文獻回顧

1.2.1 穩態擴散器

1915 年 Jeffery [12] 首度針對兩非平行板間，具黏性及不可壓縮性之二維徑向流 動問題進行研究。 1917 年 Hamel [13] 亦研究了相同問題，故此問題一般泛稱 Jeffery-Hamel flow，其應用性甚廣。Jeffery [12] 發現橢圓函數是可能的通解型式，但 可解情況仍局限於退化條件下之橢圓函數。

1940 年 Rosenhead [14] 針對 Jeffery-Hamel flow，利用 Weierstrassian function 進 行數學簡化，再轉換成 Jacobian elliptic function 進行數值運算。其主要結果如下：針 對每一對的半角α 與 Reynolds number，在數學上將存在無限種可能之速度分布，且

相對於流道中心線，速度分布可是對稱亦可是非對稱。Rosenhead [14] 並指出半角若 介於π ≥ θ ≥ 1/2π，純外流 (外流指漸擴方向) 流動是不可能的，且對於外流而言，想 要無止盡增加流率也是不可能的；反之，內流則沒有此限制。對於速度分布來說，當 Reynolds number 增加，純內流 (內流指漸縮方向) 的邊界層會更靠近壁面，流場速度 分布將保持均勻，只有在靠近壁面處，速度梯度才有大幅變化；純外流的流動則會更 加向中心集中，並且最後在靠近板處發生回流。Rosenhead [14] 亦提到，在實際情況 下，邊界條件並不只有板上之無滑移條件，還需考慮入出口壓力條件。此外，Rosenhead [14] 還推測當入出口壓力非僵硬或者可自行微調動時，將使速度分布之波峰與波谷 數達最小。

由於橢圓函數在計算上具有一定困難，Joneidi 等 [15] 提出三種近似解析技術求 解 Jeffery-Hamel flow，分別為 Homotopy Analysis Method (HAM)、Homotopy

Perturbation Method (HPM) 和 Differential Transformation Method (DTM)，並與數值運 算所得結果進行比較。結果發現三種方法皆可成功得到解析解，其中又以 HAM 的精 確度最高，但是三種方法皆在求解過程進行軸對稱假設，故無法得出在物理上有興趣 的非軸對稱解 (因流場本身具非穩定特性，導致速度分布呈非對稱型態)。

另一方面 Corless 和 Assefa [16] 則利用 Computer Algebra System (CAS) 求解 Jeffery-Hamel flow 中的 elliptic function，且在求解過程尋求 CAS 可改進之部分，並 將 CAS 解析解與現代數值解進行比較，最後發現求解 elliptic function 之動作有助改 善 CAS 工具的自動分析功能，Corless 和 Assefa [16] 亦提出一些不廣為人知的 elliptic function 簡易積分法。重要的是，Corless 和 Assefa [16] 為了進行 CAS，假設 了軸對稱條件，如此物理上有興趣的非軸對稱現象將消失，但是卻可大大簡化橢圓函 數之解析流程。

在實驗與數值模擬方面，Singhal 等 [17] 及 Sun 和 Yang [18] 分別以數值模擬及 流場可視化對穩態擴散器內之流場特性進行分析。 Singhal 等 [17] 以數值模擬方 式，探討穩態條件下擴散器半角 α 對擴散器方向與噴嘴方向壓力損失係數之影響。在

Reynolds number 200、500 及 1000，半角 α 為 2.5°至 70°，發現壓力損失係數隨 Reynolds number 變化而改變，且在小半角時尤其明顯，擴散器方向壓力損失係數在半角 α 由 2.5°增至 15°時，隨半角增加而下降，半角大於 15°時則隨半角增加而上升。

Sun 和 Yang [18] 以實驗方式觀察微擴散器中的流動整流性隨半角 α 及 Reynolds number 之變化關係，並且利用流場可視化 (flow visualization) 技術觀察擴散器內之 回流特性。透過流量量測發現，無論半角α (測試半角 α 由 5°至 55°)，擴散器方向之 流量皆大於噴嘴方向。由流場可視化技術發現回流的影響區域隨半角α 及驅動壓力的 提升而成長，且壓抑了中心流域之流動，使流場整流性惡化。

1.2.2 暫態擴散器

到目前為止，針對穩態條件下之擴散器流動研究已是十分充足，不管是解析解或 是實驗及模擬，相反的暫態條件下則不然，雖然許多簡單幾何形狀的暫態流場已得到 解析。

Shigeo [19] 在層流的假設條件下，利用三角函數的無窮疊加，得到圓管脈動流 之解析解，其壓力梯度與速度分布之相位差從穩態的 0°，到無窮大頻率時的 90°。此 外，若在一周期內，對所有作用在流體元素上之作功進行積分，將發現動能變化消失，

只剩黏滯磨擦所造成之部分，且大小將超過穩態條件下之值。亦即在相同質量流率 下，維持脈動流之作功將大於穩態流。

Loudon 和 Tordesillas [20] 提到暫態流中，經常使用無因次參數 Womersley number 描述流場特性，而此無因次參數與流體種類、流場幾何、震盪角頻率息息相關。Loudon 和 Tordesillas [20] 指出當 Womersley number 小於 1 時，速度分布與壓力梯度間不會 產生相位差，且速度分布呈現拋物型，最大速度發生在流道中心；當 Womersley number 大於 1 時，速度分布與壓力梯度間將產生一相位差，且速度分布將不再保持拋物型，

中心速度分布塌陷，靠近壁面兩側之速度分布高起。此外對於深感興趣的體積流率來

說，當 Womersley number 大於 1，體積流率振幅將會大幅衰減，而 Womersley number 等於 1 時，流率振幅約為穩態流率的 92%，Womersley number 等於 2 時，流率振幅 約為穩態流率的一半，Womersley number 大於 3 時，流率振幅甚至連穩態流率的一半 都不到。

在暫態擴散器流動方面，Olsson 等 [7] 利用擴散器及噴嘴之整流原理，成功建 立出一平面無閥泵，泵中包含兩個平行排列腔體，每個腔體由一整流擴散器及一噴嘴 所組成，其中一個在入口處另一在出口處，而每一腔體之促動由兩片壓電震盪薄膜進 行。結果證明泵在擴散器方向具有整流能力，且透過理論分析可得出最佳淨流率及響 應頻率，當半角為 4.2°時，淨流率達最大之 16 ml min^-1，此時震盪薄膜之響應頻率為 540Hz。

Gerlach 等 [21] 利用能量轉換概念及半經驗公式法分析微擴散器內之流動行 為，並成功求出流道之整流性。Gerlach 等 [21] 發現整流性大小與半角 α、流道長度，

流速及震盪角頻率有關，尤其是整流性對半角α 之改變相當敏感，當半角 α = 5°，整 流性為 0.26 到 0.38，而此值遠大於半角 α = 70°時的情況 (整流性為 0.05 到 0.1)；若 流道長度過短，整流性將會下降，意味著流道長度需大於某一臨界值才可達整流效 果；當震盪角頻率大於某一臨界值 (好比一低通頻率)，流慣性變大，速度發展所需 時間變長，整流性將會下降。

Sun 和 Huang [22] 利用數值方式研究微型擴散器中的暫態流場，其在入口置入 固定振幅之壓力源，而主要的改變參數有半角α 與震盪頻率。結果發現針對所有的半 角，儘管是在低 Reynolds number 情況下，回流現象皆會發生，並且指出回流的存在，

有助加強整流性及防止減速作用。此外當震盪頻率小於 25 Hz，淨流率將不隨震盪頻 率改變而有所變化，但是當震盪頻率大於 25 Hz，淨流率隨著震盪頻率的上升而減少，

而若以另一無因次參數 Roshko number Ro 進行描述，則可將上述結果分成三區：在 Ro < 0.25 ，淨流率與震盪頻率大小無關，而 0.25 < Ro < 2 為一過渡區，若 Ro > 2 ，

淨流率隨著 Roshko number Ro 上升而減少。

Sun 等[23] 藉 μPIV (micro Particle Image Velocimetry) 診測微型擴散器中的動態 速度場，當中利用凸輪連動系統在入口產生固定振幅壓力源，實驗中改變參數有凸輪 尺寸、半角α 及震盪頻率。結果發現擴散器方向淨流率在一最佳半角達最大值，且最 佳半角並不一定是發生在流體未分離條件下。當渦旋形狀保持細長，由μPIV 看出，

當半角尚未太大時，中心流域之速度被兩側渦旋加速，使得流場整流性提高，但是當 半角再增加，渦旋變圓，中心流域被擠壓變窄，流場整流性下降。

Grotberg [24] 及 Gaver 和 Grotberg [25] 分別以潤滑理論及實驗方式對錐形流道 內之震盪流進行分析，結果發現速度分布將會有如震盪直管流之多重反摺現象，然而 Grotberg [24] 及 Gaver 和 Grotberg [25] 在解析過程中假設了極小半角，約 3°，使壓 力梯度轉換成一維，導致流道被近似成直管，故不適用於半角較大的情況。而 Gaver 和 Grotberg [25] 進行實驗時，擴散器流道之出入口是以直管相接，有可能直管內之 流場會影響擴散器內之速度分布。另一方面，Stenning 和 Schachemann [26] 利用實 驗方式對暫態擴散器內之震盪流進行分析，Stenning 和 Schachemann [26] 發現擴散 器內之速度分布亦有多重反摺現象，不過其實驗參數半角仍相當小，約 3°。相反的 針對較大之半角，6°、10°及 15°，King 和 Smith [27] 也對暫態擴散器內之二維流動 進行研究，由其所提供之流場圖，我們發現流場中有十分輕微的多重反摺現象發生，

靠近壁面之速度略高於中心速度，而我們相信此現象可能是由擴散器出入口所相接之 直管造成，非本身擴散器流道，且在文中 King 和 Smith [27] 亦指出出入口直管與擴 散器流道間是會相互影響的。