第一章 緒 論
1.3 文獻回顧
在分析平板理論方面，以基於古典板理論(Classical Plate Theory，簡稱 CPT)[1]的古典積層板理論(Classical Lamination Theory)對複合材料薄板來 進行分析已能得到不錯的結果，但對於厚板而言，由於複合材料揚聲板之 側向剪力模數(Shear modulus)比沿纖維方向的楊氏係數(Young’s modulus)低 很多，且在厚度上較薄板高出許多，因此容易產生側向剪變形，所以古典 板理論不適合分析較厚之複合材料板。為此，Mindlin 提出了一階剪變形理 論(The First-order Shear Deformation Theory，簡稱 FSDT)[2]，首先將側向剪 力的影響加以考慮，但是因為假設側向剪力分布為常數，並不符合實際的 情況，於是Whitney[3、4]便提出了剪力修正因子來加以修正，此種理論比 較適合用在長厚比大於15 的結構上；之後，學者又提出了各種高階剪變形 的理論，雖有提高理論值與實際狀況相比之準確性，但其計算上比較複雜 許多，因此本文所使用揚聲板之分析以一階剪變形理論為主。
在研究三明治板的文獻方面，Reissner[5]推導控制方程式研究應用小變 形、等向性三明治板的力學行為，文獻將面層假設為薄膜，並忽略中心層 平行面層的應力。O’Connor[8]提出用有限元素法來分析三明治結構，他以 平面彈性元素來構建中心層，樑元素來構建面層。Kanematsu[9]用 Ritz method 來分析矩型板的彎曲和振動。
文獻 [10~13]是介紹一般工程最佳化概念，隨著複合材料的廣泛使用與 結構可靠度評估而逐漸受到重視與矚目，許多知名學者將工程最佳化運用 在複合材料力學領域之相關研究。
對於聲學與聲壓計算方面，Morse[14]中推導出了聲源在空氣中傳遞之 聲壓方程式，在Takeo[15]中引用出有限元素之聲壓方程式，而 Tan[16]中討 論了藉由促動器(actuator)主動控制對平板之聲場的影響。
在平板附加質量研究方面，Zhang[17]中探討分布模態揚聲器
(Distributed mode loudspeaker)矩形平板在劃分四個區域中，找出固定附加重 量與面積所需配重於四個區域之位置，以求得最佳揚聲表現。在文獻[18]
中探討長型平面揚聲器在不同加勁條件下，找出附加重量之影響，結果顯 示在相同的加重大小與位置的條件下，揚聲板剛性越高所需加重重量越 小。Li[19]探討聲壓於空氣中與水中給予不同均佈負載面積與位置下，了解 加重對自然頻率與聲壓的影響。Wong[20]對均佈載重與集中載重以及中心
載重與偏心載重對平板自然頻率改變的影響，當載重大小相等時，載重面 積越小其改變自然頻率越嚴重。Kopmaz[21]對平板偏心處加予一附加質 量，探討不同偏心質量大小與未加重平板對自然模態與節線的改變，而當 載重超過某一重量時，會發生自然頻率順序互換的情形產生。Cha [22]以分 析和數值結合方法(Analytical and numerical combined method)驗證集中質量 負載對平板於自然振動頻率的影響。
第二章 複合材料積層板的基本原理
本章敘述複合材料平板的振動分析，其中用來計算揚聲板變形量的平 板的理論有用到一階剪變形和多層一階剪變形兩種。若揚聲板為純巴沙木 板，使用一階剪變形來進行分析，但揚聲板為複合材料三明治板時，其面 層與夾心層間材料性質差異性很大，面層是由不同纖維方向的複合材料層 板所組成，因此面層與夾心層間在同一方向的勁度會有很大的差異，所以 複合材料三明治板沿整個厚度方向的位移並不如一階剪變形位移場平板理 論所假設的整個板厚度為一斜率相同的直線，故將整個複合材料三明治板 的每一層當作一個一階剪變形的位移場，並考慮每一層與層之間位移的連 續性。
2-1 一階剪變形平板理論
一階剪變形理論FSDT(The First Order ShearDeformation Theory)來作為 複合材料平板分析的基礎，其基本假設如下：
1.板的長、寬為板的厚度的 15 倍以上。
2.板的截面變形後仍保持平面。
3.厚度仍保持不變，即 =0。 εz 4.板的變形量 u, v, w 很小。
其位移場的假設如下：
t) y, (x, zθ t) y, (x, u
u= 0 + x
t) y, (x, zθ t) y, (x, v
v= 0 + y t) y, w(x,
w = (2.1) 其應變場如下：
0 是剪應變所產生之旋轉量(Shear Rotation)。
而中間面之曲率為
的位移場，並考慮每一層與層之間位移的連續性(如圖 2-1)。之後將以此位
)
[ ]
因複合材料是由不同角度的層板疊合而成，所以必須將主軸方向的 材料性質，轉換至層板的座標 x－y 方向，如圖2-2所示。則在材料主軸 座標系的構成方程式 (Constitutive equation) 為：
{ }
σ =[ ]
Q{ }
ε (2.9)而主軸方向與 x－y 方向夾角為
θ
(如圖2-1)，從整個複合材料積層板而 別代表拉伸勁度矩陣(extensional stiffness matrix)、偶合勁度矩陣(Coupling stiffness matrix)、彎曲勁度矩陣(Bending stiffness matrix)：( ) ∑∫ (
彈性支承以橫向(Translation)及旋轉(Rotation)彈簧加以表示，而其所引起的 應變能為：w
其中 為平板四邊的橫向剛性( Translational stiffness)， 為平板四 邊的旋轉剛性(Rotational stiffness)。
KLn KRn
每一單層板的動能T(i)為： 實數對稱(Real Symmetric)矩陣。
求解任何線性結構系統時，通常假設在結構系統中，各不同部位之振
}
假設此系統具有比例阻尼(Proportional Damping) ]
其中α 、 將以下述之Bandwidth Method和Rayleigh Damping 取得：
(一)Bandwidth Method
如圖2-6所示為一揚聲板中心之頻率響應圖，其中 Ap為某一共振頻率
(二)Rayleigh Damping
由Bandwidth Method得到每一共振頻率相對應之阻尼比後，可從任二
組共振頻率響應得到系統阻尼比(如圖2-7所示)。利用下式可以求得系統 α-damping和 β-damping：
( )
( ) i
i
2 i 2
ξ =α Ω +β Ω (2-33)
ξi：第 i個模態之阻尼比
第三章 有限元素分析與聲壓計算
對於振動分析而言，有限元素法的發展也趨於成熟，可將原先複雜的 幾何模型分成簡單、小的計算單位，稱之為元素或單元(element)，而元素和 元素間互相連結的點稱為節點(node)。根據個別元素所受的外力等影響，配 合形狀函數，列出其位移及變形的方程式，再組合聯立計算原本整體的位 移及變形。本文則選用有限元素軟體ANSYS 進行簡諧激振分析，得到揚聲 板上各節點的振幅及相角後，代入聲壓公式計算出各頻率下的聲壓數據，
將其連成趨勢線即可得一揚聲系統的聲壓曲線。本章先是敘述整個ANSYS 模型的建立流程與方式和實驗上分析參數的取得，並陳述ANSYS 分析模擬 揚聲器聲壓曲線時所需要的聲壓公式。
3-1 ANSYS 有限元素模型之建立
3-1.1 模擬元素的選擇
本章在陳述ANSYS 有限元素模擬分析揚聲器揚聲板的過程，選用 符合多層一階剪變形理論的殼元素 Shell 91 來模擬揚聲板三明治加勁的 區域及單層 2mm 心層未加勁的區域，音圈部分則以殼元素 Shell99 來模 擬，以 mass21 元素來模擬懸邊及配重的質量效應，另外以
spring-damper14 彈簧元素模擬系統的等效支承。
3-1.2 ANSYS 模型建立步驟
前處理部分：
1. Preprocessor → Element type：選擇揚聲板 shell91，音圈元素 shell99，
彈簧元素spring-damper 14，附加物質量點 mass21。
2. Preprocessor → Real constant：設定元素之參數、彈簧常數、質量參數 等。
3. Preprocessor → Material Props → Material Models：設定揚聲板、音圈 之材料性質。
4. Preprocessor → Modeling：由點、線、面建立揚聲板的模型外觀。
5. Preprocessor → MeshTool：選擇各面積之元素參數、材料性質、各元 素之尺寸大小，並分割元素。
6. Preprocessor → Modeling → Copy → Nodes：將必須建立彈簧的地方偏 移複製，偏移之距離即為彈簧之長度。
7. Preprocessor → Modeling → Create → Elements → Auto Numbered → Thru Nodes：逐一點選以兩個節點為一組之節點來建立彈簧元素，亦 可由迴圈程式輔助完成此重複性動作。
8. Preprocessor → Modeling → Create → Keypoints →on Node：逐一點選
音圈、支承部份的位置建立Keypoints。
9. Preprocessor → MeshTool：選擇音圈、支承的元素參數。
10. Preprocessor → Coupling/Ceqn → Coincident Nodes：將音圈元素與揚 聲板模型上相同位置之節點設定成具有相同的自由度，來模擬揚聲板 上附加音圈的真實狀況。
前處理至此即完成，依前述步驟完成的有限元素模型示意圖如圖3-1 所 示。
模態分析部分：
11. Solution → Analysis Type → New Analysis：選擇分析型態，自然頻率 模態分析點選“Modal”。
12. Solution → Analysis Type →Analysis Options：No. of modes to extract 為要分析的模態個數。
13. Solution → Define Loads → Apply → Structural → Displace- ment → On Nodes：限制彈簧元素另一端節點的全部自由度。
14. Solution → Solve → Current Ls：求解。
15. General Postproc →Results Summary：列出所有的自然頻率。
16. General Postproc →Read Results →By Pick：選出想看 Mode Shapes 的 自然頻率。
17. General Postproc →Plot Results →Contour Plot →Nodal Solu：再選 Nodal Solution →Z-Component of displacement，列出 Z 方向的位移。
即可得到自然頻率及模態。
分析聲壓部分如下：
11.Solution → Analysis Type → New Analysis：選擇分析型態，簡諧頻率 響應分析點選“Harmonic”。
12. Solution → Define Loads → Apply → Structural → Displacement → On Nodes：限制彈簧元素另一端節點的全部自由度。
13. Solution →Define Loads → Apply → Structural → Force/Moment → On Nodes：在位於音圈底部的節點施予 Z 方向且相角為零之推力。
14. Solution → Load Step Opts → Time/Frequenc → Damping：輸入系統阻 尼
α
、β
的值。15. Solution → Load Step Opts → Time/Frequenc → Freq and Substps：輸入 欲分析頻率響應之頻寬。
16. Solution → Solve → Current Ls：求解。
17. TimeHist Postpro → List Variables：輸出揚聲板模型全部節點的振幅及 相角。
由上面簡諧激振分析可得到以下資料：
1.節點編號 NodeNo(i)及位置 x(i),y(i),z(i)
2.第 i 節點在第 j 頻率的振幅 Amplitude(i,j)及相角 phase(i,j)
3-2 ANSYS 模擬分析中各參數的取得
ANSYS 模型中質點元素、彈簧元素的各參數和模擬音圈激振的施力皆 可由實驗取得。如圖3-2 和表 3-1 為純巴沙木揚聲板揚聲器的阻抗圖和單體 參數值，以下先討論參數值中的Mms、Cms 及 BL 值，其實驗過程將在第 五章中作敘述。而系統的α-damping 和 β-damping 也可由阻尼量測實驗來取 得。
3-2.1 材料常數的給定
本文使用之具複合材料加勁揚聲板係由心層的巴沙木材料與面層的 碳纖、玻纖材料組成，其各材料常數如表3-2 所示。
3-2.2 質點元素的參數
質點元素方面，音圈、支承材料質量可在組裝前直接以電子秤量測，
然後將揚聲板、音圈、支承材料的所有的質量加總再和參數值中的Mms 值作比較和驗證，實驗中量測加總的質量和Mms 的值是吻合的，其中 Mms 值是揚聲器揚聲板系統之重量，因此可以確認所有的質點元素的參 數值是可以給定的。
3-2.3 彈簧元素的參數
彈簧元素方面，彈簧常數的給定可由參數中的Cms 值計算出來。Cms
係指系統每牛頓施力產生的位移。由參數中Cms=468.899u m/N，所以 系統的等效彈簧彈性係數k＝1／Cms＝1／468.899u＝2132.655 N/m。
3-2.4 激振力的給定
如圖3-3 為一個圓形激振器的剖面模型。當音圈通電後會受到電磁力 (Lorentz force)而開始作上下運動。設音圈卷幅在磁場範圍中的總長度為 L，電流為 I，音圈會受到一個垂直磁場方向與電流方向的力量 F。激振 器的磁路設計，即是在音圈卷幅的放置範圍內，提供一個橫方向近似均
如圖3-3 為一個圓形激振器的剖面模型。當音圈通電後會受到電磁力 (Lorentz force)而開始作上下運動。設音圈卷幅在磁場範圍中的總長度為 L，電流為 I，音圈會受到一個垂直磁場方向與電流方向的力量 F。激振 器的磁路設計，即是在音圈卷幅的放置範圍內，提供一個橫方向近似均