文獻回顧

關於具有裂縫矩形板之研究，已有許多關於均質板由於形狀幾何與材 料所引起應力奇異之文章，且大部分文獻探討靜態行為，僅有少數研究振 動行為者，其中又以古典薄板理論或平面線彈性理論為主。

對於求解矩形薄板之振動問題，以下文獻分別利用不同方法建立所需 之積分方程求解。Lynn 和 Kumbasar (1967)分析了具裂縫四邊簡支承矩形 板振動問題，首先用 Green’s 函數來表示板之位移分量，並進一步將欲求 問題轉換成齊性 Fredholm 第一型積分方程(homogeneous Fredholm integral equations of the first kind)，再求解積分方程；Stahl 和 Keer (1972)利用對偶 級 數 方 程 (dual series equations) 得 齊 性 Fredholm 第 二 型 積 分 方 程 (homogeneous Fredholm integral equations of the second kind) 來求解振動問 題。Aggarwala 和 Ariel (1981)應用 Stahl 和 Keer (1972)之方法，求解簡支

4

方形板具有位於中心點十字型裂縫或兩組(水平與垂直)對稱於中心點之邊 緣裂縫振動問題。Hirano 和 Okazaki (1980)亦針對一組對邊為簡支承之裂 縫矩形板，利用 Levy 的解，將裂縫兩邊的不連續位移當作未知函數，並 進一步以加權餘數法(weighted residual method)來滿足邊界條件。另外，

Nezu (1982)則是修正 Lynn 和 Kumbasar (1967)之方法，以 Levy 解建立所須 之 Green 函數。Solecki (1983)之作法類似 Hirano 和 Okazaki (1980)，不過 使用四邊簡支承板之解析解，將描述裂縫處位移和轉角的不連續函數，進 行 finite Fourier 轉換，求解裂縫板振動問題。

於數值方法中，最常利用有限元素法與 Ritz 法分析具裂縫矩形板之振 動問題。Qian 等人(1991)發展了一有限元素的解法，對於含裂縫尖端的元 素，經由對應力強度因子的積分，建構元素的勁度矩陣。Yuan 和 Dickinson (1992)將一矩形板分成幾個區塊，在區塊連接邊界是以加入來彈簧處理；

因此，就可用 Ritz 法中的正規允許函數來求解，不必用特別的函數來描述 裂縫。Krawczuk (1993)則提出類似 Qian 等人(1991)的解決方式，唯一不同 的是對裂縫尖端元素勁度矩陣，採用封閉形式(closed form)的積分。

利用 Ritz 法分析板振動問題，主要條件為所使用允許函數之適當性。

Yuan 和 Dickinson (1992)將矩形板分成數個區塊，並加置人工彈簧於各區 塊連結之邊界上；因此，可用傳統的允許函數(regular admissible functions)

5

於各區域來求解，不必用特別的函數來描述裂縫。Liew 等人(1994)用類似 於 Yuan 和 Dickinson (1992)之切割方法，且僅要求各區塊之允許函數於兩 區塊交接處，以積分形式滿足允許函數及其一階微分之連續性。Khaddem 和 Rezaee (2000)利用 Levy’s solution 建立所謂修正比較函數(modified comparison functions)，作為 Ritz 法所中的允許函數(admissible functions)，

分析具水平裂縫簡支承矩形板於不同裂縫長度、深度與位置時之振動。然 而，因為 Khadem 和 Rezaee (2000)使用之允許函數較為特殊，其僅適用於 處理至少一對邊是簡支承 (two opposite edges simply supported)之裂縫矩 形板振動問題。Huang 和 Leissa (2009)，利用 Williams (1952)推導裂縫尖端 之漸近解，提出了一組可準確描述邊緣裂縫奇異行為的允許函數，並將此 允許函數用於求解不同邊界條件下(四邊簡支承與自由端)含邊緣裂縫薄板 的振動問題。李昱成 (2009)使用 Ritz 法分析裂縫矩形板之自由振動，引入 一組特殊函數，來描述裂縫尖端之奇異性並滿足跨裂縫之位移與轉角不連 續行為。上述應用 Ritz 法求解具裂縫板振動之文獻回顧中，絕大部分均透 過切割次區域之技巧處理(Yuan 和 Dickinson、Liew 等與 Lee 和 Lim)，先 在各區域內選擇適當之允許函數，再利用各種類似連續條件，建立全域之 允許函數。但這些文獻忽略了 Ritz 法頻率從上限收斂的特性，因為其允許 函數在兩個次區域連接處並非處處連續，而且例如 Yuan 和 Dickinson

6

(1992)安裝人工彈簧於次區域之連接處，雖然強迫滿足了必要之連續條件，

但彈簧的勁度也會影響數據正確性。

亦有少數文獻分析具裂縫厚板之振動： Lee 和 Lim (1993)根據 Reissner 定理，利用區域分解的方法決定 Ritz 法求解含水平中心裂縫簡支矩形 Mindlin 板之允許函數，並求解振動頻率。Bachene 等 (2009)討論在 Mindlin 板 理 論 架 構 下 利 用 擴 展 的 有 限 元 素 法 (extended finite element method (X-FEM) )分析含水平裂縫矩形薄板(厚寬比

h / b  1 / 500

Hosseini-Hashemi 等人 (2010)利用 Mindlin 板理論，並建立封閉型式的特 徵方程分析具裂縫之矩形板，並提高了自然振動頻率的計算速度。Zhou 等 人(2011)利用移動式最小平方元素法(MLS- element method)分析含裂縫之 Mindlin 板振動問題。Huang 等人 (2011)使用 Ritz 法分析含裂縫矩形 Mindlin 板之自然振動頻率與模態，為了準確描述裂縫，提出一組新的允許 函數，此允許函數包含能滿足邊界條件之多項式函數與能準確描述裂縫尖 端之奇異性並滿足跨越裂縫位移與轉角不連續行為之裂縫函數。

大部分研究功能梯度板，是以探討熱相關的問題，僅少數文獻探討關 於 FGM 板或複合材料板振動。基於古典板理論，Yang 和 Shen (2001)研究 含平面應力之四邊固定 FGM 方形板之振動行為。He 等人 (2001)研究附有 壓電感應器的 FGM 方形板之振動。Zhao 等人 (2009)採用一階剪力變形板

7

理論去分析 FGM 方形板在不同邊界條件下之振動。Reddy (2000)導出一有 限元素解來分析 FGM 板之振動行為。Ferreira 等人 (2006)採用無網格葛 勒金法去解決一般方程。Matsunaga (2008)根據 2D 高階板理論，導出一系 列的基礎動力方程來分析簡支方形 FGM 板。Qian 等人 (2004)根據高階剪 力變形板理論，利用無網格葛勒金法去解決一般方程，並研究 FGM 板之 振動行為。Vel 和 Batra (2004)提出 3D 解來分析簡支矩形 FGM 板之振動。

Hosseini-Hashemi 等人 (2011)利用 Mindlin 板理論分析圓形與環狀之壓電 層與 FGM 板耦合面內與面外振動模態。張明儒 (2008)推導功能梯度材料 厚板的漸近解，並探討板幾何所致的應力奇異性；進而將該漸近解引入懸 臂斜形板和具邊緣裂縫簡支承矩形板之振動分析中，並計算具邊緣裂縫矩 形板的應力強度因子。王凱平 (2010)利用 3D 彈性理論探討具邊緣裂縫 FGM 板振動。本研究將延續王凱平之研究，利用 3D 彈性理論分析具內部 裂縫 FGM 板由不同邊界條件、不同厚度、不同裂縫位置、不同裂縫長度 及角度之振動行為。