數學領域學習內容修改建議

雖然，現階段無法精確的確認數學內容，但從各國現有課程、學者、教師等 各面向的觀點，我們提出幾個學習內容修改的建議議題。

壹、不確定性與數據處理

本文主要從各國課程綱要與國際評量，來論述不確定性與數據處理的數學課 程問題，並提出個人見解，供大眾參考。

一、問題

「不確定性與數據處理」在學校課程之教材地位？ 

二、各國課程綱要比較 (一) 不確定性與機率

不確定性的意思是指事先無法準確知道某個事件或某種決策的結果。例如每 包500 公克裝，不一定恰好 500 公克，是不確定的情境。同價的一堆水果，只是 品質接近，不確定是相同。擦青春痘的藥膏，有人擦了有改善，有人擦了沒改善；

沒擦的有人也改善了，有人沒有。對於此藥膏效用的問題，也充滿不確定性的思 維。因為事件的不確定，若我們想進一步了解它，此時不確定性的問題有和機會 或機率極為相關。有關不確定性與機率的課程，美國數學教師學會（National Council of Teachers of Mathematics，簡稱 NCTM）於 2000 年提出的《學校數學 原則與標準》（Principles and standards for school mathematics）在 3-5 年級有學習 可能性的課程。2010 年美國各州共同核心課程倡議會（Common Core State Standards Initiative，2010）制定各州共同核心數學標準（Common Core State Standards for Mathematics）在六年級也提出發展對統計變異的了解。美國加州的 課程綱要提到三年級學生要能夠記錄簡單事件的重複實驗（如擲銅板）；能夠進 行簡單機率實驗，並作簡單預測；辨識日常事件的機率意義：確定、有可能、不 太可能、完全不可能。四年級要能將機率實驗結果整理成圖表；能報讀簡單之機 率。

中國大陸2011 年義務教育數學課程標準（中華人民共和國教育部，2011）

在第二學段（4-6 年級）提出結合具體情境，了解簡單的隨機現象；以及透過試 驗、遊戲等活動，感受隨機現象結果發生的可能性是有大小的，能對一些簡單的 隨機現象發生的可能性大小作出定性描述，並能進行交流。

相對於其他國家，我國現行小學教材較缺少了解不確定性、可能性、與機率 相關的內容。民國84 年的課程標準和民國 89 年的九年一貫數學學習領域暫行綱 要在六年都有「運用生活經驗來瞭解機會」的課程。到了民國92 年和 97 年的九 年一貫數學學習領域課程綱要，在六年級之前已沒有機會或機率相關內容。直到 九年級才有機率的教材（9-d-05 能在具體情境中認識機率的概念）。

(二) 數據處理

數據處理的目的是從大量、雜亂無章、難以理解的數據中，經由資料收集、

處理以提取有價值、有意義的數據。

36 

美國NCTM 於 2000 年提出的《學校數學原則與標準》在 3-5 年級時，希望 學生能形成問題，並且可以利用數據收集、整理和展現相關的數據來回答所形成 的問題；能選擇和使用適當的統計方法來分析數據；能依據數據發展和評估所做 的推論和預測。美國加州的課程綱要提到。四年級要能做問卷，有系統收集數據，

並製作相關之圖表；能將機率實驗結果整理成圖表。

英國國家課程標準（陳宜良、單維彰、洪萬生、袁媛，2005）將學生的能力 等級分別8 種程度，期望多數學生在第二階段（6 年級、11 歲）結束時能達到等 級4。等級 4 的學生在資料處理的主題則希望學生能蒐集離散資料並以表格紀錄 其發生次數；瞭解並用眾數和範圍來描述資料集合；對適當的資料，以等組距歸 類資料，並依此繪製次數圖表，解讀次數圖表；能繪製並解釋簡單的折線圖。

中國大陸2011 年義務教育數學課程標準在第一學段（1-3 年級）希望學生能 根據給定的標準或者自己選定的標準，對事物或數據進行分類，感受分類與分類 標準的關係。經歷簡單的數據收集和整理過程，了解調查、測量等收集數據的簡 單方法，並能用自己的模式（文字、圖畫、表格等）呈現整理數據的結果。到了 第二學段（4-6 年級）能經歷簡單的收集、整理、描述和分析數據的過程。會根 據實際問題設計簡單的調查表，能選擇適當的方法（如調查、試驗、測量）收集 數據。

相對於美國、英國和大陸，我國民國97 年的能力指標僅在一年級時，期望 學生能對生活中的事件或活動做初步的分類與記錄（1-d-01），同時能將紀錄以 統計表呈現並說明（1-d-02）。之後就沒有對數據進行處理的內容。

三、不確定與數據處理的重要性

在強調學生數學素養年代，不確定性思維與數據處理能力，更顯重要。國際 學生能力評量計畫（the Programme for International Student Assessment，簡稱 PISA）

主要評量15 歲學生的數學素養，其中就有關於機率的問題。例如 PISA2012 公 布的正式試題 PM00E 是問播放機故障需要修理的機率問題。PISA 2006 年公布 的M467 是問抽到紅色糖果的機率，M509 是問發生地震的機會本質問題。此外 PISA 的試題中也有許多有關統計方面的試題，再再強調統計的數據處理於現今 社會的重要性。例如PISA2006 年公布的試題 M513 中，就有利用同一數據從不 同的觀點來解釋那A, B 兩組的學生成績是 A 組好或者 B 組好的問題。M505 是 要學生解釋為何不同廢棄物不適合製作成長條圖的問題。M179 是有關統計圖容 易引人誤解的解釋問題。

台灣國小、國中、高中機率與統計課程向來缺乏建立在不確定現象上，發展 不確定思維的設計進路。有關機率的問題，就像在算比例的問題一樣。例如，求 投擲一個公正銅板，三次都是出現正面的機率等問題。較沒有機會讓學生深入體 會不確定性。例如，在生活中，較少提問投擲一個銅板，發現2 次都出現正面，

下一次是出現正面或是反面？或者，未來的20 年內，在 Zed 這個城市發生地震 的機會是三分之二。那麼未來20 年內，在 Zed 這個城市發生地震的可能性比沒 有發生地震的可能性大或是未來20 年內將會發生一次地震？

林福來（2012）主持的統計教育研究─人才培育與資訊整合總計畫也發現我 國教學未提供學生理解資料變異性和不確定性的學習機會；例如，教師進行變異 數教學時，關注的是標準差公式是除以N 還是 N-1，而非變異數的基本概念；教 材少提供呈現不確定現象的情境（如：丟擲形狀不規則的骰子）。

四、國際評量

近年來我國一直參與的國際數學與科學教育成就趨勢調查（Trends for International Mathematics and Science Study，簡稱 TIMSS），學生成就分析發現 TIMSS 2011 和 TIMSS 2007 八年級的數、代數、幾何表現相對好；數據與機率相 對差。例如TIMSS 2007 數、代數、幾何、數據與機率的成績分別是 577 分、617 分、592 分、566 分；TIMSS 2011 分別是 598 分、628 分、625 分、584 分。數 據與機率的成績明顯比其他主題低了十幾分。

向來重要視國際評比的我們，若我國在八年級之前沒有進行機率相關概念的 教學，將來我國八年級學生在這方面的成就，就有可能落後於其他國家。

五、建議

建議我國應該：

 從國小開始發展不確定思維（uncertainty thinking）。

 機率與統計課程除了重視 data 和 big ideas 外，應考量 situations 面向，設計 以不確定思維為本的課程內涵。

 參考現象與思維之確定及不確定性雙向模式。

 不要只強調機率的計算，也應加入機率本質的討論；不要都是出現公正的事 件，也應加入非公正事件的教學。

 國小高年級之後應納入數據處理的教學，讓生體驗從雜亂無章的數據中，依 據要解決的問題，收集有用數據，並使用適當方法加以分析，使能順利解決 問題。同時也可以增加列聯表的教學與討論，例如，從下面的列聯表討論男 生與女生以及是否近視人數等相關問題。

男生 女生 合計

近視 312 324 636

正常 215 201 416

合計 527 525 1052

貳、數的四則運算

本文主要說明各國的小學階段課程綱要、教學時數、螺旋式教學、理解數的 四則運算之根本概念，進而數的四則運算之概念性理解之範圍，供12 年國教課 程修訂的參考。

38 

一、問題

數的四則運算應該以概念性理解為目標，而非重視計算嗎？ 

二、概念性理解的重要性

各國的課程綱要均強調運算的概念性了解。我國2009 年課程綱要談到所謂 能熟練數學的運算或計算，係指在能夠理解數學概念或演算規則的情況下，所進 行的純熟操作。此外，中國大陸2011 年義務教育課程標準（中華人民共和國教 育部，2011）、新加坡2012 年的課程綱要(Primary mathematics teaching and learning syllabus)（Singapore Ministry of Education，2012）、2010 年美國 Common Core State Standards Initiative 制定各州共同核心數學標準(Common Core State Standards for Mathematics)（Common Core State Standards Initiative，2010）都說明四則運算意 義的理解。

強調運算的概念性了解，主要是因為程序性知識的規則時常變來變去，對學 生而言沒有感覺，也容易背錯或錯用。例如直式算則中，整數加減乘法可能說成 最右邊對齊或者個位對齊個位；到了小數加減法一定要說是個位對個位，乘法則 變成最右邊對齊；分數加減法則分母相同，分子才可以相加減；分數乘法又變成 分母乘分母，分子乘分子，除法又變成除數顛倒再相乘。若數學強調概念性的了 解，學生整合這些程序性知識，了解程序性知識的由來，程序性知識變得有意義。

我國目前學生數學學習時數已經減少，與其他國家的數學學習時數相比也較 少，同時就讀學生比率逐年增加。我國1-9 年級平均數學年上課時(77.3-108.7 小 時)數比日本(119.9 小時)、韓國(130.4 小時)、香港(都 100.1-124 小時)少。我國現 在的上課時數也比2000 年以前的課程少（林宜臻，2010）。在這樣的情形下，四 則運算的概念性理解與程序性運算（純技術演算）的合理份量應該如何分配，才 能兼顧學生學習數學的感覺呢？

三、概念推廣下的理解

在小學，數學學習是螺旋式學習，例如先教一位數加法，再教二位、三位數 加法。學生有機會一再回到相同的概念，只是數字變大、變複雜（概念推廣）而 已。我們先教真分數的加減法再教假分數、帶分數的加減法；先教同分母，再教 異分母加減法。因此，學童只要能在對較少位數的運算有概念性理解，他便可以 推廣到較大位數的運算；先同分母或者真分數的運算有概念性理解，便可以推廣 到其它分數；只是在溝通上比較複雜而已。

事實上，所有全數四則運算的概念性理解主要是利用數的主要概念 -- 位值 概念；分數四則運算的概念性理解主要是利用分數的主要概念 -- 單位量的部分

／全體或者單位分數的計數（李源順，2013）。在小學，把小數看成分母為十的 冪次方的分數特例。小數四則運算的概念性理解可以使用全數的概念推廣（使用 位值概念），或者分數概念。

負數四則概念可以使用理想化的生活情境來理解。例如+50 表示賺 50 元（或 者有50 元），-50 表示賠 50 元(或者欠別人 50 元) – 動態與靜態。負負得正可以