含邊裂縫矩形功能梯度板之三維自由振動分析

國立交通大學

土木工程學系碩士班

碩 士 論 文

含邊裂縫矩形功能梯度板之三維自由振動分析

Three-Dimensional Vibrations of Functionally Graded Material

Rectangular Plates with Side Cracks

研 究 生：王凱平

指導教授：黃炯憲 博士

含邊裂縫矩形功能梯度板之三維自由振動分析

Three-Dimensional Vibrations of Functionally Graded Material

Rectangular Plates with Side Cracks

研 究 生：王凱平 Student：Kai-Ping Wang

指導教授：黃炯憲 Advisor：Dr. Chiung-Shiann Huang

國 立 交 通 大 學

土 木 工 程 研 究 所

碩 士 論 文

A Thesis

Submitted to Department of Civil Engineering

College of Engineering

National Chiao Tung University

in partial Fulfillment of the Requirements

for the Degree of

Master

in

Civil Engineering

November 2010

Hsinchu, Taiwan, Republic of China

含邊裂縫矩形功能梯度板之三維自由振動分析

研究生：王凱平 指導教授：黃炯憲 博士

國立交通大學土木工程學系碩士班

摘要

此研究分析含邊裂縫矩形功能梯度板之三維自由振動，利用 3D 彈性理

論與 Ritz 法；並提出一組新的允許函數，其包含完備正交多項式函數和裂

縫函數。所提的裂縫函數滿足跨越裂縫位移不連續之現象，並能正確描述

裂縫尖端局部變形及應力場。為驗證所提解及所發展電腦程式的正確性，

進行收斂性分析，並與文獻中具裂縫均質板及功能梯度板的結果比較。本

文所探討的功能梯度板是由金屬鋁及陶瓷(Al

O

或 ZrO

)組成的，使用簡單

的冪級數與體積分數來描述材料的性質。本文探討不同材料組成、不同邊

界、不同厚度、裂縫長度、角度與位置對板的振動行為之影響，並繪有中

平面及三維變形之模態圖；此些結果均尚未見於文獻。

Three-Dimensional Vibrations of Functionally Graded Material

Rectangular Plates with Side Cracks

Student: Kai-Ping Wang Adviser: Prof. Chiung-Shiann Huang

Department of Civil Engineering

National Chiao-Tung University

Abstract

This study examines the three-dimensional (3-D) vibrations of rectangular plates of

functionally graded material (FGM) having side cracks. Employing 3-D theory of elasticity

and a variational Ritz methodology, new hybrid series of mathematically complete orthogonal

polynomials and crack functions as the assumed displacement fields are proposed to enhance

the convergence modeling of the stress singular behavior of the crack terminus edge front in a

rectangular FGM plate. The proposed admissible hybrid series properly describe the

(1 /

r

)

ϑ

3-D stress singularities at the terminus edge front of the crack, allowing for

displacement discontinuities across the crack sufficient to explain the most general 3-D

“mixed modes” of local crack-edge deformation and stress fields typically seen in fracture

mechanics. The correctness and validity of the vibration analysis are confirmed through

comprehensive convergence studies and comparisons with published results for homogeneous

and FGM rectangular plates with side cracks based on various plate theories. Two types of

FGM plates, Al/Al

O

and Al/ZrO

, are included in the study. The locally effective material

properties are estimated by a simple power law and the effects of the volume fraction on the

frequencies are investigated. Frequency data, mode shapes and nodal patterns for FGM

rectangular plates with different boundary conditions, and having side cracks with varying

crack length ratios, crack positions, and crack inclination angles are reported herein for the

first time in the published literature.

誌謝

在此，首先感謝指導教授黃炯憲老師在這段期間內，不厭其煩的辛勤

指導與悉心教誨，並耐心的一遍又一遍的糾正錯誤，再加上老師不斷的更

新設備以及提供優質的研究環境，使得我可以順利及專心的作研究。在我

撰寫論文的期間，實在是令修改論文的老師非常費神，老師耐心的修改每

一環節，在此致上最深的謝意，感謝老師無私的幫助、教導與關心，最終

論文得以順利完成，師恩浩瀚，學生銘記在心，此生難忘。

論文口試期間，承蒙交通大學土木工程學系師長，劉俊秀教授、鄭復

平副教授於口試期間提供寶貴的意見，使本文更臻完善，在此表達最由衷

的謝意。

在研究所期間，感謝研究室明儒學長、威智學長、榕師學長的指導，

在課業與研究上給予極大幫助。尤其是明儒、威智學長，他們已經畢業還

要常常打擾他們，提供學弟我解決問題的方向甚至是解決問題，在此致上

萬分感謝，學長的幫助，學弟我謹記在心，並以學長當楷模，望有朝一日

也能像學長一樣具有解決問題的能力。同時也感謝靖俞學長、政寧學長、

昱成學長、仲維學長、以及學弟博然、均誠、中原一起互相鼓勵，讓我在

研究的路上不孤單。另外也要感謝學弟裕鈞、承哲，在口試當天幫忙，使

我能更專注的應付口試。

最後將本論文獻給我最親愛家人，爸爸、媽媽與弟弟，感謝爸媽這二

十多年的養育、栽培與支持，給予我無後顧之憂的求學環境，你們的辛苦

我將銘記在心且繼續努力不讓你們失望。

目錄

中文摘要

... i

英文摘要

... ii

誌謝

... iv

目錄

... vi

表目錄

... viii

圖目錄

... xxii

第一章 緒論

... 1

1.1

研究動機與方法

... 1

1.2

文獻回顧

... 2

1.3

內容概要

... 6

第二章 分析方法

... 8

2.1

功能梯度材料的由來

... 8

2.2

功能梯度材料公式

... 10

2.3

3D彈性理論之應變能與動能

... 11

2.4

利用Ritz法求解板之自然振動頻率

... 13

2.5

允許函數之建構

... 15

第三章 收斂性分析

... 18

3.1

厚度影響

... 20

3.2

裂縫長度、角度影響

... 22

3.3

邊界條件影響

... 23

第四章 數值結果

... 26

4.1

裂縫對振態頻率之影響

... 26

4.1.1

四邊簡支(SSSS)板

... 27

4.1.2

四邊自由端(FFFF)板

... 28

4.1.3

懸臂(CFFF)板

... 30

4.1.4

兩端固定端，兩端自由端(CFCF)板

... 32

4.1.5

不同邊界條件之影響

... 34

4.2

不同理論所得結果比較

... 35

4.3

板之振動模態探討

... 37

第五章 結論與建議

... 40

5.1

結論

... 40

5.2

建議

... 41

參考文獻

... 42

表目錄

表 2.1 材料參數

... 48

表 3.1 具水平邊緣裂縫簡支方形均質薄板(a/b = 2.0, h/b = 0.01, c

/b = 0.5, d/a = 0.5

, α = 0°)之無因次化頻率

ω

(

b

/

h

)

ρ

/

E

收

斂性分析

... 49

表 3.2 具水平邊緣裂縫簡支之Al/Al

O

FGM方形厚板(h/b = 0.1, c

/b = 0.5, d/a = 0.5

, α = 0°,

nˆ

=1)之無因次化頻率

ω

(

b

/

h

)

ρ

/

E

收斂性分析

... 52

表 3.3 具邊緣裂縫四邊自由端之Al/Al

O

FGM方形薄板(h/b = 0.02,

c

/b = 0.5, d/a = 0.5

, α =30°,

nˆ

=10)之無因次化頻率

E

h

b

/

)

/

(

ρ

ω

收斂性分析

... 55

表 3.4 具邊緣裂縫四邊自由端之Al/Al

O

FGM方形厚板(h/b = 0.3,

c

/b = 0.5, d/a = 0.2

, α =30°,

nˆ

=10)之無因次化頻率

E

h

b

/

)

/

(

ρ

ω

收斂性分析

... 58

表 3.5 具邊緣裂縫四邊自由端之Al/Al

O

FGM方形厚板(h/b = 0.3,

c

/b = 0.5, d/a = 0.5

, α =30°,

nˆ

=10)之無因次化頻率

E

h

b

/

)

/

(

ρ

ω

收斂性分析

... 61

表 3.6 具頂部裂縫懸臂之Al/Al

O

FGM矩形薄板(a/b = 2.0,h/b =

0.02, c

/b = 1.0, d/a = 0.5

, α =90°,

nˆ

=0.2)之無因次化頻率

E

h

b

/

)

/

(

ρ

ω

收斂性分析

... 64

表 3.7 具頂部裂縫懸臂之Al/Al

O

FGM矩形厚板(a/b = 2.0, h/b =

0.3, c

/b = 1.0, d/b = 0.2

, α =90°,

nˆ

=0.2)之無因次化頻率

E

h

b

/

)

/

(

ρ

ω

收斂性分析

... 67

表 3.8 具頂部裂縫懸臂之Al/Al

O

FGM矩形厚板(a/b = 2.0, h/b =

0.3, c

/b = 1.0, d/b= 0.5

, α =90°,

nˆ

=0.2)之無因次化頻率

E

h

b

/

)

/

(

ρ

ω

收斂性分析

... 70

表 3.9 具頂部裂縫兩端自由端，兩端固定端之Al/ ZrO

FGM矩形

薄板(a/b = 2.0,h/b = 0.02, c

/b = 0.5, d/b = 0.5

, α =135°,

nˆ

=5)之

無因次化頻率

ω

(

b

/

h

)

ρ

/

E

收斂性分析

... 73

表 3.10 具頂部裂縫兩端自由端，兩端固定端之Al/ ZrO

FGM矩形

厚板(a/b = 2.0, h/b = 0.3, c

/b = 0.5, d/b = 0.2

, α =135°,

nˆ

=5)之

無因次化頻率

ω

(

b

/

h

)

ρ

/

E

收斂性分析

... 76

表 3.11 具頂部裂縫兩端自由端，兩端固定端之Al/ ZrO

FGM矩形

厚板(a/b = 2.0, h/b = 0.3, c

/b = 0.5, d/b = 0.5

, α =135°,

nˆ

=5)之

無因次化頻率

ω

(

b

/

h

)

ρ

/

E

收斂性分析

... 79

表 4.1 具不同水平邊緣裂縫簡支之Al/Al

O

方形FGM薄板無因次化

頻率

ω

(

b

/

h

)

ρ

/

E

(h/b = 0.05)

... 82

表 4.2 具不同水平邊緣裂縫簡支之Al/Al

O

方形FGM薄板無因次化

頻率折減量

∆

ω

(%)

(h/b = 0.05)

... 83

表 4.3 具不同水平邊緣裂縫簡支之Al/Al

O

方形FGM厚板無因次化

頻率

ω

(

b

/

h

)

ρ

/

E

(h/b = 0.1)

... 84

表 4.4 具不同水平邊緣裂縫簡支之Al/Al

O

方形FGM厚板無因次化

頻率折減量

∆

ω

(%)

(h/b = 0.1)

... 85

表 4.5 具不同水平邊緣裂縫簡支之Al/Al

O

方形FGM厚板無因次化

頻率

ω

(

b

/

h

)

ρ

/

E

(h/b = 0.2)

... 86

表 4.6 具不同水平邊緣裂縫簡支之Al/Al

O

方形FGM厚板無因次化

頻率折減量

∆

ω

(%)

(h/b = 0.2)

... 87

表 4.7 具不同邊緣裂縫四邊自由端之Al/Al

O

方形FGM薄板無因次

化頻率

(

b

/

h

)

/

E

ρ

ω

(

h

/

b

=

0

.

02

) ... 88

表 4.7 具不同邊緣裂縫四邊自由端之Al/Al

O

方形FGM薄板無因次

化頻率折減量

∆

ω

(%)

（

a

/

b

=

1

、

h

/

b

=

0

.

02

） ... 89

表 4.7 具不同邊緣裂縫四邊自由端之Al/Al

O

方形FGM薄板無因次

化頻率

ω

(

b

/

h

)

ρ

/

E

（

a

/

b

=

1

、

h

/

b

=

0

.

02

） ... 90

表 4.7 具不同邊緣裂縫四邊自由端之Al/Al

O

方形FGM薄板無因次

化頻率折減量

∆

ω

(%)

（

a

/

b

=

1

、

h

/

b

=

0

.

02

） ... 91

表 4.7 具不同邊緣裂縫四邊自由端之Al/Al

O

方形FGM薄板無因次

化頻率

ω

(

b

/

h

)

ρ

/

E

（

a

/

b

=

1

、

h

/

b

=

0

.

02

） ... 92

表 4.7 具不同邊緣裂縫四邊自由端之Al/Al

O

方形FGM薄板無因次

化頻率折減量

∆

ω

(%)

（

a

/

b

=

1

、

h

/

b

=

0

.

02

） ... 93

表 4.7 具不同邊緣裂縫四邊自由端之Al/Al

O

方形FGM薄板無因次

化頻率

ω

(

b

/

h

)

ρ

/

E

（

a

/

b

=

1

、

h

/

b

=

0

.

02

） ... 94

表 4.7 具不同邊緣裂縫四邊自由端之Al/Al

O

方形FGM薄板無因次

化頻率折減量

∆

ω

(%)

（

a

/

b

=

1

、

h

/

b

=

0

.

02

） ... 95

表 4.7 具不同邊緣裂縫四邊自由端之Al/Al

O

方形FGM薄板無因次

化頻率

ω

(

b

/

h

)

ρ

/

E

（

a

/

b

=

1

、

h

/

b

=

0

.

02

） ... 96

表 4.7 具不同邊緣裂縫四邊自由端之Al/Al

O

方形FGM薄板無因次

化頻率折減量

∆

ω

(%)

（

a

/

b

=

1

、

h

/

b

=

0

.

02

） ... 97

表 4.8 具不同邊緣裂縫四邊自由端之Al/Al

O

方形FGM厚板無因次

化頻率

ω

(

b

/

h

)

ρ

/

E

（

a

/

b

=

1

、

h

/

b

=

0

.

1

） ... 98

表 4.8 具不同邊緣裂縫四邊自由端之Al/Al

O

方形FGM厚板無因次

化頻率折減量

∆

ω

(%)

（

a

/

b

=

1

、

h

/

b

=

0

.

1

） ... 99

表 4.8 具不同邊緣裂縫四邊自由端之Al/Al

O

方形FGM厚板無因次

化頻率

ω

(

b

/

h

)

ρ

/

E

（

a

/

b

=

1

、

h

/

b

=

0

.

1

） ... 100

表 4.8 具不同邊緣裂縫四邊自由端之Al/Al

O

方形FGM厚板無因次

化頻率折減量

∆

ω

(%)

（

a

/

b

=

1

、

h

/

b

=

0

.

1

） ... 101

表 4.8 具不同邊緣裂縫四邊自由端之Al/Al

O

方形FGM厚板無因次

化頻率

ω

(

b

/

h

)

ρ

/

E

（

a

/

b

=

1

、

h

/

b

=

0

.

1

） ... 102

表 4.8 具不同邊緣裂縫四邊自由端之Al/Al

O

方形FGM厚板無因次

化頻率折減量

∆

ω

(%)

（

a

/

b

=

1

、

h

/

b

=

0

.

1

） ... 103

表 4.8 具不同邊緣裂縫四邊自由端之Al/Al

O

方形FGM厚板無因次

化頻率

ω

(

b

/

h

)

ρ

/

E

（

a

/

b

=

1

、

h

/

b

=

0

.

1

） ... 104

表 4.8 具不同邊緣裂縫四邊自由端之Al/Al

O

方形FGM厚板無因次

化頻率折減量

∆

ω

(%)

（

a

/

b

=

1

、

h

/

b

=

0

.

1

） ... 105

表 4.8 具不同邊緣裂縫四邊自由端之Al/Al

O

方形FGM厚板無因次

化頻率

ω

(

b

/

h

)

ρ

/

E

（

a

/

b

=

1

、

h

/

b

=

0

.

1

） ... 106

表 4.8 具不同邊緣裂縫四邊自由端之Al/Al

O

方形FGM厚板無因次

化頻率折減量

∆

ω

(%)

（

a

/

b

=

1

、

h

/

b

=

0

.

1

） ... 107

表 4.9 具不同邊緣裂縫四邊自由端之Al/Al

O

方形FGM厚板無因次

化頻率

ω

(

b

/

h

)

ρ

/

E

（

a

/

b

=

1

、

h

/

b

=

0

.

3

） ... 108

表 4.9 具不同邊緣裂縫四邊自由端之Al/Al

O

方形FGM厚板無因次

化頻率折減量

∆

ω

(%)

（

a

/

b

=

1

、

h

/

b

=

0

.

3

） ... 109

表 4.9 具不同邊緣裂縫四邊自由端之Al/Al

O

方形FGM厚板無因次

化頻率

ω

(

b

/

h

)

ρ

/

E

（

a

/

b

=

1

、

h

/

b

=

0

.

3

） ... 110

表 4.9 具不同邊緣裂縫四邊自由端之Al/Al

O

方形FGM厚板無因次

化頻率折減量

∆

ω

(%)

（

a

/

b

=

1

、

h

/

b

=

0

.

3

） ... 111

表 4.9 具不同邊緣裂縫四邊自由端之Al/Al

O

方形FGM厚板無因次

化頻率

ω

(

b

/

h

)

ρ

/

E

（

a

/

b

=

1

、

h

/

b

=

0

.

3

） ... 112

表 4.9 具不同邊緣裂縫四邊自由端之Al/Al

O

方形FGM厚板無因次

化頻率折減量

∆

ω

(%)

（

a

/

b

=

1

、

h

/

b

=

0

.

3

） ... 113

表 4.9 具不同邊緣裂縫四邊自由端之Al/Al

O

方形FGM厚板無因次

化頻率

ω

(

b

/

h

)

ρ

/

E

（

a

/

b

=

1

、

h

/

b

=

0

.

3

） ... 114

表 4.9 具不同邊緣裂縫四邊自由端之Al/Al

O

方形FGM厚板無因次

化頻率折減量

∆

ω

(%)

（

a

/

b

=

1

、

h

/

b

=

0

.

3

） ... 115

表 4.9 具不同邊緣裂縫四邊自由端之Al/Al

O

方形FGM厚板無因次

化頻率

ω

(

b

/

h

)

ρ

/

E

（

a

/

b

=

1

、

h

/

b

=

0

.

3

） ... 116

表 4.9 具不同邊緣裂縫四邊自由端之Al/Al

O

方形FGM厚板無因次

化頻率折減量

∆

ω

(%)

（

a

/

b

=

1

、

h

/

b

=

0

.

3

） ... 117

表 4.10 具不同邊緣裂縫懸臂之Al/Al

O

矩形FGM薄板無因次化頻

率

ω

(

b

/

h

)

ρ

/

E

（

a

/

b

=

2

、

h

/

b

=

0

.

02

）... 118

表 4.10 具不同邊緣裂縫懸臂之Al/Al

O

矩形FGM薄板無因次化頻

率折減量

∆

ω

(%)

（

a

/

b

=

2

、

h

/

b

=

0

.

02

） ... 119

表 4.10 具不同邊緣裂縫懸臂之Al/Al

O

矩形FGM薄板無因次化頻

率

ω

(

b

/

h

)

ρ

/

E

（

a

/

b

=

2

、

h

/

b

=

0

.

02

）... 120

表 4.10 具不同邊緣裂縫懸臂之Al/Al

O

矩形FGM薄板無因次化頻

率折減量

∆

ω

(%)

（

a

/

b

=

2

、

h

/

b

=

0

.

02

） ... 121

表 4.10 具不同邊緣裂縫懸臂之Al/Al

O

矩形FGM薄板無因次化頻

率

ω

(

b

/

h

)

ρ

/

E

（

a

/

b

=

2

、

h

/

b

=

0

.

02

）... 122

表 4.10 具不同邊緣裂縫懸臂之Al/Al

O

矩形FGM薄板無因次化頻

率折減量

∆

ω

(%)

（

a

/

b

=

2

、

h

/

b

=

0

.

02

） ... 123

表 4.11 具不同邊緣裂縫懸臂之Al/Al

O

矩形FGM厚板無因次化頻

率

ω

(

b

/

h

)

ρ

/

E

（

a

/

b

=

2

、

h

/

b

=

0

.

1

） ... 124

表 4.11 具不同邊緣裂縫懸臂之Al/Al

O

矩形FGM厚板無因次化頻

率折減量

∆

ω

(%)

（

a

/

b

=

2

、

h

/

b

=

0

.

1

） ... 125

表 4.11 具不同邊緣裂縫懸臂之Al/Al

O

矩形FGM厚板無因次化頻

率

ω

(

b

/

h

)

ρ

/

E

（

a

/

b

=

2

、

h

/

b

=

0

.

1

） ... 126

表 4.11 具不同邊緣裂縫懸臂之Al/Al

O

矩形FGM厚板無因次化頻

率折減量

∆

ω

(%)

（

a

/

b

=

2

、

h

/

b

=

0

.

1

） ... 127

表 4.11 具不同邊緣裂縫懸臂之Al/Al

O

矩形FGM厚板無因次化頻

率

ω

(

b

/

h

)

ρ

/

E

（

a

/

b

=

2

、

h

/

b

=

0

.

1

） ... 128

表 4.11 具不同邊緣裂縫懸臂之Al/Al

O

矩形FGM厚板無因次化頻

率折減量

∆

ω

(%)

（

a

/

b

=

2

、

h

/

b

=

0

.

1

） ... 129

表 4.12 具不同邊緣裂縫懸臂之Al/Al

O

矩形FGM厚板無因次化頻

率

ω

(

b

/

h

)

ρ

/

E

（

a

/

b

=

2

、

h

/

b

=

0

.

3

） ... 130

表 4.12 具不同邊緣裂縫懸臂之Al/Al

O

矩形FGM厚板無因次化頻

率折減量

∆

ω

(%)

（

a

/

b

=

2

、

h

/

b

=

0

.

3

） ... 131

表 4.12 具不同邊緣裂縫懸臂之Al/Al

O

矩形FGM厚板無因次化頻

率

ω

(

b

/

h

)

ρ

/

E

（

a

/

b

=

2

、

h

/

b

=

0

.

3

） ... 132

表 4.12 具不同邊緣裂縫懸臂之Al/Al

O

矩形FGM厚板無因次化頻

率折減量

∆

ω

(%)

（

a

/

b

=

2

、

h

/

b

=

0

.

3

） ... 133

表 4.12 具不同邊緣裂縫懸臂之Al/Al

O

矩形FGM厚板無因次化頻

率

ω

(

b

/

h

)

ρ

/

E

（

a

/

b

=

2

、

h

/

b

=

0

.

3

） ... 134

表 4.12 具不同邊緣裂縫懸臂之Al/Al

O

矩形FGM厚板無因次化頻

率折減量

∆

ω

(%)

（

a

/

b

=

2

、

h

/

b

=

0

.

3

） ... 135

表 4.13 具不同邊緣裂縫兩端固定端，兩端自由端之Al/ ZrO

矩形

FGM薄板無因次化頻率

ω

(

b

/

h

)

ρ

/

E

（

a

/

b

=

2

、

h

/

b

=

0

.

02

）

... 136

表 4.13 具不同邊緣裂縫兩端固定端，兩端自由端之Al/ ZrO

矩形

FGM薄板無因次化頻率折減量

∆

ω

(%)

（

a

/

b

=

2

、

h

/

b

=

0

.

02

）

... 137

表 4.13 具不同邊緣裂縫兩端固定端，兩端自由端之Al/ ZrO

矩形

FGM薄板無因次化頻率

ω

(

b

/

h

)

ρ

/

E

（

a

/

b

=

2

、

h

/

b

=

0

.

02

）

... 138

表 4.13 具不同邊緣裂縫兩端固定端，兩端自由端之Al/ ZrO

矩形

FGM薄板無因次化頻率折減量

∆

ω

(%)

（

a

/

b

=

2

、

h

/

b

=

0

.

02

）

... 139

表 4.13 具不同邊緣裂縫兩端固定端，兩端自由端之Al/ ZrO

矩形

FGM薄板無因次化頻率

ω

(

b

/

h

)

ρ

/

E

（

a

/

b

=

2

、

h

/

b

=

0

.

02

）

... 140

表 4.13 具不同邊緣裂縫兩端固定端，兩端自由端之Al/ ZrO

矩形

FGM薄板無因次化頻率折減量

∆

ω

(%)

（

a

/

b

=

2

、

h

/

b

=

0

.

02

）

... 141

表 4.13 具不同邊緣裂縫兩端固定端，兩端自由端之Al/ ZrO

矩形

FGM薄板無因次化頻率

ω

(

b

/

h

)

ρ

/

E

（

a

/

b

=

2

、

h

/

b

=

0

.

02

）

... 142

表 4.13 具不同邊緣裂縫兩端固定端，兩端自由端之Al/ ZrO

矩形

FGM薄板無因次化頻率折減量

∆

ω

(%)

（

a

/

b

=

2

、

h

/

b

=

0

.

02

）

... 143

表 4.13 具不同邊緣裂縫兩端固定端，兩端自由端之Al/ ZrO

矩形

FGM薄板無因次化頻率

ω

(

b

/

h

)

ρ

/

E

（

a

/

b

=

2

、

h

/

b

=

0

.

02

）

... 144

表 4.13 具不同邊緣裂縫兩端固定端，兩端自由端之Al/ ZrO

矩形

FGM薄板無因次化頻率折減量

∆

ω

(%)

（

a

/

b

=

2

、

h

/

b

=

0

.

02

）

... 145

表 4.14 具不同邊緣裂縫兩端固定端，兩端自由端之Al/ ZrO

矩形

FGM厚板無因次化頻率

ω

(

b

/

h

)

ρ

/

E

（

a

/

b

=

2

、

h

/

b

=

0

.

1

）

... 146

表 4.14 具不同邊緣裂縫兩端固定端，兩端自由端之Al/ ZrO

矩形

FGM厚板無因次化頻率折減量

∆

ω

(%)

（

a

/

b

=

2

、

h

/

b

=

0

.

1

）

... 147

表 4.14 具不同邊緣裂縫兩端固定端，兩端自由端之Al/ ZrO

矩形

FGM厚板無因次化頻率

ω

(

b

/

h

)

ρ

/

E

（

a

/

b

=

2

、

h

/

b

=

0

.

1

）

... 148

表 4.14 具不同邊緣裂縫兩端固定端，兩端自由端之Al/ ZrO

矩形

FGM厚板無因次化頻率折減量

∆

ω

(%)

（

a

/

b

=

2

、

h

/

b

=

0

.

1

）

... 149

表 4.14 具不同邊緣裂縫兩端固定端，兩端自由端之Al/ ZrO

矩形

FGM厚板無因次化頻率

ω

(

b

/

h

)

ρ

/

E

（

a

/

b

=

2

、

h

/

b

=

0

.

1

）

... 150

表 4.14 具不同邊緣裂縫兩端固定端，兩端自由端之Al/ ZrO

矩形

FGM厚板無因次化頻率折減量

∆

ω

(%)

（

a

/

b

=

2

、

h

/

b

=

0

.

1

）

... 151

表 4.14 具不同邊緣裂縫兩端固定端，兩端自由端之Al/ ZrO

矩形

FGM厚板無因次化頻率

ω

(

b

/

h

)

ρ

/

E

（

a

/

b

=

2

、

h

/

b

=

0

.

1

）

... 152

表 4.14 具不同邊緣裂縫兩端固定端，兩端自由端之Al/ ZrO

矩形

FGM厚板無因次化頻率折減量

∆

ω

(%)

（

a

/

b

=

2

、

h

/

b

=

0

.

1

）

... 153

表 4.14 具不同邊緣裂縫兩端固定端，兩端自由端之Al/ ZrO

矩形

FGM厚板無因次化頻率

ω

(

b

/

h

)

ρ

/

E

（

a

/

b

=

2

、

h

/

b

=

0

.

1

）

... 154

表 4.14 具不同邊緣裂縫兩端固定端，兩端自由端之Al/ ZrO

矩形

FGM厚板無因次化頻率折減量

∆

ω

(%)

（

a

/

b

=

2

、

h

/

b

=

0

.

1

）

... 155

表 4.15 具不同邊緣裂縫兩端固定端，兩端自由端之Al/ ZrO

矩形

FGM厚板無因次化頻率

ω

(

b

/

h

)

ρ

/

E

（

a

/

b

=

2

、

h

/

b

=

0

.

3

）

... 156

表 4.15 具不同邊緣裂縫兩端固定端，兩端自由端之Al/ ZrO

矩形

FGM厚板無因次化頻率折減量

∆

ω

(%)

（

a

/

b

=

2

、

h

/

b

=

0

.

3

）

... 157

表 4.15 具不同邊緣裂縫兩端固定端，兩端自由端之Al/ ZrO

矩形

FGM厚板無因次化頻率

ω

(

b

/

h

)

ρ

/

E

（

a

/

b

=

2

、

h

/

b

=

0

.

3

）

... 158

表 4.15 具不同邊緣裂縫兩端固定端，兩端自由端之Al/ ZrO

矩形

FGM厚板無因次化頻率折減量

∆

ω

(%)

（

a

/

b

=

2

、

h

/

b

=

0

.

3

）

... 159

表 4.15 具不同邊緣裂縫兩端固定端，兩端自由端之Al/ ZrO

矩形

FGM厚板無因次化頻率

ω

(

b

/

h

)

ρ

/

E

（

a

/

b

=

2

、

h

/

b

=

0

.

3

）

... 160

表 4.15 具不同邊緣裂縫兩端固定端，兩端自由端之Al/ ZrO

矩形

FGM厚板無因次化頻率折減量

∆

ω

(%)

（

a

/

b

=

2

、

h

/

b

=

0

.

3

）

... 161

表 4.15 具不同邊緣裂縫兩端固定端，兩端自由端之Al/ ZrO

矩形

FGM厚板無因次化頻率

ω

(

b

/

h

)

ρ

/

E

（

a

/

b

=

2

、

h

/

b

=

0

.

3

）

... 162

表 4.15 具不同邊緣裂縫兩端固定端，兩端自由端之Al/ ZrO

矩形

FGM厚板無因次化頻率折減量

∆

ω

(%)

（

a

/

b

=

2

、

h

/

b

=

0

.

3

）

... 163

表 4.15 具不同邊緣裂縫兩端固定端，兩端自由端之Al/ ZrO

矩形

FGM厚板無因次化頻率

ω

(

b

/

h

)

ρ

/

E

（

a

/

b

=

2

、

h

/

b

=

0

.

3

）

... 164

表 4.15 具不同邊緣裂縫兩端固定端，兩端自由端之Al/ ZrO

矩形

FGM厚板無因次化頻率折減量

∆

ω

(%)

（

a

/

b

=

2

、

h

/

b

=

0

.

3

）

... 165

表 4.16 具不同邊緣裂縫簡支方形均質板之厚度效應(c

/b = 0.5、

0

=

α

) ... 166

表 4.17 具不同邊緣裂縫簡支方形FGM板(

n

ˆ

=

5

)之不同理論比較(c

/b = 0.5、

0

=

α

) ... 167

圖目錄

圖 2.1 具邊緣裂縫方形板示意圖（裂縫與

x

=

a

軸相交）

... 168

圖 2.2 具頂部裂縫矩形板示意圖（裂縫與

y

=

b

軸相交）

... 169

圖 2.3 座標轉換示意圖

... 170

圖 4.1 Al/

Al2O3功能梯度材料參數E(z)和ρ(z)沿厚度變化圖根據式

(2.1)

... 171

圖 4.2 Al/

ZrO2功能梯度材料參數E(z)和ρ(z)沿厚度變化圖根據式

(2.1)

... 172

圖 4.3 具不同水平邊緣裂縫簡支之方形均質厚板模態圖(h/b=0.1)

... 173

圖 4.4 具不同水平邊緣裂縫簡支之Al/Al

O

方形FGM厚板模態圖(

=5, h/b=0.1)

... 176

圖 4.5 具不同邊緣裂縫四邊自由端之Al/Al

O

方形FGM厚板模態圖

(

nˆ

=5, h/b=0.1)

... 179

圖 4.6 具不同邊緣裂縫懸臂之矩形均質厚板模態圖(a/b=2, h/b=0.1)

... 186

圖 4.7 具不同邊緣裂縫懸臂之Al/Al

O

矩形FGM厚板模態圖(

nˆ

=5)

(a/b=2, h/b=0.1) ... 191

圖 4.8 具不同邊緣裂縫兩端固定端，兩端自由端之矩形均質厚板模

態圖(a/b=2, h/b=0.1)

... 196

圖 4.9 具不同邊緣裂縫兩端固定端，兩端自由端之Al/ ZrO

矩形

第一章 緒論

1.1

研究動機與方法

在工程與科學的領域中，為了克服複雜、苛刻的使用環境，人們對材

料的要求越來越高；因此新材料、新工藝不斷湧現，陶瓷-金屬功能梯度材

料以其獨特的優勢展現出廣泛的應用前景，日本的研究團隊在 1980 年代中

期開始發展功能梯度材料(functionally graded material，簡稱 FGM)，並提出

其製造理論與技術(Niino 和 Maeda, 1990)。FGM 是一種由不同材料(如陶瓷

和金屬)依照不同比例組合而成的材料，其材料組成與結構所呈現的連續性，

不僅強化了材料本身的強度、韌性及耐高溫性，亦使其內部界面消除。解

決傳統複合材料容易在層與層的界面上產生脫離而破壞之現象，並克服苛

刻的使用環境。因此，在近幾年來，功能梯度材料被廣泛應用於各種工業

領域，如國防工業(飛彈)、醫學(骨骼)、光學(光記憶材料)、電磁學等。

當這種功能梯度板被應用在機械及結構內的元素時，經常會受到不規

則的載重或環狀的載重由外力或機械引起。結構因長期載重所引起的疲勞

裂縫開始在 FGM 板中產生，而且結構受振動造成 FGM 板的破裂需要做動

力分析；因此，探討裂縫周圍的局部應力，而避免整體結構破壞是值得注

意的。本研究即首先依 3D 彈性理論探討功能梯度板因裂縫所致之應力奇異

行為；並分析應力奇異對功能梯度板之影響。

1.2

文獻回顧

文獻中已有了許多關於均質板由形狀幾何與材料所引起應力奇異之文

章，且大部分文獻探討靜態行為，即用各種方法求取不同載重情況之應力

強度因子(stress intensity factor)。僅有少數研究振動行為者，其中又以古典

板理論者居多。

以下文獻應用積分方程求解矩形薄板之振動問題，使用不同技巧建立

所需之積分方程。Lynn 和 Kumbasar(1967)用 Green 函數來表示具裂縫之四

邊簡支矩形板之位移分量，將問題轉換成齊性 Fredholm 第一型積分積分方

程（homogeneous Fredholm integral equations of the first kind），再求解之；

Stahl 和 Keer (1972)則利用對偶級數方程得齊性 Fredholm 第二型積分方程

（homogeneous Fredholm integral equations of the second kind）來解決同樣的

振動問題。Aggarwala 和 Ariel (1981)應用 Stahl 和 Keer (1972)之方法，求解

簡支方形板具有位於中心點十字型裂縫或兩組(水平與垂直)對稱於中心點

之邊緣裂縫振動問題。Hirano 和 Okazaki (1980)亦針對一組對邊為簡支承之

裂縫矩形板，利用 Levy 的解，將裂縫兩邊的不連續位移當作未知函數，並

進一步以加權餘數法(weighted residual method)來滿足邊界條件，求解此振

動問題。另外，Neku (1982)則是修正 Lynn 和 Kumbasar (1967)之方法，以

Levy 解建立所須之 Green 函數。Solecki (1983)的方法與 Hirano 和 Okazaki

(1980)類似，利用 Navier 解配合描述裂縫處位移和轉角的不連續函數之

Fourier 轉換，進而求解裂縫板振動問題。

於數值方法中，最常利用有限元素法與 Ritz 法分析具裂縫矩形板之振

動問題。Qian 等人 (1991)為了發展一有限元素的解法，對裂縫尖端的元素，

經由對應力強度因子的積分，建構含裂縫元素的勁度矩陣。Krawczuk(1993)

則提出類似 Qian 等人 (1991)的解決方式，唯一的不同是對裂縫尖端元素勁

度矩陣，採用封閉形式（closed form）的積分。Bachene 等 (2009)討論在

Mindlin 板理 論架構下 利用擴 展的有限元 素法（ extended finite element

method（X-FEM）

）分析含水平裂縫矩形薄板（厚寬比

h

/

b

≤

1

/

500

）的自然

振動頻率。

在利用 Ritz 法分析板振動問題是否成功，主要決定於所使用允許函數

之恰當性。目前利用 Ritz 法求解裂縫板振動問題文獻如下：Yua n 和 Dickinson

（1992）將矩形板分成數個區塊，並加置人工彈簧於各區塊連結之邊界上，

因此，可用傳統的允許函數（regular admissible functions）於各區域來求解，

不必用特別的函數來描述裂縫。Lee 和 Lim（1993）根據 Reissner 定理，利

用區域分解的技巧決定 Ritz 法求解含水平中心裂縫簡支矩形 Mindlin 板之允

許函數，並求解振動頻率。Liew 等人（1994）用類似於 Yua n 和 Dickinson

（1992）之切割方法，且僅要求各區塊之允許函數於兩區塊交接處，以積

分形式滿足允許函數及其一階微分之連續性。Khaddem 和 Rezaee（2000）

利用 Levy’s solution 建立所謂修正比較函數（modified comparison functions），

作為 Ritz 法所中的允許函數（admissible functions），分析具水平裂縫簡支

承矩形板於不同裂縫長度、深度與位置時之振動。然而，因為 Khadem 和

Rezaee（2000）使用之允許函數較為特殊，其僅適用於處理至少一對邊是簡

支承（two opposite edges simply supported）之裂縫矩形板振動問題。Huang

和 Leissa（2009）在近期，利用 Williams（1952）推導裂縫尖端之漸近解，

提出了一組可準確描述邊緣裂縫奇異行為的允許函數，並將此允許函數用

於求解不同邊界條件下（四邊簡支承與自由端）含邊緣裂縫薄板的振動問

題。李昱成 (2009)使用 Ritz 法分析裂縫矩形板之自由振動，引入一組特殊

函數，來描述裂縫尖端之奇異性並滿足跨裂縫之位移與轉角不連續行為。

上述應用 Ritz 法求解具裂縫板振動之文獻回顧中，絕大部分均透過切割次

區域之技巧處理(Yua n 和 Dickinson、Liew 等與 Lee 和 Lim)，先在各區域內

選擇適當之允許函數，再利用各種類似連續條件，建立全域之允許函數。

但這些文獻忽略了 Ritz 法頻率從上限收斂的特性，因為其允許函數在兩個

次區域連接處並非處處連續，而且例如 Yua n 和 Dickinson (1992)安裝人工

彈簧於次區域之連接處，雖然強迫滿足了必要之連續條件，但彈簧的勁度

也會影響數據結果。

利用厚板理論研究具裂縫板振動之文獻如下： Xiang 等人 (2009)用一

階剪力變形板理論為基礎，推導出離散奇異摺積-元素法（discrete singular

convolution （DSC）

）

，來分析自由振動矩形 Mindlin 板。Hosseini-Hashemi

等人 (2010)利用 Mindlin 板理論，分析具裂縫之矩形板，並提高了自然振動

頻率的計算速度。李榕師 (2009)使用 Ritz 法分析含裂縫矩形 Mindlin 板之

自然振動頻率與模態，為了準確描述裂縫，提出一組新的允許函數，此允

許函數包含能滿足邊界條件之多項式函數與能準確描述裂縫尖端之奇異性

並滿足跨越裂縫位移與轉角不連續行為之函數。

絕大部分文獻研究功能梯度材料板，是以探討熱相關的問題，僅少數

探討關於 FGM 板或複合材料板振動之文獻。基於古典板理論，Yang 和 Shen

(2001)研究含平面應力之四邊固定 FGM 方形板之振動行為。He 等人 (2001)

研究附有壓電感應器的 FGM 方形板之振動。Zhao 等人 (2009)採用一階剪

力變形板理論去分析 FGM 方形板在不同邊界條件下之振動。Reddy (2000)

導出一有限元素解來分析 FGM 板之振動行為。Ferreira 等人 (2006)採用無

網格葛勒金法去解決一般方程。Matsunaga (2008)根據 2D 高階板理論，導

出一系列的基礎動力方程來分析簡支方形 FGM 板。Qian 等人 (2004)根據

高階剪力變形板理論，利用無網格葛勒金法去解決一般方程，並研究 FGM

板之振動行為。Vel 和 Batra (2004)提出 3D 解來分析簡支矩形 FGM 板之振

動。張明儒 (2008)推導功能梯度材料厚板的漸近解，並探討板幾何所致的

應力奇異性；進而將該漸近解引入懸臂斜形板和具邊緣裂縫簡支承矩形板

之振動分析中，並計算具邊緣裂縫矩形板的應力強度因子。

過去尚未有文獻考慮具裂縫之功能梯度材料板之振動行為。本研究將

首次利用 3D 彈性理論探討具邊緣裂縫 FGM 板由不同邊界條件、不同厚度、

不同裂縫位置、不同裂縫長度經振動所引致之奇異應力現象以及影響。

1.3

內容概要

本論文共分為四章，其內容如下：

第一章 說明本文研究的動機與目的，並回顧相關文獻。

第二章 介紹本研究所使用之理論與方法，含 3D 彈性理論，並引入允許函

數，得符合裂縫尖端之應力奇異性。

第三章 以 3D 彈性理論為基礎，並利用 Ritz 法求解邊緣裂縫矩形板之振動，

驗證允許函數之適用性，並探討不同案例對收斂性之影響。

第四章 以前一章所用之允許函數分析不同案例之振動問題，並探討各個案

例對於數值結果的影響。

第二章 分析方法

本章將討論 3D 彈性理論架構下，利用 Ritz 法求解含裂縫之功能梯度

板（參考圖 2.1 與圖 2.2）振動。首先介紹功能梯度板的材料性質，再敘述

使用 3D 彈性理論，配合 Ritz 法之相關公式。

2.1

功能梯度材料的由來

一般分析材料時都假設材料為均質且等向，但在許多情況下(例如航天

技術、汽車工程等)，人們希望同一材料的兩側具有不同的性質或功能，又

希望彼此之間結合完美，而不至於在實際使用中因性能未達到要求而產生

破壞。陶瓷 -金屬功能梯度材料是 1987 年由日本科學家新野正之、平井敏雄

等首先提出的新概念和新思想，其分別由不同性能的材料組成，以應付所

需的使用環境；而內部的組成和結構又是連續變化的，在使用中可防止界

面因不連續產生的破壞。功能梯度材料其可按設計的梯度函數調節金屬與

陶瓷的組成比例已達到總體要求的標準，更重要的是他們將性能不同的材

料結合成結構內部非均勻的新型材料，並將材料的開發引入了更高的層

次。

對於不同的複合材料來說，其各擁有不同的性質，並綜合分析以供選

擇使用。而對 FGM 來說，其組成材料、含量、結構等參數稍有變化將產生

新一類型的材料，且結構可以根據工程需要，而設計出具有高強度、剛度、

耐熱性、耐磨性等的合適材料。FGM 複合結構的狹義概念為：材料的組成

及結構沿梯度變化，材料的力學性能與材料的性質隨參數連續變化，由此

所獲得的功能為新創造的，是個全新的概念。

FGM 結構有特定的整體尺寸，且其內部無界面或者界面不明顯，以

材料設計為基礎，採用先進的材料製造技術(先進工藝方法)，使材料的組成

及結構等按照設計者的需求沿厚度梯度變化，以而使材料力學性能及材料

性質連續變化，獲得緩熱、耐熱及隔熱等功能。

最初研究 FGM 的目的，是為了解決航太方面的問題，進而發展的金

屬和超耐熱陶瓷結合的研究，由於 FGM 的特點，它很快的就被利用在其他

功能材料的構想和研究中，用途從航太工業擴大到核能、電子、汽車、化

學、生物醫學科學領域，其構成也由金屬-陶瓷擴展到金屬-聚合物、非金屬

-陶瓷、高分子膜-聚合物及聚合物-金屬等多種組合，應用前景廣闊，是許

多國家的研究重心。

經過近些年的發展應用，由於 FGM 的概念與思想，使其能為材料創

造出某種特殊功能，且為材料的結構分析帶來了新的探討，進而引起物理、

力學、生物與材料研究者的特別關注。研究 FGM 複合結構是航空業進一步

發展的關鍵，特別是航太工業。此外 FGM 已漸漸擴大其應用範圍，並很可

能首先應用於汽車工業。FGM 對於各種耐熱、結構承載上的充分應用提供

理論依據和力學分析，有效的減輕導彈重量、火箭的自重、提高飛行器的

耐熱極限及承載能力有者極重要的戰略意義，對國防事業有巨大的經濟價

值。

由於研究 FGM 複合結構有者極大的目的性、實用性及理論性，再加

上材料沿梯度變化的概念所蘊含的意義非常深遠，最近在生物力學方面，

已經提出了胚胎中存在著決定發育的關鍵力學性質，其結構的組成在特定

方向上也呈梯度分布，並建立了梯度結構理論，由此可見 FGM 領域已擴展

至生物領域，相信 FGM 在生物體系方面往後會有更多的發展。

2.2

功能梯度材料公式

由於 FGM 材料參數的非均勻性，使得描述問題的控制方程式為非線

性。本文的 FGM 板包含兩個隨機分佈的等向性材料成分，且材料特性不

同之處僅為厚度方向；所以 功能梯度板之振動的材料特性沿厚度方向變化。

可假設表示為

P

z

V

P

Z

P

(

)

=

+

(

)

∆

(2.1)

其中

P

(Z

)

為材料的有效性質，

P

代表板底層(z=-h/2)的材料性質，

∆

P

是

P

跟板頂層(z=h/2)的變化量，

z

h

Z

V

2

1

)

(











 +

=

(2.2)

h 是代表板厚；

nˆ

是控制材料沿厚度方向變化的參數。

本文中所探討的功能梯度板是由金屬鋁跟陶瓷(

Z

O

或

Al

O

)組成的，

其材料參數由如 2.1 所示。

2.3

3D 彈性理論之應變能與動能

由於分析矩形板，可以

x

−

y

−

z

直角座標系統表示 3D 彈性理論之應變

能與動能。應變能可以張量分量表示成：

dV

U

=

∫

σ

ε

2

1

(2.3)

其中

[

]

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

=

(2.4a)

[

]

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

=

2

2

2

(2.4b)

彈性之本構方程為

σ

=

c

ε

(2.5)

其中

c

為材料參數張量；可將

c

簡化成

c

，其中取 ij=11,ij=22,ij=33 時

，

分別取 p=1,2,3

；

取

ij=23,ij=31,ij=12

，

分別取 p=4,5,6；同理

kl 亦然。由









































+

+

+

=

µ

µ

µ

µ

λ

λ

λ

λ

µ

λ

λ

λ

λ

µ

λ

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

2

0

0

0

2

0

0

0

2

c

(2.6)

其中

λ

與

µ

為 Lame 常數，故

σ

= 2

µε

+

λδ

ε

。利用此本構方程，可得

ε

µε

λδ

ε

ε

σ

(

2

)

2

1

2

1

₌

₊

(2.7)

再依微小變形理論中，應變與位移的關係

₂

(

)

1

=

u

+

u

ε

(2.8)

其中

u

代表

u

,

u

,

u

，

u

代表 i 方向的位移在 j 方向上的變化率，i 跟 j 為

1

,

2

,

3

將式(2.8)代入式(2.7)中可得應變能

∫

_



+

+

_



=

u

u

u

u

dV

U

2

1

)

(

4

λ

µ

(2.9)

另外，三維問題之動能可表示成

(

u

u

u

)

dV

T

∫

+

+

=

2

1







ρ

(2.10)

其中

ρ

為單位體積重量

2.4

利用 Ritz 法求解板之自然振動頻率

假設板內某點位移為

u

(j=1, 2, 3)，並令

U

e

u

=

(2.11)

式中

ω

為自然振動頻率，

t

為時間。利用 Ritz 法求解矩形板之自然振動頻率，

其能量定義為

T

U

−

=

Π

(2.12)

其中

Π

為結構總勢能，

T

為一振動週期內最大動能，

U

為一振動週期內

最大應變能。

依式(2.9)及(2.10)可得最大應變能及動能分別可表示為

∫

_



+

+

_



=

U

U

U

U

dV

U

2

1

)

(

4

λ

µ

(2.13)

∫

+

+

=

dV

U

U

U

T

(

)

2

1

ρ

(2.14)

將

U

利用完備性之允許函數序列可展開得

∑

=

~

A

U

U

(2.15)

其中

U

~

為滿足幾何邊界條件的允許函數。