第四章 數值結果
4.1 裂縫對振態頻率之影響
因裂縫而導致之無因次化頻率折減量率，定義為：
%
× 100
= −
∆
無裂縫 裂縫 無裂縫
ω ω
ω ω ；
其中，
ω
無裂縫為完整板無因次化頻率值，ω
裂縫為具裂縫板之無因次化頻率 值。4.1.1 四邊簡支(SSSS)板
表 4.1~表 4.6 為具水平裂縫於cy b
= 0 . 5
處之 Al/Al2O3 FGM 方形 SSSS 板，在不同裂縫長度（d a = 0 . 1 ~ 0 . 5
）、nˆ(0、0.2、1、5、10) 與厚度（h/
b= 0 . 02
、1 .
0
、0 . 2
）下之無因次自然振動頻率，而表 4.2、4.4 及 4.6 則為裂縫導致之∆ ω
。 觀察各表可發現以下現象（1） 考慮完整板(無裂縫者)中厚度為(h
/
b= 0 . 1
、0 . 2
)板之第四與第五模態頻 率完全相同，厚度(h/
b= 0 . 05
)之第二與第三模態頻率完全相同，此現 象為方形板具有的特徵值重根現象。（2） 當裂縫長度增加時，無因次化頻率隨之下降；此乃由於裂縫長度的增 加，導致板勁度降低。觀察各案例
d a = 0 . 1
，其頻率折減量比∆ ω
大部 分都小於 4%；最大值∆ ω = 4 . 25 %
發生在h= 0 . 05
,nˆ = 0 . 2
的第五模態。當5 .
= 0 a
d
時，其頻率折減量比∆ ω
則可升至約 21%；最大值∆ ω = 20 . 85 %
發生在h
= 0 . 05
,nˆ = 0 . 2
的第四模態。裂縫較短時，各模態頻率值受裂縫 引起的改變很小，勁度降低量較不明顯。（3） 無因次化頻率隨nˆ值增加而下降，是因為nˆ增加所造成的勁度下降相 較於 Al/Al2O3 FGM 板質量減少來的快 (如圖 4.1 所示) 。
（4） 厚板(h
/
b= 0 . 1
、0 . 2
)之第五模態主要以面內位移限制時(參看圖 4.2)，其無因次化頻率的變化對於裂縫長度之增加較不明顯，也就是勁度比
較不受裂縫長度的影響。
（5） 只有厚度改變時，隨者厚度增加，其無因次化頻率將隨之下降，此因 於無因次化頻率中含（
h
1
）之項。4.1.2 四邊自由端(FFFF)板
表 4.7~表 4.9 為具邊緣裂縫之 Al/Al2O3 FGM 方形 FFFF 板，在不同裂 縫位置（cy b
= 0 . 5
與0 . 75
）、角度 （α = 0
ο、30
ο、45
ο）、裂縫長度（d a = 0 . 1 ~ 0 . 5
）、nˆ(0、0.2、1、5、10) 與厚度（h
/
b= 0 . 02
、0 . 1
、0 . 3
）下之無因次自然振動 頻率。FFFF 板有 6 個頻率為零之剛體運動模態，未列於表中。觀察各表可 發現以下現象：（1） 當裂縫為零(無裂縫者)，板之第四與第五模態頻率完全相同，此為方 形板具有的特徵值重根現象。
（2） 當
d a = 0 . 1
，各案例之頻率折減量比∆ ω
小於 3%；且最大值∆ ω = 2 . 95 %
發生於h
= 0 . 3
,α = 0
,n ˆ = 10
,cy b= 0 . 5
的第四模態。當d a = 0 . 5
時，其頻率 折減量比∆ ω
則可升至約 57%；最大值∆ ω = 57 . 47 %
發生在h= 0 . 3
,α = 45
,ˆ = 10
n
,cy b= 0 . 5
的第一模態。（3） 考慮不同厚度下裂縫位置改變對頻率之影響：
(a) 當h
/
b= 0 . 02
時，水平裂縫隨位置(c/
b= 0 . 5
與0 . 75
)，對頻率值之影響：觀察
d a = 0 . 1
發現，cy/
b= 0 . 5
頻率折減量比∆ ω
較cy/
b= 0 . 75
者 大；d a = 0 . 2
時，無一定之趨勢；d a = 0 . 3 ~ 0 . 5
的第一模態，其5 . 0 /
b=
cy 頻率折減量比
∆ ω
較cy/
b= 0 . 75
者大。(b) 當h
/
b= 0 . 1
時，水平裂縫隨位置(cy/
b= 0 . 5
與0 . 75
)，對頻率值之影響：觀察
d a = 0 . 1
發現，cy/
b= 0 . 5
頻率折減量比∆ ω
較cy/
b= 0 . 75
者大；2 .
= 0 a
d
的第一、三、五模態，其cy/
b= 0 . 5
頻率折減量比∆ ω
較75 . 0 /
b=
cy 者大；
d a = 0 . 3
時，無一定趨勢；d a = 0 . 4 ~ 0 . 5
的第一模 態，其cy/
b= 0 . 5
頻率折減量比∆ ω
較cy/
b= 0 . 75
者大。(c) 當h
/
b= 0 . 3
時，水平裂縫隨位置(cy/
b= 0 . 5
與0 . 75
)，對頻率值之影 響：觀察d a = 0 . 1 ~ 0 . 5
，無一定之趨勢。（4） 考慮不同厚度下裂縫角度改變對頻率之影響：
(a) 當h
/
b= 0 . 02
且cy/
b= 0 . 5
時，角度之增加（α = 0
ο、30
ο、45
ο）對頻 率 值 之 影 響 ： 觀 察d a = 0 . 1
， 各 模 態 之 頻 率 隨 角 度 而 增 加 ；5 . 0
~ 2 .
= 0 a
d
則無一定之趨勢。當cy/
b= 0 . 75
時，觀察d a = 0 . 1
之變 化，各模態之頻率隨角度而增加；d a = 0 . 2 ~ 0 . 5
則無一定之趨勢。(b) 當h
/
b= 0 . 1
且cy/
b= 0 . 5
時，角度之增加（α = 0
ο、30
ο、45
ο）對頻 率值之影響：觀察d a = 0 . 2
，各模態之頻率隨角度而增加；其餘不 同 裂 縫 長 度 則 無 一 定 之 趨 勢 。 當 cy
/
b= 0 . 75
時 ， 觀 察5 . 0
~ 1 .
= 0 a
d
，無一定之趨勢。(c) 當h
/
b= 0 . 3
且cy/
b= 0 . 5
時，角度之增加（α = 0
ο、30
ο、45
ο）對頻率 值 之影響 ： 觀 察d a = 0 . 1 ~ 0 . 2
，各模 態 之 頻 率隨角 度 而 增加；5 . 0
~ 3 .
= 0 a
d
則無一定之趨勢。當cy/
b= 0 . 75
時，觀察d a = 0 . 1 & 0 . 3
， 各模態之頻率隨角度而增加；其餘裂縫長度則無一定之趨勢。（5） 材料由 Al/Al2O3組成，與四邊簡支(SSSS)之案例相同，故nˆ值對於頻 率之影響與前節所述一致。
4.1.3 懸臂(CFFF)板
表 4.10~表 4.12 為具邊緣裂縫之 Al/Al2O3 FGM 矩形 CFFF 板，在不同 裂縫位置（cy a
= 0 . 25
與0 . 5
）、角度 （α = 90
ο）、裂縫長度（d a = 0 . 1 ~ 0 . 5
）、nˆ(0、0.2、1、5、10) 與厚度（h
/
b= 0 . 02
、0 . 1
、0 . 3
）下之無因次自然振動頻 率。觀察各表可發現裂縫對頻率之影響與前節所述者不同的是：（1） 觀察各案例
d a = 0 . 1
，其頻率折減量比∆ ω
大部分都小於 4%；且最大 值∆ ω = 3 . 53 %
發 生 於h= 0 . 1
,α = 90
,nˆ = 5
,cy/
a= 0 . 25
的 第 四 模 態 。 當5 .
= 0 a
d
時，其頻率折減量比∆ ω
則可升至約 47%；最大值∆ ω = 46 . 76 %
發生在h
= 0 . 3
,α = 90
,nˆ = 1
,cy/
a= 0 . 25
的第二模態。（2） 考慮不同厚度下裂縫位置改變對頻率之影響
(a) 當h
/
b= 0 . 02
且α = 90
ο時，裂縫隨位置(cy/
a= 0 . 25
與0 . 5
)，對頻率值之 影響：觀察d a = 0 . 1
，除了第三、四模態外，其餘cy/
a= 0 . 25
頻率折 減量比∆ ω
較cy/
a= 0 . 5
者大；d a = 0 . 2 ~ 0 . 3
，除了第三模態外，其 餘cy/
a= 0 . 25
頻率折減量比∆ ω
較cy/
a= 0 . 5
者大；d a = 0 . 4
，除了第 三、五模態外，其餘cy/
a= 0 . 25
頻率折減量比∆ ω
較cy/
a= 0 . 5
者大；5 .
= 0 a
d
，除了第三、四、五模態外，其餘cy/
a= 0 . 25
頻率折減量比ω
∆
較cy/
a= 0 . 5
者大。(b) 當h
/
b= 0 . 1
且α = 90
ο時，裂縫隨位置(cy/
a= 0 . 25
與0 . 5
)，對頻率值之 影響：觀察d a = 0 . 1
，除了第三、五模態外，其餘cy/
a= 0 . 25
頻率折 減量比∆ ω
較cy/
a= 0 . 5
者大；d a = 0 . 2 ~ 0 . 3
，除了第三模態外，其 餘cy/
a= 0 . 25
頻率折減量比∆ ω
較cy/
a= 0 . 5
者大；d a = 0 . 4
，無規律 變化；d a = 0 . 5
，除了第五模態外，其餘cy/
a= 0 . 25
頻率折減量比∆ ω
較cy
/
a= 0 . 5
者大。(c) 當h
/
b= 0 . 3
且α = 90
ο時，裂縫隨位置(cy/
a= 0 . 25
與0 . 5
)，對頻率值之 影響：觀察d a = 0 . 1 ~ 0 . 4
，除了第五模態外，其餘cy/
a= 0 . 25
頻率折 減量比∆ ω
較cy/
a= 0 . 5
者大；d a = 0 . 5
，除了第四、五模態外，其餘cy
/
a= 0 . 25
頻率折減量比∆ ω
較cy/
a= 0 . 5
者大。4.1.4 兩端固定端，兩端自由端(CFCF)板
表 4.13~表 4.15 為具邊緣裂縫之 Al/ZrO2 FGM 矩形 CFCF 板於不同裂縫 位置（cy a
= 0 . 25
與0 . 5
）、角度 （α = 90
ο、135
）、裂縫長度（d a = 0 . 1 ~ 0 . 5
）、nˆ(0、0.2、1、5、10) 與厚度（h
/
b= 0 . 02
、0 . 1
、0 . 3
）下之無因次自然振動 頻率。觀察各表可發現以下現象（1） 當h
/
b= 0 . 02
、0 . 1
時，觀察各案例d a = 0 . 1
，其頻率折減量比∆ ω
皆小於 1%；且最大值∆ ω = 0 . 98 %
發生於h= 0 . 1
,α = 90
,n ˆ = 10
,cy a= 0 . 5
的第一、四 模 態 ，
d a = 0 . 5
時 ， 其 頻 率 折 減 量 比∆ ω
升 至 約 29% ； 最 大 值% 57 .
= 28
∆ ω
發 生 在 h= 0 . 1
,α = 135
, nˆ = 0
,cy a= 0 . 25
的 第 五 模 態 。 當3 . 0 /
b=
h 時，觀察各案例
d a = 0 . 1
，頻率折減量比∆ ω
皆小於 2%；且最 大 值∆ ω = 1 . 19 %
發 生 於h= 0 . 3
,α = 90
,n ˆ = 10
,cy a= 0 . 5
的 第 三 模 態 ，5 .
= 0 a
d
時，其頻率折減量比∆ ω
升至約 30%；最大值∆ ω = 29 . 63 %
發生 在h= 0 . 3
,α = 90
,n ˆ = 0 . 2
,cy a= 0 . 5
的第四模態。表示裂縫較短時，各模 態頻率值受裂縫引起的改變很小，勁度降低量較不明顯。（2） 考慮不同厚度下裂縫位置改變對頻率之影響
(a) 當h
/
b= 0 . 02
時，裂縫隨位置(cy/
a= 0 . 25
與0 . 5
)，對頻率值之影響：觀察
d a = 0 . 1 ~ 0 . 3
的第二、三、五模態，其c/
a= 0 . 25
頻率折減量比ω
∆
較cy/
a= 0 . 5
者大；d a = 0 . 4 ~ 0 . 5
的第二 、五模態 ，其cy/
a= 0 . 25
頻 率折減量比∆ ω
較cy/
a= 0 . 5
者大。(b) 當h
/
b= 0 . 1
時，裂縫隨位置(cy/
a= 0 . 25
與0 . 5
)，對頻率值之影響：觀 察d a = 0 . 1 ~ 0 . 3
，無一定之趨勢；d a = 0 . 4 ~ 0 . 5
的第二、五模態，其25 . 0 /
a=
cy 頻率折減量比
∆ ω
較cy/
a= 0 . 5
者大。(c) 當h
/
b= 0 . 3
時，裂縫隨位置(cy/
a= 0 . 25
與0 . 5
)，對頻率值之影響，觀 察d a = 0 . 1 ~ 0 . 2
，除了第一、三、五模態外，其餘cy/
a= 0 . 25
頻率折 減量比∆ ω
較cy/
a= 0 . 5
者大；d a = 0 . 3 ~ 0 . 5
，無一定之趨勢。（3） 考慮不同厚度下裂縫角度改變對頻率之影響
(a) 當h
/
b= 0 . 02
時，觀察cy/
a= 0 . 25
和0 . 5
時，裂縫隨角度變化，對頻率 值之影響：當cy/
a= 0 . 25
，d a = 0 . 1 ~ 0 . 3
，無一定之趨勢；d a = 0 . 4 ~ 0 . 5
， 除了第一、四、五模態之外，α = 90
ο頻率折減量比∆ ω
較α = 135
ο者 大。當cy/
a= 0 . 5
，d a = 0 . 1 ~ 0 . 3
，除了第五模態之外，α = 90
ο頻率 折減量比∆ ω
較α = 135
ο者大；d a = 0 . 4 ~ 0 . 5
，除了第二、五模態之 外，α = 90
ο頻率折減量比∆ ω
較α = 135
ο者大。(b) 當h
/
b= 0 . 1
時，觀察cy/
a= 0 . 25
和0 . 5
時，裂縫隨角度變化，對頻率 值之影響：當cy/
a= 0 . 25
，d a = 0 . 1 ~ 0 . 3
，無一定之趨勢；d a = 0 . 4 ~ 0 . 5
， 除了第四、五模態之外，α = 90
ο頻率折減量比∆ ω
較α = 135
ο者大。當cy
/
a= 0 . 5
，d a = 0 . 1 ~ 0 . 4
，無一定之趨勢；d a = 0 . 5
，除了第二、四、五模態之外，
α = 90
ο頻率折減量比∆ ω
較α = 135
ο者大。(c) 當h
/
b= 0 . 3
時，觀察cy/
a= 0 . 25
和0 . 5
時，裂縫隨角度變化，對頻率 值之影響：當cy/
a= 0 . 25
，d a = 0 . 1 ~ 0 . 3
，除了第三模態之外，α = 90
ο頻率折減量比
∆ ω
較α = 135
ο者大；d a = 0 . 4 ~ 0 . 5
，除了第三、五模 態之外，α = 90
ο頻率折減量比∆ ω
較α = 135
ο 者大。當cy/
a= 0 . 5
，3 . 0
~ 1 .
= 0 a
d
，α = 90
ο頻率折減量比∆ ω
較α = 135
ο者大；d a = 0 . 4
， 除了第二模態之外，α = 90
ο 頻率折減 量比∆ ω
較α = 135
ο 者大；5 .
= 0 a
d
，除了第二、五模態之外，α = 90
ο 頻率折減量比∆ ω
較α = 135
ο者大。（4） 材料由 Al/ZrO2組成，觀察nˆ值對頻率之影響：當nˆ=1 增至 5 時，其 頻率增加，其餘nˆ值影響與 Al/Al2O3相同(如圖 4.2 所示)。
4.1.5 不同邊界條件之影響
表 4.3 及表 4.8 分別為具水平裂縫之 Al/Al2O3 FGM 方形 SSSS 板和 FFFF 板，在不同裂縫長度（
d a = 0 . 1 ~ 0 . 5
）、nˆ(0、0.2、1、5、10) 與厚度（h/
b= 0 . 1
） 之下之無因次自然振動頻率。觀察各表可發現以下現象（1） 在 FFFF 的案例中，裂縫長度越長對於頻率的下降越明顯(其頻率折 減量比
∆ ω
則可升至約 57%)。（2） 當nˆ=0~1 時，FFFF 頻率下降趨勢大於 SSSS，當nˆ=1~10 時，SSSS 頻率下降趨勢大於 FFFF。
另外由收斂性分析的各表結果可看出，均質板頻率隨厚度或裂縫長度 增加而下降，另外材料由均質變成功能梯度時，頻率隨者