文獻回顧

文獻中已有了許多關於均質板由形狀幾何與材料所引起應力奇異之文 章，且大部分文獻探討靜態行為，即用各種方法求取不同載重情況之應力 強度因子(stress intensity factor)。僅有少數研究振動行為者，其中又以古典 板理論者居多。

以下文獻應用積分方程求解矩形薄板之振動問題，使用不同技巧建立 所需之積分方程。Lynn 和 Kumbasar(1967)用 Green 函數來表示具裂縫之四 邊簡支矩形板之位移分量，將問題轉換成齊性 Fredholm 第一型積分積分方 程（homogeneous Fredholm integral equations of the first kind），再求解之；

Stahl 和 Keer (1972)則利用對偶級數方程得齊性 Fredholm 第二型積分方程

（homogeneous Fredholm integral equations of the second kind）來解決同樣的 振動問題。Aggarwala 和 Ariel (1981)應用 Stahl 和 Keer (1972)之方法，求解 簡支方形板具有位於中心點十字型裂縫或兩組(水平與垂直)對稱於中心點 之邊緣裂縫振動問題。Hirano 和 Okazaki (1980)亦針對一組對邊為簡支承之 裂縫矩形板，利用 Levy 的解，將裂縫兩邊的不連續位移當作未知函數，並

進一步以加權餘數法(weighted residual method)來滿足邊界條件，求解此振 動問題。另外，Neku (1982)則是修正 Lynn 和 Kumbasar (1967)之方法，以 Levy 解建立所須之 Green 函數。Solecki (1983)的方法與 Hirano 和 Okazaki (1980)類似，利用 Navier 解配合描述裂縫處位移和轉角的不連續函數之 Fourier 轉換，進而求解裂縫板振動問題。

於數值方法中，最常利用有限元素法與 Ritz 法分析具裂縫矩形板之振 動問題。Qian 等人 (1991)為了發展一有限元素的解法，對裂縫尖端的元素，

經由對應力強度因子的積分，建構含裂縫元素的勁度矩陣。Krawczuk(1993) 則提出類似 Qian 等人 (1991)的解決方式，唯一的不同是對裂縫尖端元素勁 度矩陣，採用封閉形式（closed form）的積分。Bachene 等 (2009)討論在 Mindlin 板理 論架構下 利用擴 展的有限元 素法（ extended finite element method（X-FEM））分析含水平裂縫矩形薄板（厚寬比

h / b ≤ 1 / 500

在利用 Ritz 法分析板振動問題是否成功，主要決定於所使用允許函數 之恰當性。目前利用 Ritz 法求解裂縫板振動問題文獻如下：Yua n 和 Dickinson

（1992）將矩形板分成數個區塊，並加置人工彈簧於各區塊連結之邊界上，

因此，可用傳統的允許函數（regular admissible functions）於各區域來求解，

不必用特別的函數來描述裂縫。Lee 和 Lim（1993）根據 Reissner 定理，利

用區域分解的技巧決定 Ritz 法求解含水平中心裂縫簡支矩形 Mindlin 板之允 許函數，並求解振動頻率。Liew 等人（1994）用類似於 Yua n 和 Dickinson

（1992）之切割方法，且僅要求各區塊之允許函數於兩區塊交接處，以積 分形式滿足允許函數及其一階微分之連續性。Khaddem 和 Rezaee（2000）

利用 Levy’s solution 建立所謂修正比較函數（modified comparison functions），

作為 Ritz 法所中的允許函數（admissible functions），分析具水平裂縫簡支 承矩形板於不同裂縫長度、深度與位置時之振動。然而，因為 Khadem 和 Rezaee（2000）使用之允許函數較為特殊，其僅適用於處理至少一對邊是簡 支承（two opposite edges simply supported）之裂縫矩形板振動問題。Huang 和 Leissa（2009）在近期，利用 Williams（1952）推導裂縫尖端之漸近解，

提出了一組可準確描述邊緣裂縫奇異行為的允許函數，並將此允許函數用 於求解不同邊界條件下（四邊簡支承與自由端）含邊緣裂縫薄板的振動問 題。李昱成 (2009)使用 Ritz 法分析裂縫矩形板之自由振動，引入一組特殊 函數，來描述裂縫尖端之奇異性並滿足跨裂縫之位移與轉角不連續行為。

上述應用 Ritz 法求解具裂縫板振動之文獻回顧中，絕大部分均透過切割次 區域之技巧處理(Yua n 和 Dickinson、Liew 等與 Lee 和 Lim)，先在各區域內 選擇適當之允許函數，再利用各種類似連續條件，建立全域之允許函數。

但這些文獻忽略了 Ritz 法頻率從上限收斂的特性，因為其允許函數在兩個

次區域連接處並非處處連續，而且例如 Yua n 和 Dickinson (1992)安裝人工 彈簧於次區域之連接處，雖然強迫滿足了必要之連續條件，但彈簧的勁度 也會影響數據結果。

利用厚板理論研究具裂縫板振動之文獻如下： Xiang 等人 (2009)用一 階剪力變形板理論為基礎，推導出離散奇異摺積-元素法（discrete singular convolution （DSC）），來分析自由振動矩形 Mindlin 板。Hosseini-Hashemi 等人 (2010)利用 Mindlin 板理論，分析具裂縫之矩形板，並提高了自然振動 頻率的計算速度。李榕師 (2009)使用 Ritz 法分析含裂縫矩形 Mindlin 板之 自然振動頻率與模態，為了準確描述裂縫，提出一組新的允許函數，此允 許函數包含能滿足邊界條件之多項式函數與能準確描述裂縫尖端之奇異性 並滿足跨越裂縫位移與轉角不連續行為之函數。

絕大部分文獻研究功能梯度材料板，是以探討熱相關的問題，僅少數 探討關於 FGM 板或複合材料板振動之文獻。基於古典板理論，Yang 和 Shen (2001)研究含平面應力之四邊固定 FGM 方形板之振動行為。He 等人 (2001) 研究附有壓電感應器的 FGM 方形板之振動。Zhao 等人 (2009)採用一階剪 力變形板理論去分析 FGM 方形板在不同邊界條件下之振動。Reddy (2000) 導出一有限元素解來分析 FGM 板之振動行為。Ferreira 等人 (2006)採用無 網格葛勒金法去解決一般方程。Matsunaga (2008)根據 2D 高階板理論，導

出一系列的基礎動力方程來分析簡支方形 FGM 板。Qian 等人 (2004)根據 高階剪力變形板理論，利用無網格葛勒金法去解決一般方程，並研究 FGM 板之振動行為。Vel 和 Batra (2004)提出 3D 解來分析簡支矩形 FGM 板之振 動。張明儒 (2008)推導功能梯度材料厚板的漸近解，並探討板幾何所致的 應力奇異性；進而將該漸近解引入懸臂斜形板和具邊緣裂縫簡支承矩形板 之振動分析中，並計算具邊緣裂縫矩形板的應力強度因子。

過去尚未有文獻考慮具裂縫之功能梯度材料板之振動行為。本研究將 首次利用 3D 彈性理論探討具邊緣裂縫 FGM 板由不同邊界條件、不同厚度、

不同裂縫位置、不同裂縫長度經振動所引致之奇異應力現象以及影響。