Black[8, 1976] 模型波動度為常數的設定與實際市場的行為相左。Dupire[12, 13, 14, 1994,1994,1997] 等人引入局部波動度模型的想法，啟發了波動度模型與選擇權價格間 關於模型校準的思考方向，同時也順利的捕捉到波動度微笑的市場行為。
Hagan[15, 1999] 一系列的研究發現了局部波動度模型的重大缺陷，即笑狀波幅的移 動方向與現實市場產生矛盾，這個缺點對選擇權避險的正確性產生很大的傷害，因此 Hagan[16, 2002] 提出 SABR 雙因子模型，此模型提供了一個以標的資產遠期價格與履 約價為參數的波動度公式解。如此一來，此波動度公式更能反應笑狀波幅的正確性，
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N a tio na
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第 三 章 負利率模型
在主流市場出現負利率之前現象之前，多數的利率模型都假設利率不可能出現負 值，Black[8, 1976] 建立的商品定價框架，對數常態分配沒有定義零利率的機率值。金 融市場上參與者大多接受我們論文第二章中正利率模型中的設定，導致利率值、利率 衍生性商品的市價、隱含波動度都是用這種形式在報價的。
早在 2015 年 ECB 宣布要負利率政策時，各國金融機構就開始調整各自的定價模型
假設，修正他們的報價方式1，其中主要的幾個想法都是放鬆原本的模型假設，並且修
正傳統設定的機率分配。我們在第三章導入幾個這兩年來研究者們常討論改良方式，
主要有三種動態過程設定：（i）常態分配模型（ii）平移邊界模型（iii）自由邊界模型。
3.1 常態分配模型
模型描述
Louis Bachelier[4, 1900] 首次提出使用常態模型量化金融資產的動態過程。目前負利 率環境下可採用以下的資產遠期價格的動態設定2如 (3.1) 式所示。其中：σN 表示常態 模型下的波動度。
dFt = σNdWt (3.1)
1請參考：”Life Below Zero - the Impact of Negative Rates on Derivatives Activity.” (https://goo.gl/XFcs8b)
2請參考：”New volatility conventions in negative interest environment”,d-fine, 2012
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考慮 (3.1) 式之隨機微分方程式解如 (3.2)式所述。在此設定下，資產價格服從常態 分配，在利率衍生性商品的市場裡，常態模型允許資產價格為負值如圖 14 所示。
Ft = F0+ σNWt
Ft ∼ N(F0, σ2Nt)
(3.2)
選擇權定價
常態模型下，考慮標的資產價格為遠期利率，其歐式買權與賣權的價格如下 (3.3) 式所述。設定 σN = 0.04，r = 0.01，T = 5，t = 3 下的常態模型，如圖 14 所示。
Vc(0) = P (0, T )[(F0 − K)Φ(d) + σ√
T ϕ(d)] (3.3a)
Vp(0) = P (0, T )[(K− F0)Φ(−d) + σ√
T ϕ(d)] (3.3b)
Φ′(d) = ϕ(d), Φ′(−d) = ϕ(−d), d = F0− K σ√
T (3.3c)
在 2.1 節的對數常態分配的設定下，零利率下利率賣權的模型價格為零，與市場情 況矛盾。從圖 14 可知，常態分配的設定下，實數軸上的每一個履約價都有定義機率，
因此不論是零利率、抑或負利率的利率選擇權模型價格都可以正確地被定義，沒有 2.1 節對數常態分配模型假設之價格上的矛盾。
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導入 (3.6) 式隱含波動度近似公式解後，Bartlett[5, 2006] 對其避險參數如下所述。
∆c≡ ∂Vc
Kooiman [26, 2015] 的學位論文中提到，近年有學者使用位移模型修正對數常態模 型的設定，應用在評價低利率環境下的交換選擇權合理價格。事實上，ECB 於 2015 年