∵對應角分別相等。
2是。
∵對應邊長比是 1：2。
3是。
∵對應角相等、對應邊成比例，
∴甲與乙相似。
相似多邊形的判別
例3
如圖，甲、乙都是五邊形，回答下列問題，並說明理由。
1甲與乙的對應角是否相等？
2甲與乙的對應邊是否成比例？
3甲與乙是否相似？
如圖，甲是邊長為 1 的正方形，乙是邊長為 2 的正方 形，回答下列問題：
1 甲與乙的對應角是否相等？
2甲與乙的對應邊是否成比例？
3甲與乙是否相似？
隨堂練習
解
乙
甲 乙
自評 P60 第 3 題
120°
120°
120°
90°
甲 2 3 2 3
4 2 2120°120°
120°
90°
90°
90°
4 3 4 3
4
8 4
我們可利用「對應角相等」與「對應邊成比例」判別兩個多邊形是否相似。
兩個多邊形的「對應角相等」與「對應邊成比例」如果只有一個條件成立，則這兩 個多邊形是否一定相似？
第 章
1
1 兩個長方形不一定相似。
∵ 長方形的四組對應角雖然相等 （皆為 90°），
但對應邊長不一定成比例。
例如： 右圖中，甲、乙兩個長方形對應邊長的 比分別為 3：5 與 2：3，
∵3：5 ≠ 2：3，
∴甲、乙兩個長方形不相似。
相似多邊形的判別
例4
回答下列問題，並說明理由。
1兩個任意的長方形是否相似？ 2兩個任意的菱形是否相似？
自評 P60 第 3 題
2 甲 3
3 乙
5
B P
A
D
Q C
E
R
說明
如圖，ABCDE 為五邊形，∠A＝∠B＝90°，AB＝BC＝AE，
四邊形 DERQ 與四邊形 DCPQ 皆為平行四邊形，P、R 分別 是 BC、AE 的中點，回答下列問題：
1五邊形 ABCDE 與五邊形 ABPQR 的對應角是否相等？
2五邊形 ABCDE 與五邊形 ABPQR 的對應邊是否成比例？
3五邊形 ABCDE 與五邊形 ABPQR 是否相似？
隨堂練習
從前面的例題與 隨堂練習 可知，當兩個多邊形的「對應角相等」與「對應邊成比 例」條件缺一時，則這兩個多邊形不一定相似。
120°
60°
a a
a a
丙
100°
80°
b b
b b
丁 要比較 3：5（較長邊之比）和 2：3（較短邊之比）是否相等。
←
2 兩個菱形不一定相似。
∵ 兩個菱形的對應邊雖然成比例，但對應角不一定相等。
例如： 右圖中，60° 和 120° 皆無法找到對應相等的角，
∴此兩個菱形不相似。
兩個多邊形必須對應邊成比例與對應角相等，這兩個多邊形才會相似。至於兩 個三角形的相似，是否這些條件也必須都符合才相似呢？我們曾經學過三角形的全 等性質有 SSS、SAS、ASA、AAS、RHS 等，那麼要判別兩個三角形是否相似，也會 有類似的性質嗎？接下來，我們來探討三角形的相似性質。
如右圖，△ABC 與△DEF 中，
若∠A＝∠D，∠B＝∠E，
則△ABC 與△DEF 是否相似？
由於∠A＝∠D，
可將△ABC 疊合在△DEF 上，
使得 A 點落在 D 點上，
則 B、C 兩點分別在 DE 與 DF 上。
由上可知，△ABC 和△DEF 的對應角相等、對應邊成比例，所以△ABC∼△DEF。
又∠B＝∠E，所以 BC // EF，
可得∠C＝∠F，
且 ABDE ＝ AC
DF ＝ BC EF 。
三角形的相似性質
3
AA 相似性質
DF E
AA 相似性質
若兩個三角形的兩組對應角相等，則這兩個三角形相似，這個性質稱為
AA 相 似性質。
A
C B
D （A）
F E
B
C
第 章
1
若兩個三角形中，有兩組角對應相等，則這兩個三角形的第三組角也會對應相 等，所以 AA 相似性質也可以稱為 AAA 相似性質。
平行線與相似三角形
例5
如圖，△ABC 中，D、E 兩點分別在 AB、 AC 上，
已知 DE // BC，AD＝6，BD＝3，DE＝8。
1說明△ADE～△ABC。
2求 BC。
解 1在△ADE 與△ABC 中，
∵DE // BC，∴∠ADE＝∠B （同位角相等），
又∠A＝∠A （公用角），
∴△ADE∼△ABC （AA 相似性質）。
2∵△ADE∼△ABC ∴DE：BC＝AD：AB 8：BC＝6：（6＋3）
BC＝12
A
B C
D E
A
B C
A
B C
E D
B
E F
C A
如圖，EF // BC，EC 與 BF 交於 A 點，EF＝18，
BC＝27，AE＝8，求 AC。
隨堂練習
自評 P60 第 4 題
AA 相似性質 例
6
如圖，△ABC 中，D、E 兩點分別在 AB、AC 上，
已知∠AED＝∠B，AD＝10，BD＝20，AE＝15，
求 EC。
解 在△ADE 與△ACB 中，
∵∠AED＝∠B （已知），
∠A＝∠A （公用角），
∴△ADE∼△ACB （AA 相似性質），
因此 AD：AC＝AE：AB
10：AC＝15：（10＋20）
AC＝20
故 EC＝AC－AE＝20－15＝5。
可搭配附件 5 操作
如圖，△ABC 中，D、E 兩點分別在 AB、AC 上，
已知∠ADE＝∠C，AD＝2，AB＝8，AC＝6，
BC＝12，求 AE 與 DE。
隨堂練習
A B
C E
D
A B
C E
D
A B
C
A
B C
D E
自評 P61 第 5 題
第 章
1
如右圖，△ABC 與△DEF 中，
若∠A＝∠D， ABDE ＝ ACDF ， 則△ABC 與 △DEF 是否相似呢？
由於∠A＝∠D，
可將△ABC 與△DEF 疊合，
使得 A 點落在 D 點上，
則 B、C 兩點分別在 DE 與 DF 上。
又 ABDE ＝ AC
DF ，即 DBDE ＝ DC DF ， 所以 BC // EF，
因此∠1＝∠E、∠2＝∠F，
且 ABDE ＝ AC
DF ＝ BC EF 。
由上可知，△ABC 和△DEF 的對應角相等、對應邊成比例，所以△ABC∼△DEF。