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第二章 文獻回顧
2.1 股價報酬決定因素
股價報酬模型最早從 Sharpe (1964) [39]所提出的資本資產訂價模型 (capital asset pricing model, CAPM) 開始，探討股票報酬與市場報酬間的關係。CAPM 所考慮的是不可分散的風險 (系統風險) 對股票要求報酬之影響，其已假定投 資人可作完全多角化的投資來分散可分散的風險 (非系統性風險)，故此時只有 無法分散的風險，才是投資人所關心的風險，因此也只有這些風險，可以獲得 風險貼水。此後 Fama & French (1993) [13]提出三因子模型可以解釋股票中不能 被市場報酬所解釋的部分。Ball & Brown (1968) [8]、Basu (1977 / 1983)
[38][7]、Rosenberg & Reid & Lanstein (1985) [6]、 Jaffe & Keim & Westerfield (1989) [26]、Ou & Penman (1989) [27]、Stober (1992) [37]、Piotroski (2000) [24]
與 Mohanram (2005) [29]等都找出財務報表資訊對股票報酬具有解釋力。
2.2 GARCH 文獻探討
學術界接受股票的報酬是不可預測及存在偏態及高狹峰現象。而實證研究 發現股票報酬的平方 (波動率) 存在波動叢聚 (Volatility clustering) 及槓桿效應 (leverage effect)，槓桿效應是指波動率受正向衝擊的反應和受負向衝擊的反應程 度不同，一般對負向衝擊的反應程度較大，因為負向衝擊使 leverage ratio 增 加，破產風險就會上升。為了刻劃波動叢聚現象，Engle (1982) 首先提出 ARCH 模型，Bollerslev (1986) 克服 ARCH 模型的缺陷，發展出 GARCH 模 型。此后，通過對 GARCH 模型變形，衍生出許多新的模型，包括 GJR [16]、
TARCH、FGARCH [20]、EGARCH [11]等，文獻將上述模型統稱為 GARCH 族 模型。以下只針對本論文所使用的 GARCH 族模型進行介紹。
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Engle (1982) 提出 ARCH 模型
ARCH(1) 模型包括兩個方程，一個是均值方程 (2.8) 式，一個是變異數方程 (2.9) 式。
r
t
= μ + √ht
zt
= μ + et
Z~D(0,1)，其中，D(0,1)可以是任何標準化分配 (2.8) h
t
= w + α(rt−1
− μ)2
(2.9) 其中，為了保證條件變異數為正，(2.9) 式要求 w > 0 及 α ≥ 0。Bollerslev (1986) 提出 GARCH 模型
Bollerslev (1986) 對 ARCH(1) 模型加以推廣，發展出 GARCH(1,1) 模型。均值 方程為 (2.10) 式，變異數方程為 (2.11) 式。
r
t
= μ + √ht
zt
Z~D(0,1) (2.10) ht
= w + α(rt−1
− μ)2
+ βht−1
(2.11) 其中，為了保證條件變異數為正，(2.11) 式要求 w > 0，α ≥ 0 及β ≥ 0。從結構上看，ARCH(q) 是一個短暫記憶過程，條件變異數只跟 e
t−1
到et−q
項 相關。GARCH(p,q) 模型則是一個長期記憶過程，條件變異數跟et−i , i=1,…,∞
相 關，所以 GARCH(p,q) 模型等價於 ARCH(∞) 模型。使用 GARCH(p,q) 模型取 代 ARCH(∞) 模型，模型的待估參數可以大幅減少，從而有效解決 ARCH 模型 在實際應用上遇到待估參數過多的問題。但是，GARCH(p,q) 模型對參數的非 負性約束大強，過度限制了條件變異數的變動。另外，GARCH(p,q) 模型中條 件變異數 ht
是 et−i , i=1,…,∞
的對稱函數，顯然不能很好解釋槓桿效應。GARCH-IN-MEAN (GARCH-M) 模型是指在均值方程 (2.10) 中加進條件標準 差√h
t
，因為財務理論偏好風險與報酬存在正相關，加進條件標準差的均值方 程如 (2.12) 式。r
t
= μ + γ√ht
+ √ht
zt
Z~D(0,1) (2.12)‧ 國
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Glosten & Jagannathan & Runkle (1993) 提出的 GJR(1,1) 模型
GJR(1,1) 模型的均值方程為 (2.13) 式，變異數方程為 (2.14) 式。
r
t
= μ + √ht
zt
Z~D(0,1) (2.13) ht
= w + (α + α−
St−1
)(rt−1
− μ)2
+ βht−1
, St−1
= {1 if et−1
< 00 if e
t−1
≥ 0 (2.14) GJR 模型屬於不對稱的 GARCH 族模型，因為條件變異數 ht
是 et−1
的不對 稱函數，所以可以解釋槓桿效應。Nelson (1991) 提出的 EGARCH(1,1) 模型
Nelson (1991) 提出了 EGARCH 模型，他指出 GARCH 模型對參數的非負性約 束太強，過度地限制了條件變異數的波動性，EGARCH(1,1) 模型中參數不受非 負性約束。此外，模型可以刻劃正負干擾反應不對稱的槓桿效應。
EGARCH(1,1) 模型的均值方程為 (2.15) 式，變異數方程為 (2.16) 式。
r
t
= μ + √ht
zt
Z~D(0,1) (2.15) loght
= k + γloght−1
+ α [|e
t−1|
√h
t−1− E {|e
t−1|
√h
t−1}] + δe
t−1√h
t−1 (2.16) EGARCH(1,1) 模型中，k, γ, α 及 δ 不受非負性約束，因而不會限制條件變 異數的波動性。當 δ < 0 時槓桿效應顯著，即股票市場受負向沖擊要比正向沖 擊引起更大的波動。2.3 Copula 文獻探討
大量文獻包括 Longin & Solnik (2001) [14]與 Ang & Chen (2002) [5]發現股票 市場具有不對稱的情形，他們研究了國際間股票市場極端報酬的相關性，發現 左尾極端值具有相依性、而右尾則沒有此情況，亦即存在高度之共跌機率，此 情況將造成許多極度的尾端風險 [34]。實證研究也指出，金融資產的相關性在 空頭市場時會提高，此現象造成了投資組合分散風險的效果降低，因此 2007 至
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2010 間，由於資產之間的負向相關結構造成了許多巨大的損失，也產生了大型 的金融危機 [34][40]。Corsetti et al. (2005) [9]與 Rodriguez (2007) [23]利用 Copula 方法來探討國際股市之間的蔓延效果 (contagion)，發現在重大金融危機 發生後，國際間股票市場的相關性的確會提高，有從危機發生地蔓延到鄰近國 家的現象。
過去，Copula 函數常用於描述多變數間的聯合相關性（dependence
structure），因此對於多資產組成之投資組合，應為合適之相關結構描述函數。
大多數的文獻均以二元 Copula 函數為架構，描述兩種資產間的相關性。Patton (2004) [32]發現資產間之相關性及資產報酬存在不對稱性，他利用偏斜 t 分配來 捕捉資產報酬之偏斜與厚尾的特性。此後有文獻把二元 Copula 函數 [42]拓展至 四元 Copula 函數之應用 [28]，並且輔以狀態轉換（Regime-switching Copula）
之機率過程 [30][4][2]，建構出四個資產之相關結構模型。對於一般假設股票報 酬服從 GARCH(1,1)-t 模型，學者 Heni Boubaker a & Nadia Sghaier (2012) [17]則 提出更能捕捉記憶的 ARFIMA-FIGARCH 模型。
早期將 Copula 應用在財務時間序列相關結構的研究，大多只考慮靜態相關 性，並未考慮相關性會隨時間而改變 (time-varying)。目前許多文獻顯示考慮狀 態轉換之 Copula 模型可以捕捉到更多股票報酬間相關的情形，因此能夠減少在 股市共跌時造成的重大損失。Hamilton (1989) [21]發表了 Regime-switching Copula 模型，他認為金融資產報酬率會受到無法觀察的潛在因素影響，他研究 在不同狀態下的 Copula 參數；Jondeau & Rockinger (2006) [12]提出結合偏斜 GARCH-t 分配模型與 Regime-switching Copula 模型來捕捉數個歐洲國家股市報 酬的動態相關性； Patton (2006) [3]利用 Copula 函數之不對稱性考慮不同貨幣 之間的共變性結構；Pelletier (2006) [10]利用 Regime-switching Copula 分解相關
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係數矩陣； Okimoto (2008) [31]利用 Regime-switching Copula 進行國際指數之 間兩兩相關性的研究。Chollete et al (2009) [28]利用 Regime-switching Copula 研 究 G5 以及拉丁美洲的資產報酬；Garcia & Tsafack (2011) [15]利用 Regime-switching Copula 估計股市與債券之間的相關結構，結果發現同類型資產的相關 性較高、不同類型資產的相關性較低；Manner & Reznikova (2012) [18]對時變 Copula 函數進行研究等等。
2.4 本章小結
近年，Copula 模型被廣泛使用在兩個或兩個以上資產之相關性的研究上。
本論文使用 Joe & Xu (1996) [25]所提出的兩階段估計法 (Inference functions for margins, IFM)，首先使用 GARCH 模型估計資產報酬的分配，再對 Copula 函數 進行估計，藉由此 Copula 函數描述資產間的相依結構。