國 立 交 通 大 學
土 木 工 程 學 系
碩 士 論 文
利用三維彈性理論配合 Ritz 法分析具內部裂縫
矩形功能梯度材料板之振動問題
Vibrations of Functionally Graded Material Rectangular Plates with
Internal Cracks Using Three-Dimensional Elasticity with the Ritz Method
研 究 生：楊博然
指導教授：黃炯憲 博士
利用三維彈性理論配合 Ritz 法分析具內部裂縫
矩形功能梯度材料板之振動問題
Vibrations of Functionally Graded Material Rectangular Plates with
Internal Cracks Using Three-Dimensional Elasticity with the Ritz Method
研 究 生：楊博然 Student：Po-Jan Yang
指導教授：黃炯憲 Advisor：Dr. Chiung-Shiann Huang
國 立 交 通 大 學
土 木 工 程 學 系
碩 士 論 文
A Thesis
Submitted to Department of Civil Engineering
College of Engineering
National Chiao Tung University
in partial Fulfillment of the Requirements
for the Degree of
Master
in
Civil Engineering
January 2012
Hsinchu, Taiwan, Republic of China
i
利用三維彈性理論配合 Ritz 法分析具內部裂縫
矩形功能梯度材料板之振動問題
研究生：楊博然 指導教授：黃炯憲 博士
國立交通大學土木工程學系碩士班
摘要
本研究利用 3D 彈性理論配合 Ritz 法分析含內部裂縫矩形功能梯度板
自由振動；提出能準確描述裂縫尖端奇異性並滿足跨越裂縫位移不連續行
為之裂縫函數配合滿足邊界條件之多項式函數當允許函數。透過收斂性分
析，並與文獻中具裂縫均質板的結果比較，驗證所發展電腦程式的正確性
與所提解之準確性。本文所考慮的功能梯度板是由金屬鋁(Al)及陶瓷(Al
2O
3)
組成，使用簡單的冪級數與體積分數來描述材料的性質。本文探討不同材
料組成、不同邊界條件、不同板厚及不同裂縫長度、角度與位置對板的振
動行為之影響，並繪有中平面及三維變形之模態圖；此些結果均首見於文
獻。
ii
Vibrations of Functionally Graded Material Rectangular Plates with
Internal Cracks Using Three-Dimensional Elasticity with the Ritz method
Student：Po-Jan Yang Advisor：Dr. Chiung-Shiann Huang
Department of Civil Engineering
National Chiao-Tung University
Abstract
This study examines the three-dimensional (3-D) vibrations of functionally graded
material (FGM) rectangular plates having internal cracks. We employ 3-D theory of
elasticity and a variational Ritz methodology, and propose new hybrid series of
mathematically complete orthogonal polynomials and crack functions as the assumed
displacement fields to enhance the convergence modeling of the stress singular behavior of
the crack terminus edge front in a rectangular FGM plate. The proposed admissible hybrid
series properly describe the
(1/
r
)
3-D stress singularities at the terminus edge front of
the crack, allowing for displacement discontinuities across the crack sufficient to explain the
most general 3-D “mixed modes” of local crack-edge deformation and stress fields typically
seen in fracture mechanics. The correctness and validity of the proposed approach are
confirmed through comprehensive convergence studies and comparisons with published
results for homogeneous and FGM rectangular plates with internal cracks based on various
plate theories. The FGM plates under consideration are composed of aluminum and ceramic
(Al/Al
2O
3). The locally effective material properties are estimated by a simple power law
iii
mode shapes and nodal patterns for FGM rectangular plates with different boundary
conditions and thickness-width ratios, and having internal cracks with varying crack length
ratios, crack positions, and crack inclination angles are reported herein for the first time in
the published literature.
v
誌謝
本論文得以順利完成，首先要感謝恩師 黃炯憲教授耐心與悉心的指導。
研究期間，老師嚴謹且不厭其煩的糾正錯誤，使學生的專業知識有所增長；
並不斷提供新設備與優質的研究環境，使得研究能順利完成。在車禍期間，
您特地前來探望關心，著實令學生感到非常溫馨。在論文修改期間，您細
心的研讀並提出建議，使學生的論文得以更加完整。
論文口試期間，承蒙交通大學土木工程學系 劉俊秀教授、 鄭復平教
授與 林昌佑教授於口試期間提供寶貴的意見，謹此表示最誠摯的感謝。
這份論文能夠順利完成，感謝研究室明儒學長、凱平學長的指導，在
課業與研究上耐心且大方的指導與協助。尤其是明儒學長在論文撰寫與口
試期間，幫忙訂正論文與簡報，並提供諸多寶貴之建議。同時也感謝威智
學長、連杰學長、靖俞學長、政甯學長、志偉學長、政淵學長、榕師學長、
宛臻學姊和嬿糧學姊，以及勇奇學長、穎泰學長、宗輝學長、辰彥學長、
家宇學長。另外，感謝同窗中原、鈞誠與維莘，因為有你們的相互扶持，
使我在生活與課業上獲益良多。也感謝同學進順、宣妤、連峰、柏林、綸
桓、孟軒、思伶、江祥，學弟妹承哲、裕鈞、旭進、芳琳，還有宣治、俊
佐、晟佑和俊超一起在生活和研究中成長、幫助。還要感謝所有中原大學
vi
的老師們、同學們，尤其是 陳遠亮教授多麼無私的將自己的時間全部花在
學生的課業上，並啟發學生的思考力。當然還要感謝花蓮的朋友們與在新
竹研究所期間認識的所有人們。
最重要的，我要感謝我的家人，爸爸、媽媽從小的栽培及付出，並且
辛苦的工作，你們一路支持，讓我無後顧之憂。還有姊姊的鼓勵及家裡最
可愛的 QQ。遠在美國的爺爺、奶奶、姑姑、姑丈、叔叔、表哥、堂弟、
堂妹，還有花蓮的外公、外婆、大阿姨、舅舅、三阿姨、小阿姨、表哥、
表姊、表弟妹們，真的非常感謝你們對我的支持與關心。
最後，我要感謝雅鈞，在這一段時間的陪伴、幫助，感恩妳的包容與
忍讓，且不時給我鼓勵，帶給我很大的動力。同時對我的照顧並帶給我滿
滿的歡樂，讓我這一路走來不孤單。
在這即將離開的時刻，這些日子滿滿的回憶湧上心頭，這些點點滴滴
將陪伴我走向未來。凡走過必留下痕跡，凡努力必造就意義。
vii
目錄
摘要 ... i
Abstract ... ii
誌謝 ... v
目錄 ... vii
表目錄 ... ix
圖目錄 ... xxii
第一章 緒論 ... 1
1.1 研究動機與方法 ... 1
1.2 文獻回顧 ... 3
1.3 內容概要 ... 7
第二章 分析方法 ... 9
2.1
功能梯度材料公式 ... 9
2.2
3D 彈性理論之應變能與動能 ... 10
2.3
利用 Ritz 法求解板之自然振動頻率 ... 11
viii
2.4
允許函數之建構 ... 14
第三章 收斂性分析 ... 18
3.1 厚度影響 ... 20
3.2 裂縫長度影響 ... 21
第四章 數值結果 ... 24
4.1
裂縫對振動頻率之影響 ... 24
4.2
不同理論所得結果比較 ... 35
4.3
板之振動模態探討 ... 36
第五章 結論與建議 ... 39
5.1 結論 ... 39
5.2 建議 ... 40
參考文獻 ... 42
ix
表目錄
表 2.1 材料參數……… 49
表 3.1 具水平內部裂縫簡支方形均質薄板(a/b = 1.0, h/b = 0.01,
x
0/
a
,
y
0/
b
0
.
5
,
0
.
5
, d/a = 0.2,α = 0°)之無因次化頻率
E
h
b
/
)
/
(
2
收斂性分析………..……… 50
表 3.2 具水平內部裂縫簡支之 Al/Al
2O
3FGM 方形中厚板(a/b = 1.0,
h/b = 0.1,
x
0/
a
,
y
0/
b
0
.
5
,
0
.
5
,d/a = 0.2, α = 0°, m=0.2)之無因
次化頻率
(
b
/
h
)
c/
E
c 2
收斂性分析………. 55
表 3.3 具水平內部裂縫簡支方形均質中厚板(a/b = 1.0, h/b = 0.1,
x
0/
a
,
y
0/
b
0
.
5
,
0
.
5
, d/a = 0.2,α = 0°)之無因次化頻率
E
h
b
/
)
/
(
2
收斂性分析……….. 58
表 3.4 具水平內部裂縫簡支方形均質薄板(a/b = 1.0, h/b = 0.05,
x
0/
a
,
y
0/
b
0
.
5
,
0
.
5
, d/a = 0.3,α = 0°)之無因次化頻率
E
h
b
/
)
/
(
2
收斂性分析……….. 61
表 3.5 具水平內部裂縫簡支方形均質中厚板(a/b = 1.0, h/b = 0.1,
x
0/
a
,
y
0/
b
0
.
5
,
0
.
5
, d/a = 0.3,α = 0°)之無因次化頻率
E
h
b
/
)
/
(
2
收斂性分析………... 66
x
表 3.6 具水平內部裂縫簡支之 Al/Al
2O
3FGM 方形中厚板(a/b = 1.0,
h/b = 0.1,
x
0/
a
,
y
0/
b
0
.
5
,
0
.
5
,d/a = 0.5, α = 0°, m=0.2)之無因
次化頻率
(
b
2/
h
)
c/
E
c收斂性分析……….. 69
表 3.7 具水平內部裂縫簡支之 Al/Al
2O
3FGM 方形中厚板(a/b = 1.0,
h/b = 0.1,
x
0/
a
,
y
0/
b
0
.
5
,
0
.
5
,d/a = 0.3, α = 0°, m=5)之無因次
化頻率
(
b
/
h
)
c/
E
c 2
收斂性分析………..……… 72
表 3.8 具水平內部裂縫簡支之 Al/Al
2O
3FGM 方形中厚板(a/b = 1.0,
h/b = 0.1,
x
0/
a
,
y
0/
b
0
.
5
,
0
.
5
,d/a = 0.5, α = 0°, m=5)之無因次
化頻率
(
b
/
h
)
c/
E
c 2
收斂性分析………..…… 75
表 3.9 具水平內部裂縫簡支方形均質中厚板(a/b = 1.0, h/b = 0.1,
x
0/
a
,
y
0/
b
0
.
5
,
0
.
5
, d/a = 0.5,α = 0°)之無因次化頻率
E
h
b
/
)
/
(
2
收斂性分析……….………..… 78
表 3.10 具垂直內部裂縫懸臂之 Al/Al
2O
3FGM 方形中厚板(a/b = 1.0,
h/b = 0.1,
x
0/
a
,
y
0/
b
0
.
5
,
0
.
5
,d/b = 0.2, α = 90°, m=5)之無因次
化頻率
(
b
/
h
)
c/
E
c 2
收斂性分析……….…… 81
表 3.11 具垂直內部裂縫懸臂之 Al/Al
2O
3FGM 方形中厚板(a/b = 1.0,
h/b = 0.1,
x
0/
a
,
y
0/
b
0
.
5
,
0
.
5
,d/b = 0.6, α = 90°, m=5)之無因次
化頻率
(
b
/
h
)
c/
E
c 2
收斂性分析……….…… 84
xi
表 3.12 具垂直內部裂縫懸臂方形均質中厚板(a/b = 1.0, h/b = 0.1,
x
0/
a
,
y
0/
b
0
.
5
,
0
.
5
, d/b = 0.2, α = 90°)之無因次化頻率
E
h
b
/
)
/
(
2
收斂性分析………..… 87
表 3.13 具垂直內部裂縫懸臂方形均質中厚板(a/b = 1.0, h/b = 0.1,
x
0/
a
,
y
0/
b
0
.
5
,
0
.
5
, d/b = 0.6, α = 90°)之無因次化頻率
E
h
b
/
)
/
(
2
收斂性分析………...…..… 90
表 4.1 具不同水平內部裂縫簡支之 Al/Al
2O
3方形 FGM 薄板無因次
化頻率
(
b
/
h
)
c/
E
c 2
( h/b = 0.02、(
x /0 a,
y /0 b) = 0.5 ) ……. 93
表 4.2 具不同水平內部裂縫簡支之 Al/Al
2O
3方形 FGM 中厚板無因
次化頻率
(
b
2/
h
)
c/
E
c( h/b = 0.1、(
x /0 a,
y /0 b) = (0.5, 0.5))..94
表 4.3 具不同水平內部裂縫簡支之 Al/Al
2O
3方形 FGM 厚板無因次
化頻率
(
b
/
h
)
c/
E
c 2
( h/b = 0.2、(
x /0 a,
y /0 b) = (0.5,
0.5)) ………... 95
表 4.4 具不同水平內部裂縫簡支之 Al/Al
2O
3方形 FGM 薄板無因次
化頻率折減量
(%)
( h/b = 0.02、(
x /
0a
,
y /
0b
) = (0.5,
0.5) ) ………..……… 96
表 4.5 具不同水平內部裂縫簡支之 Al/Al
2O
3方形 FGM 中厚板無因
次化頻率折減量
(%)
( h/b = 0.1、(
x /
0a
,
y /
0b
) = (0.5, 0.5) ) .. 97
xii
表 4.6 具不同水平內部裂縫簡支之 Al/Al
2O
3方形 FGM 厚板無因次
化頻率折減量
(%)
( h/b = 0.2、(
x /0 a,
y /0 b) = (0.5, 0.5) )….. 98
表 4.7 具不同水平內部裂縫簡支之 Al/Al
2O
3方形 FGM 薄板無因次
化頻率
(
b
/
h
)
c/
E
c 2
( h/b = 0.02、(
x /0 a,
y /0 b) = (0.5,
0.75))……….. 99
表 4.8 具不同水平內部裂縫簡支之 Al/Al
2O
3方形 FGM 中厚板無因
次化頻率
(
b
/
h
)
c/
E
c 2
( h/b = 0.1、(
x /0 a,
y /0 b) = (0.5,
0.75) )………... 100
表 4.9 具不同水平內部裂縫簡支之 Al/Al
2O
3方形 FGM 厚板無因次
化頻率
(
b
/
h
)
c/
E
c 2
( h/b = 0.2、(
x /0 a,
y /0 b) = (0.5,
0.75) )……….. 101
表 4.10 具不同水平內部裂縫簡支之 Al/Al
2O
3方形 FGM 薄板無因次
化頻率折減量
(%)
( h/b = 0.02、(
x /
0a
,
y /
0b
) = (0.5,
0.75) )……….. 102
表 4.11 具不同水平內部裂縫簡支之 Al/Al
2O
3方形 FGM 中厚板無因
次化頻率折減量
(%)
( h/b = 0.1、(
x /
0a
,
y /
0b
) = (0.5,
0.75) )……….. 103
表 4.12 具不同水平內部裂縫簡支之 Al/Al
2O
3方形 FGM 厚板無因次
化頻率折減量
(%)
( h/b = 0.2、(
x /0 a,
y /0 b) = (0.5, 0.75) ) ...104
xiii
表 4.13 具不同內部裂縫簡支之 Al/Al
2O
3方形 FGM 薄板無因次化頻
率
(
b
/
h
)
c/
E
c 2
( h/b = 0.02、(
x /0 a,
y /0 b) = (0.5, 0.5) ) …. 105
表 4.14 具不同內部裂縫簡支之 Al/Al
2O
3方形 FGM 中厚板無因次化
頻率
(
b
/
h
)
c/
E
c 2
( h/b = 0.1、(
x /0 a,
y /0 b) = (0.5, 0.5) ) … 105
表 4.15 具不同內部裂縫簡支之 Al/Al
2O
3方形 FGM 厚板無因次化頻
率
(
b
/
h
)
c/
E
c 2
( h/b = 0.2、(
x /0 a,
y /0 b) = (0.5, 0.5) ) … 106
表 4.16 具不同內部裂縫簡支之 Al/Al
2O
3方形 FGM 薄板無因次化頻
率折減量
(%)
( h/b = 0.02、(
x /
0a
,
y /
0b
) = (0.5, 0.5) ) …… 106
表 4.17 具不同內部裂縫簡支之 Al/Al
2O
3方形 FGM 中厚板無因次化
頻率折減量
(%)
( h/b = 0.1、(
x /
0a
,
y /
0b
) = (0.5, 0.5) )…… 107
表 4.18 具不同內部裂縫簡支之 Al/Al
2O
3方形 FGM 厚板無因次化頻
率折減量
(%)
( h/b = 0.2、(
x /0 a,
y /0 b) = (0.5, 0.5) ) ……….107
表 4.19 具不同水平內部裂縫懸臂之 Al/Al
2O
3方形 FGM 薄板無因次
化頻率
(
b
/
h
)
c/
E
c 2
(h/b = 0.02、(
x /0 a,
y /0 b) = (0.5,
0.5))………. 108
表 4.20 具不同水平內部裂縫懸臂之 Al/Al
2O
3方形 FGM 中厚板無因
次化頻率
(
b
/
h
)
c/
E
c 2
(h/b = 0.1、(
x /0 a,
y /0 b) = (0.5,
0.5))……….. 109
xiv
表 4.21 具不同水平內部裂縫懸臂之 Al/Al
2O
3方形 FGM 厚板無因次
化頻率
(
b
/
h
)
c/
E
c 2
(h/b = 0.2、(
x /0 a,
y /0 b) = (0.5,
0.5)) ……… 110
表 4.22 具不同水平內部裂縫懸臂之 Al/Al
2O
3方形 FGM 薄板無因次
化頻率折減量
(%)
(h/b = 0.02、(
x /
0a
,
y /
0b
) = (0.5,
0.5)) ……… 111
表 4.23 具不同水平內部裂縫懸臂之 Al/Al
2O
3方形 FGM 中厚板無因
次化頻率折減量
(%)
(h/b = 0.1、(
x /
0a
,
y /
0b
) = (0.5,
0.5)) ……… 112
表 4.24 具不同水平內部裂縫懸臂之 Al/Al
2O
3方形 FGM 厚板無因次
化頻率折減量
(%)
(h/b = 0.2、(
x /0 a,
y /0 b) = (0.5,
0.5)) ………. 113
表 4.25 具不同水平內部裂縫懸臂之 Al/Al
2O
3方形 FGM 薄板無因次
化頻率
(
b
/
h
)
c/
E
c 2
(h/b = 0.02、(
x /0 a,
y /0 b) = (0.5,
0.75))………... 114
表 4.26 具不同水平內部裂縫懸臂之 Al/Al
2O
3方形 FGM 中厚板無因
次化頻率
(
b
/
h
)
c/
E
c 2
(h/b = 0.1、(
x /0 a,
y /0 b) = (0.5,
0.75)) ………... 114
表 4.27 具不同水平內部裂縫懸臂之 Al/Al
2O
3方形 FGM 厚板無因次
xv
化頻率
(
b
2/
h
)
c/
E
c(h/b = 0.2、(
x /0 a,
y /0 b) = (0.5,
0.75)) ………... 115
表 4.28 具不同水平內部裂縫懸臂之 Al/Al
2O
3方形 FGM 薄板無因次
化頻率折減量
(%)
(h/b = 0.02、(
x /
0a
,
y /
0b
) = (0.5,
0.75)) ………... 115
表 4.29 具不同水平內部裂縫懸臂之 Al/Al
2O
3方形 FGM 中厚板無因
次化頻率折減量
(%)
(h/b = 0.1、(
x /
0a
,
y /
0b
) = (0.5,
0.75))………... 116
表 4.30 具不同水平內部裂縫懸臂之 Al/Al
2O
3方形 FGM 厚板無因次
化頻率折減量
(%)
(h/b = 0.2、(
x /0 a,
y /0 b) = (0.5,
0.75)) ……….. 116
表 4.31 具不同垂直內部裂縫懸臂之 Al/Al
2O
3方形 FGM 薄板無因次
化頻率
(
b
/
h
)
c/
E
c 2
(h/b = 0.02、(
x /0 a,
y /0 b) = (0.5,
0.5)) ……… 117
表 4.32 具不同垂直內部裂縫懸臂之 Al/Al
2O
3方形 FGM 中厚板無因
次化頻率
(
b
/
h
)
c/
E
c 2
(h/b = 0.1、(
x /0 a,
y /0 b) = (0.5,
0.5)) ………. 117
表 4.33 具不同垂直內部裂縫懸臂之 Al/Al
2O
3方形 FGM 厚板無因次
化頻率
(
b
/
h
)
c/
E
c 2
(h/b = 0.2、(
x /0 a,
y /0 b) = (0.5,
xvi
0.5)) ………. 118
表 4.34 具不同垂直內部裂縫懸臂之 Al/Al
2O
3方形 FGM 薄板無因次
化頻率折減量
(%)
(h/b = 0.02、(
x /
0a
,
y /
0b
) = (0.5,
0.5)) ……… 118
表 4.35 具不同垂直內部裂縫懸臂之 Al/Al
2O
3方形 FGM 中厚板無因
次化頻率折減量
(%)
(h/b = 0.1、(
x /
0a
,
y /
0b
) = (0.5,
0.5))……… 119
表 4.36 具不同垂直內部裂縫懸臂之 Al/Al
2O
3方形 FGM 厚板無因次
化頻率折減量
(%)
(h/b = 0.2、(
x /0 a,
y /0 b) = (0.5,
0.5)) ……… 119
表 4.37 具不同垂直內部裂縫懸臂之 Al/Al
2O
3方形 FGM 薄板無因次
化頻率
(
b
/
h
)
c/
E
c 2
(h/b = 0.02、(
x /0 a,
y /0 b) = (0.25,
0.5))……… 120
表 4.38 具不同垂直內部裂縫懸臂之 Al/Al
2O
3方形 FGM 中厚板無因
次化頻率
(
b
/
h
)
c/
E
c 2
(h/b = 0.1、(
x /0 a,
y /0 b) = (0.25,
0.5))……… 120
表 4.39 具不同垂直內部裂縫懸臂之 Al/Al
2O
3方形 FGM 厚板無因次
化頻率
(
b
/
h
)
c/
E
c 2
(h/b = 0.2、(
x /0 a,
y /0 b) = (0.25,
0.5)) ……… 121
xvii
表 4.40 具不同垂直內部裂縫懸臂之 Al/Al
2O
3方形 FGM 薄板無因次
化頻率折減量
(%)
(h/b = 0.02、(
x /
0a
,
y /
0b
) = (0.25,
0.5)) ……… 121
表 4.41 具不同垂直內部裂縫懸臂之 Al/Al
2O
3方形 FGM 中厚板無因
次化頻率折減量
(%)
(h/b = 0.1、(
x /
0a
,
y /
0b
) = (0.25,
0.5)) ………. 122
表 4.42 具不同垂直內部裂縫懸臂之 Al/Al
2O
3方形 FGM 厚板無因次
化頻率折減量
(%)
(h/b = 0.2、(
x /0 a,
y /0 b) = (0.25,
0.5)) ………. 122
表 4.43 具不同內部裂縫懸臂之 Al/Al
2O
3方形 FGM 薄板無因次化頻
率
(
b
/
h
)
c/
E
c 2
(h/b = 0.02、(
x /0 a,
y /0 b) = (0.5,
0.5)) ……… 123
表 4.44 具不同內部裂縫懸臂之 Al/Al
2O
3方形 FGM 中厚板無因次化
頻率
(
b
/
h
)
c/
E
c 2
(h/b = 0.1、(
x /0 a,
y /0 b) = (0.5,
0.5))………. 123
表 4.45 具不同內部裂縫懸臂之 Al/Al
2O
3方形 FGM 厚板無因次化頻
率
(
b
/
h
)
c/
E
c 2
(h/b = 0.2、(
x /0 a,
y /0 b) = (0.5,
0.5)) ……… 124
表 4.46 具不同內部裂縫懸臂之 Al/Al
2O
3方形 FGM 薄板無因次化頻
xviii
率折減量
(%)
(h/b = 0.02、(
x /
0a
,
y /
0b
) = (0.5,
0.5)) ……… 124
表 4.47 具不同內部裂縫懸臂之 Al/Al
2O
3方形 FGM 中厚板無因次化
頻率折減量
(%)
(h/b = 0.1、(
x /
0a
,
y /
0b
) = (0.5,
0.5)) ……… 125
表 4.48 具不同內部裂縫懸臂之 Al/Al
2O
3方形 FGM 厚板無因次化頻
率折減量
(%)
(h/b = 0.2、(
x /0 a,
y /0 b) = (0.5,
0.5)) ……… 125
表 4.49 具不同垂直內部裂縫兩端固定端，兩端自由端之 Al/Al
2O
3方形 FGM 中厚板無因次化頻率
(
b
/
h
)
c/
E
c 2
(
h
/
b
0
.
1
、
(
x /0 a,
y /0 b) = (0.5, 0.5)) ………. 126
表 4.50 具不同垂直內部裂縫兩端固定端，兩端自由端之 Al/Al
2O
3方形 FGM 厚板無因次化頻率
(
b
/
h
)
c/
E
c 2
(
h
/
b
0
.
2
、(
x /0 a,
b y /0) = (0.5, 0.5)) ……….. 126
表 4.51 具不同垂直內部裂縫兩端固定端，兩端自由端之 Al/Al
2O
3方形 FGM 中厚板無因次化頻率折減量
(%)
(
h
/
b
0
.
1
、(
x /
0a
,
b
y /
0) = (0.5, 0.5)) ……….. 127
表 4.52 具不同垂直內部裂縫兩端固定端，兩端自由端之 Al/Al
2O
3方形 FGM 厚板無因次化頻率折減量
(%)
(
h
/
b
0
.
2
、(
x /0 a,
xix b y /0
) = (0.5, 0.5)) ……….. 127
表 4.53 具不同垂直內部裂縫兩端固定端，兩端自由端之 Al/Al
2O
3方形 FGM 中厚板無因次化頻率
(
b
/
h
)
c/
E
c 2
(
h
/
b
0
.
1
、
(
x /0 a,
y /0 b) = (0.25, 0.5)) ………... 128
表 4.54 具不同垂直內部裂縫兩端固定端，兩端自由端之 Al/Al
2O
3方形 FGM 厚板無因次化頻率
(
b
2/
h
)
c/
E
c(
h
/
b
0
.
2
、(
x /0 a,
b y /0) = (0.25, 0.5)) ……… 128
表 4.55 具不同垂直內部裂縫兩端固定端，兩端自由端之 Al/Al
2O
3方形 FGM 中厚板無因次化頻率折減量
(%)
(
h
/
b
0
.
1
、(
x /
0a
,
b
y /
0) = (0.25, 0.5))……… 129
表 4.56 具不同垂直內部裂縫兩端固定端，兩端自由端之 Al/Al
2O
3方形 FGM 厚板無因次化頻率折減量
(%)
(
h
/
b
0
.
2
、(
x /0 a,
b y /0) = (0.25, 0.5)) ……… 129
表 4.57 具不同垂直內部裂縫兩端固定端，兩端自由端之 Al/Al
2O
3矩形 FGM 中厚板無因次化頻率
(
b
/
h
)
c/
E
c 2
(
a
/
b
2
、
1
.
0
/
b
h
、(
x /0 a,
y /0 b) = (0.5, 0.5)) ………... 130
表 4.58 具不同垂直內部裂縫兩端固定端，兩端自由端之 Al/Al
2O
3矩形 FGM 厚板無因次化頻率
(
b
2/
h
)
c/
E
c(
a
/
b
2
、
xx
2
.
0
/
b
h
、(
x /0 a,
y /0 b) = (0.5, 0.5)) ………...… 130
表 4.59 具不同垂直內部裂縫兩端固定端，兩端自由端之 Al/Al
2O
3矩形 FGM 中厚板無因次化頻率折減量
(%)
(
a
/
b
2
、
1
.
0
/
b
h
、(
x /
0a
,
y /
0b
) = (0.5, 0.5))………..…… 131
表 4.60 具不同垂直內部裂縫兩端固定端，兩端自由端之 Al/Al
2O
3矩形 FGM 厚板無因次化頻率折減量
(%)
(
a
/
b
2
、
h
/
b
0
.
2
、
(
x /0 a,
y /0 b) = (0.5, 0.5))………. 131
表 4.61 具不同垂直內部裂縫兩端固定端，兩端自由端之 Al/Al
2O
3矩形 FGM 中厚板無因次化頻率
(
b
/
h
)
c/
E
c 2
(
a
/
b
2
、
1
.
0
/
b
h
、(
x /0 a,
y /0 b) = (0.25, 0.5)) ………. 132
表 4.62 具不同垂直內部裂縫兩端固定端，兩端自由端之 Al/Al
2O
3矩形 FGM 厚板無因次化頻率
(
b
2/
h
)
c/
E
c(
a
/
b
2
、
2
.
0
/
b
h
、(
x /0 a,
y /0 b) = (0.25, 0.5))……… 132
表 4.63 具不同垂直內部裂縫兩端固定端，兩端自由端之 Al/Al
2O
3矩形 FGM 中厚板無因次化頻率折減量
(%)
(
a
/
b
2
、
1
.
0
/
b
h
、(
x /
0a
,
y /
0b
) = (0.25, 0.5)) ……… 133
表 4.64 具不同垂直內部裂縫兩端固定端，兩端自由端之 Al/Al
2O
3矩形 FGM 厚板無因次化頻率折減量
(%)
(
a
/
b
2
、
h
/
b
0
.
2
、
xxi
(
x /0 a,
y /0 b) = (0.25, 0.5)) ………... 133
表 4.65 具不同內部裂縫兩端固定端，兩端自由端之 Al/Al
2O
3方形
FGM 中厚板無因次化頻率
(
b
/
h
)
c/
E
c 2
(
h
/
b
0
.
1
、(
x /0 a,
b y /0) = (0.5, 0.5)) ……….. 134
表 4.66 具不同內部裂縫兩端固定端，兩端自由端之 Al/Al
2O
3方形
FGM 厚板無因次化頻率
(
b
/
h
)
c/
E
c 2
(
h
/
b
0
.
2
、(
x /0 a,
y /0 b)
= (0.5, 0.5)) ………. 134
表 4.67 具不同內部裂縫兩端固定端，兩端自由端之 Al/Al
2O
3方形
FGM 中厚板無因次化頻率折減量
(%)
(
h
/
b
0
.
1
、(
x /
0a
,
y /
0b
)
= (0.5, 0.5)) ………. 135
表 4.68 具不同內部裂縫兩端固定端，兩端自由端之 Al/Al
2O
3方形
FGM 厚板無因次化頻率折減量
(%)
(
h
/
b
0
.
2
、(
x /0 a,
y /0 b) =
(0.5, 0.5))) ……… 135
表 4.69 具不同水平內部裂縫簡支之方形均質板厚度效應及不同理
論比較( (
x /0 a,
y /0 b) = (0.5, 0.5)) …….………. 136
xxii
圖目錄
圖 2.1 具內部裂縫矩形板示意圖 .……….. 137
圖 2.2 具內部裂縫奇異點與連續線段示意圖 ………... 138
圖 4.1 Al/
功能梯度材料參數 E(z)和 (z)沿厚度變化圖根據式
(2.1) ……… 139
圖 4.2 具不同內部裂縫簡支之均質與 Al/Al
2O
3FGM 方形薄板 2D
模態圖(h/b=0.02) ………... 140
圖 4.3 具不同水平內部裂縫簡支之方形均質中厚板模態圖 …... 141
圖 4.4 具不同水平內部裂縫簡支之 Al/Al
2O
3方形 FGM 中厚板模態
圖(
m
ˆ
5
) ………... 151
圖 4.5 具不同內部裂縫懸臂之方形均質中厚板模態圖(h/b=0.1) . 161
圖 4.6 具不同內部裂縫懸臂之 Al/Al
2O
3方形 FGM 中厚板模態圖
(
m
ˆ
5
, h/b=0.1) ……… 171
圖 4.7 具不同內部裂縫兩端固定端，兩端自由端之方形均質中厚板
模態圖(h/b=0.1) ………. 181
圖 4.8 具不同內部裂縫兩端固定端，兩端自由端之 Al/Al
2O
3方形
FGM 中厚板模態圖(
m
ˆ
5
, h/b=0.1) ……….. 189
xxiii
圖 4.9 具不同內部裂縫兩端固定端，兩端自由端之矩形均質中厚板
模態圖(a/b=2, h/b=0.1) ………. 197
圖 4.10 具不同內部裂縫兩端固定端，兩端自由端之 Al/Al
2O
3矩形
1
第一章 緒論
1.1 研究動機與方法
功能梯度材料(functionally graded material，簡稱 FGM)的概念是由日
本的研究團隊在 1980 年代中期首先提出的。其為了滿足航太、國防工業、
機械及土木工程等苛刻的需求，而發展出陶瓷-金屬功能梯度材料。FGM
是一種由不同材料(如陶瓷和金屬)依照不同比例組合而成的材料，結構和
性能在材料厚度或長度方向連續變化的非均質複合材料，可分為金屬-合金，
金屬-非金屬，非金屬-陶瓷、金屬-陶瓷、陶瓷-陶瓷等多種組合方式。其組
成材料、含量、結構等參數將可依工程需要，而設計出具有高強度、剛度、
耐熱性、耐磨性等的合適材料。其不僅強化了材料本身的強度、韌性及耐
高溫性，亦使其內部界面消除，解決傳統複合材料容易在界面上發生應力
集中而破壞的現象。1980 年代中期，日本學者新野正之(Niino Masayuki)、
平井敏雄(Hirai Toshio)與渡邊龍三(Ryuzo Watanabe)首先提出功能梯度材
料(Functionally Gradient Materials, 簡稱 FGM)的概念，並提出其製造理論
與技術(Niino 和 Maeda, 1990)。
最初研究 FGM 的目的，是為了解決航太方面的問題，進而發展的金
屬和超耐熱陶瓷結合的研究，由於 FGM 的特點，它很快的就被利用在其
2
他功能材料的構想和研究中，用途從航太工業擴大到核能、電子、汽車、
化學、生物醫學科學領域，應用前景廣闊，為熱門研究方向。
經過近年的發展應用，由於 FGM 的概念，使其能為材料創造出某種
特殊功能，且為材料的結構分析帶來了新的探討，進而引起物理、力學、
生物與材料研究者的特別關注。研究 FGM 複合結構是航空業進一步發展
的關鍵，特別是航太工業。此外 FGM 已漸漸擴大其應用範圍，並很可能
首先應用於汽車工業。FGM 對於各種耐熱、結構承載上的充分應用提供理
論依據和力學分析，有效的減輕導彈重量、火箭的自重、提高飛行器的耐
熱極限及承載能力有者極重要的戰略意義，對國防事業有巨大的經濟價
值。
由於 FGM 有極大的實用性，材料沿梯度變化的概念所蘊含的意義深
遠，最近在生物力學方面，已經提出了胚胎中存在著決定發育的關鍵力學
性質，其結構的組成在特定方向上也呈梯度分布，並建立了梯度結構理論，
由此可見 FGM 已擴展至生物領域，相信 FGM 往後會有更多元的發展。
板殼為結構常見之元件，在應用上常面臨奇異點(singularity)之問題，
通常發生於：(1)幾何形狀不連續(如裂縫尖銳切角或邊界條件)；(2)載重點
處(集中載重或載重強度急遽改變)；(3)材料性質之陡變(如複合材料)。當
3
分析板殼元件含有奇異點時，須找到能正確描述奇異點特性之漸進解，方
能得到準確之收斂數值解。
本研究即首先依 3D 彈性理論，並利用 Ritz 法將角函數(corner function)
帶入允許函數(admissible function)中，探討功能梯度板因裂縫所致之應力
奇異行為；並分析含裂縫之功能梯度板自由振動。
1.2 文獻回顧
關於具有裂縫矩形板之研究，已有許多關於均質板由於形狀幾何與材
料所引起應力奇異之文章，且大部分文獻探討靜態行為，僅有少數研究振
動行為者，其中又以古典薄板理論或平面線彈性理論為主。
對於求解矩形薄板之振動問題，以下文獻分別利用不同方法建立所需
之積分方程求解。Lynn 和 Kumbasar (1967)分析了具裂縫四邊簡支承矩形
板振動問題，首先用
Green’s 函數來表示板之位移分量，並進一步將欲求
問題轉換成齊性 Fredholm 第一型積分方程(homogeneous Fredholm integral
equations of the first kind)，再求解積分方程；Stahl 和 Keer (1972)利用對偶
級 數 方 程 (dual series equations) 得 齊 性 Fredholm 第 二 型 積 分 方 程
(homogeneous Fredholm integral equations of the second kind) 來求解振動問
題。Aggarwala 和 Ariel (1981)應用 Stahl 和 Keer (1972)之方法，求解簡支
4
方形板具有位於中心點十字型裂縫或兩組(水平與垂直)對稱於中心點之邊
緣裂縫振動問題。Hirano 和 Okazaki (1980)亦針對一組對邊為簡支承之裂
縫矩形板，利用 Levy 的解，將裂縫兩邊的不連續位移當作未知函數，並
進一步以加權餘數法(weighted residual method)來滿足邊界條件。另外，
Nezu (1982)則是修正 Lynn 和 Kumbasar (1967)之方法，以 Levy 解建立所須
之 Green 函數。Solecki (1983)之作法類似 Hirano 和 Okazaki (1980)，不過
使用四邊簡支承板之解析解，將描述裂縫處位移和轉角的不連續函數，進
行 finite Fourier 轉換，求解裂縫板振動問題。
於數值方法中，最常利用有限元素法與 Ritz 法分析具裂縫矩形板之振
動問題。Qian 等人(1991)發展了一有限元素的解法，對於含裂縫尖端的元
素，經由對應力強度因子的積分，建構元素的勁度矩陣。Yuan 和 Dickinson
(1992)將一矩形板分成幾個區塊，在區塊連接邊界是以加入來彈簧處理；
因此，就可用 Ritz 法中的正規允許函數來求解，不必用特別的函數來描述
裂縫。Krawczuk (1993)則提出類似 Qian 等人(1991)的解決方式，唯一不同
的是對裂縫尖端元素勁度矩陣，採用封閉形式(closed form)的積分。
利用 Ritz 法分析板振動問題，主要條件為所使用允許函數之適當性。
Yuan 和 Dickinson (1992)將矩形板分成數個區塊，並加置人工彈簧於各區
塊連結之邊界上；因此，可用傳統的允許函數(regular admissible functions)
5
於各區域來求解，不必用特別的函數來描述裂縫。Liew 等人(1994)用類似
於 Yuan 和 Dickinson (1992)之切割方法，且僅要求各區塊之允許函數於兩
區塊交接處，以積分形式滿足允許函數及其一階微分之連續性。Khaddem
和 Rezaee (2000)利用 Levy’s solution 建立所謂修正比較函數(modified
comparison functions)，作為 Ritz 法所中的允許函數(admissible functions)，
分析具水平裂縫簡支承矩形板於不同裂縫長度、深度與位置時之振動。然
而，因為 Khadem 和 Rezaee (2000)使用之允許函數較為特殊，其僅適用於
處理至少一對邊是簡支承 (two opposite edges simply supported)之裂縫矩
形板振動問題。Huang 和 Leissa (2009)，利用 Williams (1952)推導裂縫尖端
之漸近解，提出了一組可準確描述邊緣裂縫奇異行為的允許函數，並將此
允許函數用於求解不同邊界條件下(四邊簡支承與自由端)含邊緣裂縫薄板
的振動問題。李昱成 (2009)使用 Ritz 法分析裂縫矩形板之自由振動，引入
一組特殊函數，來描述裂縫尖端之奇異性並滿足跨裂縫之位移與轉角不連
續行為。上述應用 Ritz 法求解具裂縫板振動之文獻回顧中，絕大部分均透
過切割次區域之技巧處理(Yuan 和 Dickinson、Liew 等與 Lee 和 Lim)，先
在各區域內選擇適當之允許函數，再利用各種類似連續條件，建立全域之
允許函數。但這些文獻忽略了 Ritz 法頻率從上限收斂的特性，因為其允許
函數在兩個次區域連接處並非處處連續，而且例如 Yuan 和 Dickinson
6
(1992)安裝人工彈簧於次區域之連接處，雖然強迫滿足了必要之連續條件，
但彈簧的勁度也會影響數據正確性。
亦有少數文獻分析具裂縫厚板之振動： Lee 和 Lim (1993)根據 Reissner
定理，利用區域分解的方法決定 Ritz 法求解含水平中心裂縫簡支矩形
Mindlin 板之允許函數，並求解振動頻率。Bachene 等 (2009)討論在 Mindlin
板 理 論 架 構 下 利 用 擴 展 的 有 限 元 素 法 (extended finite element method
(X-FEM) )分析含水平裂縫矩形薄板(厚寬比
h
/
b
1
/
500
)的自然振動頻率。
Hosseini-Hashemi 等人 (2010)利用 Mindlin 板理論，並建立封閉型式的特
徵方程分析具裂縫之矩形板，並提高了自然振動頻率的計算速度。Zhou 等
人(2011)利用移動式最小平方元素法(MLS- element method)分析含裂縫之
Mindlin 板振動問題。Huang 等人 (2011)使用 Ritz 法分析含裂縫矩形
Mindlin 板之自然振動頻率與模態，為了準確描述裂縫，提出一組新的允許
函數，此允許函數包含能滿足邊界條件之多項式函數與能準確描述裂縫尖
端之奇異性並滿足跨越裂縫位移與轉角不連續行為之裂縫函數。
大部分研究功能梯度板，是以探討熱相關的問題，僅少數文獻探討關
於 FGM 板或複合材料板振動。基於古典板理論，Yang 和 Shen (2001)研究
含平面應力之四邊固定 FGM 方形板之振動行為。He 等人 (2001)研究附有
壓電感應器的 FGM 方形板之振動。Zhao 等人 (2009)採用一階剪力變形板
7
理論去分析 FGM 方形板在不同邊界條件下之振動。Reddy (2000)導出一有
限元素解來分析 FGM 板之振動行為。Ferreira 等人 (2006)採用無網格葛
勒金法去解決一般方程。Matsunaga (2008)根據 2D 高階板理論，導出一系
列的基礎動力方程來分析簡支方形 FGM 板。Qian 等人 (2004)根據高階剪
力變形板理論，利用無網格葛勒金法去解決一般方程，並研究 FGM 板之
振動行為。Vel 和 Batra (2004)提出 3D 解來分析簡支矩形 FGM 板之振動。
Hosseini-Hashemi 等人 (2011)利用 Mindlin 板理論分析圓形與環狀之壓電
層與 FGM 板耦合面內與面外振動模態。張明儒 (2008)推導功能梯度材料
厚板的漸近解，並探討板幾何所致的應力奇異性；進而將該漸近解引入懸
臂斜形板和具邊緣裂縫簡支承矩形板之振動分析中，並計算具邊緣裂縫矩
形板的應力強度因子。王凱平 (2010)利用 3D 彈性理論探討具邊緣裂縫
FGM 板振動。本研究將延續王凱平之研究，利用 3D 彈性理論分析具內部
裂縫 FGM 板由不同邊界條件、不同厚度、不同裂縫位置、不同裂縫長度
及角度之振動行為。
1.3 內容概要
本論文共分為五章，其內容如下：
第一章 說明本研究的動機與目的，並回顧相關文獻。
8
第二章 介紹本研究所使用之理論與方法，並引入允許函數。
第三章 以 3D 彈性理論為基礎，並利用 Ritz 法求解含內部裂縫矩形板之振
動，驗證允許函數之適用性，並探討不同邊界條件、不同厚度、不
同裂縫長度和不同材料特性參數對收斂性之影響。
第四章 以第三章所用之允許函數分析不同邊界條件、不同厚度、不同裂縫
位置、不同裂縫長度及角度和不同材料特性等參數對振動特性之
影響。
第五章 本研究之結論與建議。
9
第二章 分析方法
本章將介紹功能梯度板之材料性質，再以 3D 彈性理論為架構，配合
Ritz 法求解含裂縫之功能梯度板（參考圖 2.1、圖 2.2）振動。
2.1 功能梯度材料公式
FGM 材料為非均勻性。本文中所探討的功能梯度板是由金屬鋁(Al)跟
陶瓷(
)組成，其材料性質如表 2.1 所示。假設功能梯度板的材料特性
沿厚度方向變化，可表示為
P
z
V
P
z
P
(
)
b
(
)
(2.1)
其中
P
(z
)
為材料的有效性質，
P
b代表板底層(
z
h
2
)的材料性質，
P
是
bP
跟板頂層(
z
h
2
)材料性質的差異，
mh
z
z
V
ˆ2
1
)
(
(2.2)
h 代表板厚；
m
ˆ
是控制材料沿厚度(z)方向變化的參數。
10
2.2 3D 彈性理論之應變能與動能
利用
x
y
z
直角座標系統表示 3D 彈性理論之應變能與動能。應變能
以張量分量表示成：
dV
U
ij
ij2
1
(2.3)
其中
T yz xz xy zz yy xx ij
(2.4a)
T yz xz xy zz yy xx ij
2
2
2
(2.4b)
彈性體之本構方程為
yz xz xy zz yy xx yz xz xy zz yy xx
2
2
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
2
0
0
0
2
(2.5)
其中
與
為拉梅常數(Lamé constants)；即
kk ij ij ij
2
(2.6)
當考慮 FGM 時，上式中之
及
均為 z 之函數；利用此本構方程，應變能
11 ij kk ij ij ij ij
(
2
)
2
1
2
1
(2.7)
再依微小變形理論中，應變與位移的關係
2
(
)
1
, ,j ji i ij
u
u
(2.8)
其中
u
i代表
u
1,
u
2,
u
3，其為 x、y 與 z 方向的位移，
u
i,j代表 i 方向的位移在
j 方向上的變化率，i, j = 1, 2, 3
將式(2.7)及式(2.8)代入式(2.3)得
z
u
u
z
u
u
dV
U
i,j j,i 2(
)
i,i k,k2
1
)
(
4
)
(
(2.9)
三維問題之動能可表示成
VdV
u
u
u
z
T
(
)
12 22 322
1
(2.10)
其中
為單位體積重量
2.3 利用 Ritz 法求解板之自然振動頻率
假設板內某點位移為
u
j(j=1, 2, 3)，並令
12 t i j j
U
e
u
(2.11)
式中
為自然振動頻率，
t
為時間。利用 Ritz 法求解板之自然振動頻率，
定義能量函數為
max maxT
U
(2.12)
其中
為結構總勢能，
T
max為一振動週期內最大動能，
U
max為一振動週期內
最大應變能。
依式(2.9)及(2.10)可得最大應變能及動能分別可表示為
z
U
U
z
U
U
dV
U
max i,j j,i 2(
)
i,i k,k2
1
)
(
4
)
(
(2.13)
VdV
U
U
U
z
T
(
)(
)
2
2 3 2 2 2 1 2 max
(2.14)
將
U
j利用完備性之允許函數序列可展開得
1~
i ij ij jA
U
U
(2.15)
其中
U
~
ij為滿足幾何邊界條件的允許函數。為使整體總勢能
最小，即
0
3 2 1
j j jA
A
A
(2.16)
上式經整理可簡化為特徵值問題，並求解自然振動頻率
，以及振動模態。
整理後可得一組特徵方程式
13
