interest variation in a low rate and high volatility environment. Helsinki center of economic research, discussion paper, No. 402.

[4] Bachelier L. (1900). Théorie de la spéculation, Annales Scientifiques de lÉcole Normale Supérieure 3 (17).

[5] Bartlett, B. (2006). Hedging under SABR model. Wilmott magazine, 4, 2-4.

[6] Bianchetti, M., & Carlicchi, M. (2011). Interest rates after the credit crunch: Multiple curve vanilla derivatives and sabr. Available at SSRN 1783070.

[7] Black, F., & Scholes, M. (1973). The pricing of options and corporate liabilities. Journal of political economy, 637-654.

[8] Black, F. (1976). The pricing of commodity contracts. Journal of financial economics, 3(1), 167-179.

[9] Black, F. (1995). Interest rates as options. Journal of Finance, 50(5), 1371-1376.

[10] Breeden, D. T., & Litzenberger, R. H. (1978). Prices of state-contingent claims implicit in option prices. Journal of business, 621-651.

[11] Crispoldi, C., Wigger, G., & Larkin, P. (2015). SABR and SABR LIBOR market models in practice: with examples implemented in python. Springer.

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[12] Derman, E., Kani, I., & Chriss, N. (1994). Implied trinomial tress of the volatility smile.

Journal of derivatives, 3(4), 7-22.

[13] Dupire, B. (1994). Pricing with a smile. Risk, 7(1), 18-20.

[14] Dupire, B. (1997). Pricing and hedging with smiles. Mathematics of derivative securities.

Dempster and Pliska eds., Cambridge Uni. Press.

[15] Hagan, P. S., & Woodward, D. E. (1999). Equivalent black volatilities. Applied Mathemat-ical Finance, 6(3), 147-157.

[16] Hagan, P. S., Kumar, D., Lesniewski, A. S., & Woodward, D. E. (2002). Managing smile risk.The best of wilmott, 249.

[17] Hagan, P. S., Kumar, D., Lesniewski, A., & Woodward, D. (2014). Arbitrage free SABR.

Wilmott, 2014(69), 60-75.

[18] Nohrouzian, H. (2015). An introduction to modern pricing of interest rate derivatives.

[19] Henry-Labordére, P. (2008). Analysis, geometry, and modeling in finance: Advanced methods in option pricing. CRC Press.

[20] Hull, J. C., & White, A. (2013). LIBOR vs. OIS: The derivatives discounting dilemma.Journal of investment management, forthcoming.

[21] Hull, J. C., & White, A. (2014). OIS discounting, interest rate derivatives, and the modeling of stochastic interest rate spreads. Journal of investment management, forthcoming.

[22] Jeanblanc, M., Yor, M., & Chesney, M. (2009). Mathematical methods for financial mar-kets. Springer Science & Business Media.

[23] Frankena, L. H. (2016). Pricing and hedging options in a negative interest rate environ-ment (Doctoral dissertation, TU Delft, Delft University of Technology).

[24] Oblój, J. (2007). Fine-tune your smile: Correction to Hagan et al. arXiv preprint arXiv:

0708.0998.

[25] Rebonato, R., McKay, K., & White, R. (2011). The SABR/LIBOR market model: pricing, calibration and hedging for complex interest-rate derivatives. John Wiley & Sons.

[26] Kooiman, T. (2015). Master Thesis Negative Rates in Financial Derivatives (unpublished).

[27] Jönsson, M., & Sámark, U. (2016). Negative rates in a multi curve framework cap pricing and volatility transformation (unpublished).

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[28] Jermann, U. J. (2016). Negative swap spreads and limited arbitrage. Available at SSRN.

[29] van der Have, Z. (2015). Arbitrage-free methods to price European options under the SABR model (Doctoral dissertation, Delft University of Technology).

[30] West, G. (2005). Calibration of the SABR model in illiquid markets. Applied Mathematical Finance, 12(4), 371-385.

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表 1: 各個國家的負殖利率公債資料^*（%）

1 年 2 年 3 年 4 年 5 年 6 年 7 年 8 年 9 年 10 年 30 年 瑞士

-1.09 -0.95 -0.88 -0.66 -0.47 -0.34 -0.20 -0.12 0.02 0.12 0.79

丹麥

-0.82 -0.48

−

0.55 0.08 0.43

−

0.72

−

0.98 1.51

瑞典

-0.36 -0.22 -0.07 0.05 0.35 0.50 0.63 0.83 0.94 0.95 1.58

德國

-0.28 -0.18 -0.12 0.01 0.18 0.28 0.41 0.58 0.73 0.88 1.56

芬蘭

-0.22 -0.16 0.02 0.13 0.25 0.31 0.42 0.68 0.78 0.92 1.56

法國

-0.19 -0.14 -0.02 0.15 0.34 0.48 0.68 0.88 1.04 1.20 2.03

比利時

-0.18 -0.14 -0.01 0.19 0.34 0.54 0.75 0.90 1.06 1.21 2.00

挪威

-0.18 -0.16 -0.04 0.06 0.22 0.45 0.62 0.81 0.93 1.07 1.66

奧地利

-0.17 -0.10 0.04 0.19 0.31 0.51 0.74 0.88 0.88 1.02 1.71

葡萄牙

0.01 0.11 0.51 1.22 1.67 1.90 2.01 2.57 2.70 2.96 3.84

西班牙

0.02 0.04 0.29 0.56 1.03 1.40 1.60 1.89 2.16 2.24 3.27

義大利

0.02 0.18 0.48 0.80 1.11 1.46 1.74 1.98 2.19 2.25 3.27

日本

-0.02 -0.01 0.00 0.03 0.10 0.15 0.23 0.32 0.39 0.48 1.54

美國

0.25 0.68 1.06

−

1.71

−

2.12

− −

2.38 3.11

* 資料來源：Mastering negative rate：Best practice，06/08/2015，http://goo.gl/Nlv1Zt

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表 2: 瑞典、丹麥、瑞士、歐洲央行、日本央行之負利率政策內容整理

負利率 實際的

國家 實施日期 政策內容^*

瑞典 2009 年 7 月 是全世界第一家實施負利率政策的央行。

目前瑞典基準利率已進一步降至-0.35%，

並且於 2016 年下半年前不會升降利率。

丹麥 2012 年 7 月 金融機構在中央央行的定期存款賬戶利率 降至-0.2%。當前利率已經下調為-0.75% 。

瑞士 2014 年 12 月 針對金融機構在瑞士央行活期存款賬戶 實施負利率。瑞士央行的負利率實際上 針對活期存款賬戶設定門檻，門檻內的 實施零利率，門檻外的實施負利率。

歐洲 2014 年 6 月 下調歐元區主要的再融資利率至 0.15%，

同時下調隔夜存款利率至-0.1%。負利率 也將適用於超額準備金及歐元系統其他存 款，並且同時下調隔夜貸款利率至 0.4%，

歐洲央行成為首家實施負利率的主要央行。

2015 年 12 月下調隔夜存款利率至-0.3%，

決議量化寬鬆結束時間延至 2017 年 3 月。

日本 2016 年 1 月 是最新實施負利率的央行。日本央行引進 了三層存款利率的體系，並首次設立負利率。

* 資料來源：負利率政策實證研究及啟示，http://fjt.ccb.com/

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一週

-0.356 -0.0945

兩週

-0.3541 -0.0958

一個月

-0.3479 -0.1023

兩個月

-0.3477 -0.1128

三個月

-0.3506 -0.1217

半年

-0.3639 -0.1611

一年

-0.392 -0.2205

兩年

-0.4186 -0.2899

三年

-0.3828 -0.2877

四年

-0.324 -0.2912

五年

-0.242 -0.2536

六年

-0.1263 -0.2082

七年

-0.0026 -0.1661

八年

0.1247 -0.1271

九年

0.243 -0.0923

十年

0.3558 -0.0577

十一年

0.4421 -0.0101

十二年

0.549 0.0067

十五年

0.7591 0.0917

三十年

1.0229 0.3109

* 資料來源：Bloomberg 資料庫整理

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波動度校準誤差

接下來以 來標示校準誤差大於 0.25% 的波動度， 則標示模型校準誤差超過 1%

的波動度，則表示超過 5% 以上的校準誤差波動度。以 來表示配適效果較好的參數

組以及其校準誤差，以下我們都使用均方根誤差與絕對誤差來呈現校準的品質。

組以及其校準誤差，以下我們都使用均方根誤差與絕對誤差來呈現校準的品質。

在文檔中 負利率環境下衍生性金融商品的定價 - 政大學術集成 (頁 52-0)