曲率分析與接觸橢圓模擬

由於漸開線圓錐齒輪對在非平行軸嚙合下之接觸情形為點接觸，齒輪對在嚙 合時，齒面由於受到外加負載，在其接觸點附近會產生齒面變形，齒面接觸變形 後兩齒面接觸的區域稱為接觸齒印，接觸齒印常散佈於一橢圓形之區域，故習慣 稱之為接觸橢圓。針對兩嚙合齒面進行其曲率分析並求出接觸點上兩曲面之主軸 曲率以及主軸方向。並進一步利用嚙合齒面之間的曲率關係，可求得嚙合齒面在 接觸點附近，因接觸負荷而造成齒面彈性變形時其接觸橢圓的大小與方向。假若 我們知道創成齒條刀和被創成齒面間其主軸曲率和方向（Principal Curvatures and Directions）之關係，根據 Litvin 所提出之觀念，可大大地簡化此一問題。以 ΣF

及 ΣP 分別代表用以創成小齒輪 Σ1 及大齒輪 Σ2 之刀具，刀具之主軸曲率以 及主軸方向可由 Rodrigues 方程式求得：

−•

= _r

r n

IIV

κI, (3.4)

其中κ_I,II為刀具之主軸曲率，V_r為接觸點沿齒面移動之相對速度，而 n^•_r則為上述 運動中接觸點上之單位法向量尖端之速度。以下的式子中i=F,P和 j=1,2，分別 用以表示假想齒條刀Σ_F和Σ_P以及其所對應創成之小齒輪Σ₁和大齒輪Σ₂間之曲率 關係。茲以刀具Σ_i創成齒輪 Σ_j為例，利用刀具

Σ 之參數對時間微分為零之條i

件，可由 Rodrigues 方程式求得切削刀具之第一和第二主軸曲率 κI⁽i⁾和κ_II⁽ⁱ⁾及其

對應之主軸方向i_I⁽ⁱ⁾和i_II⁽ⁱ⁾。在求得齒條刀Σ_i之主軸曲率與主軸方向之後，即可經

[

]

3.3 範例

圖3.5 所示為漸開線圓錐齒輪對在平行軸、相交軸以及交錯軸組裝情形下嚙 合之示意圖。以下所舉之範例乃針對漸開線圓錐齒輪對進行其齒面接觸分析以及 接觸橢圓之模擬，並探討磨輪半徑對接觸橢圓大小之影響。以下範例所選用之齒 輪對，其主要設計參數如表3.1 所示。

圖3.5 漸開線圓錐齒輪組應用於相交軸、交錯軸以及平行軸之嚙合示意圖

表3.1 漸開線圓錐齒輪對之主要設計參數 小齒輪 Σ₁ 大齒輪 Σ₂ 齒數 N₁ =30 N₂ =40 法向壓力角 α_n =20^o

法向模數 ^mn =^{5 (mm/teeth)}

例一 直齒漸開線圓錐齒輪組在相交軸情形下嚙合

如 圖 3.5 (a) 所 示 之 相 交 軸 直 齒 漸 開 線 圓 錐 齒 輪 對 ， 其 圓 錐 角 為

= Ο

= ₂ 30

1 δ

δ ，並且以相交角60^Ο組裝嚙合。Case 1 至 Case 3 乃是我們藉由改變磨 輪半徑 r 來探討觸橢圓大小之變化所得之結果。如圖 3.6 所示，當磨輪半徑無_w 限大時(rw ^=∞)，可將此一齒輪對視為以假想齒條刀創成之傳統漸開線圓錐齒輪 對。觀察模擬之結果，我們可以明顯地發現隨著磨輪半徑減小，接觸橢圓之長軸 會明顯地增大。此外，齒面上之接觸點位置以及接觸點路徑並不會隨磨輪半徑之

輪所創成之相交軸凹面直齒漸開線圓錐齒輪對，在不同裝配誤差下嚙合之情形。

其中Case 4 之裝配誤差為 ∆γ_h =∆γ_v =0^Ο、∆x_g =∆y_g =∆z_g =0.3 mm。 Case 5 之裝配誤差為 ∆γ_h =0.5^Ο,∆γ_v =−0.2^Ο、∆x_g =∆y_g =∆z_g =0.3 mm。根據模擬所 得之結果，在不同之裝配誤差下嚙合，其傳動誤差皆可保持為零且其接觸橢圓仍 然分佈於靠近齒面中央之區域。因此可以證明此一齒輪對於裝配誤差不敏感。

圖3.6 相交軸直齒凹面漸開線圓錐齒輪組之接觸齒印

圖3.7 裝配誤差對於相交軸直齒凹面漸開線圓錐齒輪組接觸齒印之影響

例二 以Mitome 輪磨法創成之螺旋凹面漸開線圓錐齒輪組在交錯軸情形下嚙合 如圖 3.5(b)所示之交錯軸螺旋漸開線圓錐齒輪對，其圓錐角為 δ₁ =δ₂ =20^Ο且

= Ο

= ₂ 15

1 ψ

ψ 。假如此對齒輪是利用Mitome 之輪磨法創成，由圖 3.8 所示之模擬 結果可發現隨著磨輪半徑減小，接觸橢圓之長軸會明顯地增大。然而此時齒面上 接觸點位置以及接觸點路徑隨磨輪半徑之變化而改變，並且在標準之裝配情形下 即造成如圖3.9 所示之明顯運動誤差。因此 Mitome 之輪磨法並不適用於交錯軸 螺旋凹面漸開線圓錐齒輪對之創成。

圖3.8 Mitome 輪磨法所創成之交錯軸螺旋凹面漸開線圓錐齒輪組之接觸齒印

Case 6

Case 6 Case 7 Case 8

運動誤差(arc-sec)

小齒輪旋轉角度

例三 改良式輪磨法創成之螺旋凹面漸開線圓錐齒輪組在交錯軸情形下嚙合 重複例二之模擬，並以本研究所提出之改良式輪磨法創成之齒輪組取代 Mitome 輪磨法創成之齒輪組。如圖 3.10 所示，隨著磨輪半徑減小，接觸橢圓之 長軸增大且接觸點位置以及接觸點路徑並不會隨之改變。圖3.11 所示之 Case 12 及Case 13 乃是模擬在不同裝配誤差下此一齒輪對之嚙合情形。其中 Case 12 之 裝配誤差為 ∆γ_h =∆γ_v=0^Ο、∆x_g =∆y_g =∆z_g =0.3 mm，而 Case 13 之裝配誤差 則為 ∆γ_h =0.5^Ο,∆γ_v =−0.2^Ο、∆x_g =∆y_g =∆z_g =0.3 mm。此一齒輪組不但在標 準之裝配情形下不會產生運動誤差，即使在不同之裝配誤差下嚙合，其傳動誤差 皆可保持為零且其接觸橢圓仍然分佈於靠近齒面中央之區域，。模擬之結果顯 示，本研究所提出之改良式輪磨法可有效地改善利用Mitome 方法所創成之螺旋 凹面漸開線圓錐齒輪組具有傳動誤差之缺點。

圖 3.10 本研究所提出之改良式輪磨法所創成之交錯軸螺旋凹面漸開線圓錐齒 輪組之接觸齒印

圖 3.11 裝配誤差對於改良式輪磨法所創成之交錯軸螺旋凹面漸開線圓錐齒輪