國家教育研究院

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國家教育研究院

「十二年國民基本教育領域綱要內容前導研究」整合型研究子計畫三

十二年國民基本教育數學領域綱要內容之前導研究

研究主持人：林福來教授（國立臺灣師範大學）

共同主持人：單維彰教授（國立中央大學）

李源順教授（臺北市立大學）

鄭章華助理研究員（國家教育研究院）

研究助理：林欣毅（國家教育研究院）

兼任助理：盧彥佑（國家教育研究院）

中華民國 102 年 12 月

NAER-102-06-A-1-02-03-1-12

研究報告

研究期程：民國 102 年 7 月至民國 102 年 12 月

執行單位：國家教育研究院

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I

數學課程理應配合國家需要、社會變遷與教育心理學的知識而演變。從1957 年蘇聯發射「史潑尼克一號」人造衛星，到2013 年中國的「嫦娥計畫」登陸月球，客觀上我們身處的環境發生了巨大的變化，主觀上人們對於國民教育的認知與數學在教育中的角色，也逐漸轉變。最具體的發展，就是十二年國民基本教育的施行。這是自民國57 年實施九年國民義務教育以來，我國最劇烈的教育制度變革。課程綱要是支撐這項制度變革的主要基石，為了搭配民國102 年進行的總綱研擬計畫，並籌備民國103 年將啟動的領域綱要研修工作，而產生了本數學領域綱要的前導研究。

從數學教育改革的歷史來看，東亞的數學教育似乎受到美國教育改革的影響，

被批評為太過西方化甚至是美國化 (黃毅英、韓繼偉、李秉彝，2005)。值得注意的是，臺灣的數學教育界已開始反思全盤移植美國經驗的適當性 (劉柏宏，

2004)。值此十二年國民教育改革全面啟動的時刻，其理念在於「適性揚才，成就每一位孩子的學習」，著重培養學習者的核心素養，適性開展潛能，進而能運用所學，成為自發主動的終身學習者 (國家教育研究院，2013)。要如何將十二年國民教育改革的理念落實到數學教育呢？國際間的數學課程固然可以做為借鏡，但臺灣的數學課程應該基於臺灣數學教育的特殊性與需要，以及實證研究的結果，建構出提昇學生數學素養的課程，為我們的下一代在多元與快速變遷社會，

面對可能的競爭與挑戰，做好準備。

由於九年一貫課程綱要、高中與高職課綱的訂定，是由不同委員會在不同時空背景進行，當初並沒有十二年一貫的理念、目標、內容與能力主軸的設計，其呈現的格式也各有特色。然而，課程一貫的理念與設計似乎可以合理地從九年一貫延伸至十二年一貫 (陳宜良、單維彰、洪萬生與袁媛，2005)。本研究擬從十二年一貫的大方向與視野，切入檢視與檢討現行中小學數學課程內容的安排，藉由分析數學課程文獻與諮詢數學教育學者、數學家和數學教師等人的意見，為十二年國教數學課程的理念與目標、內容組織與表述方式提出建議。

第二節研究目的與問題

一、探究十二年國民基本教育數學領域的課程架構、理念與目標。

二、探討現行中小學數學課程內容需要增刪之處。

三、探究十二年國民基本教育數學領域的學習階段以及學習內容組織方式。

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根據以上的研究目的，本計畫欲解答的研究問題如下：

一、基於十二年國民基本教育核心素養培養的理念與世界各國數學課程的目標，數學領域的課程架構、理念與目標為何?

二、考量世界各國數學課程的安排與未來升學、生活的需要，現行中小學數學領域內容是否有內容過量、不足或重覆的問題？若有，其內容為何？

修改之建議為何？

三、參考世界各國數學課程的做法，為達成核心素養培養的理念，數學領域的學習階段與學習內容的組織方式為何?

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第二章文獻探討

本章旨在探討現行十二年國民基本教育的理念與目標、歷年數學領域課程綱要、以及國際上課程綱要的趨勢，做為本研究提出十二年國民基本教育課程綱要內容的參考資料。

第一節現行數學領域課程實施相關問題

本節首先探討十二年國民基本教育的理念與目標，以及歷年數學領域課程綱要相關內容。旨在從歷史的回顧中，鑑往知來，引發構思未來一、二十年的可能數學構念。

壹、十二年國民基本教育

我國自1968 年（國家教育研究院，2013）實施九年國民義務教育以來，迄今已超過40 年，早已為我國人才培育奠定良好基礎。近年來為了因應社會需求與時代潮流，2003 年 9 月「全國教育發展會議」達成「階段性推動十二年國民基本教育」之結論，將高中、職及五專前三年予以納入並加以統整，藉以進一步提升國民素質。總統於2011 年元旦祝詞宣示啟動十二年國民基本教育。當年 9 月行政院正式核定｢十二年國民基本教育實施計畫｣，明訂2014 年 8 月 1 日全面實施。在課程綱要（教育部十二年國民基本教育網站，2013）的實施方面，2014 年發布課程總綱、2016 年發布學習領域/學科/群科綱要。

以下簡述十二年國教課程總綱的基本理念與課程目標，以及國民素養專案計畫中，關於數學素養的主張。

一、基本理念與課程目標

國家教育研究院（2013）經過一連串的研究與公聽會，提出十二年國民基本教育課程本於「自發」、｢互動｣及｢共好」之理念，以學生學習為關注核心，強調學生是自發主動的學習者，從而妥善開展人與他人、人與社會、人與自然的各種互動關係，從而致力個體生命、他人生命與自然環境之間的互惠及共好。

準此，十二年國民基本教育課程係以「成就每一位孩子～適性揚才‧終身學習」為課程願景。意在使課程以生命主體的開展為起點，透過學習者的核心素養培養、身心健全發展，讓潛能得以適性開展、品德得以涵養，進而能運用所學、

善盡責任，成為學會學習的終身學習者，以使個人及整體的生活、生命更為美好。

並訂定四項課程目標，分別為啟發生命潛能、陶養生活知能、促進生涯發展、涵育公民責任。

二、核心素養

為落實十二年國民基本教育課程的理念與目標，期望以｢核心素養｣做為課程發展之主軸。「核心素養」是融合認知、技能和情意，經內化後的綜合表現，它

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能幫助學生積極回應個人的及社會的生活需求，迎接現在與未來的挑戰。「核心素養」較「基本能力」與「學科知識」涵蓋更寬廣的教育內涵，強調學習不宜以學科知識為限，而應關注學習與生活的結合，透過實踐力行而彰顯學習者的全人發展。

核心素養係強調培養以人為本的「終身學習者」，分為三大面向：包括「自主行動」、「溝通互動」、「社會參與」。包括九大項目：以及「身心素質與自我精進」、「系統思考與解決問題」、「規劃執行與創新應變」、「符號運用與溝通表達」、

「科技資訊與媒體素養」、「藝術涵養與生活美感」、「道德實踐與公民意識」、「人際關係與團隊合作」、「多元文化與國際理解」九大項目。

三、國民數學素養

12 年課綱是以素養為導向，教育部提升國民素養專案辦公室（2013a）提出國民素養之內容，乃是設想十二年國教完成後所具備的素養內涵，使其能於各自的學習、工作、生活領域上產出成果價值，以提升個人的生活福祉。其中數學素養的定義與內涵為：個人的數學能力與態度，使其在學習、生活、與職業生涯的情境脈絡中面臨問題時，能辨識問題與數學的關聯，從而根據數學知識、運用數學技能、並藉由適當工具與資訊，去描述、模擬、解釋與預測各種現象，發揮數學思維方式的特長，做出理性反思與判斷，並在解決問題的歷程中，能有效地與他人溝通觀點。

在十二年國民基本教育的政策基礎下，有四項提升數學素養的目標：

（一）學習並發揮數學思維的特長：抽象、邏輯與深刻的創新。

（二）充實並活用基本的數學知識：關係與變化、空間與形狀、數量、數據處理與不確定性。

（三）建立健康對待數學的態度：數學是人格發展的基礎一環。

（四）擅於利用計算工具與數位科技：協助數值計算、整理和分析資料，並做數學概念的視覺化。

貳、數學課程發展

以下簡述國小、國中、高中課程的興革。

自從民國57 年開始實施九年國民義務教育，學科名稱由「算術」改為「數學」，並根據《國民小學數學暫行課程標準(57)》從 57 年的一年級開始逐年實施，

到69 年的最後一屆六年級學生使用，才全面改成 64 年教育部正式頒佈的《國民小學數學課程標準(64)》。此課程從民國 65 年起逐年實施，直到 89 年的最後一屆六年級學生，是目前壽命最長的課程標準。在此期間，全國都使用國立編譯館編製的教科書（俗稱統編本），此課本經過相當大規模的實驗，常稱為「板橋模式」。這段時期的小學數學注重數、量、形的內容學習，並把握三項原則：社會生活的需求，兒童身心發展、與學習的妥當性。

同時期的國民中學數學課程標準則在民國 57 年制訂之後，歷經 61 年、72 年、74 年、83 年多次的修訂，其教學目標從數、量、形的基礎內容，逐漸延伸

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到重視學生的思考、推理與創造能力，並顧及情意面的學習興趣及數學素養。國民中學的數學課程，在民國89 年被納入九年一貫課程。

普通高級中學的數學課程則為配合國民中學首屆畢業生而在民國 60 年訂立課程標準，至民國72 年配合「高級中學法」而修訂高級中學課程標準，在民國 84 年因應社會變遷而再次修訂。高中數學的學習內容增加了「函數」項目，

也都強調思考能力和應用於生活的素養，並且均指出數學在其他學科上的重要基礎性。

民國80 年代，發生了一項重要的數學教育興革。美國數學教師協會 (National Council of Teachers of Mathematics，簡稱 NCTM) 於 1989 年出版《學校數學課程與評鑑標準》(Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics)，強調數學能力的培養與數學概念的理解，從傳統以「教師為中心」轉向以「學生為中心」，教師不再是知識的「傳遞者」而是學生知識建構的「協助者」。然而其過分著重概念理解卻輕忽計算能力的培養，招致數學家的批評，對於「概念理解」

與「計算能力」發展孰輕孰重的爭論，發展成數學教育學者與數學家之間的數學戰爭 (Wilson, 2002)。

此波風潮及於臺灣，則展現於民國82 年頒布之《國民小學數學課程標準版課程標準(82)》所揭示的建構主義，強調讓兒童主動從自己的生活經驗建構與理解數學概念。同年亦開放民間出版社編寫教科書，由四家出版商（南一、翰林、

康軒、新學友）以及國立編譯館同時編製國小數學課本。因為開放的時間急迫，

幾乎沒有經過實驗就送審，審查通過後即直接實施於小學。各版教科書紛紛按課程標準之理念而編製了所謂的「建構式數學」。此課程從民國85 年起逐年實施，

至92 年全面轉換為《九年一貫課程數學領域暫行綱要(89)》而止。

教育部於民國89 年宣布實施九年一貫課程，將國小和國中課程做統整的規劃，並於同年頒佈「暫行綱要」。自此，數學科改稱為「數學學習領域」。最劇烈的改變是，取消了數學傳統上具有較多授課時數的「主科」概念，而與其他學習領域平分。在《九年一貫課程綱要總綱》的（六）實施要點 (97 年版的 p.11) 明白規定著：

A.

語文學習領域佔領域學習節數之20%—30%。但國民小學一、二年級語文領域學習節數得併同生活課程學習節數彈性實施之。

B.

健康與體育、社會、藝術與人文、自然與生活科技、數學、綜合活動等六個學習領域，各佔領域學習節數之10%—15%。

暫行綱要的數學課程似仍持續建構主義的理念，原本計畫些微調整後即為正式的綱要。然而，建構式數學不要求學生背誦九九乘法表和輕忽直式乘法計算，

造成學生計算能力下降的疑慮，引起數學家批評建構式數學，中華民國數學學會便緊急向教育部建議暫緩正式綱要之公布，並另行邀集相關學者與教師，重新審議數學課程的設計，結果就是民國92 年頒佈的《九年一貫數學領域課程綱要(92)》，

從94 年起正式逐年實施，並於民國 97 年微調修訂，自 100 年起實施迄今。

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教育部於92 年發布九年一貫課程綱要後，隨即組成「國民中小學課程綱要審議委員會」、「國民中小學課程綱要研究發展小組」二層級之常設性課程修訂機制，採取演進式課程修訂模式，以便隨時發現問題即時進行評估研究或調整。97 年的課綱修訂，即為此一機制的成果展現。

參、民國95 年之後的數學理念與目標

民國95 年之後，我國主要分成九年一貫課程，以及高中、高職、綜合高中。

以下說明其課程理念與目標

一、九年一貫數學之課程理念與目標

97 年九年一貫課程（教育部，2008）強調以學習者為主體，以知識的完整面為教育的主軸，以終身學習為教育的目標。在進入21 世紀且處於高度文明化的世界中，數學知識及數學能力，已逐漸成為日常生活及職場裡應具備的基本能力。基於以上的認知，國民教育數學課程的目標，須能反映下列理念：(1)數學能力是國民素質的一個重要指標；(2)培養學生正向的數學態度，瞭解數學是推進人類文明的要素；(3)數學教學(含教材、課本及教學法)應配合學童不同階段的需求，協助學童數學智能的發展；(4)數學作為基礎科學的工具性特質。

九年一貫課程同時將一到九年級畫分為四個階段，並且分階段設定其學習目標。

（一）第一階段(國小一至二年級)：能初步掌握數、量、形的概念，其重點在自然數及其運算、長度與簡單圖形之認識。

（二）第二階段(國小三至四年級)：在數方面要能熟練自然數的四則與混合計算，培養流暢的數字感；另外，應初步學習分數與小數的概念。在量上則以長度的學習為基礎，學習各種量的常用單位及其計算。幾何上則慢慢發展以角、邊要素認識幾何圖形的能力，並能以操作認識幾何圖形的性質。

（三）第三階段(國小五至六年級)：在小學畢業前，應能熟練小數與分數的四則計算；能利用常用數量關係，解決日常生活的問題；能認識簡單平面與立體形體的幾何性質，並理解其面積或體積之計算；能製作簡單的統計圖形。

（四）第四階段(國中一至三年級)：在數方面，能認識負數與根號數之概念與計算方式，並理解坐標表示的意義。代數方面則要熟練代數式的運算、解方程式，並熟悉常用的函數關係。幾何方面要學習三角形及圓的基本幾何性質，認識線對稱與圖形縮放的概念，並能學習簡單的幾何推理。能理解統計與機率的意義，並認識各種簡易統計方法。

課程目標（教育部，2008）的達成，希望可以培養學童的演算能力、抽象能

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力、推論能力及溝通能力；學習應用問題的解題方法；奠定高中階段的數學基礎，

並希望能培養學童欣賞數學的態度及能力。

二、高中數學之課程目標

搭配九年一貫課程的實施，高中先後從民國95 年、99 年起，實施暫行綱要與新的綱要，並於102 年微調。後期中等學校的數學課程，分成高中（普通高級中學之簡稱，以下皆同）、高職（高級職業中學之簡稱，以下皆同）、和綜高（綜合高級中學之簡稱，以下皆同）三類，其課程目標如下。

高中必修科目「數學」課程欲達成的目標如下：

（一）培養學生具備以數學思考問題、分析問題和解決問題的能力。

（二）培養學生具備實際生活應用和學習相關學科所需的數學知能。

（三）培養學生欣賞數學內涵中以簡馭繁的精神和結構嚴謹完美的特質。

三、高職數學之課程目標

高職數學課程分為A, B, C, S 四種(A: 未來工作領域；B: 商業專業及資訊應用領域；C: 工程專業及資訊應用領域；S: 表現藝術之動、靜化相關物理及資訊應用領域）

（一）引導學生瞭解數學概念與函數圖形，增進學生的基本數學知識。

（二）培養學生基本演算與識圖能力，以應用於解決日常實際問題及A, B, C, S 內實務問題。

（三）訓練學生運用電算器與電腦軟體解決日常實際問題及A, B, C, S 內實務問題。

（四）增強學生基礎應用能力，以培養學生未來就業、繼續進修、自我發展的能力。

四、綜合高中

至於綜合高中，按規定在一年級使用高中的課程，二、三年級則根據學生選擇的專業學程而接軌至高中或高職的二、三年級課程。所以可以不特別討論綜高的數學課程，但須特別留意普高與高職數學課綱之間的銜接狀況。

綜觀我國數學課程的沿革，主要是從國小、國中、高中課程綱要分別制定，

到國小和國中合一制定的九年一貫課程，至今則朝向十二年課程合一制的方向邁進。同時不同年代的課程目標，國中之前大都包含數學內容的學習、數學解題能力的培養、運用於生活問題的解決，以及學習興趣、欣賞數學等情意的培養。高中則還包括具備其他學科或者未來就業所需的知識。至於各個階段的課程理念與目標，請參見附錄一。

肆、領域時數/學分數及學習內容

數學作為一種語言，是學習各種領域的共同基礎。因此，環顧世界各國以及

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我國的早期課程規劃，數學的學習時數在學校教育裡一向佔有相當的份量。但是，

自從「九年一貫」課程實施以來，數學領域被設定為一般學習領域，並不被視為共同基礎。此一概念上的設定，值得各方留意與省思。

至於數學的學習內容，則在不同年代有些許不同。例如在美國新數學運動的年代，國小和國中納了集合的抽象內容。隨著返回基本運動，這些內容也被移除。

以下僅做一概述，詳細的文獻探討，請看附錄二。

一、課程時數（學分數）

自九年國民教育實施以來，至九年一貫課程實施以前，各階段數學課程的時數變化不大。國小一、二年級都有（每週）3 節課，三、四年級 4 節課，五、六年級6 節課。國中則從固定的課程演變為較具多元想法的課程。在 85 年之後，

一年級有3 節課，並配有 1—2 節的選修課；二年級有 4 節課，並配有 1—2 節的選修課；國中三年級有2 節課，再加上 2 節個別差異教學，以及 2 節選修課。

在九年一貫課程架構中，數學領域的時數按總綱的規劃，與其他五個學習領與平分授課時數，佔全部學習時數的10% 至 15%。照此規劃，按比例分配的授課時數為：一、二年級2~3 節，三、四年級 2.5~3.75 節，五、六年級 2.7~4.05 節，七、八年級2.8~4.2 節，九年級 3~4.5 節。就算學校安排至上限，數學的授課時數還是少於「九年一貫」實施前。

至於後期中等教育的數學課程，我們現在已經可以不談五年制專科學校，而因為綜合高中的數學課程就是高中或高職的課程，所以可以不用特別討論綜高的數學課程。不論高中或高職，都因為性向或專業分流而有不同的課綱，所以在學習時數（學分數）和內容上，都有相當的多元性。

以高中為例，傳統上分為自然組與社會組。在民國62—72 年間，高一（每週）4 節課，高二分流之後的自然組有 6 節課，社會組 4 節課。自 72 年起，不在高二正式分流，故高一、高二都接受同樣的必修數學課程，而以選修的方式代替分流；但是，事實上，全國各地的高中為了解決師資的專業分佈與排課等實務性問題，皆以「包裹選修」的方式，基本上維持著高二起分流授課的事實。這個現象至今仍在。

民國72—84 年間，高一有 5 節數學課，高二 4 節，高三按分流結果分成三種數學課：理科（6 節課）、商科（6 節課）、普通（4~6 節課）。民國 84—95 年改成高一和高二各5 節課，另外在高二提供「幾何」或「邏輯」選修課各 2 節，

高三則按分流結果分成「數學甲」（6 節課）和「數學乙」（4~6 節課）兩門數學課。

自民國95 年迄今，高一和高二的（必修）數學課皆為 4 節，高三數學列為選修。自99 年起，高二下學期的必修數學課綱分成 A、B 兩版，A 包含於 B，

但授課時數相同；而且將「95 暫綱」的高三選修課程改回 84—95 年間大家比較習慣的甲、乙兩版選修內容，各實施一學年，其中數學甲4 節課，數學乙 3 節課。

再一次地，以民國95 年當作「九年一貫」課程的分割點，高中數學課程時數在「九年一貫」實施後，有非常明顯的縮減。在「不是所有人都須要這麼多這

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麼深的數學」這個意見上，數學教育學者的看法與大家一致。但是，在裁減「一般人」的數學內容時，是否該同步限縮「自然組」的數學課程？實在值得各方再審慎考慮。

現行之高職數學課程分成A、B、C、和 S 四種版本。家事、設計等群科採用數學A，高一至高二每週 2 節課（共 8 學分）。商業、外語等群科採用數學B，

高一和高二每週3 節課（12 學分）。電機、機械等群科採用數學 C，高一和高二每週4 節課（16 學分）。藝術群科採用數學 S，高一每週 2~3 節課。

二、學習內容

有關九年一貫國小課程，主要在掌握數、量、形的概念，在數方面重點在自然數、分數、小數及其四則與混合計算；能利用常用數量關係（包含比例、公因數、公倍數），解決日常生活的問題。在量方面主要學習七種量及其常用單位及計算。幾何上則能認識簡單平面與立體形體的幾何性質，並理解其面積或體積之計算。在統計方面，能製作簡單的統計圖形。比較特殊的是，82 年課程有初步機率的課程，九年一貫課程時，已被刪除。

現今受到教材與教法理念流變，以及授課時數限縮的影響，學生在這些傳統基礎內容的學習成效上，是各方關注的焦點。

國中數學的內容則有相對較大的改變。隨著數學內容的逐漸專業化，學生的性向也逐漸發生影響，而社會變遷也開始影響此階段學習內容的取捨。但基本上，

國中數學皆至少包含「以符號代表數」的觀念與技術發展，負數（負的整數、小數與分數）與整個有理數系的四則運算，數線及直角坐標平面、以平行線、圓形和三角形為主要物件的平面幾何，相似與全等，畢氏定理、平方根，比例式、一元一次或二次方程式及不等式、二元一次方程式及方程組、二次函數及其圖形等課題。

大致而言，自九年國民教育實施以來，國中數學的內容被刪除的有平方根的開方算法與查表法、集合概念、（非量化）空間概念與立體幾何、多項式的公因式與公倍式（有些課題是先移去高中而後再移除的），被次第弱化的有因式分解、

平面幾何的作圖與證明（含三角形的「心」），被徹底移去高中的有等比數列與級數、複數、三角。雖然在九年一貫的課程理念上，意欲略為加強資料整理與機率概念，但由於這段課程被安排在國中三年級的最後，許多教師反應：太靠近升學考試的日期而影響了教學的成效。

民國95 年，為配合九年一貫課程的實施，並反應社會的人口結構以及學生個人生涯需求的變化，許多95 年以前的高中數學內容不是被刪除就是被弱化。

雖然95 年之後最顯著的新增內容是推論統計，但事實上 99 年版的高中數學課綱相對於84 年，有著許多掩藏於內容項目之下的理念變革，還有待教師同仁們認識與體會。譬如，在向量、矩陣、行列式、方程組這些傳統課題之下，有一個新的脈絡希望讓學生掌握：線性組合與線性變換，這是將來學習線性代數乃至於離散數學的重要基礎。

高職數學皆為必修，但隨其專業群科而有不同的內容。值得注意的是，各版

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本的高職數學在內容項目上雖然少於高中數學（必修及選修課程），但檢視其教材內容則很可能並不亞於高中的數學學習深度，更因為各群科之專業課程需要而可能先於高中數學的進度。譬如數學B（商業、外語等群科）在高二有微積分，

數學C（電機、機械等群科）在高一上學期就有（六個）三角函數的圖形，以及複數平面；這些課題在普高數學都列於三年級的選修。

伍、學習內容的連貫與統整

89 年以前，數學課程內容從國小、國中，到高中、高職，由不同的教師與學者分別撰寫，因此在連貫和統整上需要花更大的精神。在103 年之前，由於九年一貫課程的實施，使國小和國中的課程內容由同一批學者撰寫，在學習內容的連貫與統整已有進一步考量，但高中和高職課程仍獨立撰寫。

未來12 年國民基本教育的實施，從國小、國中、到高中、高職的數學課程綱要，將由同一個委員會或工作小組研擬及撰寫，相信在連貫與統整上，更能達成任務。

陸、學習內容知識量

比較不同課程綱要的學分數或者學習時間，數學領域的時間愈來愈少。同時，

不同課程的學習內容或有不同。例如

 89 年暫行綱要，將分數、小數除法移至國中，92、97 年課程綱要又移回小學。

 82 年以前的課程有不確定的機率問題，92、97 年課程綱要已被移除，但它在處理生活與科學問題的情境中，非常重要。

 論證與「說理」的敘述能力，一直是各方對於數學教育的共同呼籲。但是沒有時間實施，應該考慮未來是否應增加此內容。

 基本的三角比例關係，基本的計數原理，以及基本的空間概念（包括旋轉與鏡射等操作型概念），長期被高中一年級的基礎科學課程疾呼需求（甚至於社會學科也很可能需要，只是尚未檢視），卻一直不能在國中時期處理，應該考慮未來是否應增加此內容。

因為，學習內容的知識量問題涉及教學時間的問題，內容深度的問題，社會環境改變的問題，不同觀點的問題，等等。因此，未來在十二年國民基本教育的數學學習內容知識量，還需要取得更多的共識。至於某些內容的增加或者刪除，

可以參見第四章結果與討論之中，我們所呈現的相關問題。

柒、不同教育階段之學習內容表述方式

國小和國中階段的數學課程，從九年國民義務教育到九年一貫的年代，數學課程學習內容的表述方式，從巨細靡遺的列出教授的內容(64 年版的分段目標，

82 年版的領域目標和分段目標)，到以主題羅列學習內容(89、92、97 年的五大主題)。數學課程內容也從單元內容描述(64 年版)，到認知領或的內容描述(82 年

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版)，改變到以能力指標(89 年版)和分年細目(92、97 年版)的表述方式。

高中階段的課程內容，則一直是以單元內容來描述，但是內容從教材大綱(72 年版)具細靡遺的列出教授的內容到簡單的主題內容，到每個概念(84 年版)大約上幾節課，然後在主題之下羅列主要內容(95 年版)之下闡述教授的內容，到分成主題、子題和內容(99 年版)，以及負面表列的表述方式。

未來十二年國民基本教育以素養為核心，數學課程的內容表述方式，應該適度反應學生的數學素養。

第二節重大議題

本節旨在闡述數學的學科地位、學生數學學習的問題、未來數學素養發展的主要議題，以及數學與教育部揭示的七大重要議題的關係。

壹、數學的學科地位

教育部（2008）公佈的 97 年數學課程綱要，說明數學的佔有重要的學科地位。綱要指出，數學之所以被納入國民教育的基礎課程，主要有三個重要原因：

一、數學是人類最重要的資產之一

數學被公認為科學、技術及思想發展的基石，文明演進的指標與推手。數學結構之精美，不但體現在科學理論的內在結構中及各文明之建築、工技與藝術作品上，自身亦呈現一種獨特的美感。

二、數學是一種語言

簡單的數學語言，融合在人類生活世界的諸多面向，宛如另一種母語。精鍊的數學語句，則是人類理性對話最精確的語言。從科學的發展史來看，數學更是理性與自然界對話時最自然的語言。

三、數學是人類天賦本能的延伸

人類出生之後，即具備嘗試錯誤、尋求策略、解決問題的生存本能，並具備形與數的初等直覺。經過文明累積的陶冶與教育，使這些本能得以具體延伸為數學知識，並形成更有力量的思維能力。

同時，在進入21 世紀且處於高度文明化的世界中，數學知識及數學能力，

已逐漸成為世界各國認同的日常生活及職場裡應具備的基本能力。

貳、數學的高成就低興趣現象

台灣近年來積極參與國際數學評量計畫，發現台灣學生的數學評量成就相當不錯，但態度與自信心不佳，如表2-1。例如，參加國際數學和科學趨勢研究(Trends International Mathematics and Science Study [TIMSS])( Mullis, et.al, 2008)發現四年級和八年級學生的數學成就在國際評比上很不錯，但是對數學的興趣與自信心就沒有那麼好。TIMSS 2007 的數學成就國際排名，四年級(37 國參加)學生為第 3 名，八年級(50 國參加)學生第 1 名，排名在頂尖的位置。但是對數學的正向態度

(15)

12

與自信心國際排名，四年級分別為第36 和 35 名，八年級分別為第 39 和 46 名。

表2-1 TIMSS 2007 台灣學生的認知與情意排名四年級（37 國參加）八年級（50 國參加）

成就態度自信心成就態度自信心第3 名第36 名第35 名第3 名第39 名第46 名

同樣的，我國參與2011 TIMSS 的結果，在數學成績方面（國家教育研究院，

2012），小學四年級與八年級的分數都顯著提升，顯示我國學生在數學成就上的厚實基礎。但是對於情意的調查結果，同樣發現有低興趣、低自信心與數學無用論的情形，如下表。

表2-2 TIMSS 2011 台灣學生的認知與情意排名四年級（50 國參加）八年級（42 國參加）

成就態度自信心成就態度自信心第4 名第43 名第46 名第3 名第37 名第36 名

可見我國學生雖然數學成就很高，但對於學習數學的正向態度方面，於國際間位居末段班。其中值得留意的是，在2003 年的 TIMSS 評量，當時四年級學生的「態度」調查結果，曾經高居第4 名（共 25 國參與）。那一年的四年級學生於民國88 年入學，受到「九年一貫」課程的影響較低。「九年一貫」課程縮減了數學課時，在一定程度上也降低了課業要求，一方面我國學童的平均成就表現雖無變化，另方面卻在情意面以及「成績標準差」兩方面的表現都逐步惡化。這些現象不見得全是「九年一貫」課程中，取消了數學作為基礎學習科目此單一因素所導致，但應該是一項須認真檢視的因素。

參、數學素養

學生能力國際評量計劃 (The Program for International Student Assessment [PISA], 林煥祥, 2008)，是由 OECD 所委託的計畫。OECD 國家希望透過 PISA 來比較參與國即將進入社會的15 歲學生運用所學的知識解決生活脈絡中的問題的能力。數學素養的調查，PISA 2006 為基準，臺灣平均 549 分，排名第一；PISA 2009 臺灣平均為 543 分，排名第五；PISA 2012 臺灣平均為 560 分，排名第四。

如下表。

表2-3 15 歲學生的 PISA 成績

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2006 年 PISA 2009 年 PISA 2012 年 PISA 數學科學閱讀數學科學閱讀數學科學閱讀

1 名 4 名 16 名 5 名 12 名 23 名 4 名 13 名 8 名

然而，按照平均成績所做的排名隱藏了另一面的事實：我國15 歲少年的 PISA 數學成績「標準差」已經高居世界之冠。從2006，2009，到 2012，我國 PISA 數學成績的標準差直線上升。在2006 年是世界第三高（我國標準差 103，世界平均標準差為92），在 2009 年已經「躍居」第一，而 2012 年的標準差不但是世界第一高的116，還「遙遙領先」次高的 105。PISA 提供的家庭社經地位調查報表，進一步指出臺灣學生的家庭社經地位對其數學成績表現的「解釋度」偏高，

而將臺灣列為「教育機會不公平」的國家；臺灣的社經解釋度大約為18%，高於國際平均的14.5%，遠高於澳門、香港、日本、和韓國，也高於大約處於世界均標的新加坡、美國、和中國上海。

我們要再次提出「九年一貫」縮減數學課時導致上述現象的主張。縮減數學課時，乃至於過度地刪減數學學習內容，並不能解除社會以及其他學習領域對數學的實際需求，學生的壓力並未就此解脫。縮減數學課時之後，學生平均成就卻不見衰減的原因，很可能出自密度更高的教學或者時間更長的課外學習；不論何者，都是造成學生身心壓力的理由，更是家庭社經地位介入影響的明顯跡象。要解決臺灣學生的數學焦慮，以及教育機會不公平的社會問題，必須正視「數學」

作為一種語言，是所有學習的共同基礎之重要觀念；特別在初期學習階段，更是如此。

有鑑於台灣學生的數學學習態度與自信心低落，以及運用所學的知識解決生活脈絡中相關問題之素養能力的重要性。教育部成立教育部提升國民素養專案辦公室（2013b）旨在推動相關業務十二年國民教育政策時，能提升國民的素養。

同時為落實十二年國民基本教育課程的理念與目標，國家教育研究院（2013）的課程總綱修訂，期望以｢核心素養｣做為課程發展之主軸。教育部提升國民素養專案辦公室（2013a）則提出我國數學素養向度的建議文，做為發展或者評量數學素養的方針。

肆、數學與七大重要議題

教育部進行學習領域課程的擬訂時，發現一些現今社會上重要且需要學習的內容，但這些內容並未獲得教育界或國人的一致認同，認為這些課程應在國中小學開設獨立的課程，且認為這些學習內容可以利用融入在不同領域的學習內容的方式，透過潛在的生活對話，或者藉由議題融入教學活動，來達到學習的目的。

因此九年一貫國民教育訂出了七個重大議題，包括性別平等教育、環境教育、資訊教育、家政教育、人權教育、生涯發展教育、海洋教育。

在97 年課綱要之中，(六)實施要點說明，有關性別平等、環境、資訊、家政、人權、生涯發展、海洋等七大議題如何融入各領域課程教學，應於課程計畫

(17)

14

中妥善規劃。

在歷年的數學課程綱要之中，並未針對這七大議題專文撰寫如何融入數學課程內容之中，但是在能力指標的內容說明之中，也融入了相關議題的內涵。例如 4-d-01 便說明重大議題的融入。

表2-4 重大議題的融入數學課程

4-d-01 能報讀生活中常用的長條圖。 D-2-02

說明：  統計圖的學習分成兩階段，先學習如何報讀已經製作好的統計圖，再

學習如何將資料製作成統計圖。「報讀」是指將統計圖上所看到的資料數據檢讀出來。

 統計圖表的功能在於藉由圖表，整理雜亂的原始資料，可以簡明的掌

握整筆資料的重點。

 資料的解讀可與「社會」、「自然與生活科技」等學習領域的教學綜合

進行為宜。亦可與社會重要議題結合，例如：人口販運、性交易防制、性別平等、家庭暴力防制、生命教育、環保教育等議題。

….(未完)

第三節國際發展趨勢

本節旨在羅列世界各國數學相關課程目標、學習內容，做為我國發展未來 20 年前贍性的數學課程綱要的基石。羅列的國家主要包括美國、英國、德國、

芬蘭、荷蘭、日本、韓國、新加坡、大陸和香港地區。

壹、美國數學課程─內容少、深度高

美國《共同州立核心標準》（Common Core State Standards Initiative，2010）

直接了當的提出為學生的「大學與職場生涯做好準備」。課程設計著重連貫 (coherent)與聚焦(focused) ，強調數學理解與程序技能同等重要，兩者可以用豐富的數學任務對學生進行評量。

它從兩大向度來設定標準條目：「年級標準」(grade level standards)與「數學實踐(mathematical practice)標準」，年級標準從兩方面：「理解」(understand)與「有能力去做」(be able to do)來敘寫標準條目，從 K 至 12 針對每一年級提出特定 (specific)的課程標準，將幾個相關連的標準條目放在一個群組(cluster)底下，形成具體的學習內容，一至數個群組即形成學習主題，例如：在七年級的「幾何」學習主題底下，包括了「製圖、建構與描述幾何圖形以及說明圖形間的關係」與「解決包括角度測量、面積、表面積與體積的現實生活問題與數學問題」兩個學習內容，而這兩個學習內容各自涵蓋了三個標準條目。

數學實踐標準提出了所有學生必須發展的八項數學專門能力(expertise)：一、

理解問題並且堅持不懈地解決它們；二、進行抽象與量化的推理；三、建構可行

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的論辯並評論他人的推理；四、數學建模；五、有策略地使用合適的工具；六、

注意精確性；七、探求與使用結構；八、在重複的推理中，探求並表達規律。該標準強調課程、評量與專業發展設計者應該在數學教學中連結數學實踐與數學內容。

另外，高中數學課程是按照主題進行組織，這與國中小按年級安排有所不同，

主題包括：數與量、代數、函數、建模、幾何、統計與機率，在每個主題底下提出為「大學與職場生涯做好準備」所需的核心課程之標準條目，而附有「┼」的標準條目為學生選修微積分、進階統計、離散數學等進階課程所必須學的。值得注意的是，在該份文件中，不同內容的前後出現順序，是根據國際成就評鑑表現優異國家的課程安排、各州之前的課程安排與數學教育工作者的意見彙整而得，

但不一定是課堂教學的順序，教師仍可以視情況自由做選擇與調整，它保留了往後因數學教育研究發現而進行調整的可能性。

貳、英格蘭國家數學課程

英格蘭（Department for Education，2013a，2013b）新的國家數學課程規畫研究¹於2013 年九月公布 key stages² 1–3 (即 1–9 年級；5–14 歲)的數學新課程內容。整個規劃研究意圖藉由高品質的數學教育，提供方法讓學生認識世界(如日常生活、科學評析、科技與工程、財金素養及大多數的職業相關議題)、利用數學進行推理、欣賞數學的美與能量、對數學能有愉悅感與好奇心。因此國家數學課程的目標設定在保證所有的學生能：

 流暢地處理主要數學內容，包含一再透過各式(varied)且頻繁(frequent)的練習複雜問題，讓學生能發展概念性瞭解(conceptual understanding)並能夠快速且準確的想起(recall)及應用(apply)知識的能力。

 藉由一序列的 (a line of) 探查(enquiry)、臆測關係(conjecturing relationships) 與歸納(generalizations)，並用數學語言發展出一個論點(argument)、辯證 (justification)或證明(proof)的數學化推理過程(reason mathematically)。

 藉由將學過的數學應用到一系列例行性(routine)與非例行性(non-routine)且複雜度提升的問題上以進行解題(to solve problems)，包含將問題拆解成一系列簡單步驟的問題以及持續地尋找解答。

簡單的來說，新的國家數學課程目標架設在大多數學生能流暢地穿梭於以不同表徵形式存在的數學想法間。雖然數學是獨立學科，但是學生要能從在為各種

1 全面適用於 2014 年 9 月開始的 Key stages 1–3 學生。

2 英格蘭主要將學校義務教育區分為四個關鍵階段 (key stages)：Key stage 1:

years 1–2; 5–7 歲；Key stage 2: years 3–6 (lower key stage 2: years 3–4; upper key stage 2: years 5–6); 7–11 歲；Key stage 3: years 7–9; 11–14 歲；Key stage 4: years 10–11; 14–16 歲

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16

數學想法建立豐富連結(包含不同學科領域的情境下)的過程中去發展他們解逐漸複雜化問題(increasingly sophisticated problems)的流暢性(fluency)、數學推理 (mathematical reasoning)與能力(competence)。且每個階段都必須是在確認學生已瞭解(understanding)與準備(readiness)好了的情況下才可前進到下一階段。

此外，電算器(calculator)在課程中不該被使用來替代書面計算或心算，僅能在近key stage 2 的後期介紹給學生，來輔助他們概念性瞭解與探索更複雜的數字問題，而且必須是在學生書面計算與心算都沒問題的前提下。在小學與國高中階段，老師應該自己判斷決定ICT (Information and communication technology)工具何時該被使用。而語言(spoken language)方面，學生所聽到或說的數學語言的品質(quality)與多樣性(variety)，對學生發展數學語彙或是進行數學辯證、論證、或證明是很關鍵的因素。這些語言也必須能幫助學生以及其他人能清晰地思考。老師必須確保學生在建立穩固的討論基礎中能去偵測(probe)及補救(remedy)他們的迷思(misconceptions)。

在key stage 1 和 2 的課程中，規劃的課程是逐年被設定的。雖然如此，但學校只要在每個key stage 的尾聲教完相關課程即可³。學校在每個key stage 過程中保有對課程的彈性配置，也就是說可以早教或是晚教整個key stage 範圍的課程。

關於成就指標(achievement targets)，則是期望學生能知道(know)，應用(apply)且瞭解(understand)規劃課程中切題的內容(the matters)、技巧(skills)、及進程 (processes)。

如前所述，在key stages 1 & 2 中，國家數學課程明確地依各年級指出該年度應學的數學內容與數學能力，而key stage 3 則是以整個階段來討論規畫應學的數學內容與數學能力，為能橋接上未來key stage 4 的數學課程做準備。整體而言，

英國數學課程指出各內容主題(及其分支)學生該學的重要數學概念或數學能力，

以及(非強制規定的)主題的相對應指引供參考。例如，一年級的數(number)主題，

其分支：乘與除，指出學生必須要學會讀(read)、寫(write)、詮釋(interpret)有加、

減與等號符號的數學陳述(statement)；要能陳述與使用在 20 以內的加法(number bonds/addition facts)與減法(subtraction facts)運算。

以下針對英格蘭學生該學的數學主題內容，依年級整理成下表。

3 牽涉到每個 key stage 最後一年學生必須參加國家性測驗檢測學習狀況。

(20)

年級階段 (year)

內容主題 (subject content)

數比與比例代數測量幾何統計機率

Key Stage 1

1 X X X

2 X X X X

Lower key stage 2

3 X X X X

4 X X X X

Upper key stage 2

5 X X X X

6 X X X X X X

Key stage 3

7 X + 比率變

換 X X X X X

8 X + 比率變

換 X X X X X

9 X + 比率變

換 X X X X X

參、德國國家課程理念─PISA 導引

近年來制訂國家課程的議題，於西方各國家逐漸受重視，特別是具有不同聯邦系統教育體系(一國多制)的德國、美國。

德國國內對於數學素養(mathematical literacy)的討論行之有年，但卻一直沒有國家課程的設計。由於國際性測驗中，各邦學生的評比測驗差異性很大，因此德國許多學者萌生發展國家課程的理念。2003 年由 Eckhard Klieme 集結各學科領域的研究專家（Klieme 等人，2004），統籌撰寫國家課程標準的專家理念；德國各邦文教部長聯席會議(Kultusministerkonferenz, KMK)則於 2003 年與 2004 年釋出5–10 年級與 1–4 年級的國家數學教育標準(educational standards)。各邦的實際教學或教科書設計則需依據此國家數學教育標準搭配各邦的數學課程大綱 (syllabus)執行。

國家數學教育標準列出須具備的全面性數學能力(mathematical competencies)，小學版本有五個數學能力(Kompetenze)：

 問題解決(problem solving, K1)

 溝通(communication, K2)

 論證(argumentation, K3)

 建模(modeling, K4)

(21)

18

 表達與陳述(representation, K5) 中學版本則有六個數學能力：

 數學論證(mathematical argumentation, K1)

 問題解決(mathematical problem solving, K2)

 建模(mathematical modelling, K3)

 表達與陳述(mathematical representations, K4)

 處理數學的符號、形式化及技術性元件(dealing with symbolic, formal, and technical elements of mathematics, K5)

 溝通(communication, K6)

同時，每一數學題目具備的功用(requirement)（De Lange，1999）三個等級，

如下所列；都能藉由分析題目的解題過程，定位出上述的某項數學能力，以及其所屬的主題內容：

 再製(reproduction, Anforderungsbereich I)、

 建立連結(establishing connections, Anforderungsbereich II)、

 概化與反思(generalization and reflection, Anforderungsbereich III) 小學版本涉及五個主題內容(Leitidee)有：

 數與運算(number and operation, L1)

 空間與平面(space and shape, L2)

 樣式與結構(pattern and structure, L3)

 量與測量(size and measurement, L4)

 資料與機率(data, frequency and probability, L5) 中學版本亦涉及五個主題內容：

 數(number, L1)

 測量(measurement, L2)

 幾何(space and shape, L3)

 函數關係(functional relations, L4)

 機率統計(data and probability, L5)

德國將2000 年的 PISA 架構，修改轉化成課程設計結構，優點是清楚明瞭，

結構中的三等級未必有階層關係，取決於學習內容。

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圖2-1 德國數學課程設計結構

肆、芬蘭2004 – 發展數學思維、數學解題

2004 年修訂的國家核心課程綱領（Finnish National Board of Education，

2004），數學教學的任務是能提供發展數學思維、數學概念學習和使用最廣泛的解題方法的機會。核心課程將中小學數學學習分為三個階段：第一階段是1-2 年級，第二階段為3-5 年級，第三階段是 6-9 年級。

第一階段（1-2 年級）的核心任務是發展數學思維，專注、傾力和溝通實作，

以及獲得形成數學概念和結構的基礎的經驗。

第二階段（3-5 年級）的核心任務是發展數學思維，引導數學模式的思考的學習，強化基本運算能力和數的概念，以及提供同化數學概念和結構的基礎的經驗。

第三階段（6-9 年級）的核心任務是深化數學概念的理解和提供足夠的基本能力以模式化日常生活中數學問題，學習數學模式的思維，記憶、聚焦、準確表達的實作。

伍、荷蘭 – 現實數學教育

荷蘭自

1960 年代起便推行現實數學教育(Realistic Mathematics Education,

RME)。荷蘭的數學教育改革稱為“realistic”的理由，不僅是數學要和真實世界相

連結，RME 也重視提供學生可以想像的問題情境。荷蘭對動詞”to imagine”的翻譯是”zichREALISEren”。它是強調在你的心中變成某些真實，它就是 RME 這個

(23)

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名字的由來。這個意思是說，一個呈現給學生的問題脈絡可以是真實世界的脈絡，

但它並不全是必然的。在一個問題上，神話故事的幻想世界，甚至數學的形式世界，只要他們在學生的心中是真實的，都可以做為合適的學習脈絡。

Freudenthal 主張「學生不是學習數學，而是學習數學化」，強調「數學來自於現實生活，將其再利用於現實生活」以及「學生經由自己熟悉的現實生活，自行發現和理出數學結論」。Treffers (1978, 1987)進一步闡述，將數學化分為「水平式的數學化( horizonta1 mathematization)」與「垂直式的數學化( vertica1

mathematization)」。

Treffers(1987)總結 RME 的五個特徵是脈絡的運用、模型的利用、學生自己產生和建構的利用、教學過程的互動特性、不同學習路徑(strands，成份)的編織。

陸、日本國家數學課程─活動數學

日本國家數學課程（Takahashi, Watanabe & Yoshida，2008）分成「目標」

(objectives)與「內容」(content)敘寫，小學與國中階段都有提出總目標，接著分年敘寫課程目標、課程內容以及教學應放入的數學活動建議，不過，課程內容沒有寫到九年一貫課程的分年細目那麼詳細。值得注意的是，日本的課程文件特別提出與目標和內容並列的一章來說明課程轉化，告訴教師教學計畫制定和每個年級的內容教學應注意的事項。整體來說，日本的數學課程是「活動數學」，數學活動為其主軸/特色，以下分別說明小學與中學階段的課程目標和內容。

一、小學階段

(2011 年 4 月 1 日開始實施)

（一）課程目標：經由數學活動，學生將1.習得基本與基礎的數、量與形的知識與技巧；2.培養從日常生活的現象提出與組織邏輯思考步驟以及表徵現象的能力；3.欣賞數學活動的趣味性與數學操作的優點；4.增進於日常生活與日常學習中使用數學的意願。

（二）課程內容：數與計算(numbers and calculations)、量與測量(quantites and measurements)、幾何圖形(geometric figures)、量化關係(quantitaive

relations)。

二、國中階段

(2012 年 4 月 1 日開始實施

⁴

)

（一）課程目標：經由數學活動，學生將1.深化他們對於數、量與形的原理和規則的理解；2.發展數學表徵與程序的流暢性；3.在推理與做判斷時，傾向去使用數學理解、表徵與程序。

（二）課程內容：數與式(numbers and mathematical expressions)、幾何圖形 (geometirc figures)、函數(functions)、資料處理(data handling)。

4 高中課程於 2013 年 4 月 1 日開始實施

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表2-5 日本數學課程授課時數安排年級年齡一整年數學課

總節數

一整年總節數

每年上課週數一節課的時間 1 6 136(每週四節) 850 超過34 週 45 分鐘 2 7 175(每週五節) 910 超過35 週 45 分鐘 3 8 175(每週五節) 945 超過35 週 45 分鐘 4 9 175(每週五節) 980 超過35 週 45 分鐘 5 10 175(每週五節) 980 超過35 週 45 分鐘 6 11 175(每週五節) 980 超過35 週 45 分鐘 7 12 140(每週四節) 1015 超過35 週 50 分鐘 8 13 105(每週三節) 1015 超過35 週 50 分鐘 9 14 140(每週四節) 1015 超過35 週 50 分鐘

柒、韓國數學課程─數學與文創、未來導向課程

韓國數學新課程（Lew，2012）是基於｢未來導向課程 (future oriented curriculum)」的理念，於 2011 年 8 月修訂，重點放在創造力 (creativity) 與人格 (personality)。除了要培養學生工作上需要具備的創造性 (creative) 與足夠能力 (competent)，還要增強他們更加理性 (rational) 與明智 (sensible)。數學課程中，

除了強化一般所了解的數學過程(mathematical process; 包含數學推理、數學解題、

與數學溝通)外，還特別強調數學態度 (mathematical attitude)。

韓國意識到他們在 PISA 2003, 2006, 2009 年測驗中都市地區學生遠比鄉村地區學生表現要來的好很多，他們認為數學素養不僅只是歸因於成績的表現，教育環境更是重要的因素 (e.g. 學生與家長的負面數學態度)，因此促動課程的改革。韓國教育部更公布了一項數學教育政策，以提升學生與公眾社會的數學態度。

這項政策強調：

 情境式學習：以助學生連結數學概念與日常生活

 操作式活動(manipulation activities)：藉此學生可以從他們正在學習的數學獲得直觀式想法並提升創造力。

 推理與辯證(reason and justify)：基於學生的數學知識與經驗推理並辯證數學結果。

 教科書根基於 storytelling 與 STEAM (science and technology, engineering, art, and mathematics)以幫助學生了解數學意義 (meaning in mathematics)。

 全國 11700 間學校數學研究室的推動。

 數學教師的專業化發展。

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簡單來說，韓國新數學課程的目標有：

（一）所有學生應能獲得數學信心與能力(confidence and competence)以及職業上所需的數學技能；並能辨識到數學的社會與文化重要性。

（二）藉由數學思維與數學態度的培養，培育新一世代的數學創造力與人格。

（三）涉及國家性策略，以建構一個高度已開發國家：數學是工具，以推動科學的發展並解決人們日常生活中量與質的問題。

（四）為了在適宜的情境中合適地使用這些工具，未來導向課程強調數學與日常生活的連結(connection)、搭配電腦科技素材的操作式活動(manipulation activities)、以及提升推理能力的辯證活動(justification activities)。

韓國新數學課程將舊課程的39 個單元重新配置成 29 個單元：刪除低相關或是機械性的課程單元，或是整合相關單元於同一單元。藉此以降低學習負擔，將學習時間撥移到創造性活動與數學態度培養。

在數與運算單元，移除三單元：集合論、二進制、近似值。在科學符號 (letters and expressions)單元，強調科學符號應用在建構日常生活。在函數單元，函數的概念比以往更為被重視，讓學生能視函數為工具，將觀察到的日常現象表徵成通則(rule)。在機率與統計單元，介紹利於視覺化小量資料分布的莖葉圖

(stem-and-leaf plot)，同時資料的圖像表徵是被鼓勵的。在幾何單元，多數學生有困難的解釋(explanation)或辯證(justification)活動，比形式化證明更為被重視。

國小到高中的數學主要內容結構如下：

國小(1–6 年級)，有數與運算(numbers and operations)、圖形(figures)、測量 (measurement)、機率與統計(probability and statistics)、規律與解題(patterns and problem solving)

國中(7–9 年級)與高中(10–12 年級)有數與運算(numbers and operations)、幾何 (geometry)、變量與表示式(variables and expressions)、機率與統計(probability and statistics)、函數(functions)

捌、新加坡2012 –五星的數學解題面向

新加坡的數學課程是以數學的解題（Singapore Ministry of Education，2012）

為中心，並由概念、過程、後設認知、態度、技能等五邊形建構之。

(26)

圖2-2 新加坡的數學課程架構 一、總目標 Aims

（一）獲得和應用數學概念和技能。

（二）獲得認知和後設認知技能，經由數學方法以解決問題。

（三）發展對數學的正向態度。

二、小學目標：奠定堅實的基礎

（一）獲得數學概念和技能，為了日常生活使用和持續學習數學。

（二）發展思維、推理、溝通、應用和後設認知技能，經由數學方法以解決問題。

（三）建立數學的信心和培養興趣 三、中學：建構優勢

(一) O/N(A) Level（O 標準，N(A)普通(學術)）

(1) 獲得數學概念和技能，為了持續學習數學和支持其他學科的學習。

(2) 發展思維、推理、溝通、應用和後設認知技能，經由數學方法以解決問題。

(3) 連結數學內的觀念，以及經由數學的應用連結數學和其他學科。

(4) 數學信心的建立和興趣的培養。

(二) O/N(A) Level 的附加數學

(1) 獲得數學概念和技能，為了更高的數學學習和支持其他學科的學習，特別是科學。

(2) 發展思維、推理和後設認知技能，經由數學方法以解決問題。

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(4) 欣賞數學的抽象本質和威力。

(三) N(T) Level（普通技職）

(1) 獲得數學概念和技能，為了真實生活、支持其他學科的學習、和職業教育的準備。

(3) 建立使用數學的信心，以及體會數學在真實生活內做明智的決策的價值。

四、大學前：為大學教育準備 (一) H1(商業和社會枓學)

(1) 獲得數學概念和技能以支持商業和社會科學的大專課程。

(4) 體會數學在真實生活內做明智的決策的價值。

(二) H2(數學、科學和工程)

(1) 獲得數學概念和技能，做為數學、科學和工程大專課程的準備。

(2) 發展思維、推理、溝通、應用和後設認知技能，經由數學方法以解決問題以及使用數學語言。

(3) 在數學內連結觀念，以及經由數學的應用連結數學和其他學科。

(4) 欣賞數學的美，以及數學在生活內做明智的決策的價值。

(三) H3(對數學有資質和熱情)

(1) 獲得高等數學的概念和技能以深化化對數學的了解，以及拓展數學的應用範圍。

(2) 發展嚴謹的思維習慣，經由數學的推理和證明，創造數學的解題和使用數學模型。

(3) 在數學內進行更高層次的連結，以及經由數學的應用連結數學和其他學科。

(4) 欣賞數學的美、嚴謹和抽象，經由數學的證明和應用。

玖、大陸2011 – 雙基連結與價值

中華人民共和國教育部（2011，p. 2-9）於 2011 年制定大陸義務教育課程標準，其中說明課程理念與目標

一、課程基本理念

（一）數學課程應致力於實現義務教育階段的培養目標，要面向全體學生，適應學生個性發展的需要，使得人人都能獲得良好的數學教育，不同的人在數學上得到不同的發展。

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（二）課程內容要反映社會的需要、數學的特點，要符合學生的認知規律。它不僅包括數學的結果，也包括數學結果的形成過程和蘊涵的數學思想方法。

課程內容的選擇要貼近學生的實際，有利於學生體驗與理解、思考與探索。

課程內容的組織要重視過程，處理好過程與結果的關係；要重視直觀，處理好直觀與抽象的關係；要重視直接經驗，處理好直接經驗與間接經驗的關係。課程內容的呈現應注意層次性和多樣性。

（三）教學活動是師生積極參與、交往互動、共同發展的過程。有效的教學活動是學生學與教師教的統一，學生是學習的主體，教師是學習的組織者、引導者與合作者。

數學教學活動應激發學生興趣，調動學生積極性，引發學生的數學思考，

鼓勵學生的創造性思惟；要注重培養學生良好的數學學習習慣，使學生掌握恰當的數學學習方法。

學生學習應當是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程。除接受學習外，動手實踐、自主探索與合作交流同樣是學習數學的重要模式。學生應當有足夠的時間和空間經歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗証等活動過程。

教師教學應該以學生的認知發展水準和已有的經驗為基礎，面向全體學生，

注重啟發式和因材施教。教師要發揮主導作用，處理好講授與學生自主學習的關係，引導學生獨立思考、主動探索、合作交流，使學生理解和掌握基本的數學知識與技能、數學思想和方法，獲得基本的數學活動經驗。

（四）學習評價的主要目的是為了全面了解學生數學學習的過程和結果，激勵學生學習和改進教師教學。應建立目標多元、方法多樣的評價體系。評價既要關注學生學習的結果，也要重視學習的過程；既要關注學生數學學習的水準，也要重視學生在數學活動中所表現出來的情感與態度，幫助學生認識自我、建立信心。

（五）資訊技術的發展對數學教育的價值、目標、內容以及教學模式產生了很大的影響。數學課程的設計與實施應根據實際情況合理地運用現代資訊技術，

要注意資訊技術與課程內容的整合，注重實效。要充分考慮資訊技術對數學學習內容和模式的影響，開發並向學生提供豐富的學習資源，把現代資訊技術作為學生學習數學和解決問題的有力工具，有效地改進教與學的模式，使學生樂意並有可能投入到現實的、探索性的數學活動中去。

二、課程目標

義務教育階段數學課程目標分為總目標和學段目標，從知識技能、數學思考、

問題解決、情感態度等四個方面加以闡述。

數學課程目標包括結果目標和過程目標。結果目標使用“了解、理解、掌握、

運用”等術語表述，過程目標使用“經歷、體驗、探索”等術語表述。

總目標是希望透過義務教育階段的數學學習，學生能︰

（一）獲得適應社會生活和進一步發展所必需的數學的基礎知識、基本技能、基

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本思想、基本活動經驗。

（二）體會數學知識之間、數學與其他學科之間、數學與生活之間的聯繫，運用數學的思惟模式進行思考，增強發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力。

（三）了解數學的價值，提升學習數學的興趣，增強學好數學的信心，養成良好的學習習慣，具有初步的創新意識和實事求是的科學態度。

壹拾、香港

香港特別行政區政府教育局（2013）於 2003 年提出數學課程的架構圖，如下圖2-3。數學教育的課程架構是數學科的學與教活動的整體組織框架。課程架構由互相關連的部分所組成，包括：學科知識和技能，在各範疇內以學習目標及學習重點表示；9 項共通能力；及正面的價值觀和態度。

課程架構設定學生由小一至中六各不同的學習階段需要學習、重視及應具備的各種技能，並讓學校和教師能靈活調適數學課程，以配合學生的不同需要。九項共通能力則分別是協作能力、溝通能力、創造力、批判性思考能力、運用資訊科技能力、運算能力、解決問題能力、自我管理能力及研習能力。

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圖2-3 香港課程架構圖

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28

第三章研究設計與實施

第一節研究過程

為解答前述的研究問題，本計畫以一位主持人與三位共同主持人組成研究團隊，共同合作進行數學基本學習內容的研究，在研究執行中期，由於教育部的政策確定普通型高中和技術型高中數學課綱的研修，將採「同一團隊、分開敘寫」

的方式進行，因此研究團隊延請國立臺北市立大學的鄭英豪教授擔任諮詢委員參與研究會議的討論，借重其高職數學課程研修的經驗與學識，讓前導研究更能考量到技術型高中數學課程的需求。

研究團隊蒐集與分析國小、國中以及高中、職數學領域課程相關文件與國內外的數學課程文獻，進行焦點座談與意見諮詢，研究團隊成員於每個月進行討論，統整十二年國教數學基本學習內容的研究發現並進行研究報告寫作。我們於 7/5、8/6、9/3、9/24、10/8 的會議針對第一、二個研究問題提出初步的發現，然後於10/19 召開兩場焦點座談會議邀請數學相關領域學者、校長、教師、家長代表過來諮詢，上、下午場次分別有24 人與 23 人參與，諮詢會議的內容皆進行錄音與轉錄成逐字稿；諮詢會議之後，研究團隊於11/13 根據諮詢委員的意見對於研究問題一與研究問題二的發現進行修正與精緻化。

接著，研究團隊於11/13 的會議著手討論研究問題三，並於 12/3 與 12/10 的會議提出研究發現。最後，主持人整合文獻分析、焦點座談與研究會議討論的發現，帶領研究團隊完成數學前導研究的報告撰寫。

第二節研究方法

研究團隊應用內容分析法（Cohen, Manion & Morrison，2011）與焦點座談法。

首先對現行中小學數學課程與世界各國課程進行分析、比較與綜合，從而對三個研究問題提出解答論述。內容分析單元為九年一貫數學「能力指標」(國民教育社群網站，2012)、高中 99 數學課程綱要的「子題」與「內容」(高中數學學科中心網站，2012)、高職 99 數學課程綱要(職業學校群科課程推動工作圈，2009)。

世界各國課程資料的蒐集包括：美國、英國、德國、芬蘭、日本、韓國、新加坡、

中國大陸、荷蘭與香港的課程文件。此外，研究者也蒐集與分析相關的研究報告或文件，例如：單維彰(2013)與陳宜良、單維彰、洪萬生與袁媛(2005)的報告，

瞭解國內學術社群目前對於數學課程的研究進展。

在研究團隊完成課程資料蒐集與分析，對於研究問題提出初步的發現之後，

本研究邀請中小學數學教師、數學教育研究者與數學家做為諮詢委員進行焦點座談，瞭解第一線教師與專家學者對於現行數學課程內容安排的看法、哪些內容可以刪除以及哪些內容應該放入十二國教數學課程中。此外，研究團隊也向諮詢委員請益十二年國教數學課程的理念、目標與學習階段的安排，以檢核、修正與精緻化議題的陳述和立論，並找出重要的潛在議題。

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第三節研究架構

圖3-1 的研究架構，簡要呈現了研究過程與研究方法，以解答研究問題，從而對十二年國民基本教育數學課程的規畫提出相關論述。

圖3-1 本計畫的研究架構蒐集與分析國內

數學課程文獻

蒐集與分析世界各國數學課程文獻

蒐集與分析相關的數學教育文獻

綜合國內外數學課程研究發現，提出相關論述

進行焦點座談(教師、教育學者、學科專家)

整合內容分析與焦點座談研究發現

撰寫及發表研究報告

國家教育研究院