第五章、 無閥型微幫浦簡易理論
5.1 壓電式幫浦的薄膜振動模擬
Fan【8】將流體與結構力學整合 fluid-membrane Coupling 並提出了解析解，
其研究中指出壓電型微幫浦的壓電薄膜振動的數學模式是一個複雜的偏微分方 程式，其包含了腔體壓力、壓電材料造成的週期性作用力和腔體(Diaphragm)本身 的振動(圖 5.1)，如下所示：
e P f t h W W
D = −
∂ + ∂
∇ 2
4 ρ 2 (5.1)
其中 12(1 2)
3
v D Eh
= − 為腔體(Diaphragm)的材料係數。
E Diaphragm 基材的楊式係數(Elastic modulus) V Diaphragm 壓電片基材浦松比(Poisson ratio) H Diaphragm 壓電片基材的厚度(Thickness of membrane) ρ Diaphragm 壓電片基材的密度(Density of membrane)
而等號右手邊的 f 為一週期性的作用力，其計算需透過壓電材料的壓電係e 數和電場以求之。而右手邊第二項的 P 為壓力，壓力的計算必須在每個時間點 (Time Step)下，透過求解流場得到。但求解(5.1)式太過複雜，因此一般在模擬中，
對於壓電薄膜的位移近似提出了不同的方式：
¾ fluid-membrane Coupling
Fan【12】等人以 CFD-ACE 模擬方形壓電型微幫浦，將(5.1)式簡化為一維的 問題，將電場、壓電片的振動和流體力學做整合，所使用數學模式包含了壓電薄 膜振動方程式、Navier-Stokes 方程式和連續方程式，並依此求解計算出了在不同 頻率下的薄膜振動曲線。僅管如此，在求解圓形壓電薄膜的位移仍是一個難題。
¾ FSI Module(Fluid-Thermo-Structure Module)
FSI 模組是一個應用來處理液固界面的問題，1997 年 Athavale【9】以及 2007 年 Jeong【15】均曾使用 CFD-ACE 的 FSI 模組模擬 Stemme 型的微幫浦。FSI 的原 理是求解完流場之後，接著求解固體振動方程式並算出位移量，接著重建網格，
直到流場求解出的的速度和固體振動方程式求解出的速度在液固的交界面上相
Timoshenko【25】在 1959 年曾提出圓形平板的振動可近似於一個四次曲線，
其數學式可表示如下：
( )
fluid-membrane Coupling Fan【12】，
Fluid &
Structure FSI Athavale【9】，Jeong【15】
Fluid Timoshenko Nguyen【10】，Jeong【15】
Parabolic Curve 羅卓錚【11】，Luo【21】
Trapezoid 羅卓錚【11】
表 5.1 前人對於壓電薄膜振動不同的近似方式
1993 年，Stemme et. al.【3】針對此無閥型微幫浦推導出計算效率的關系。首 先，其假設在相同背壓的情況下，由於壓電薄膜的週期性振動，因此腔體內的體 不為一個常數，因此如何僅透過 Nozzle/Diffuser 的幾何分析計可得到一個常數ηnd 是為一個課題。而在文獻【13】，曾等人亦針對於微幫浦的效率計算提出了一個
壓電薄膜的振動曲線近似下，幫浦的真實效率。
其中Qnet為在模擬所得到的一個週期內的淨流量。
最後可得效率為，即圖 5.4 中的積分範圍：
幫浦左端(Q1)和右端(Q2)的流量前半個週期(排水模式)，可近似為一個 SIN 的函數，而在吸水模式則為剛好相反的 SIN 函數，因此假設：
經推導後，可知效率僅跟我們假設曲線的振幅有關，其為 所導出的式子中，發現影響無閥式微幫浦效能的關鍵在於 Nozzle/Diffuser 元件的 壓力損失比，即 Diffuser Efficiency : ηnp。
然而上幾節所提的效率計算ηreal,η1,η2,η3等的計算，都是可以在不同背壓下 都可使用的公式，且估算公式與前人所推導的式子極為類似，唯一的不同點在於 我們所使用的並非是 Diffuser Efficiency，而是流量比β。而目前我們已知的是在 相同背壓下：
( )
ηnd 12β = (5.24)
然而在不同背壓的情況下，流量比β與ηnp呈現怎樣的關係是我們想要了解的。
Stemme【3】(1993) 曾【13】等人(2003) 相 同 背 5.3 Nozzle/Diffuser 元件的探討
5.3.1 穩態方形截面 Nozzle/Diffuser 探討
在本文研究所使用的 Nozzle/Diffuser 元件為方形截面，因此對於方形截面的 Nozzle/Diffuser 元件的分析，我們參考採用下列的方式來分析【18】。
首先，以 Ollson 所使用 Diffuser-Element 的理論，可將 Nozzle/Diffuser 元件分 為三個區間，如圖 5.5 所示：
而在 Diffuser 與 Nozzle 元件之間的壓力損失可表示為：
Diffuser： ΔPdiff =ΔPd,1+ΔPd,2 +ΔPd,3 (5.25-A)
Nozzle ： ΔPnozzle =ΔPn,1+ΔPn,2 +ΔPn,3 (5.25-B) 又壓力降(pressure loss)可表示為： 2
2 (Entrance)
Region 2 (Nozzle/Diffuser)
Region 3
如圖 5.10 所示，由伯努力定理可知，當在 Diffuser 流向時：
故只需知道所採用 Nozzle/Diffuser 的幾何，並透過查表便可得到其 Cp 值。
但可惜的是，一般管道摩擦係數的表僅提供一個常數值 Cp，然而在不同流量下 的 Cp 值是會隨之改變的。故在本文中，我們也實地去做一個 Nozzle/Diffuser 的 模擬，透過模擬所得 Cp 值進而求得壓力損失係數K ,n Kd。本文將在稍後的章節
直徑。 Nozzle/Diffuser 元件。本文研究中的 Nozzle/Diffuser 幾何張角 7 度，喉部寬度為 100μm，長度為 1000μm，深度為 200μm 。透過(5.27)式的計算，便可得到K ,n Kd 值。圖5.8 所表示的是K ,n Kd與雷諾數 Re 的關係。其中雷諾數的參考速度以喉 部的速度，而參考長度為喉部的水力直徑。
有了上式的資訊，便可計算得到所欲知道的 Nozzle/Diffuser Efficiency，其表 示為：
Nozzle/Diffuser Efficiency 與雷諾數的關係表示在圖 5.9 中。
5.4 無閥型微幫浦的簡易理論(Lump Model )
為振動腔體內頻率，∀max為振動腔掃過的最大體積。
兩端出口流量則和 Nozzle/Diffuser 的壓力差有關，即 p
Diffuser Direction ：
dρ
如圖 5.11A 所示，左端出口為 Nozzle Direction，右端出口為 Diffuser Direction，
因此連續方程式可表示為：
(5.38-A，5.38-B)
吸水模式(Po>Pi>Pc)：
如圖 5.11B 所示，左端出口為 Diffuser Direction，右端出口為 Nozzle Direction，
因此連續方程式可表示為：
( ) ( )
(5.40-A，5.40-B)
過渡區(Po>Pc>Pi) ：
如圖 5.11C，左端出口為 Nozzle Direction，右端出口為 Nozzle Direction，因此 連續方程式可表示為：
第六章、結果分析與討論
本章的內容主要是結果與討論。6.1 節會先對本文所使用的壓力邊界條件做 驗證。6.2 節則為本文研究之微幫浦的模擬結果，包含流量與效率的分析。而關 於微幫浦的理論分析則在最後 6.3 節中描述
6.1 壓力邊界的驗證
在本文研究中，出口兩端需用到定壓邊界條件。為了驗證在 4.3 節內所提到 的壓力邊界條件，因此我們先以簡單的 2 維分岐管做測試【23】。其測試為分為 兩個，第一個測試先以 T 形管來測試不同雷諾數下流場的變化，第二測試則是 Y 型管來觀察在不同出口壓差下的流量差異。詳細內容會接下來文中描述。
6.1.1 T 型管的測試
首先的測試是比較 2000 年 Kelkar【23】所做 T 型管的數值分析結果，其幾 何與邊界如圖 6.1A 所示，進口位於下端，而出口則分別在上端與右端。進口的 邊界條件是給定速度為全展流(Fully Develop)；而兩個出口則給定相同的壓力為邊 界條件。在此測試中分別給定不同的雷諾數(10~400)來觀察出口流量比例 Fi 的變 化，而 Fi 的定義為：
min
Fi m
&
&1
=
= 進口流量
上端出口的流量
而雷諾數的定義為Re= ρVcw μ。ρ為流體密度，μ為流體黏滯係數，w為入口 寬度，而V 則為進口中心點的速度，即全展流的最大速度。 c
本測試的網格在主流道的部份為 20*120 格，而側流道的部份為 20*60，總網 格數為 3600 格，如圖 6.1B 所示。模擬的結果如圖 6.2 所示，結果顯示當雷諾數 增大時，Fi 亦會隨之增加，本文所使用的壓力邊界的結果和文獻【23】的結果極 為穩合。
而在不同雷諾數下，其流場結構亦不相同，觀察圖 6.3 可發現當雷諾數較小 時，並未產生任何回流；而當雷諾數較大時，則在測流道的部份有較大的回流。
此結果亦與文獻【23】極為類似。
6.1.2 Y 型管的測試
再者，我們做了第二個測試，其幾何形狀為 Y 形管，如圖 6.4 所示，進口位 於圖中左端，而兩個出口則在右端，分岐管的角度為 45 度。進口邊界仍以全展 流為邊界條件，出口邊界則是壓力邊界。在此測試中，主要是觀察在不同出口壓 力差下流場的變化。因此保持雷諾數為定值(Re=500)，而給定兩端出口不同的壓 力，並觀察在不同壓力差下 Fi 的變化，而在此測式中定義：
min
Fi m
&
&2
=
= 進口流量
右側上端出口流量
而壓力差的定義則為：dp=
(
P1 −P2) (
0.5ρU2)
，其中P1為右上端出口壓力，而P2 為右下端出口壓力， U 為進口端的平均速度。而在本文的雷諾數則定義為μ ρUw
=
Re ，其參考速度U 為進口端的平均速度。
本測試的 Y 型管網格如圖 6.5 所示，上下半部對稱，網格數均為 20*138 格，
總網格數 5520 格。本文測試分別在不同壓力差下 dp = 0、0.5、1.0 和 2.0 中，流 量比 Fi 的差異。而結果如圖 6.6 所示，由圖中可知道當壓力差越大，流量的差異 越大，結果與文獻【23】還算符合。
而流場結構可從圖 6.7 中得知，在背壓相同壓力差下，並未產生回流；但當 壓差dp=2.0時，則在下半部有明顯的回流產生，與物理現象穩合。
透過上述兩個測試的驗證，可知本文所採用的壓力邊界具有一定的準確性。
6.2 不同背壓下的 3D 模擬結果
本文研究的模擬幾何主要是以 1997 年 Ollson【6】所實驗的微幫浦，其尺寸 完全按照當年實體，其實驗的幾何形狀如圖 6.8 所示，左右端為兩個出口，兩端 出口管徑為直徑 1.5mm，中間則為圓形的振動腔體，其直徑為 6mm，深度 0.2mm，
在振動腔體上放置一圓形壓電薄膜，其直徑為 4mm。兩端出口與振動腔體透過 Nozzle/Diffuser 元件來連結，其長度為 1mm，角度為 7 度，喉部寬度為 0.1mm。
網格建立如圖 6.8-6.10 所示。
在本文模擬中，為了減少計算的時間，因此模擬幾何為真實的一半，而令一 半則以對稱邊界條件，其幾何形狀如圖 6.8 所示。而對於中央壓電薄膜的振動則 採用進口速度來取代移動邊界，兩端出口則設為定壓邊界條件。
6.2.1 網格測試
本文研究中網格數目分別測試 65288、117232、210258 三種數量的網格。而 壓電薄膜考慮其為週期性運動，在網格數量為 65288、117232 模擬上將一個週期 分為 400 Time Step，而在網格數量較多的 210258，則將週期分為 800 Time Step，
因此在模擬中的真實時間△t 為：
t f 400
= 1
Δ ， Mesh = 65288、117232
t f 800
= 1
Δ ， Mesh = 210258
其中 f 為壓電片的頻率，本文模擬中所採用壓電頻率為 2200Hz。
在本文研究中，會針對不同的出口背壓(PPUMP)分析其流量的變化，背壓的 定義為兩端出口的壓力差：
i o
PUMP P P
P = −
其中P 為左端出口壓力，i P 為右端出口壓力。本文研究中考慮兩端不同出o 口背壓為PPUMP=1180、2360、2950、3540、4720、5310 Pa。而每個案例上均計算 5 個週期。
6.2.2 考慮不同薄膜振動假設的流量結果
本文對於壓電薄膜的週期性運動，是以三角函數來假設，因此兩端出口的流 量變化亦會類似三角函數的曲線，如圖 6.11-6.13 所示。而一個週期內出口淨流量
即為一個週期內 Q2 的積分：
z 二次曲線(Parabolic Curve)：
)
為了觀察 Nozzle/Diffuser 在不同情況下的流場結構，因此我們如圖 6.18 所 示，取 Z=0.0001mm 此截面來觀查流場的變化。
首先我們比較在不同模式下的流場變化。圖 6.21 即為我們所取截面在排水 模式下的流場，從圖中可知在排水模式下，流體往外流出 Nozzle/Diffuser，因此
首先我們比較在不同模式下的流場變化。圖 6.21 即為我們所取截面在排水 模式下的流場，從圖中可知在排水模式下，流體往外流出 Nozzle/Diffuser，因此