裂縫對振動頻率之影響 - 數值結果 - 利用三維彈性理論配合Ritz法分析具內部裂縫矩形功能梯度材料板之振動問題

第四章數值結果

4.1 裂縫對振動頻率之影響

因裂縫而導致之無因次化頻率折減量比，定義為：

%

 100

 



無裂縫裂縫無裂縫



 

_； _(4.1)

其中，



_{無裂縫}為完整板無因次化頻率值，



_{裂縫}為具裂縫板之無因次化頻率

值。

4.1.1 四邊簡支(SSSS)板

表 4.1、表 4.2 和表 4.3 為具水平內部裂縫於

 x

₀

/ a , y

₀

/ b    0 . 5 , 0 . 5 

處之簡支 Al/Al₂O3方形 FGM 板，在不同板厚(

h / b

) = 0.02、0.1、0.2，不同裂縫長度(

d a

) = 0.1 ~ 0.5，不同材料特性參數(

^m ^ˆ

) = 0、0.2、1、5、10 下之無因次化自然振動頻率；而表 4.4、表 4.5 和表 4.6 分別為對應表 4.1、表 4.2 和表 4.3 之無因次化頻率折減量比

 

(參看式(4.1) )。表 4.7、表 4.8 和表 4.9 為具水平內部裂縫於

 x

₀

/ a , y

₀

/ b    0 . 5 , 0 . 75 

處之簡支 Al/Al₂O3方形 FGM 板，

在不同板厚(

h / b

) = 0.02、0.1、0.2，不同裂縫長度(

d a

) = 0.1 ~ 0.5，不同材料特性參數(

m ˆ

) = 0、0.2、1、5、10 下之無因次化自然振動頻率；而表 4.10、

表 4.11 和表 4.12 分別為對應表 4.7、表 4.8 和表 4.9 之無因次化頻率折減量比

 

。表 4.13 、表 4.14 和表 4.15 為具

  30 

內部裂縫於

 x

₀

/ a , y

₀

/ b    0 . 5 , 0 . 5 

處之簡支 Al/Al₂O₃方形 FGM 板，在不同板厚(

h / b

) =

0.02、0.1、0.2，不同裂縫長度(

d a

) = 0.1、0.3、0.5，不同材料特性參數(

m ˆ

)

= 0、0.2、5 下之無因次化自然振動頻率；而表 4.16、表 4.17 和表 4.18 分別為對應表 4.13、表 4.14 和表 4.15 之無因次化頻率折減量比

 

。觀察各表可發現

（1）考慮完整板(無裂縫者

d a  0

)中厚度為(

h / b  0 . 1

、

0 . 2

)板之第四與第五模態頻率完全相同，厚度(

h / b  0 . 02

)之第二與第三模態頻率

完全相同，此現象為幾何條件對稱具有的特徵值重根現象。

（2）當裂縫長度增加時，無因次化頻率隨之下降；此乃由於裂縫長度的增加，導致板勁度降低。觀察各案例

d a  0 . 1

，其頻率折減量比

 

皆小於 1.2%；最大值

   1 . 17 %

發生在

h / b  0 . 02

m ˆ  10

的第五模態。當

d a  0 . 5

時，其頻率折減量比

 

則可升至約 21%；最大值

% 70 .

 20

 

發生在

h / b  0 . 1

m ˆ  10

的第二模態。裂縫越短，勁度降低量越小，各模態頻率值降低量也越小。

（3）考慮不同厚度下裂縫位置改變對頻率之影響：

（a）當

h / b  0 . 02

且裂縫長度固定時，水平裂縫位置從

 x

₀

/ a , y

₀

/ b    0 . 5 , 0 . 5 

改變至

 x

₀

/ a , y

₀

/ b    0 . 5 , 0 . 75 

，第一模態之頻

率隨之增加，而第二模態頻率隨之減小；第三模態當

3 . 0

~ 1 .

 0 a

d

時無明顯趨勢，

d a  0 . 4 ~ 0 . 5

時頻率隨之增加；第四模態當

d a  0 . 1 ~ 0 . 3

時無明顯趨勢，

d a  0 . 4 ~ 0 . 5

時頻率隨之減少；第五模態當

d a  0 . 1 ~ 0 . 3

時頻率隨之增加，

d a  0 . 4 ~ 0 . 5

時則呈相反趨勢。

（b）當

h / b  0 . 1

且裂縫長度固定時，水平裂縫位置從

 x

^/ a ^, y

^/ b    ⁰ ^. ⁵ ^, ⁰ ^. ⁵ 

改變至

 x

^/ a ^, y

^/ b    ⁰ ^. ⁵ ^, ⁰ ^. ⁷⁵ 

，第一模態之頻率隨之增加；第二模態

d a  0 . 1 ~ 0 . 4

隨之減少，

d a  0 . 5

呈相反

趨勢；第三模態無明顯趨勢；第四和五模態隨之減少。

（c）當

h / b  0 . 2

且裂縫長度固定時，水平裂縫位置從

 x

₀

/ a , y

₀

/ b    0 . 5 , 0 . 5 

改變至

 x

₀

/ a , y

₀

/ b    0 . 5 , 0 . 75 

，第一模態之

頻率隨之增加；第二模態

d a  0 . 1 ~ 0 . 4

隨之減少，

d a  0 . 5

呈相反趨勢；第三模態隨之減少；第四模態無明顯趨勢；第五模態

d a  0 . 1 ~ 0 . 3

無明顯趨勢，

d a  0 . 4 ~ 0 . 5

時則隨之增加。

（4）考慮不同厚度下裂縫角度改變對頻率之影響：

（a）當

h / b  0 . 02

且裂縫位置

 x

₀

/ a , y

₀

/ b    0 . 5 , 0 . 5 

時，角度由

  0

^改變至

  30

^，第一和二模態之頻率無一定趨勢，第三和四模態隨之減少，第五模態則隨之增加。

（b）當

h / b  0 . 1

且裂縫位置

 x

₀

^/ a ^, y

₀

^/ b    ⁰ ^. ⁵ ^, ⁰ ^. ⁵ 

時，角度由

  0

^改變至

  30

^，第一和三模態之頻率隨之減少，第二、四和五模態無一定趨勢。

（c）當

h / b  0 . 2

且裂縫位置

 x

₀

/ a , y

₀

/ b    0 . 5 , 0 . 5 

時，角度由

  0

^改變至

  30

^，第一模態之頻率隨之減少，第二和五模態

d a  0 . 1

及

d a  0 . 3

無一定趨勢，

d a  0 . 5

隨之增加；而第三和四模態無一定之趨勢。

（5）無因次化頻率隨材料特性參數(

m ˆ

)增加而下降，是因為

m ˆ

增加所造成的勁度下降相較於質量減少來的快 (如圖 4.1 所示) 。

（6）當厚板(

h / b  0 . 1

、

0 . 2

)之第五模態主要以面內位移為主時(參看圖 4.3)，其無因次化頻率的變化對於裂縫長度之增加較不明顯，也就是其面內勁度較不受裂縫長度的影響(相較於面外者)。

（7）厚度增加，其無因次化頻率將隨之下降，此因於無因次化頻率中含

（

h

1

）之項。

4.1.2 懸臂(CFFF)板

表 4.19 、表 4.20 和表 4.21 為具水平 (

  0

^ ) 內部裂縫於

 x

₀

/ a , y

₀

/ b    0 . 5 , 0 . 5 

處之懸臂 Al/Al2O3方形 FGM 板，在不同板厚(

h / b

) =

0.02、0.1、0.2，不同裂縫長度(

d a

) = 0.1 ~ 0.5，不同材料特性參數(

m ˆ

) = 0、

0.2、1、5、10 下之無因次化自然振動頻率；而表 4.22、表 4.23 和表 4.24 分別為對應表 4.19、表 4.20 和表 4.21 之無因次化頻率折減量比

 

。表 4.25、

表 4.26 和表 4.27 為具水平(

  0

^)內部裂縫於

 x

₀

/ a , y

₀

/ b    0 . 5 , 0 . 75 

處之懸臂 Al/Al₂O3方形 FGM 板，在不同板厚(

h / b

) = 0.02、0.1、0.2，不同裂縫長度(

d a

) = 0.1、0.3、0.5，不同材料特性參數(

^m ^ˆ

) = 0、0.2、5 下之無因次化自然振動頻率；而表 4.28、表 4.29 和表 4.30 分別為對應表 4.25、表 4.26 和表 4.27 之無因次化頻率折減量比

 

。表 4.31、表 4.32 和表 4.33 為具垂

直(

  90

^)內部裂縫於

 x

₀

/ a , y

₀

/ b    0 . 5 , 0 . 5 

處之懸臂 Al/Al2O3方形 FGM 板，

在不同板厚(

h / b

) = 0.02、0.1、0.2，不同裂縫長度(

d a

) = 0.1、0.3、0.5，

不同材料特性參數(

m ˆ

) = 0、0.2、5 下之無因次化自然振動頻率；而表 4.34、

表 4.35 和表 4.36 分別為對應表 4.31、表 4.32 和表 4.33 之無因次化頻率折減量比

 

。表 4.37、表 4.38 和表 4.39 為具垂直(

  90

^)內部裂縫於

 x

₀

/ a , y

₀

/ b    0 . 25 , 0 . 5 

處之懸臂 Al/Al₂O3方形 FGM 板，在不同板厚(

h / b

) =

0.02、0.1、0.2，不同裂縫長度(

d a

) = 0.1、0.3、0.5，不同材料特性參數(

m ˆ

)

= 0、0.2、5 下之無因次化自然振動頻率；而表 4.40、表 4.41 和表 4.42 分別為對應表 4.37、表 4.38 和表 4.39 之無因次化頻率折減量比

 

。表 4.43、

表 4.44 和表 4.45 為具(

  150

^)內部裂縫於

 x

₀

/ a , y

₀

/ b    0 . 5 , 0 . 5 

處之懸臂

Al/Al2O3方形 FGM 板，在不同板厚(

h / b

) = 0.02、0.1、0.2，不同裂縫長度 (

d a

) = 0.1、0.3、0.5，不同材料特性參數(

m ˆ

) = 0、0.2、5 下之無因次化自然振動頻率；而表 4.46、表 4.47 和表 4.48 分別為對應表 4.43、表 4.44 和表 4.45 之無因次化頻率折減量比

 

。觀察各表可發現裂縫對頻率之影響與前節所述者不同的是：

（1）觀察各案例

d a  0 . 1

，其頻率折減量比

 

大部分都小於 1.2%；且最大值

   1 . 19 %

發生於

h / b  0 . 2

  90

^,

m ˆ  5

 x

^/ a ^, y

^/ b    ⁰ ^. ²⁵ ^, ⁰ ^. ⁵ 

的第一模態。當

d a  0 . 5

時，其頻率折減量比

 

則可升至約 20%；

最大值

   19 . 23 %

發生於

h / b  0 . 2

  90

^ ,

m ˆ  5

 x

₀

/ a , y

₀

/ b    0 . 25 , 0 . 5 

的第一模態。

（2）考慮不同厚度下裂縫位置改變對頻率之影響：

（a）當

h / b  0 . 02

且

  0

^時，裂縫位置從

 x

₀

/ a , y

₀

/ b    0 . 5 , 0 . 5 

改變至

 x

₀

^/ a ^, y

₀

^/ b    ⁰ ^. ⁵ ^, ⁰ ^. ⁷⁵ 

，第一至五模態之頻率皆隨之增加。當

  90

 ，裂縫位置從

 x

₀

/ a , y

₀

/ b    0 . 5 , 0 . 5 

改變至

 x

₀

/ a , y

₀

/ b    0 . 25 , 0 . 5 

，第一和二模態頻率隨之減小，第三、四和五模態則隨之增加。

（b）當

h / b  0 . 1

且

  0

^時，裂縫位置從

 x

₀

/ a , y

₀

/ b    0 . 5 , 0 . 5 

改變至

 x

₀

/ a , y

₀

/ b    0 . 5 , 0 . 75 

，第一和三模態之頻率無明顯趨勢，第二、

四和五模態隨之增加。當

  90

^，裂縫位置從

 x

₀

^/ a ^, y

₀

^/ b    ⁰ ^. ⁵ ^, ⁰ ^. ⁵ 

改變至

 x

₀

/ a , y

₀

/ b    0 . 25 , 0 . 5 

，第一和四模態頻率隨之減小，第二、

三模態則隨之增加，第五模態

d a  0 . 1

和

0 . 3

隨之增加，

d a  0 . 5

則呈相反趨勢。

（c）當

h / b  0 . 2

且

  0

^時，裂縫位置從

 x

₀

/ a , y

₀

/ b    0 . 5 , 0 . 5 

改變至

 x

₀

/ a , y

₀

/ b    0 . 5 , 0 . 75 

，第一模態之頻率無明顯趨勢，第二至五模態皆隨之增加。當

  90

^，裂縫位置從

 x

^/ a ^, y

^/ b    ⁰ ^. ⁵ ^, ⁰ ^. ⁵ 

改

變至

 x

₀

/ a , y

₀

/ b    0 . 25 , 0 . 5 

，第一和三模態頻率隨之減小，第二、

四模態則隨之增加，第五模態

d a  0 . 1

和

0 . 3

隨之增加，

d a  0 . 5

則呈相反趨勢。

（3）考慮不同厚度下裂縫角度改變對頻率之影響：

（a）當

h / b  0 . 02

時，且裂縫位置

 x

₀

^/ a ^, y

₀

^/ b    ⁰ ^. ⁵ ^, ⁰ ^. ⁵ 

時，角度由

  0

^

改變至

  90

^，第一和三模態之頻率隨之減少，第二、四和五模態則隨之增加。當角度由

  90

^改變至

  150

^，第一和三模態之頻率隨之增加，第二、四和五模態隨之減少。

（b）當

h / b  0 . 1

時，且裂縫位置

 x

₀

/ a , y

₀

/ b    0 . 5 , 0 . 5 

時，角度由

  0

^

改變至

  90

^，第一模態之頻率隨之減少，第二模態無一定趨勢，第三和五模態隨之增加，第四模態

d a  0 . 1

和

0 . 3

隨之增加，

5 .

 0 a

d

則呈相反趨勢。當角度由

  90

^改變至

  150

^，第一和三模態之頻率隨之增加，第二和五模態隨之減少，第四模態則無一定趨勢。

（c）當

h / b  0 . 2

時，且裂縫位置

 x

₀

/ a , y

₀

/ b    0 . 5 , 0 . 5 

時，角度由

  0

^

改變至

  90

^，第一至四模態之頻率隨之減少，第五模態則隨之增加。當角度由

  90

^改變至

  150

^，第一和四模態之頻率

隨之增加，第二和五模態隨之減少，第三模態無一定趨勢。

4.1.3 兩端固定端，兩端自由端(CFCF)板

表 4.49 和表 4.50 為具垂直(

  90

^)內部裂縫於

 x

₀

/ a , y

₀

/ b    0 . 5 , 0 . 5 

處之兩端固定端，兩端自由端 Al/Al₂O3方形（

a b  1

）FGM 板，在不同板厚(

h / b

)

= 0.1、0.2，不同裂縫長度(

d a

) = 0.1、0.3、0.5，不同材料特性參數(

m ˆ

) = 0、0.2、5 下之無因次化自然振動頻率；而表 4.51 和表 4.52 分別為對應表 4.49 和表 4.50 之無因次化頻率折減量比

 

。表 4.53 和表 4.54 為具垂直 (

  90

^)內部裂縫於

 x

₀

/ a , y

₀

/ b    0 . 25 , 0 . 5 

處之兩端固定端，兩端自由端 Al/Al2O3方形（

a b  1

）FGM 板，在不同板厚(

h / b

) = 0.1、0.2，不同裂縫長度(

d a

) = 0.1、0.3、0.5，不同材料特性參數(

^m ^ˆ

) = 0、0.2、5 下之無因次化自然振動頻率；而表 4.55 和表 4.56 分別為對應表 4.53 和表 4.54 之無因次化頻率折減量比

 

。表 4.57 和表 4.58 為具垂直(

  90

^)內部裂縫於

 x

₀

/ a , y

₀

/ b    0 . 5 , 0 . 5 

處之兩端固定端，兩端自由端 Al/Al₂O₃矩形（

a b  2

）

FGM 板，在不同板厚(

h / b

) = 0.1、0.2，不同裂縫長度(

d a

) = 0.1、0.3、0.5，

不同材料特性參數(

m ˆ

) = 0、0.2、5 下之無因次化自然振動頻率；而表 4.59 和表 4.60 分別為對應表 4.57 和表 4.58 之無因次化頻率折減量比

 

。表 4.61 和表 4.62 為具垂直(

  90

^)內部裂縫於

 x

₀

/ a , y

₀

/ b    0 . 25 , 0 . 5 

處之兩端固定端，兩端自由端 Al/Al₂O3矩形（

a b  2

）FGM 板，在不同板厚(

h / b

) = 0.1、

0.2，不同裂縫長度(

d a

) = 0.1、0.3、0.5，不同材料特性參數(

m ˆ

) = 0、0.2、

5 下之無因次化自然振動頻率；而表 4.63 和表 4.64 分別為對應表 4.61 和表 4.62 之無因次化頻率折減量比

 

。表 4.65 和表 4.66 為具(

  150

^)內部裂縫於

 x

₀

/ a , y

₀

/ b    0 . 5 , 0 . 5 

處之兩端固定端，兩端自由端 Al/Al₂O3 方形

（

a b  1

）FGM 板，在不同板厚(

h / b

) = 0.1、0.2，不同裂縫長度(

d a

) = 0.1、

0.3、0.5，不同材料特性參數(

^m ^ˆ

) = 0、0.2、5 下之無因次化自然振動頻率；

而表 4.67 和表 4.68 分別為對應表 4.65 和表 4.66 之無因次化頻率折減量比





。觀察各表可發現裂縫對頻率之影響：

（1）觀察各案例

d a  0 . 1

，其頻率折減量比

 

都小於 0.65%；且最大值

   0 . 64 %

發生於方形（

a b  1

） ,

h / b  0 . 1

  90

^ ,

m ˆ  5

 x

₀

/ a , y

₀

/ b    0 . 5 , 0 . 5 

的第一模態。當

d a  0 . 5

時，其頻率折減量比





則可升至約 20%；最大值

   19 . 11 %

發生於方形（

a b  1

）,

2 . 0 / b 

h

  90

^,

m ˆ  0

 x

₀

/ a , y

₀

/ b    0 . 5 , 0 . 5 

的第五模態。

（2）考慮不同厚度下裂縫位置改變對頻率之影響：

(a) 當

h / b  0 . 1

且為方型板（

a b  1

）時，裂縫位置從

 x

₀

/ a , y

₀

/ b    0 . 5 , 0 . 5 

改變至

 x

₀

/ a , y

₀

/ b    0 . 25 , 0 . 5 

，第一模態之頻

率隨之增加，第二和五模態隨之減少，第三模態

d a  0 . 1

和

0 . 3

隨之增加，

d a  0 . 5

則呈相反趨勢；第四模態

d a  0 . 1

和

0 . 3

隨之減

少，

d a  0 . 5

呈相反趨勢。當為矩型板（

a b  2

），裂縫位置從

 x

₀

/ a , y

₀

/ b    0 . 5 , 0 . 5 

改變至

 x

₀

/ a , y

₀

/ b    0 . 25 , 0 . 5 

，第一、四和五

模態之頻率隨之增加，第二和三模態則隨之減少。

(b) 當

h / b  0 . 2

且為方型板（

a b  1

）時，裂縫位置從

 x

₀

^/ a ^, y

₀

^/ b    ⁰ ^. ⁵ ^, ⁰ ^. ⁵ 

改變至

 x

₀

^/ a ^, y

₀

^/ b    ⁰ ^. ²⁵ ^, ⁰ ^. ⁵ 

，第一模態之頻

率隨之增加，第二和三模態隨之減少，第四模態

d a  0 . 1

隨之增加，

d a  0 . 3

和

0 . 5

呈相反趨勢；第五模態

d a  0 . 1

和

0 . 3

隨之減少，

5 .

 0 a

d

呈相反趨勢。當為矩型板（

a b  2

），裂縫位置從

 x

₀

/ a , y

₀

/ b    0 . 5 , 0 . 5 

改變至

 x

₀

/ a , y

₀

/ b    0 . 25 , 0 . 5 

，第一和五模態

之頻率隨之增加，第二、三和四模態則隨之減少。

（3）考慮不同厚度下裂縫角度改變對頻率之影響

(a) 當

h ^/ b  ⁰ ^. ¹

且為方型板（

a b  1

）時，裂縫位置

 x

₀

/ a , y

₀

/ b    0 . 5 , 0 . 5 

，角度由

  90

^改變至

  150

^，第一和四模態之頻率隨之增加，

第二、三和五模態則隨之減少。

(b) 當

h / b  0 . 2

且為方型板（

a b  1

）時，裂縫位置

 x

₀

/ a , y

₀

/ b    0 . 5 , 0 . 5 

，角度由

  90

^改變至

  150

^，第一和五模態之頻率隨之增加，

第二、三和四模態則隨之減少。

在文檔中利用三維彈性理論配合Ritz法分析具內部裂縫矩形功能梯度材料板之振動問題 (頁 52-63)

裂縫對振動頻率之影響

第四章 數值結果

4.1 裂縫對振動頻率之影響

%

 100

 







 





4.1.1 四邊簡支(SSSS)板

 x

/ a , y

/ b    0 . 5 , 0 . 5 

h / b

d a

m ˆ

 

 x

/ a , y

/ b    0 . 5 , 0 . 75 

h / b

d a

m ˆ

 

  30 

 x

/ a , y

/ b    0 . 5 , 0 . 5 

h / b

d a

m ˆ

 

d a  0

h / b  0 . 1

0 . 2

h / b  0 . 02

d a  0 . 1

 

   1 . 17 %

h / b  0 . 02

m ˆ  10

d a  0 . 5

 

% 70 .

 20

 

h / b  0 . 1

m ˆ  10

h / b  0 . 02

 x

/ a , y

/ b    0 . 5 , 0 . 5 

 x

/ a , y

/ b    0 . 5 , 0 . 75 

3 . 0

~ 1 .

 0 a

d

d a  0 . 4 ~ 0 . 5

d a  0 . 1 ~ 0 . 3

d a  0 . 4 ~ 0 . 5

d a  0 . 1 ~ 0 . 3

d a  0 . 4 ~ 0 . 5

h / b  0 . 1

 x

/ a , y

/ b    0 . 5 , 0 . 5 

 x

/ a , y

/ b    0 . 5 , 0 . 75 

d a  0 . 1 ~ 0 . 4

d a  0 . 5

h / b  0 . 2

 x

/ a , y

/ b    0 . 5 , 0 . 5 

第四章數值結果

^m ^ˆ

^/ a ^, y

^/ b    ⁰ ^. ⁵ ^, ⁰ ^. ⁵ 

^/ a ^, y

^/ b    ⁰ ^. ⁵ ^, ⁰ ^. ⁷⁵ 

^/ a ^, y

^/ b    ⁰ ^. ⁵ ^, ⁰ ^. ⁵ 

^m ^ˆ