板之振動模態探討

0 / a 

d

時，相對 3D 彈性理論誤差均小於

1.50%

，最大值發生在

0.2 / b 

h

的第四模態。因此由以上討論可知 Mindlin 板理論可用於 分析板厚

h / b  0.2

者；但 Mindlin 板理論相較於 3D 彈性理論會稍有 低估的現象。

4.3 板之振動模態探討

圖 4.2~4.10 為前述所分析具有裂縫之 FGM 板的部分 3D 振動模態圖與 在中平面上之 2D 模態圖；圖中包含了各種裂縫開裂的形式。2D 圖中板內 空白者乃為以面內位移為主之模態(in-plane mode)，其餘則為以面外位移為 主之模態(out-of-plane mode)；面外模態為主之模態圖中，繪有面外位移等 高線，虛線為 z 方向位移為零之節點線。

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對於無裂縫之均質板而言，其縱向撓曲、側向撓曲、縱向延伸以及扭 曲等模態，彼此間是不耦合的，並且形成相異的對稱模態。而對於具裂縫 之 FGM 板，其各模態間相互耦合。

觀察無裂縫板之模態圖：

圖 4.2 為簡支(SSSS)方形之均質與 Al/Al₂O3 FGM (

m ˆ  5

)薄板 2D 振態圖，

板厚為

h / b  0 . 02

，其第一模態為無節點線之面外撓曲，第二和第三模態分 別為具不同方向單一節點線之面外撓曲，第四模態為沿兩條相互垂直節點 線之面外撓曲，第五模態為沿兩條相互平行節點線之面外撓曲。

圖 4.3 與圖 4.4 分別為簡支(SSSS)方形之均質板振態圖與 Al/Al2O3

FGM 板振態圖 (

m ˆ  5

)，觀察板厚

h / b  0 . 1

，其第一模態為無節點線之面外 撓曲，第二和第三模態分別為具不同方向單一節點線之面外撓曲，第四和 第五模態則為平面內的縱向延伸。板厚

h / b  0 . 2

，其第一模態為無節點線之 面外撓曲，第二和第三模態為平面內的縱向延伸，第四和第五模態則為具 不同方向單一節點線之面外撓曲。

圖 4.5 與圖 4.6 分別為懸臂(CFFF)方形之均質板振態圖與 Al/Al2O3

FGM 板振態圖(

m ˆ  5

)。板厚

h / b  0 . 1

之第一模態為一個無節點線之面外撓曲，

第二模態為分別具不同方向單一節點線之面外扭曲，第三模態為沿單一節 點線之面外撓曲，第四模態為平面內之延伸，第五模態為沿兩條對稱節點

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線之面外撓曲。而板厚

h / b  0 . 2

之第一、二和五模態與

h / b  0 . 1

相同，第三 模態為為平面內之延伸，第四模態為沿單一節點線之面外撓曲。

圖 4.7 與圖 4.8 為兩端固定端，兩端自由端(CFCF)方形之均質板振態 圖與 Al/Al₂O₃ FGM 板振態圖(

m ˆ  5

)。板厚

h / b  0 . 1

之第一模態為無節點線之 面外撓曲，第二模態為單一節點線之面外扭曲，第三模態為兩條節點線之 面外扭曲，第四模態為具不同方向單一節點線之面外撓曲，第五模態為沿 兩條相互垂直之節點線之面外扭曲。板厚之第一和二模態同

h / b  0 . 1

，第三 模態為平面內之延伸，第四和五模態則同

h / b  0 . 1

之第三和四模態。圖 4.9 與圖 4.10 同為兩端固定端，兩端自由端(CFCF) ，形狀改為矩形(a/b=2)之 均質與 Al/Al₂O₃ FGM 板振態圖(

m ˆ  5

)，板厚

h / b  0 . 1

之第一模態為無節點線 之面外撓曲，第二模態為單一節點線之面外扭曲，第三模態為具不同方向 單一節點線之面外撓曲，第四模態為沿兩條相互垂直之節點線之面外扭曲 第五模態為兩條節點線之面外扭曲。板厚

h / b  0 . 2

之第一、二和三模態同

1 . 0 / b 

h

，第四模態為平面內之延伸，第五模態同

h / b  0 . 1

之第四模態。以 上圖中可見均質板與 Al/Al2O3 FGM 板所呈現之振態圖相同，故模態圖並不 受材料特性參數(

m ˆ

)所影響。

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在文檔中 利用三維彈性理論配合Ritz法分析具內部裂縫矩形功能梯度材料板之振動問題 (頁 64-67)