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位移模型的缺陷
如圖 15 與圖 16 所見，(3.12) 式必須預先設定常數邊界值 s。然而，實際的經濟情況 通常不知道利率會降到多低。Antonov[1, 2015] 論文指出，調整 s 參數的過程中會產生 資產現值改變以及整個投資組合需要重新被估計的額外風險，若利率降的比原先的預 期量 s 更低，會因為商品價格錯估而產生套利空間，在避險參數的計算上會出現不連續 的跳躍行為。為了解決此問題，Antonov [1, 2015] 論文提出自由邊界模型。
3.3 自由邊界模型
自由邊界 CEV 過程分析
自由邊界模型之遠期利率 Ft，動態過程設定如 (3.14) 式所示，0≤ β < 12，其中：σ 為波動度，β 為 CEV 過程的指數，{Wt} 為布朗運動項。
dFt = σ|Ft|βdWt (3.14)
模 型 設 定 (3.14) 式 意 義 等 價 於 1.4 節 (1.11) 式 中， 僅 考 慮 F0 > 0。 因 此， 在 F0 < 0 時， 取 ˜Ft = −Ft， 則(1.11)式 中 SABR 隨 機 模 型 參 數 自 (F0, α, β, ρ, ν) 轉 成 (−F0, α, β,−ρ, ν) 之隨機模型，如 (3.14) 式所示。
d ˜Ft=−dFt=−| ˜Ft|νdWt(1)=| ˜Ft|d ˜Wt(1) (3.15)
Antonov[1, 2015] 論文在論述 (1.11) 式時，定義選擇權的遠期時間價值OF 為 (3.18) 式。為了求得時間價值的一般解，等號兩邊同乘價值函數 h(f ) = (f − K)+，並在等號 兩邊取對時間的一階偏導數，求得微分式如 (3.17) 式所述。
OF(T, K) = E[(FT − K)+]− (F0− K)+= E[(−K − (−FT))+]− (−K − (−F0))+
= E[( ˜K− ˜FT)+]− ( ˜K− ˜F0)+=OF˜( ˜T , ˜K)
(3.16)
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3.4 本章節結論
Black[8, 1976] 模型與 Hagan[16, 2002] 的 SABR 模型兩者在負利率環境下都有定義 上的缺陷。為了避免在負利率環境下的價格與波動度錯誤估計，3.2 節藉由位移模型，
將傳統模型的隨機微分方程平移 s 單位，調整利率下界為−s%，使得大於 −s% 履約 價格的利率金融商品可以被順利評價。在 3.3 節引入 Antonov 等學者提出的另外一種嘗 試，透過移除資產動態過程邊界條件概念，讓利率衍生性商品在任何履約價下都可以 計算理論價格。除了 3.2 與 3.3 節的方法外，在 3.1 節引入的 Bachelier 過去設定的常態 模型，也可以取代 Black[8, 1976] 的對數常態分配假設，讓負利率金融環境下的選擇權 可以被定價。針對 3.1 、3.2 與 3.3 節的三種方法的優劣整理如表 3.2 所述。
表 3.2: 三種邊界修正模型的優劣比較*
模型種類 模型優點 模型缺點
定義域
Normal SABR 模型容易解釋、解析解存在 高估負利率發生的機率
−∞ < Ft <∞ 沒有額外參數需要估計 與市場情形不同
Shifted SABR 模型容易解釋、 需事先選參數 s
−s < Ft<∞ 解析解存在 重選參數需要極高成本
Free Boundary SABR 無參數需要選取、或估計 模型不易解釋、
−∞ < Ft <∞ 僅有特例下有解析解存在 估計不準確
* 資料來源：本研究整理。
第四章使用市場資料進行上述三種模型之參數校準實證，我們分別使用表 3.2 的代 號：Normal SABR、Shifted SABR、Free Boundary SABR 來表示：常態 SABR 模型、位 移 SABR 模型、自由邊界 SABR 模型。
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第 四 章 模型的校準
自 2015 年開始有些學者對負利率的商品定價提出了各自不同的觀點。Antonov [1, 2, 2015,2015] 一系列文章指出如何藉 SABR 的修正模型評價利率衍生性金融商品，還有一 些研究專論1與報告2 整理歐洲央行與金融機構因應負利率經濟環境的模型比較。目前 僅有少數的碩士論文著作 [18, 23, 26, 29, 2015,2016,2015,2015] 討論負利率定價模型的優 劣以及其參數設定，奇異選擇權定價、外匯商品定價、結構型商品定價。更有少數研 究者提出了交易策略的套利觀點 [28, 2016] 與使用跳躍模型來刻劃負利率金融商品定價 [3, 2016]，而現存的學術文獻多數沒有實際測試利率衍生性商品市場資料做參數校準。
4.1 資料與市場慣例
以下主要介紹美元與歐洲的 cap 市場慣例。利率市場長期以來使用 Black[8, 1976] 波 動度進行利率衍生性金融商品報價。隱含波動度如 (2.6) 式與 (2.16) 式所表示，是利率 市場重要的基準，相較於使用美元、歐元、法朗等價格來進行利率商品的報價，透過 價格波動度來進行報價的市場慣例有許多好處，根據 Jönsson [27, 2016] 學位著作整理 如下：（i）便於作為交易部門降低溝通的成本。相較於每天變動的價格資訊，交易員偏 好相對穩定的波動度來做為溝通工具以及測量的基準，使用隱含波動度溝通不需要討 論其他參數如：利率期間結構、履約價格、到期日與商品期間（ii）隱含波動度模型相 對簡單，參考 [8, 16, 1976,2002] 等人提出波動度研究，可以協助交易員建立簡單的交易 策略直覺（iii）相較於觀察市場上的交易價格的難度，使用波動度模型進行選擇權模型 價格的內插計算較為容易。
1New volatility conventions in negative interest environment, http://goo.gl/KnSn3F
2Life Below Zero - the Impact of Negative Rates on Derivatives Activity, https://goo.gl/XFcs8b
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圖 18 與圖 19 分別為 ICAP 的歐洲三個月利率一年到期的 Cap 市場、以及六個月利 率一年半到期的 Cap 市場之隱含波動度時間序列資料。圖中指出當 2012 年以後負利率 發生時，短期的 Cap 市場之隱含波動度有劇烈變大的現象。然而，不同國家的 Cap 市 場存在了不盡相同的市場慣例，引用 Jönsson [27, 2016] 論文中的資訊，介紹實驗資料 裡，不同的利率商品市場慣例。