SSS 相似性質
若兩個三角形的三組對應邊成比例，則這兩個三角形相似，這個性質稱為
SSS 相似性質。
E F
D A
B C
如右圖，△ABC 與△DEF 中，
DE＞AB，
若 ABDE ＝ AC
DF ＝ BC EF ， 則△ABC 與△DEF 是否相似？
在 DE 上取一點 G，使得 DG＝AB；
在 DF 上取一點 H，使得 DH＝AC。
因為 ABDE ＝ AC
DF （已知）， 所以 DGDE ＝ DH
DF ， 因此 GH // EF。
由此可得 ∠1＝∠E，∠2＝∠F，
即 ∠B＝∠1＝∠E，
∠C＝∠2＝∠F。
再由三角形內角和均為 180°可得∠A＝∠D。
由上可知，△ABC 和△DEF 的對應角相等、
對應邊成比例，所以△ABC∼△DEF。
F H E
G 1 2
D
因為 GH // EF，
所以 DGDE＝ DH DF＝ GH
EF ， 又 ABDE＝ AC
DF＝ BC
EF（已知），
所以 GH＝BC，
故△ABC △DGH （SSS 全等性質），
因此∠B＝∠1，∠C＝∠2。
自評 P60 第 4 題 如圖，AB＝10，AC＝8，BC＝12，BD＝15，
CD＝18，回答下列問題：
1為什麼△ABC～△BDC？
2∠D 與△ABC 的哪個角相等？
SSS 相似性質 例
8
解
可搭配附件 7 操作
思路分析
可以分別從兩個三角形邊長的大小關係找到對應邊。
將△ABC 與△BDC 的三邊長分別由小到大排列，
△ABC 的邊長分別為 AC＝8，AB＝10，BC＝12，
△BDC 的邊長分別為 BC＝12，BD＝15，CD＝18。
1在△ABC 與△BDC 中，
∵AC：BC＝8：12＝2：3 AB：BD＝10：15＝2：3 BC：CD＝12：18＝2：3
∴△ABC∼△BDC （SSS 相似性質）。
2∵△BDC∼△ABC，
∴∠D＝∠ABC。
下列哪些三角形與△ABC 相似，在□中打「L」。
隨堂練習
A
C
B D
15 18 21
15 16 17
24
28
20
12
1 □ 2 □ 3 □
A
B 8 C
10 12 B D
C
15 12 18
AC：BC＝AB：BD＝BC：CD
A B
C
10
14
第 章
1
重點回顧
AA 相似性質 SAS 相似性質 SSS 相似性質
∠A＝∠D，∠B＝∠E ∠A＝∠D， ABDE ＝ AC
DF AB
DE ＝ BC
EF ＝ AC DF 1縮放的性質
1 線段縮放 k 倍後，縮放後的線段長為原線段長的 k 倍。
2 任意一個多邊形經過縮放 r 倍後的新多邊形，其對應角的角度不變，對應的邊 長變成原來的 r 倍。
2相似多邊形
1 如果兩個多邊形的對應角相等、對應邊成比例，就稱這兩個多邊形相似。
例 如圖，四邊形 ABCD 和四邊形 A'B'C'D'，
∠A'＝∠A、∠B'＝∠B、
∠C'＝∠C、∠D'＝∠D （對應角相等），
A'B'
AB ＝ B'C'
BC ＝ C'D'
CD ＝ D'A'
DA（對應邊成比例），
就稱四邊形 ABCD∼四邊形 A'B'C'D'。
2 若兩個多邊形相似，則其對應角相等，
對應邊成比例。
3三角形的相似性質
A
C B
E
D
F D
F E
E F
D A
B C
C B
A
A'
D'
C' B'
C A
B
D
1-3自我評量
1 如圖，在 OA、OB、OC 上分別取 A'、B'、C' 三點，
使△ A'B'C'∼△ABC，且 A'B'＝2AB。（只要作圖，不必寫出做法）
2 已知四邊形 ABCD∼四邊形 A'B'C'D' 中，A、B、C、D 對應頂點為 A'、B'、C'、D'，
1 若 AB：BC：CD：DA＝1：3：4：2，四邊形 A'B'C'D' 周長為 50，求 A'B'、C'D'。
2 若∠A：∠B：∠C＝2：5：3，∠D＝100°，求∠A' 及∠B'。
課 P44 課文
課 P48 例 2 O A
C
B
第 章
1
3 如圖，四邊形 ABCD 為等腰梯形，AD // BC，
E、F 分別為 AB、 DC 的中點，已知 AD＝3，
BC＝7，回答下列問題： 課 P49、50 例 3、4
1 四邊形 AEFD 與四邊形 EBCF：
1對應角是否相等？
2對應邊是否成比例 3兩圖形是否相似？
2四邊形 AEFD 與四邊形 ABCD：
1對應角是否相等？
2對應邊是否成比例？
3兩圖形是否相似？
□ 是 □ 否
□ 是 □ 否
□ 是 □ 否
□ 是 □ 否
□ 是 □ 否
□ 是 □ 否
A
B E
D
F
C
4 下列哪些三角形與△ABC 相似，在□中打「L」，並寫出所用的相似性質：
課 P53、55、57 例 6～8
1 □ 相似性質
4 □ 相似性質
2 □ 相似性質
5 □ 相似性質
3 □ 相似性質
6 □ 相似性質
C A
B 20 24 b°16
c° a°
b° a°
20 16 16
30 b°20
a°
c° 12
15
18 20
a° 30
6 如圖，L1、L2、L3 皆為直線，L1 // L2 // L3，直線 M、N 交於 A 點，GE＝2，
EA＝3，AC＝4，HA＝4，求：
1FA。 2若 EF＝2.1，求 BC。
5 如圖，四邊形 ABCD 是邊長為 8 的正方形，E、F 分 別在 AB、CD 上，AE＝2，且 F 是 CD 的中點，自 F 點作直線垂直 EC 且分別交 EC、BC 於 H、G，回答 下列問題：
1△EBC 與△GCF 是否相似？為什麼？ 2求 BG。
課 P55 隨堂 課 P53 隨堂
G
E F
A
B
M N
L3
L2 L1
C H
A D
B C
F
G E
H
第 章
1
1-4 相似三角形的應用與三角比
安琪利用暑假設計兩個相似但大小不同的風車圖案，這兩個風車分別使用 4 個 大的和 4 個小的等腰直角三角形拼湊完成，此兩圖中同顏色三角形的對應邊長比是 2：1。
相似三角形的比例關係
1
圖一中黃色三角形面積與圖二黃色三角形面積的比是多少？
Thinking
圖一
圖二
接下來將探討兩個相似三角形面積比與其對應邊長比的關係。
相似三角形對應高的比＝對應邊長的比
例1
如圖，△ABC ～△A'B'C'，A、B、C 的對應點分別是 A'、B'、C'，AD⊥BC 於 D 點， A'D'⊥B'C' 於 D' 點，說明 AD： A'D'＝ AB： A'B'。
∠B＝∠B' （∵△ABC ∼△A'B'C'）
∠ADB＝∠A'D'B'＝90°
（∵ AD⊥ BC 且 A'D' ⊥ B'C'），
∴△ABD ∼△A'B'D' （AA 相似性質），
故 AD： A'D'＝AB： A'B'。
如圖，△ABC∼△A'B'C'，A、B、C 的對 應點分別是 A'、B'、C'，AD⊥BC 於 D 點，
A'D'⊥B'C' 於 D' 點，若 BC＝6，B'C'＝9，
AD＝4，求 A'D' 。 隨堂練習
A'
D' C' D B'
A
C B
A
D C
B B' D' C'
A'
說明 A'
B' D' D
A
B
第 章
1
如圖，△ABC 中，D、E 兩點分別在 AB、AC 上，DE // BC，
若 AD＝4，BD＝2，△ADE 的面積為 4 ，求△ABC 的面積。
隨堂練習
相似三角形面積的比＝對應邊長的平方比
例2
∵△ABC∼△A'B'C'，
∴AD：A'D'＝BC：B'C'。
∴△ABC 面積：△A'B'C' 面積＝BC 2：B'C' 2。
同理，若△ABC∼△A'B'C'，則△ABC 面積：△A'B'C' 面積＝AB 2：A'B' 2
＝AC 2：A'C' 2。 因此 △ABC 面積
△A'B'C' 面積＝ ＝ BC
B'C' × AD
A'D' ＝ BC
B'C' × BC
B'C' ＝ BC 2 B'C' 2 12 ×BC×AD
12 ×B'C'×A'D'
相似三角形的比例關係
兩個相似三角形，有下列關係：
1 對應高的比＝對應邊長的比；2面積的比＝對應邊長的平方比。
A'
D' C' B'
A
D C B
B
D C
E A
說明
如圖，△ABC ～△A'B'C'，A、B、C 的 對應點分別是 A'、B'、C'，AD⊥ BC 於 D 點，A'D'⊥ B'C' 於 D' 點，說明△ABC 面積：△A'B'C' 面積＝ BC 2： B'C' 2。
對應高的比＝對應邊長的比
←
自評 P79 第 1 題
相似三角形面積比的應用
例3
如圖，平行四邊形 ABCD 中，AE：ED＝1：2，
回答下列問題：
1說明△EMD～△CMB。
2求△EMD 與△CMB 的面積比。
1在△EMD 與△CMB 中，
∵∠EDM＝∠CBM （DE // BC），
∠EMD＝∠CMB （對頂角），
∴△EMD∼△CMB （AA 相似性質）。
2∵ AE： ED＝1：2 ∴ DE＝ 23 AD＝ 2
3 BC （∵ABCD 是平行四邊形，對邊相等）。
故 DE：BC＝2：3。
∴△EMD 面積：△CMB 面積＝ DE 2： BC 2＝22：32＝4：9。
自評 P79 第 2 題
相似三角形面積的比
＝對應邊長的平方比
1△ADE 與△FBA 中，
∵∠DAE＝∠F （理由： ），
∠DEA＝∠BAF （理由： ），
∴ 根據 相似性質，可知△ADE ∼△FBA。
2 若△ADE 的面積為 12，求△FBA 的面積。
隨堂練習
如圖，平行四邊形 ABCD 中，E 為 CD 中點， AE 與 BC 交於 F 點，回答下列問題：
←
D E C
A B
F E D
A
B C
MM
說明
第 章
1
2 簡易測量
利用相似三角形對應邊成比例，可以測量湖寬、距離、樹高、…… 等。
例
4 測量湖寬
如圖，湖邊有 A、B 兩點，安琪想知道它們之間的距 離。首先她在湖邊的空地找另一點 C，測得 AC 長 75 公尺、BC 長 90 公尺，接著自 C 點出發分別在 AC、
BC 上取 M、N 兩點，使得 MC＝25 公尺，NC＝30 公 尺，此時 MN＝28 公尺，求湖寬 AB。
隨堂練習
如圖，威利想知道湖邊 A 點到湖中小島 B 點的距離，他 在湖外找了一點 C，測得 AC 長 20 公尺，接著在 AC 上 離 C 點 8 公尺處選取 M 點，自 M 點作 MN // AB，交 BC 於 N 點，若測得 MN＝6 公尺，求 A、B 兩點的距離。
A
M N
C
B
CM：CA＝CN：CB
解 在△CMN 與△CAB 中，
∵CM：CA＝25：75＝1：3 CN：CB＝30：90＝1：3 ∠C＝∠C （公用角），
∴△CMN ∼△CAB （SAS 相似性質）。
MN：AB＝CM：CA 28：AB＝25：75
AB＝84，故湖寬 AB＝84（公尺）。
A B
C
M N
例
5 測量樹高
如圖，志豪想要測量樹高，他在樹前 5 公 尺垂直豎立了一根長 1.8 公尺的木棍，並 繼續往同方向在木棍後方找到觀測點，從 望遠鏡看到木棍頂端與樹梢重疊。經測量 木棍與望遠鏡的水平距離是 2 公尺，望遠 鏡至地面的高度為 1 公尺，求樹高。
解 依題意畫出右圖，
∵CD 與 AB 皆垂直於 BD，∴CD // AB，
在△AEH 中，∵CG // AH，
∴EG：EH＝CG：AH
2：（2＋5）＝（1.8－1）：AH AH＝2.8
則 AB＝2.8＋1＝3.8，故樹高 AB＝3.8（公尺）。
隨堂練習
如圖，艾美站在一道高 4 公尺的牆前 2 公尺處，如果她的眼 睛距離地面 1.6 公尺，向牆望去，觀得牆頂與樹梢重疊在一 起，若樹與牆相距 6 公尺，求樹高。
自評 P80 第 3 題
A
H
D B F
E G
C
2 5
1 1.8
樹高是 AB，垂直木棍是 CD，望遠 鏡是 E 點，自 E 點作垂線分別交 CD 與 AB 於 G、H 兩點。
第 章
1
特殊直角三角形的邊長比
1 直角三角形 ABC 中，∠A＝30°，∠B＝60°，
∠ C＝90°，則 BC：AC：AB＝1： 3：2。
2 等腰直角三角形 ABC 中，∠A＝∠B＝45°，
∠ C＝90°，則 BC：AC：AB＝1：1： 2。
3 三角比
在八下曾學過利用正三角形的邊長來求其高，如右 圖，若正三角形 ABD 的邊長為 a，AC 為 BD 邊上的高，
則 BC＝ 12 BD＝ 1
2 a，AC＝ 32 a，所以△ABC 三邊長 的比為 BC：AC：AB＝ 12 a： 3
2 a：a＝1： 3：2。
同樣地，如右圖，若等腰直角三角形 ABC 中，
∠A＝∠B＝45°，∠C＝90°，AC＝BC＝a，則
AB＝ a2＋a2＝ 2a2 ＝ 2 a，所以△ABC 三邊長的比為 BC：AC：AB＝a：a： 2 a＝1：1： 2。
特殊直角三角形的邊長比
B C
A
45°
45°
B C
A
60°
30°
A
B 45° C
45°
B C D
A
60°
30°
a
a a
在直角三角形 ABC 中，
∵∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，
∴ BC：AC：AB＝1： 3：2。
BC：AC：6＝1： 3：2
∴BC1 ＝ AC 3 ＝ 6
2 ， 可得 AC＝3 3、BC＝3。
30 - 60 - 90 度三角形的三邊長 例
6
如圖，直角三角形 ABC 中，∠A＝30°，∠B＝60°，
∠C＝90°，若 AB＝6，求 AC、BC 的長。
解
隨堂練習
直角三角形 ABC 中，∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，若 AB＝12，求 AC、BC 的長。
B C
A
60°
30°
若 x：y：z＝a：b：c，
且 a、b、c 皆不為 0，
則x a ＝ y
b ＝ z c 。
第 章
1
45 - 45 - 90 度三角形的三邊長 例
7
如圖，等腰直角三角形 ABC 中，∠A＝∠B＝45°，
∠C＝90°，若 AB＝6，求 AC、BC 的長。
解 在等腰直角三角形 ABC 中，
∵∠A＝∠B＝45°，∠C＝90°，
∴ AC：BC：AB＝1：1： 2。
AC：BC：6＝1：1： 2 AC1 ＝ BC
1 ＝ 6 2 ， AC＝ 62 ＝ 6× 2
2× 2 ＝ 6 22 ＝3 2，
同理，BC＝AC＝3 2。
自評 P80 第 4 題
隨堂練習
等腰直角三角形 ABC 中，∠A＝∠B＝45°，∠C＝90°，若 AB＝12，求 AC、BC 的 長。
B C
A
45°
45°
內政部營建署 建築物無障礙設 施設計規範中，關於無障礙坡道的設 計，其中必須符合「坡道之坡度（高度 與水平長度之比值）不得大於 112」的 規定，意思是「每前進 12 公尺的水平 距離，上升高度不能大於 1 公尺」。
右圖為符合標準的無障礙坡道示意 圖，坡道之坡度剛好是 112 ，AD 是無障 礙坡道長，AE 是地面上的水平距離，
BC、DE 皆垂直 AE。
因為 BC
AC ＝ DE
AE ＝ 112，亦即在直角三角形 ABC 與直角三角形 ADE 中，兩股 長的比值是固定的。
直角三角形的三角比
安全為了討論一般直角三角形三邊的關 係，我們規定如下：
如圖，△ABC 為直角三角形，
∠C＝90°，∠A 是其中一個銳角，則 BC 稱為∠A 的對邊，AC 稱為∠A 的鄰邊。
在前面提到無障礙坡道中，兩股長的比值是固定的，也就是說當△ABC 為直角 三角形，∠C＝90°，只要∠A 的度數固定，∠A 對邊長
∠A 鄰邊長 的比值就會固定不變。事實 上，∠A 對邊長
斜邊長 、∠A 鄰邊長
斜邊長 的比值也是固定不變的，說明如下頁。
A C
B
斜邊
∠A 的鄰邊
∠A 的對邊 E D
C B A
第 章
1
如圖，△ABC、△ADE 為直角三角形，
∠ACB＝∠AED＝90°，因為∠A 為公用角，
所以△ABC∼△ADE （AA 相似），由此可得
從上面的說明可知，若直角三角形的一個銳角是∠A，當∠A 的度數固定不變 時，則 ∠A 對邊長斜邊長 、 ∠A 鄰邊長
斜邊長 、 ∠A 對邊長
∠A 鄰邊長 的比值也是固定不變，我們稱這些比 值為∠A 的三角比，並用 sin∠A、cos∠A 、tan∠A 來表示這三個比值。
如圖，在直角三角形 ABC 中，
∠C＝90°，
1∠A 對邊長
斜邊長 記作 sin∠A，簡記成 sin A （讀做 sine A），即 BCAB ＝sin A。
2∠A 鄰邊長
斜邊長 記作 cos∠A，簡記成 cos A （讀做 cosine A），即 ACAB ＝cos A。
3∠A 對邊長
∠A 鄰邊長 記作 tan∠A，簡記成 tan A （讀做 tangent A），即 BCAC＝tan A。
這三個比值，皆稱為∠A 的三角比。
A C
B
斜邊
∠A 的鄰邊
∠A 的對邊
DEBC ＝ AC
AE ＝ AB AD
BC
AB ＝ DE
AD（∠A 對邊長 斜邊長 ） ACAB ＝ AE
AD（∠A 鄰邊長 斜邊長 ） BCAC ＝ DE
AE（∠A 對邊長
∠A 鄰邊長）
E C
B
A
隨堂練習
如圖，在△ ABC 中，∠A＝∠B＝45°，∠C＝90°，
求 ∠A 對邊長
斜邊長 、∠A 鄰邊長
斜邊長 、∠A 對邊長
∠A 鄰邊長。
如圖，在前面曾學過直角三角形 ABC 中，∠A＝30°，
∠B＝60°，∠C＝90°，則無論三角形的大小，BC：AC：AB 三 邊長的比都是 1： 3：2，我們可以得到 30°（∠A）三角比的值 是固定不變的。同理，45°、60° 三角比的值也是固定不變的。
C A
B
30°
60°
特殊角的三角比
例8
如圖，在△ABC 中，∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，
求 ∠A 對邊長
斜邊長 、∠A 鄰邊長
斜邊長 、∠A 對邊長
∠A 鄰邊長。
解 ∵∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，
∴BC：AC：AB＝1： 3：2。
∠A 對邊長
斜邊長 ＝ BC AB ＝ 1
2
∠A 鄰邊長
斜邊長 ＝ AC
AB ＝ 3 2
∠A 對邊長
∠A 鄰邊長＝ BC
AC ＝ 13 ＝ 3 3
C A
B
30°
60°
自評 P81 第 5 題
C B
A
45°
45°
第 章
1
傑克家的地面比騎樓高 15 公分，爸爸為了家裡的 摩托車與輪椅進出方便，做了一個活動式木板斜坡，如 右圖。若將斜坡角度設定為 20°，則木板斜坡要多少公 分，才會和地面形成 20°的夾角？
如圖，△ABC 為直角三角形，設斜坡的長度為 AB，
騎樓與家裡地面的距離為 AC，斜坡的角度為 20°，利用 三角比可以列得算式 AC
AB ＝ 15
AB ＝sin 20°≒ 0.3420，
所以 AB ≒ 150.3420≒44（公分），即傑克家的木板斜坡長
約 44 公分。 C B
A
20°
15
在 例
8
中，∠斜邊長A 鄰邊長 可用 cos 30°表示，30 度角的三角比也可以用計 算機來協助計算，方法如下：螢幕顯示 cos 30°與 32 的近似值相同。
一般而言，任何銳角的三角比也可以用計 算機協助計算。
數值 按法 螢幕顯示
cos 30° 30
3 SHIFT 2