在質子交換膜燃料電池內部質子以及溶劑的傳輸行為對電池有 極大的影響，Bernadi 和 Verbrugge [6] 發展一套描述質子在燃料電 池薄膜內傳輸模式，以 Nernst-Planck 方程式來描述質子的傳輸，此 方程式描述質子因電位梯度、質子濃度梯度以及內部流體移動的影響 所造成的傳輸現象，以 Schlogl’s 速度方程式去修正質子在孔隙中因 電位梯度以及壓力梯度所造成的對流的傳輸效應，再以 Bulter-Volmer 方程式去計算電流值，最後則以 Stefan-Maxwell 方程式去描述在多成 分氣體在氣體擴散層內部的傳輸情形。Wang [7] 等人探討多維的暫 態數學模式，以守恆方程式去作為質傳方程式，在動量方程式裡面加 入了源項去修正在多孔隙才質內的傳輸狀態，最後簡化成 Darcy 方程 式，這和 Bernadi and Verbrugge 相同，然後再用計算流體力學的數值 模擬方式來解方程式。Dutta 等人 [8] 也從守恆方程式出發，在動量 方程式裡加入了修正電化學反應的源項，也把通過薄膜方向的動量方 程式簡化成 Darcy 方程式，再利用數值套裝軟體(Fluent)，文中模擬 出了氣體渠道與氣體擴散層三維的氣體密度和速度圖。 Okada [9-12]
之研究團隊發展出一維濃度擴散與電滲透阻力(Electro-osmotic drag) 的數學平衡模式，模式把薄膜分成非污染層以及污染層兩區，再配合 實驗數據來探討質子交換膜在受到其他污染物影響時，其內部水分子 的傳輸現象。結果發現當質子交換膜受到污染時，水分子將不再是經 由氫離子運送到陰極，而是親水性更強的污染物離子。此現象將使得
質子交換膜的脫水現象提早發生，而造成電流密度的降低。其後，
Okada [13,14] 再將先前對質子交換膜所發展出的數學模式擴充到包 含了陽極觸媒層、質子交換膜、陰極觸媒層和陰極氣體擴散層的輸送 及反應行為，並考慮電池內的污染物對整體效能的影響。其結果顯示 污染物在陰極產生會造成比在陽極產生造成更大的效率降低。而當有 污染物產生時，質子交換膜的厚度將對整體的效能有決定性的影響。
Amphlett 等人 [15, 16] 對 Ballard 公司之質子交換膜燃料電池機 組(編號為 Ballard Mark IV)之性能進行電腦模擬研究。其數學模式組 合了由基礎輸送現象機制所推導的方程式及一些簡化的經驗式。以 Stefan-Maxwell 方程式來描述多成份氣體質傳現象，以 Nernst 方程式 來定義熱平衡位能，以 Tafel 方程式來說明過電壓和電流密度的關 係，以 Nernst-Plank 方程式來計算電池內電阻。事實上，這種以基礎 質傳及反應觀點所推導的機制模式無法合適地模擬電池組的性能，主 要因為在模式推導的過程中仍然使用不少假設。此外，某些在電池組 操作時所顯現的現象，在模式中並未考慮。
Springer [17] 等人發展出了一維均溫穩態模式，電極內的氣體傳 輸以 Stefan-Maxwell 方程式來描述，應用薄膜與電極介面水和水汽的 平衡條件，提出介面的薄膜水含量可由介面上的水活性計算出來，並 歷用實驗的資料導出水含量和水活性的關係。
質子交換膜燃料電池中，流道設計主要分成有兩種，一是蛇形，
二是交插流道(Interdigitated)， Dohle [18] 等人針對蛇形流道的設 計，研究其氧氣濃度沿著流道長度的變化，文中指出流道長度有一特 徵長度，氧氣濃度隨著流道長度增加而減少，當流道長度到達特徵長 度時，則氧氣就已經耗用殆盡。93 年 Nguyen 跟 White [19] 提出了 針對反應氣體和水在流道內以及在薄膜內的質傳及溫度沿著流道變
化的熱傳模式，並探討不同的氣體增濕條件對於電池的影響。文中指 出，提升進口氣體增濕溫度是增加電池整體效能的最好方法。98 年 Yi 跟 Nguyen [20] 也針對流道做出了二維穩態的熱傳與質傳物理模 式， 此篇為 93 年的延伸，文中把陰陽極氣體壓力差的對於質傳影響 以及液態水在流道內熱傳效應都考慮在模式中，同樣探討不同的氣體 增濕條件下，對電池性能之影響，此外更加探討了陰陽極氣體壓差與 電池熱交換器的設計對電池性能之影響，文中指出，在增加進口氣體 增濕溫度是最有效的增濕方法，這和 Nguyen 跟 White 的結果是相同 的。另外又指出，陰陽極氣體壓差越大，反應氣體到達觸媒層的量越 充裕，性能表現越好，在熱交換器部分，逆向流的設計是比較能提升 電池性能的方法。在交插流道部分，Yi 跟 Nguyen [21] 討論當氣體渠 道加上了交插流道的設計，這種設計的優點在於可以增加反應氣體傳 到觸媒層的量，並可以有效的排除陰極水的問題，在孔隙介質內的傳 輸方程以 Darcy’s law 來簡化，並在方程式裡考慮了壓力的影響，發 展出二維質傳模式，主要探討加入隔版的交插流道設計，氣體的速度 和壓力在多孔隙材質內分佈情形，以及隔版高度以及進出口壓力差對 於電流密度的影響，當陰陽極的壓力差越大時，所得到電流密度也越 大，當隔版的高度越高，因為可以流進觸媒層的氣體更多，所以得到 的電流值越高。後來 Nguyen [22] 等人更把上面的模式在延伸，在連 續方程式裡加入了液態水蒸發與凝結速率，來考慮液態水在交插流道 裡的影響，文中指出，電極的厚度是有最佳值的，並指出氣體流道數 越多，電池的性能以及電流密度的分佈情形越好，且氣體流道數與隔 版數的比是有最佳比例的。
Fuller 跟 Newman [23] 發展出 2 維水熱管理模式，氣體以 Stefan- Maxwell 方程式出發，以沿著流道的方向的物理性質當作通過薄膜方
向的物理性質，溫度只隨著流道方向而改變，在電池中，反應氣體流 經氣體擴散層的表面，由於反應消耗，其濃度會逐漸降低，因此輸出 電流密度會因氣體通道位置不同而有所不同，他們把此現象列入考慮 進而討論了組成氣體以及薄膜水含量分佈，流道內溫度變化，以及氫 的消耗與電流密度的關係。
對於燃料電池內溫度分佈的情形，Argyroupoulos [24] 等人以能 量守恆方程式為基礎來發展針對 DMFC 的熱傳模式，模式中不但考慮 了氣體流道、氣體擴散層、觸媒層以及薄膜內的熱傳現象，還進一步 考慮了雙極版以及組裝模板的熱傳現象，熱傳部分考慮電池本身的熱 傳導，以及進口氣體的熱對流效應，在薄膜以及觸媒層裡更加入因電 滲透而把熱從陽極傳到陰極的水對流效應，在熱源部分，考慮了化學 反應產生的熱、表面過電位所產生的廢熱，還有歐姆阻抗所造成的 熱，文中指出兩個個別電池所組成的電池組，其溫度變化都很小。
Djilali 和 Lu [25] 把電池分成陰陽極電極以及薄膜三部分來作分 析，並考慮液態水的生成，以 Darcy’s law 來描述水在孔隙電極中的 傳輸現象，質子在薄膜內則以能司特普朗克方程式，電化學反應利用 Bulter-Volmer 方程式來求得電流值，能量方程式在電極中，考慮液體 以及氣體流動所帶走的熱，除了歐姆阻抗生熱之外，還加入了 Dufour 效應，以及液體水蒸發所需要的潛熱，文中指出電流密度越高，溫度 差也就越大。Rowe 和 Li [26] 以守恆方程式出發，考慮多氣體混和 以及液體水的增減，氣體只以擴散行為傳輸，觸媒層假設為薄膜、觸 媒 以 及 孔 隙 組 成 ， 在 氣 體 傳 輸 方 程 式 和 能 量 方 程 式 裡 都 引 入 Bulter-Volmer 方程式來做為電化學反應的修正以及聯立的條件，溶 於水的氣體在薄膜裡的傳輸用能司特普朗克方程式去描述，薄膜內質 子的流動以能司特普朗克方程式描述觸媒層裡的有效熱傳導係數，電
傳導係數及擴散係數，都是以組成成分比例去決定的。文中指出了在 不同的陰極活性表面積以及不同的電池操作溫度條件下， 對於性能 的影響，果然，活性面積大，效能也便好，而操作溫度越高，性能較 差，這是因為水的分壓因溫度升高而增加，而使得質傳的損失增加。
Gurau 等人 [27] 將氣體擴散層與觸媒層中因反應所產生的水以 有效孔隙度的方式考慮進他們數學模式中，而發展出一維的半電池數 學模式(A half-cell model)。他們將氣體擴散層分成三層孔隙度為常數 的平行層以求得解析解。他們發現觸媒層中的孔隙度對於電池的極限 電流值的影響非常微小，能產生化學反應之觸媒層的厚度會隨著電流 密度逼近極限值而從整個觸媒層區域往與氣體擴散層的交界面遞減。
然而，在多孔性材質的研究方面，許多的學者 [28-37] 針對多孔 性材質中孔隙度的變化以實驗與理論的方式來探討可變的孔隙度對 於其物理性質的影響。他們發現到即使孔隙度的分佈是上下震盪或是 指數函數遞減的形式孔隙度在整個區域還是以連續的形式存在，所以 孔隙度分佈函數並不是不連續的。