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1 相似形與三角比4

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Academic year: 2022

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全文

(1)

博士

數學狂熱者,擅長將數學 套入各種生活情境中。

威利

個性憨厚,但其實是電玩 高手,號稱電玩狂人。

妙麗

數學一級棒,說起話來很 犀利,是博士的得力小助 手。

安琪

個子嬌小天真爛漫,有點 小迷糊,愛問問題,心中 永遠有十萬個為什麼?

洛基

喜 歡 吃 美 食 , 但 又 愛 漂 亮 , 藉 由 運 動 維 持 好 身 材。

傑克

幽默風趣愛搞笑,喜歡出 風頭。

艾美

外表是氣質美少女,但是 愛耍冷,喜歡各種藝術類 活動。

數學能解決日常生活中有關數、量、形的問題,因此才被列入中學的重 要課程。

數學的學習至少包括兩個重點,一是基本概念的建立,一是計算程序的 熟練,二者缺一不可。如果同學只是記住計算程序,並且反覆練習,在小範 圍的考試時可能有效。但到高中之後,教材內容加深、加廣,變得抽象而複 雜時,就學不下去了。

主動學習、專注聽講、適時演算、樂於思考解題,是學習數學的不二法 門。能做到這幾點,相信您一定可以學好數學。

人物介紹

(2)

2 圓形 84

1 相似形與三角比 4

1-1 連比 7

1-2 比例線段 21

1-3 相似多邊形 40

1-4 相似三角形的應用與三角比 62

2-1 點、線、圓 87

2-2 圓心角與圓周角 110

診斷學生是否已建立先備知識。

學習前哨站

根據該節主題切割成若干教學活動,

以利同學形成階段性的數學觀念,並 穩固學習的內涵。

學習主題

與課文相關的基本題目,以實例產 生呼應或作為對照說明。附有詳 解,並於題號旁標示其題目類型。

1

教學例題

將特別值得同學思索及探討的問題,

用另一個段落來呈現,以便和課文與 例題有所區隔。

Thinking 動動腦 補給站

提供與前面內容所提到的數學相關 之延伸或生活常識補充,作為同學 延伸思考及課外參考資料。

探索活動

透過步驟化的學習,加強同學的思考 邏輯能力,並能觀察出數學的原理原 則。

計算機

搭配計算機的使用教學,培養學生使 用計算機的正確態度。看到 ,代表 可使用計算機協助計算。

議題

在課程內容中融入各項議題,培養學 生批判思考及解決問題的能力。

跨領域

數學的應用是跨領域的,結合其他科 目的學習,幫助學生統整所學。

課中標示說明

學習

前哨站 1

目次

3

C o n t e n t s

(3)

附件標示說明 課後標示說明

3 130

3-1 推理證明 133

3-2 三角形的心 150

於一段概念學習之後,將其重點條 列化整理,讓同學能更容易掌握學 習重點。

重點摘要

通常於例題之後,安排相同類型的練 習題目,以增加同學自我演算練習的 機會。不附解答。

隨堂練習

於學習內容或例題中,針對較為困 難或易產生錯誤的地方,作為提示 或提醒學生注意。

補充說明

將該節中重要的學習內容,作條列化 的統整,方便同學作有系統的複習。

重點回顧

自我評量

每一節後面均安排相關的複習題目,

以利於該節結束時,可以加強演練。

本單元為統整課程,由學生自行挑 戰,教師視班級情況決定如何運用。

自我挑戰

提供與該章節相關的補充知識等,作 為課外的參考資料。

數學萬花筒

由課程架構圖,當冊知識重點自我檢 測,掌握國中所學數學概念。

秒懂數學

配合課本教學內容,透過附件實際操 作,動手也動腦,加深學習成效。

教學附件

提供相關的資訊教學補充,培養學生 正確使用工具的素養。

資訊普拉斯 教學附件 189 秒懂數學 205

(4)

1

今 天 天 氣 真 好,

我們 來 挑 戰臺中 大肚藍色公路!

好啊!來訓練一

下我的肌耐力! 感覺好累喔...

1-1 連比

1.連比例

2.連比例式的應用

1-2 比例線段

1.等高三角形 2.平行線截比例線段 3.利用比例線段判別平行

1-3 相似多邊形

1.圖形的縮放 2.相似多邊形 3.三角形的相似性質

1-4 相似三角形的應用與 三角比

1.相似三角形的比例關係 2.簡易測量

3.三角比

相似形與三角比

(5)

我不想知道 ……

坡度 12% 就是當水平距離每移動

100 公尺時,鉛直上升 12 公尺。 這段只有 2 公里 而已,加油啊!

………… 呼,真的得多鍛鍊了!

大家熱身完了,接著 挑戰坡度 15% 吧!

風景雖然很美,

不過可以騎快點嗎?

連續超車

前面標誌是什麼意思? 我來說明 …

漫畫中,坡度 15% 是什麼意思呢?翻開課本 P77,你就知道囉!

斜坡騎乘距 水平移動距離 100 公尺

上升高度 12 公尺

12%

15%

12%

第  章

1

(6)

前哨站 學習

本單元為學生自我複習,

教師可視班級情況決定如何運用。

a:b=7:2,設 a=7r,b=2r,r≠0。

則(a+2b):b =(7r+2×2r):2r

11r:2r

=11:2

如圖,L // M,DE 垂直 L 和 M,

DE=6,則 △ABC 的高是 6 。 回顧 1 比例式

平行線間距離的應用 回顧 2

7 下第 3 章

8 下第 4 章 a:b=3:2,則(2a+3b):(a-b)=      。

課 前 練 習

如圖,L // M,且 BC=5,EF=10,

△ABC 的面積為 17,則

DEF 的面積為    。 課 前 練 習

解答

12: 1 1  34 2 D A

E F

B C

L

M D

A

E

B C

L

M

(7)

可搭配附件 2 進行更多連比練習

1-1 連比

  在蜜汁爌肉的材料中,「完美配方」調味料為冰糖 1 匙,醬油 2 匙,米酒 3 匙,

其比例為 1:2:3。像這樣三個數或至少三個以上的數連續的比,稱為連比。

1-1

1 連比例

  洛基利用假期學習做好吃的蜜汁爌肉,從網路查到的食譜如下:

1 五花肉 600 公克(1 斤)

2 「完美配方」調味料:

冰糖 1 匙,醬油 2 匙,

米酒 3 匙

3 水 600 c.c.

4 薑、蒜、蔥白一些

1 熱油鍋,倒入帶皮的五花肉 煎、炒至肉塊表面微焦。 1 斤,

2 熱油鍋,爆炒薑、蒜及蔥白,炒至 表面微焦。

3 倒進調味料、水與五花肉慢慢熬 煮,轉小火將肉燉煮 1~1.5 小 時,就會有一鍋美味的蜜汁爌肉。

材料

作法

第  章

1

(8)

  如果洛基想做更多相同味道的蜜汁爌肉,就可以使用如下表中調味料的比例。

  在上表中可知,製作不同重量的爌肉,所需調味料的連比 1:2:3、2:4:6、 4:8:12 都是一樣的,也就是說將連比乘以或除以相同的數,所得的連比還是相同 的。

  若 a、b、c 的最大公因數是 1,則 a:b:c 稱為最簡整數比。

連比例的運算性質

a、b、c 三數的比記為 a:b:c,且 m

0

,則

1

a:b:c=ma:mb:mc

2

a:b:c=

ma

mb

mc

五花肉 冰糖 醬油 米酒 冰糖:醬油:米酒 600 公克 1 匙 2 匙 3 匙 1:2:3 1200 公克 2 匙 4 匙 6 匙 2:4:6 2400 公克 4 匙 8 匙 12 匙 4:8:12

×2

×4

÷2

÷4

隨堂練習

將下列各小題化為最簡整數比。

1 12:18:30。 2 12 : 1 3 :1

4 。

(9)

  在「完美配方」中,冰糖、醬油和米酒的比例為 1:2:3,我們可以得到:

1冰糖、醬油的比例是 1:2,

2醬油、米酒的比例是 2:3。

  如果我們分別知道「冰糖、醬油的比例」與「醬油、米酒的比例」,也可以求得冰 糖、醬油和米酒三者的比例,以下例來說明。

  洛基和妙麗兩人分別只記得其中兩個調味料的比例,想求得這三個調味料的連 比,就要從相同的調味料著手。這兩個比中,相同的調味料醬油所對應的數都是 7。

設冰糖要 x 匙,醬油要 y 匙,米酒要 z 匙,根據上述的內容可知

  也就是說,如果只知道 x:y、y:z 與 x:z 這三個比中的其中任兩個比,要求這 三數的連比時,就必須先從相同文字符號所對應的數開始,如果相同就可以直接求 這三個數的連比。

x : y =3: 7 yz = 7: 5

某天洛基和妙麗為了參加全國爌肉大賽,

與師傅討論如何調整醬料的配方。

我最近試出一個更強的銷魂配方,現在傳授給你們!

然而,比賽當天 ……

我只記得醬油、米酒的 比例是 7:5。

糟糕!我只記得冰糖、醬油的 比例是 3:7。

  因此,可以直接求出 x:y:z =3:7:5。像這樣的式子,稱為連比例式。

第  章

1

(10)

  如果相同文字符號所對應的數不同時,例如 x:y=3:4,yz=65,此時求 x:y:z 的連比,可將 x:y 與 y:z 分別乘以適當的數,使得 y 所對應的數相同,再 求這三個數的連比,我們以下面的例子來說明。

  已知 x:y=3:4,y:z=6:5,

  在前面的說明中,相同的文字符號是 y,為了使對應的 y 值相同,可以乘以對方 的數,使得對應的 y 值相同。

  因此可以得到 x:y:z=18:24:20=9:12:10。 通常會約分成最簡單的整數比。

隨堂練習

某便利商店想更換招牌,已知正面招牌的長與寬分別是 x 公分與 y 公分,且 x:y=11:4,側面招牌的寬與長分 別是 y 公分與 z 公分,且 y:z=4:9,求 x:y:z=?

y x z

x : y =3: 4 =(3×6):(4×6) =18:24 yz = 6: 5 = (6×4):(5×4)= 24:20 所以

對應的 y 值相同

同時乘以 4 同時乘以 6

x : y =3: 4 yz = 6: 5 所以

(11)

4 , 6〕 =12,

x : y =3: 4 =(3×3):(4×3) =9:12 yz = 6: 7 = (6×2):(7×2)= 12:14 x : y : z = 9:12:14。

自評 P18 第 1 題1、2   一般而言,相同文字符號所對應的數不同時,除了可以乘以對方的數,使得對 應的 y 值相同,也可以選取兩數的最小公倍數,當做相同文字符號所對應的數,我 們以下面的例子來說明。

我們也可用直式來求 三數的連比,如右:

連比例的運算

1

x:y=3:4,y:z=6:7,求 x:y:z。

xyz

3 : 4

6 : 7

(3×3): (4×3)

(6×2): (7×2) 9 : 12 : 14

隨堂練習

x:y= 52 :3,x:z=4:1

3 ,求:

1 x:y 與 x:z 的最簡整數比。 2 x:y:z。

自評 P18 第 1 題 3 因為

所以

因此

第  章

1

(12)

1已知 x、y、z 皆不等於 0,且 x-2y=0,4y=3z,求 x:y:z。

2已知 x、y、z 皆不等於 0,且 x4 = y

5 ,4x=3z,求 x:y:z。

隨堂練習

連比例的運算

2

5x=4y,可得 x:y=4:5,

3x=5z,可得 x:z=5:3,

因此 x:y:z=20:25:12。

已知 x、y、z 皆不等於 0,且 5x=4y,3x=5z,求 x:y:z。

xyz

4 : 5

5 : 3

(4×5): (5×5)

(5×4) : (3×4) 20 : 25 : 12

自評 P18 第 2 題

(13)

連比例式的應用

已知 a、b、c 皆不等於 0,則下列三者有相同的意義。

1x:y:z=a:b:c   2 xa = y b = z

c    3x=ar,y=br,z=cr (r≠0)

連比例式的應用

2

  大正公司今年的業績良好,董事會決定將 7000 萬元的營利所得,按 2:3:5 的 比例提撥給 A、B、C 三個部門,那麼 A、B、C 三個部門分別可以分到多少元?

  我們可以運用連比來計算,方法如下:

A 組、B 組、C 組分別得到 x 萬元,y 萬元,z 萬元,得 x:y:z=2:3:5,

因此 A 組分到 2×700=1400(萬元)、

   B 組分到 3×700=2100(萬元)、

   C 組分到 5×700=3500(萬元)。

x:y=2:3,可得 x2 = y 3 由 y:z=3:5,可得 y3 = z

5

2 =x y 3 = z

5

如果 x2 = y 3 = z

5 =r,r≠0,可得 x=2r,y=3r,z=5r。

2r+3r+5r=7000,10r=7000,r=700。

自評 P19 第 3 題

製作桂圓麵包的材料中,老麵糰、新麵糰與桂圓的重量比是 6:17:2。如果將老 麵糰、新麵糰與桂圓揉在一起後,秤得的總重量為 750 公克,則所含的桂圓重量 是多少公克?

隨堂練習

第  章

1

(14)

連比例式的運算

3

x:y:z=2:3:4,設 x=2r,y=3r,z=4r,r≠0。

x+y+2z=39

2r+3r+2×4r=39   13r=39,r=3 因此 x=2×3=6,

   y=3×3=9,

   z=4×3=12。

如果 x:y:z=2:3:4,且 x+y+2z=39,求 x、y、z 的值。

自評 P19 第 4 題

如果 x4 = y 3 = z

8 ,求 x+2y

3y+2z 的值。

隨堂練習

x:y:z=2:3:4,則 3y=2z 是否成立?

Thinking

(15)

博士買了一些相同大小輕質的混凝土磚,並將它們 堆成一個如右圖的實心大正立方體。已知一個混凝 土磚的長、寬、高分別是 x 公分、y 公分與 z 公分,

x:y:z 。 隨堂練習

連比例的應用

4

已知 2 個蓮霧、9 顆荔枝及 13 顆葡萄 三者的含醣量相等,則 1 個蓮霧、1 顆 荔枝和 1 顆葡萄所含醣量的比是多少?

1 個蓮霧、1 顆荔枝和 1 顆葡萄所含醣量 分別是 x 單位、y 單位、z 單位。

依題意可以列式得 2x=9y=13z,

2x=9y,得 x:y=9:2;

9y=13z,得 y:z=13:9。

因此 x:y:z=117:26:18,

所以 1 個蓮霧、1 顆荔枝和 1 顆葡萄所含醣量的比是 117:26:18。

x z y

自評 P19 第 5 題

x : y : z 9 : 2

13 : 9 117: 26 : 18

3 塊 4 塊

6 塊

第  章

1

(16)

連比例的幾何問題

5

自評 P20 第 6 題

因為所畫的三個長方形面積相等,

所以可設三人所畫的長方形面積皆為 A 平方公分,

12x=9y=8z=A,

可得 12x=A,9y=A,8z=A,因此 x= A12,y=A

9 ,z=A 8 , x:y:z= A12:A

9 :A 8     = 112: 1

9: 18     =6:8:9。

如果妙麗、威利、艾美打算畫出面積相等的長 方形,已知三人分別以 12 公分、9 公分與 8 公 分作為長方形的長,則妙麗、威利、艾美三人 所畫的長方形中,寬的連比為何?

x 妙麗 12

y 威利

9

z 艾美

8

12 , 9 , 8〕=72,同乘以 72。

A≠0,同除以 A

ABC 中,AB=4,BC=5,AC=6,如果此三角形 三邊的對應高依序分別為 x、y、z,求 x:y:z。

隨堂練習 自評 P20 第 7 題

  對於型如 ax=by=cz 的式子,求 x:y:z 的連比時也可以用下面的方法來處理。

A

4

5 x y

z

6

B C

(17)

重點回顧

1

連比

a 比 b 比 c 記作 a:b:c,稱為 a、b、c 的連比。

2

連比例的運算性質

若 a、b、c 三數的比記為 a:b:c,且 m≠0,則 1 a:b:c=ma:mb:mc

2 a:b:c= am : b m : c

m 3

求連比

由 x:y=a:b,y:z=b:c,x:z=a:c 中的任意兩個比例式,可求出連比例式 x:y:z=a:b:c。

4

連比例式的應用

已知 a、b、c 皆不等於 0,則下列三者有相同的意義。

1 x:y:z=a:b:c 2 xa = y

b = z c

3 x=ar,y=br,z=cr (r≠0)

x : y : z 2 : 3

3 : 5 2 : 3 : 5 可求出連比例式 x:y:z=2:3:5。

可求出連比例式

x:y:z=15:28:20。

x : y : z

3 : 4

7 : 5 15 : 28 : 20

如果 x:y:z=2:3:5,

x2 = y

3= z5 ,

x=2r,y=3r,z=5r (r≠0)。

1x:y=2:3,y:z=3:5, 2x:z=3:4,y:z=7:5,

第  章

1

(18)

1-1自我評量

1 求下列各題的連比:

1x:y=2:3,y:z=4:5,

 則 x:y:z=      。

2 設 a、b、c 皆不等於 0,且 2a=3b,4b=5c,求:

1a:b:c。

2a:b=4:5,a:c=3:8,

 則 a:b:c =      。

2如果 a-b=-15,求 a、c 的值。

3y:z= 13 :1

2 ,x:z= 1 5 :1

6 ,  則 x:y:z=      。

P11 例 1

P11 例 1

P11 隨堂

P12 例 2

(19)

P15 例 4

5 已知 x、y、z 皆不等於 0,且 3x=4y=5z,求 x:y:z。

4 如果 x5 = y6= z3 ,且 x+3y-4z=33,求 z 的值。 P14 例 3 3 有一塊由金、銀、銅組成的合金,其中所含金、銀的重量比為 3:2,金、銅的重

量比為 1:2。如果此合金所含的銅與銀重量相差 36 公克,則此塊合金的重量是

多少公克? P13 隨堂

第  章

1

(20)

6 設△ABC 三個內角分別為∠A=x°,∠B=y°,∠C=z°,且 x:2y=9:10,

4y:5z=1:1,求∠A、∠B、∠C 的度數。

7 威利從中正紀念堂到臺灣大學,若在相同路線下,

發現坐公車、騎自行車、步行的時間分別是 10 分 鐘、15 分鐘和 40 分鐘,則這三種交通工具平均速率 的比是多少?

P16 例 5

P16 隨堂

(21)

如圖,△ABC 中,D 為 AC 上的一點,

AD:CD=4:3,求△ABD 與△CBD 的面積比。

隨堂練習

等(同)高三角形的面積比等於其對應底邊長的比。

等高或同高三角形的面積比

B

A D C

第  章

1

  因為「兩平行線間的距離相等」,所以 AG= DH=h,故

ABC 面積:△DEF 面積= 12 ×BC×AG: 1

2 ×EF×DH         = 12 ×BC×h: 1

2 ×EF×h         =BC:EF

1-2 比例線段

  如右圖,已知 L // M,且有 兩個三角形△ABC、△DEF,

其中 AG、DH 分別是△ABC、

DEF 的高。

等高三角形

1

M L

C

D

F E

H A

B G

h h

(22)

等(同)高三角形的面積

1

如圖,△ABC 中, D、E 分別在 BC 與 AC 上,

BD:DC=4:3,CE:EA=5:2,

且△ABD 的面積是 28,求:

1△ADC 的面積。

2△DAE 的面積。

如圖,△ABC 中,D、E 分別在 AB、AC 上,且 DE // BC。

延長 DE、BC,且分別在延長線上取 G、F 兩點,使得四邊 CFGE 是一個平行四邊形。若 AD=10,DB=7,DE=5,

EG=3,回答下列問題:

1△ADE 面積:△BDE 面積=    :    。 2△BDE 面積:△CEG 面積=    :    。 3△ADE 面積:△BDE 面積:△CFG 面積

 =    :    :    。 隨堂練習

B D C

1∵△ABD 和△ADC 同高,

 ∴△ABD 面積:△ADC 面積=BD:DC=4:3   28:△ADC 面積=4:3

 ∴△ADC 面積=21。

2∵△DCE 和△DAE 同高,

 ∴△DCE 面積:△DAE 面積=CE:EA=5:2  設△DCE 面積=5r,△DAE 面積=2r,

 又△ADC 面積=△DCE 面積+△DAE 面積  21=5r+2r,故 r=3,

 ∴△DAE 的面積=2×3=6。

A

D

B C F

E G 自評 P38 第 1 題

A E

(23)

平行線截比例線段

2

  要解決漫畫中的問題,我們先利用等高三角形的面積比等於其對應底邊長的 比,發展平行線截比例線段的性質,再利用這個性質來解決問題。

我有一個邊長為 24 公分的正方形烤盤,

來烤個蛋糕吧!

請妳在由上而下三分 之一的地方,用奶油 平行底邊環繞一圈。

那麼妳知道最上面奶油的 總長度是多少公分嗎?

哇!好期待!

我最愛吃奶油了,

我要點綴美美的!

沒有尺怎 麼量啊?

第  章

1

(24)

平行線截比例線段

右圖△ABC 中,P、Q 兩點分別在 AB、AC 上,PQ // BC,

連接 PC、BQ,回答下列問題:

1 △BPQ 面積與△CPQ 面積是否相等?為什麼?

2 為什麼△APQ 面積:△BPQ 面積=AP:PB?

3 為什麼△APQ 面積:△CPQ 面積= AQ:QC?

4 由1、2、3推得 AP:PB 與 AQ:QC 是否相等?

探索活動

A

B

Q C P

A

B

Q C P

A

B

Q C P

A

B

Q C P

A

B

Q C P

(25)

  由 探索活動可知,若一直線平行於三角形的一 邊,且與另兩邊相交,則此直線把這兩邊截成等比例的 線段,我們稱為平行線截比例線段性質。

  如圖,△ABC 中,P、Q 兩點分別在 AB、AC 上,

PQ // BC,則 AP:PB=AQ:QC。

A

B

Q C P

A

B

Q C P

  除了上面的性質之外,可進一步得到其它性質。

  設 AP:PB= AQ:QC=a:b。

  若 AP=ar,PB=br,r≠0,則   AP:AB=AP:(AP+PB)

      =ar:(ar+br)

      =a:(a+b)

如圖,△ABC 中,P、Q 兩點分別在 AB、AC 上,

PQ // BC,AP=6,PB=4,AQ=9,求 QC。

隨堂練習

  同理,AQ:AC=a:(a+b),因此可以得到 AP:AB=AQ:AC。仿照這樣的過 程,也可得到 PB:AB=QC:AC。

A

B

C

P

Q

自評 P38 第 2 題

第  章

1

(26)

平行線截比例線段性質(一)

ABC 中,P、Q 兩點分別在 AB、AC 上,若 PQ // BC ,則:

1 AP:PB=AQ:QC  2AP:AB=AQ:AC  3PB:AB=QC:AC

1 如圖,△ABC 中,P、Q 兩點分別在 AB、AC 上,

PQ // BC,AP=16,AB=40,AQ=12,求 AC。

2 如圖,△ABC 中,D、E 兩點分別在 AB、AC 上,

DE // BC,BD:AB=3:8,AC=6,求 CE。

隨堂練習

C

A B

Q

P

A

B C

E D

P Q

A

B C

P Q

A

B C

P Q

A

B C

自評 P38 第 2 題

(27)

1過 P 點作 PR // AC,交 BC 於 R 點,又 PQ // BC,

 ∴四邊形 PRCQ 為平行四邊形,故 PQ=RC。

2在△ABC 中,∵PR // AC,

 ∴RC:BC=AP:AB (平行線截比例線段性質),

 又 RC=PQ,故 PQ:BC=AP:AB。

  由前面的學習可知:當 PQ // BC 時,AP:AB=AQ:AC,結合

2

的結論,可

PQ:BC=AP:AB=AQ:AC。

如圖,△ABC 中,P、Q 兩點分別在 AB、AC 上,

PQ // BC,且 AP:PB=2:3,則 1 AP:AB=    :    。 2 PQ:BC=    :    。

隨堂練習

A

B

Q

C P

R

平行線截比例線段

2

如圖,△ABC 中,P、Q 兩點分別在 AB、 AC 上,

PQ // BC,說明 PQ:BC=AP:AB。

A

B

Q

C P

自評 P38 第 3 題

平行線截比例線段的性質(二)

如圖,△ ABC 中,P、Q 兩點分別在 AB、AC 上,

PQ // BC,則 PQ:BC=AP:AB=AQ:AC。

Q

P

A

B C

說明

A

B

P Q

C

第  章

1

(28)

平行線截比例線段的應用

3

右圖是一個金字塔蛋糕,已知底層是每邊 24 公分的 正方形,如果在由上而下三分之一處用奶油環繞一圈 平行底邊,則這一圈奶油的長度為多少公分?

如圖,△ABC 中,DE // BC,若 AD=20,BD=12,

BC=16,EC=9,求△ADE 的周長。

隨堂練習

蛋糕其中一面的圖形如右圖,

設其中奶油的部分是 PQ,同一邊的底層是 BC。

PQ:BC=AP:AB=1:3

PQ:24=1:3  PQ=8

故一圈奶油的長度是 8×4=32(公分)。

A

B

P Q

C

A

D E

B C

(29)

如圖,直線 L1 // L2 // L3,直線 M1 與 M2 為截線,

已知 AB=25,BC=45,DE=x+5,EF=2x+6,

x 的值。

隨堂練習

平行線截比例線段性質的應用

4

如圖,直線 M1 // M2 // M3,且分別與截線 L1 交於 A、B、C 三點,與截線 L2 交於 D、E、F 三點,說 AB:BC=DE:EF。

1 過 D 點作 DH // L1,分別交 M2M3 於 G、H 兩點。

2∵ AD // BE // CF,且 DH // L1

 ∴ 四邊形 ABGD 與四邊形 BCHG 皆為平行四邊形,

 故 AB=DG,BC=GH。

3在△DHF 中,

 ∵GE // HF,∴DG:GH=DE:EF,

 故 AB:BC=DE:EF。

思路分析

如圖,將 L1 向右平行移動,使 L1 與 L2 交於 D 點,就可利 用平行線截比例線段性質來說明。

D A

B E

F C

L1 L2

M1 M2

M3

A D

B E

F C

M1 M2

L1 L2

L3

A D

B E

C F L1

M1

M2

M3

G H

L2

說明

D E F

M1 M2

M3

L1

L1 L2

第  章

1

(30)

  如何在一線段上找出適當的一點,將線段分成兩個線段,使得這兩個線段長的 比為給定的比,我們利用下面的例題說明作圖方法。

1 A 點作一條異於 AB 的直線 L。

2 L 上依序取 P1P2P3 三點,

使得 AP1P1P2 P2P3

3 連接 P3B。

4 P1 作 P1Q // P3B ,使 P1Q 與 AB 交於 C 點,

C 點即為所求。

  在

5

所作出的圖形△ABP3 中,因為 P1C // P3B,由平行線截比例線段性質可 AC: CB= AP1P1P3=1:2。

作法

利用平行線截比例線段性質分割線段

5

已知 AB,利用尺規作圖,在 AB 上

找出一點 C,使得 AC:CB=1:2。 A B

自評 P39 第 4 題

A

L P3

P2

P1 C

Q

B

已知 AB,利用尺規作圖,

AB 上找出一點 C ,使得 AC:CB=2:3。

(不必寫出作法)

隨堂練習

B A

(31)

利用比例線段判別平行

3

  聖誕節快到了,艾美想在教室的窗戶玻璃貼上聖誕樹的圖案,她的設計如下。

  在上圖中,DE、FG、BC 看似平行,但實際上是否平行呢?接下來我們將探討 這個問題。

1 已知△ABC 是等腰 三角形,且 AB=AC

15, BC=12。

2 在 AB 取三等分點 D、F,在 AC 取三 等分點 E、G,連接 DE、 FG。

3 接著在 D E 上取三等 分點 P、Q,在 FG 取 三等分點 R、S,連接 PF、QG、RB、SC。

4 剪去△DPF、△QEG、

FRB、△SGC,分別 塗上鮮豔的顏色,就完 成漂亮的聖誕樹圖案。

A

D

F

B

E

G

C A

B C

A

D

F

B

E

G

C P

R Q

S

A

D

F

B

E

G

C P

R Q

S

第  章

1

(32)

如圖一,△APQ 面積:△BPQ 面積=AP:PB (同高),

    △APQ 面積:△CPQ 面積=AQ:QC (同高),

因為  AP:PB=AQ:QC,

所以  △BPQ 面積=△CPQ 面積。

如圖二,分別自 B、C 向 PQ 直線作高,

垂足分別是 F、G,則 BF // CG。

因為 △BPQ 面積=△CPQ 面積    12 ×PQ×BF=1

2 ×PQ×CG 所以 BF=CG。

BF // CG,

所以四邊形 BFGC 是平行四邊形(一組對邊平行且等長),

FG // BC,即 PQ // BC。

  由於「AP:AB=AQ:AC」及「PB:AB=QC:AC」,皆可推得「 AP:PB= AQ:

QC」,因此「若 AP: AB= AQ: AC,則 PQ // BC」及「若 PB: AB= QC: AC,則 PQ // BC」。

B C

Q P

A

圖一

B C

P Q

F G

A

圖二

  由上述可知,製作聖誕樹的過程中,

因為 AD:AB=AE:AC=1:3,所以 DE // BC。

同理,FG // BC,故 DE // FG // BC。

  我們利用兩個等高的三角形,其面積比等於邊長的比的概念,來說明 PQ 和 BC 是否平行,方法如下:

A

D

F

B

E

G

C

(33)

截線段與平行的判別

ABC 中,P、Q 兩點分別在 AB 、AC 上,若 1 AP:PB=AQ:QC,

 則 PQ // BC。

2 AP:AB=AQ:AC,

 則 PQ // BC。

3 PB:AB=QC:AC,

 則 PQ // BC。

P Q

A

B C

P Q

A

B C

P Q

A

B C

由比例線段判別是否平行

6

如圖,△ABC 中,AP=8,PB=4,AQ=6,

QC=3,則 PQ 與 BC 是否平行?為什麼?

在△ABC 中,

AP:PB=8:4=2:1  AQ:QC=6:3=2:1 PQ // BC。

AP:PB=AQ:QC

P A

Q B

C

如圖,△ABC 中,AP:AB=9:20,若 AQ=18,

AC=40,則 PQ 與 BC 是否平行?為什麼?

隨堂練習

A Q

P C

B 自評 P38 第 3 題

第  章

1

(34)

  如圖,我們在前面曾學過,△ABC 中,D、E 兩點分 別在 AB、AC 上,若 DE // BC,則 AD:AB=DE:BC。

  反過來說,△ABC 中,D、F 兩點分別在 AB、AC 上,若 AD:AB=DF:BC,則 DF 與 BC 是否一定會平行 呢?我們以下面的 探索活動 來說明。

由比例線段是否可判別平行

1 如圖,△ABC 中,DE // BC,是否可在 AC 上找到 F 點(異於 E 點),使得 DE=DF?如果可以,請在 右圖上標示。

2 承第1 題,DF:BC 是否等於 AD:AB?

3 DF 與 BC 是否一定會平行?

探索活動

A

B C

D E A

B C

D E

  由 探索活動 可知,若 DF:BC=AD:AB,則 DF 和 BC 不一定會平行。

(35)

三角形兩邊中點連線性質

三角形的兩邊中點連線必平行於第三邊,且長度為第三邊長的一半。

三角形兩邊中點連線性質

7

如圖,△ABC 中,D、E 分別為 AB、 AC 的中點,

說明 DE // BC 且 DE= 12 BC。

如圖,△ABC 中,D、E、F 分別為 AB、BC、AC 的中點,

已知 AB=10 公分,BC=8 公分,AC=7 公分,求:

1△DEF 的周長。

2四邊形 DBEF 是否為平行四邊形?為什麼?

隨堂練習

A

D

B C

E

1在△ABC 中,

 ∵D、E 分別為 AB、AC 的中點,

 ∴AD: AB=1:2   AE: AC=1:2  故 DE // BC。

2∵ DE // BC,

 ∴ DE:BC=AD:AB=1:2,

 故 DE= 12 BC。

AD:AB=AE:AC 說明

自評 P39 第 5 題 A

D F

B E C

第  章

1

(36)

在△ADE 中,F、G 分別為 AD、AE 的中點,

FG= 12 DE,DE=2 FG=6,

同理,BC=2 DE=12,

DE+BC=6+12=18。

三角形兩邊中點連線性質的應用

8

如圖,△ABC 中,D、E 分別為 AB、 AC 的中點,F、G 分別為 AD、AE 的中點,若 FG=3,求 DE+BC。

如圖,△ABC 中,D、E 分別為 AB、AC 的中點,F、G 分別為 AD、AE 的中點,若 DE=20,求 FG+BC。

隨堂練習

如圖,△ABC 中,若 D 為 AB 的中點,E 為 AC 上的 一點,且 DE // BC,則 E 是否為 AC 的中點?為什麼?

Thinking

B C

A F

D E

G

A

F D

B C

E G

A

D

B C

E

(37)

重點回顧

1

等高或同高三角形的面積比

等(同)高三角形的面積比等於其對應底邊長的比。

2

平行線截比例線段性質與應用

1 如圖,△ABC 中,P、Q 分別為 AB、AC 上的一 點,若 PQ // BC,則:

 1 AP:PB= AQ:QC。

 2 AP: AB= AQ: AC。

 3 PB: AB= QC: AC。

 4 PQ: BC= AP: AB= AQ: AC。

2 如圖,直線 M1 // M2 // M3,且分別與截線 L1 交於 A、B、C 三點,與截線 L2 交於 D、E、F 三點,

AB:BC = DE:EF。

3

截線段與平行的判別

△ABC 中,P、Q 兩點分別在 AB、AC 上,

1若 AP:PB= AQ:QC,則 PQ // BC。

2若 AP: AB= AQ:AC,則 PQ // BC。

3若 PB: AB= QC:AC,則 PQ // BC。

P Q

A

B C

M1

M2

M3 D A

B E

F C

L1 L2

P Q

A

B C

4

三角形兩邊中點連線性質

三角形的兩邊中點連線必平行於第三邊,且長度為第三邊長的一半。

第  章

1

(38)

1-2自我評量

1 如圖一,有一張三角形 ABC 的紙片,P 在 BC 上。

A 點摺至 P 點時,BD 為摺痕,其中 D 點在 AC 上,如圖二。若△ABC 的面積為 100,△DBC 的面 積為 60,求 BP:PC。

2 如圖,△ABC 中, MN // BC,若 AM=2x+4,

MB=x+1,AN=7,NC=3,求 x 的值。

3 如圖,E、F 分別是 BC、CD 的中點,連接 AE、AF。

G、H 分別在 AE、AF 上,且 AG:GE=3:2,

AH:HF=3:2,回答下列問題:

 1GH 和 EF 是否平行? 答:    。  2GH:EF=    :    。

 3GH:BD=    :    。

P22 例 1

P27、33 隨堂

P25~26 隨堂

A

M N

B C B

A

P C

圖一

圖二

A

E

G H

F

B D

C D A

B P C

(39)

4 如圖,已知△ABC,回答下列問題:

1 依下面的步驟利用尺規完成作圖:

 1 過 A 點作一條異於 AB 的直線 L。

 2 在 L 上依序取 P1P2P3P4 四點,

使得 AP1 P1P2 P2P3 P3P4。  3 連接 P4B。

 4 過 P1 作 P1D // P4B,交 AB 於 D 點。

2在1的完成圖中,

 1 AP1 P1P4=  :  。  2 為什麼 AD:BD=AP1P1P4

 3 連接 CD,求△ABC 與△ADC 的面積比。

5 如圖,四邊形 ABCD 中,E、F 分別為 AB、AD 中點,

G、H 分別為 BC、CD 中點,若 BD=8,回答下列問題:

1 EF+GH。

2 連接 EG、FH,則四邊形 EFHG 是否為平行四邊形?

為什麼?

P30 例 5

P35 隨堂

C

A B

E

B D

F A

G H

C

第  章

1

(40)

1-3 相似多邊形

  每個物件經放大或縮小後,雖然大小和實物不同,但其形狀是相同的。用手電 筒(光源)照射動物圖案,會在牆上看到它的影子,兩者的形狀相同,但大小不同。

  因此,我們可以將手電筒光源視為縮放中心,經過光源直線照射動物圖案的影 子,就是此動物圖案的縮放圖形。

  在平面上找一點 O,視為光源固定不動,接 著任取一點 A,如右圖,在 OA 上取一點 A',使得 OA': OA=4:1,即 OA' 是 OA 的 4 倍。此時就稱 A' 點是以 O 點為縮放中心,將 A 點與 O 點的距離 縮放 4 倍所得到的對應點。

圖形的縮放

1

可搭配附件 1 操作

A O

A'

  為了說明這個原理,我們先來了解以某固定點為縮放中心,任一點到此固定點 距離的縮放關係。

線段的縮放

(41)

  如圖,AB 為一已知線段,A'、B' 兩點 是以 O 點為縮放中心,將 A、B 兩點與 O 點 的距離分別縮放 3 倍所得到的對應點,並連 A'B',那麼 A'B' 和 AB 有什麼關係?我們 先說明A'B' // AB 且 A'B' 是 AB 的 3 倍

OA:OA'=OB:OB'=1:3,∴AB // A'B' (截線段與平行的判別)。

AB : A'B'= OA:OA'=1:3(平行線截比例線段性質),因此 A'B' 是 AB 的 3 倍。

  線段的縮放,就是以某固定點(O 點)為縮放中心,將線段上的每一個點與縮 放中心 O 點的距離縮放 r 倍後的結果。接下來,我們將探討 AB 每一點與 O 點的距 離,縮放 3 倍的圖形與 A'B' 的關係。

線段的縮放

1 如圖,若 P 為 AB 上的任一點,且 P' 點是以 O 點為縮放中心,將 P 點與 O 點的距離縮放 3 倍 所得的對應點,則:

 1OP' 的長度是否為 OP 的 3 倍?

 2 以 O 為縮放中心,將 AB 上的每一點與 O 點的 距離縮放 3 倍後得到的點會在 A'B'上嗎?

2 如圖,若 Q' 為 A'B' 上的任一點,連接 OQ' 與 AB 交於一點 Q ,若以 O 點為縮放中心,將 Q 點與 O 點的距離縮放 3 倍所得的對應點是 Q' 嗎?

探索活動 說明

A'

A' A

A O

O B

B

B'

B' P'

P

A'

A

O B B'

Q

Q'

第  章

1

(42)

1 如圖,O 點不在 AB 上,畫出以 O 點為 縮放中心,將 AB 縮放 2 倍後的圖形。

2 如圖,O 點在 AB 上,畫出以 O 點為縮放中心,將 AB 縮放 3 倍後的圖形。

隨堂練習

縮放的性質

1 一線段經過縮放後仍是線段,且該線段與原線段平行,或在同一直線上。

2 線段縮放 k 倍後,縮放後的線段長為原線段長的 k 倍。

  同理,一射線經過縮放後的圖形仍是射線,且該射線與原射線平行或在同一直 線上;一直線經過縮放後的圖形仍是直線,且該直線與原直線平行或兩直線重合。

A O B

A O

B

  由前頁的 探索活動 可知,以 O 點為縮放中心,將 AB 上的點與 O 點的距離 縮放 3 倍後的點都會在 A'B' 上,且在 A'B' 上的任一點 Q',都可以在 AB 上找到一點 Q,使得 Q 點與 O 點的距離縮放 3 倍後的點是 Q'。此時 AB 縮放 3 倍後的圖形就是 A'B',其中 A'B'=3 AB 且 A'B'// AB,我們稱 A'B' 為 AB 的 3 倍縮放圖形。

(43)

  一個多邊形經過縮放後,其內角的度數與邊長會有什麼變化呢?我們先以三角 形為例進行探索。

多邊形的縮放

三角形的縮放

如圖,已知△ABC 及外部一點 O ,以 O 點為縮放中心,分別將 AB、BC、CA 縮放 3 倍後,得到△A'B'C',則稱 △A'B'C' 是 △ABC 的 3 倍縮放圖形。

探索活動

1 ∠OBA 與∠OB'A'  是否相等?為什麼?

2∠OBC 與∠OB'C'  是否相等?為什麼?

3 ∠ABC 與∠A'B'C'  是否相等?為什麼?

  由 探索活動 可知,將一個△ABC 的圖形縮放 3 倍後得到△A'B'C',則∠BAC

=∠B'A'C'、∠ABC=∠A'B'C'、∠ACB=∠A'C'B'。即三內角經過縮放後,其角度皆 不變,且其三邊長都放大 3 倍,所以對應邊成比例。

A O

A'

B

B' C

C'

第  章

1

(44)

圖一 O 點在三角形外部

圖二 O 點在三角形內部 圖三 O 點在三角形邊上 圖四 O 點在三角形的頂點 A

O B

C

B'

C' A'

OA B

C

B'

C' A'

A B O C B'

C'

A' A (O)

B

C

B'

C'

  當三角形的縮放中心在不同位置,縮放相同倍率後,所得到的三角形是否會全 等?我們以下面的例子來說明:

  若將縮放中心 O 點改在其它的位置,把同一個 △ABC 縮放 3 倍後,所得的新三 角形如圖二、圖三、圖四。接著將附件 3,依序與這三個新三角形疊合,可發現它們 都與附件 3 的 △A'B'C' 全等。

  由前面的說明可知,縮放中心 O 點在不同的位置,將同一個 △ABC 縮放 3 倍 後,所得的新三角形都會全等,它們與 △ABC 的對應角皆不變、對應邊成比例。

  如圖一,縮放中心 O 點在三角形的外部,將△ABC 縮放 3 倍後,所得的新三角 形為△A'B'C'。取出附件 3,而附件 3 中的△A'B'C' 為圖一的△A'B'C'。接下來,我們 利用附件進行下列活動:

自評 P59 第 1 題

(45)

對應頂點 A A'、B B'、C C'、D D'

對應角相等 ∠A=∠A',∠B=∠B',∠C=∠C',∠D=∠D'

對應邊成比例

A'B'AB = B'C'

BC = C'D'

CD = D'A'

DAr 或

A'B' : B'C' : C'D' : D'A'=AB : BC : CD : DA

B

D

B'

C

D' C' A﹙O﹚

A A'

B

B'

D

D'

C

C' O

A B

D C

A' B'

D' C'

四邊形 ABCD 與四邊形 A'B'C'D' 的對應關係:

  同樣的,縮放中心 O 點在不同的位置,將同一個四邊形縮放 2 倍後,所得的新 四邊形也都會全等,且與原四邊形的對應角皆相等、對應邊成比例。

縮放 r 倍

圖一 O 點在四邊形的外部

圖三 O 點在四邊形的邊上

圖二 O 點在四邊形的內部

圖四 O 點在四邊形的頂點 A O

A' B B'

D

D'

C

C' O

A

A'

B

B'

D'

D C

C'

第  章

1

(46)

  事實上,縮放中心所在位置不同,對同一個多邊形做 r 倍縮放,所得的圖形都 會全等,則此縮放後的新圖形,稱為原多邊形的 r 倍縮放圖,它們會與原多邊形的 對應角相等、對應邊成比例。

多邊形的縮放

1

右圖是邊長為 2 公分的正六邊形,將它縮放 3 倍後所 得的縮放圖形,其內角度數與邊長分別是多少?

正六邊形的每一個內角是 120°,

∵縮放後的多邊形,

 會與原多邊形的對應角相等、對應邊成比例,

∴內角度數保持不變,仍是 120°,

邊長變成原來的 3 倍,即 2×3=6(公分)。

n 邊形的每一個內 角是n-2)×180°

n

右圖是邊長為 1.5 公分的正八邊形,將它縮放 2 倍後 所得的縮放圖形,其內角度數與邊長分別是多少?

隨堂練習

(47)

  上圖是艾美設計的一組俄羅斯套娃平面圖,它們看起來相似。

  兩個邊數一樣的多邊形,若其對應角相等、對應邊成比例,就稱這兩個多邊形 相似。通常以符號「~」表示它們的相似關係,讀作「相似於」。

相似多邊形

2

C A

B A'

D'

C' B'

D O

相似多邊形

1 如果兩個多邊形的對應角相等、對應邊成比例,就稱這兩個多邊形相似。

2 如果兩個多邊形相似,它們的對應角相等、對應邊成比例。

  如圖,四邊形 A'B'C'D' 是四邊形 ABCD 的縮放圖形,所以對應角相等、對應邊成比 例,因此四邊形 ABCD∼四邊形 A'B'C'D'。

  也就是說,兩個多邊形相似,它們的對 應角相等、對應邊成比例。

  例如:四邊形 ABCD∼四邊形 A'B'C'D',

所以∠A=∠A'、∠B=∠B'、∠C=∠C'、∠D=∠D' (對應角相等),

A'B' AB B'C' BC C'D' CD D'A' DA (對應邊成比例)。

  一般而言,「四邊形 ABCD∼四邊形 A'B'C'D'」只表示此兩圖形相似,不一定表 示各頂點依序對應。在本教材中各頂點皆依序對應,例如:「四邊形 ABCD~四邊形 A'B'C'D'」表示 A 對應到 A',B 對應到 B',C 對應到 C',D 對應到 D'。

第  章

1

(48)

相似多邊形的對應關係

2

已知五邊形 ABCDE~五邊形 PQRST,A、B、C、D、E 的對應頂點依序為 P、

Q、R、S、T,回答下列問題:

1若 AB=12,CD=10,PQ=18,求 RS 的長。

2若∠P+∠Q=240°,∠R:∠S:∠T=5:6:4,求∠D。

自評 P59 第 2 題

思路分析

五邊形 ABCDE~五邊形 PQRST,AB 的對應邊是 PQ;

CD 的對應邊是 RS,利用相似多邊形對應邊成比例、

對應角相等的性質來做此題。

1∵相似形的對應邊成比例,

 ∴ ABPQCDRS   12:18=10: RS   RS=15。

2 設∠R=5r°,∠S=6r°,∠T=4r°r≠0,

 ∵∠P+∠Q+∠R+∠S+∠T=540°

 ∴240+5r+6r+4r=540,r=20 又相似形的對應角相等,

故∠D=∠S=6×20°=120°。

已知四邊形 ABCD∼四邊形 PQRS,A、B、C、D 的對應頂點依序為 P、Q、R、S,

若∠Q=76°,∠R=64°,∠S=100°,AB=12,BC=15,PQ=8,求∠A 及 QR。

隨堂練習

12 D E

A B

C

S T

P Q

R

?

18 10

參考文獻

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