數學領域的理念與目標

在十二年國教理念下，參考國際發展趨勢與現行數學領域之問題，考量不同 教育階段特性，提出數學領域的架構、基本理念與課程目標。

壹、數學領域的架構

受到TIMSS、PISA 等國際評比的影響，培養數學素養成為很多國家數學課 程的目標，例如丹麥、荷蘭、德國、法國…等 OECD 國家，他們的數學課程大 都轉成以培養學生數學素養為目標。呼應國際趨勢，我國12 年國民基本教育的 課程設計，提出以素養為導向。同時教育部提升國民素養專案辦公室（2013b）

提出以五個「國民素養」向度作為檢核12 年國民基本教育的實行成果。其中數 學素養即為檢核數學課程的指標之一。

一個好的課程架構，應該容易讓教科書編著者、教學者、評量者，都能了解 課程設計的方向，使課程整體與實際執行之間能夠順利銜接。本計畫檢視德國、

新加坡…等國的課程設計，以及我國歷年的課程發展與古聖先賢的智慧。發現我 國和各國在進行課程設計時，都強調內容（contents）與能力（skills、competence、

literacy、practice）兩大面向。再仔細檢視，發現除了「知道」與「能做」之外，

都還內含有或者區分出認識（understanding）、辨識（sensibility）與見識的較高 層次認知，甚至包括賞識（appreciation）等相信數學有益、認為數學美好、堅忍、

勤奮等情意面向。因此，12 年國教之數學課程架構，除了包含內容與能力兩大 向度之外，也應蘊含認知與態度。因為中國儒、道、釋的哲學發展，也都蘊涵內 容、能力以及認知與情意等面向，同時也廣為教科書編著者、教學者、評量者、

甚至社會大眾所熟知。因此，我們用引用古聖先賢的智慧，簡單扼要的以中文的

「知」、「行」、「識」來詮釋12 年國教數學課程的內涵。

「知」就是「學什麼」或者「是什麼」，指的是數學內容；它包括數學素養 所強調的改變與關係(change and relationships)、空間與形狀(space and shape)、數 量(quantity)、不確定性和資料(uncertainty and data)；其中數量和九年一貫的數與 量主題一致，空間與形狀和九年一貫的幾何主題一致，不確定性與資料和九年一 貫的統計與機率主題一致，改變與關係和九年一貫的代數主題以及高中的函數等 內容一致。我們之所以建議使用改變與關係、空間與形狀、數量、不確定性和資 料做為知的主題，主要是因為數學素養強調數學內容的應用與實用。「行」就是

「怎麼做」或者「怎麼用」，指的是學生所能展現出來的數學能力，包括程序執 行、解題、溝通、論證等等現今數學教育主要的能力面向。「識」就是「為什麼」、

「你認為」、「是什麼」，指的是對數學的內在認知與情意涵養，包括概念理解、

推理、連結、後設認知、以及欣賞數學的美。

總而言之，本研究小組提出以數學素養為核心理念，以知、行、識做作為各 階段課程的設計向度與查核指標，如下圖所示，透過數學的「知」、「識」、「行」

滾動、衍化成國民基本數學素養。這些數學素養除了讓學生具備面臨與自己相關 的生活、社會、職業和科學所需的數學知能之外，也為學生以備妥高等教育與職 場生涯之所需的知能。

圖4-1 12 年國教數學課程架構圖 貳、數學領域的基本理念

基於上述數學架構，我們抽取出數學特有的基本理念，它包括數學是一種語 言，以及數學是一種規律的科學(science of pattern)。

一、數學是一種語言

簡單的數學語言，融合在人類生活世界的諸多面向，宛如另一種母語。自然 生活語言與數學語言必須互補，才能精確地傳達批判與理性的意思。精鍊的數學 語句，是人類理性對話最精確的語言。從科學的發展史來看，數學更是理性與自 然界對話時最自然的語言。

例如生活中使用的語言「60 分以上」、「60 分以下」，有時候包括 60 分，有 時候又不包括60 分，不是很精準。數學上則使用「大於」、「大於或等於」的精 確語言，方便溝通。再如人類為了計數所圈養的動物而發展出自然數概念以及相 關的四則運算；為了探究自然界的奧妙而發展出數、量、形的數學內涵，進而可 以與自然界對話。

二、數學是一種規律的科學

綜觀數學發展的歷史，整體來說，數學最主要內涵就是在現實世界與抽象意 念中尋找與建立規律，並運用這些規律來解決問題。例如算術主要研討數與其運

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算的規律，幾何主要研討形與體的規律，微積分則從有限世界的規律拓展無窮世 界的規律，進而處理物理連續運動規律，統計則是利用部分資料建立母體的規律，

以進行對未知世界的預測與推論。

此外，我們所在的現實世界有許多看似紛亂但其中有特定規律的現象，例如 向日葵和松果看起來是完全不同的兩種植物，但是觀察他們的外型時可以發現向 日葵的種子和松果的鱗片都呈現螺線狀的排列，如果數一下每一條螺線上的種子 數或鱗片數通常都是3、5、8、13、21、34、55 之一。這樣的螺線還可以在波斯 菊、鳳梨上看見，而百合花、萬壽菊、玫瑰等美麗的花卉的花瓣數也有這個特性。

在這些看似紛亂不一的植物上，他們的花瓣、種子與鱗片的數量都符合某個特定 的規律，也就是費氏數列。我們所在的現實世界中還有許多看似變動但其中有特 定關係的現象，例如白天與黑夜的時間會因季節而有不同，但每天白天與夜晚的 時間總和是一樣的，這種定量關係就是這兩個變量之間的規律。

因此，數學是規律的科學，指在探究現實世界的內在理路與規律，進而運用 已了解的規律來解決現實世界的問題。

參、數學領域的課程目標

健康的生活是UNESCO 一直強調的主張。UNESCO 希望它的會員國的社會 能夠健康發展，而不是競爭。本計畫同時考察芬蘭、新加坡、美國等國，發現皆 以問題解決或職涯準備等務實的查核標準，作為教育的目標（所謂「問題」是指 在日常生活、社會生活、職場或學科中發生的問題）。12 年國教應認同這種正能 量，數學課程也應從這個面向去思考。數學課程的目標，可以從學科知識的本質 去看，設想我國18 歲學生往後的十年內所需要的素養與知能，讓他/她能在學習、

工作、生活領域上產出成果與價值，使台灣的公民能在社會健康發展，創造有品 質的生活。因此12 年國教數學課程的願景是要達成為所有的人（for all），為了 生活的品質（for healthy life），以為大學和職業做準備（university and career readiness）。

為了達成數學課程的願景，本計畫提出在知、識、行之中滾動，以涵養出轉 換性(transitional)與結果性的課程目標，這兩項目標建議做為十二年國教數學課 程的上位目標，來思考與擬定十二年國教數學課程目標。

轉換性目標的意思是經由學習數學內容（知），培養學童概念理解、推理、

連結、後設認知（識），使學生能進行演算、解題、推論及溝通（行）。經由進行 流暢的演算，探究、臆測、歸納、論證，以解決例行性與非例行性問題，以及理 性溝通（行），使學生更加深刻體會數學概念、如何推理、如何連結等後設認知

（識），體認數的美學、數學的感覺、喜歡數學（識），進而創造屬於學生的新數 學知識（知）。經由概念理解、理解推理歷程、連結相關知能等後設認知，以及 對數學的感覺（識）的蘊育，更清楚進行演算、解題、推論、溝通的道理，更能 解決生活的問題、非例性的問題（行），進而創造新的數學內容（知）。

結果性目標就是達成我們設想的願景，設想18 歲國民在往後的十年內進入

大學或職場所需用到的數學素養，例如，能從眾多看似紛雜的現象中辨識出模式 以及能使用精確的語言進行描述、証明與溝通。培養出數學素養與知能，讓下一 代能在學習、工作、生活領域上產出成果與價值。

至於五個階段或者三個進程的課程目標，因為需要比較嚴謹的文獻探討、問 卷調查、理論與實務專家訪談等資料收集，以進行客觀、合理的設定。

肆、符應核心素養與國民數學素養

因為數學課程強調知、識、行，可以符應12 年國教的核心素養。

數學的本質就是一種規律的科學，是一種符號科學，有其規律性的美感，因 此在數學內容的「知」方面，可以培養藝術涵養跟數學美感素養。

從數學哲學觀，數學最重要的是要建立規律、模式以解決問題，需要系統思 考，符號運用與他人溝通表達，進而與人合作，規劃執行與創新。因此，在「行」

方面，可以培養「系統思考與解決問題」、「規劃執行與創新應變」、「符號運用與 溝通表達」、「人際關係與團隊合作」。

至於「身心素質與自我精進」、「藝術涵養與生活美感」、「多元文化與國際理 解」主要落實於數學需要自我精進，體現數學美學與多元文化了解的見識、常識、

辨識的「識」。「科技資訊與媒體素養」則是數學學習的載體。

至於「道德實踐與公民意識」項目，教師在進行數學教學時，也應注意學生 的道德實踐與公民意識，使數學教學不與社會脫節。