最佳取樣條件

定義u f a_s ，這是相機的曝光時間在一個拍照時間週期所佔的比例。以一 般市面上的數位相機而言，常見的規格是u0.5及n8 bit。因此，綜合以上的 條件，可得相機拍照頻率與外差頻率的關係為 f_s 5 /14f 。除此之外，還可以藉 由提高取樣總時間T 來減少因對比度下降所造成的取樣誤差。如 Fig. 5.8 所示，

當 fa' 0.43 ，m1，u0.5，n8 bit，及₀  0 , 20 , 40 , 60 , and 80    時擬合 的相位誤差與N 的關係。當N120時，相位誤差會被縮減到0.05以下。這樣的 取樣誤差已經可以拿來做為實際上的應用量測，所以我們提出一個相機拍照頻率 低於Nyquist sampling rate 的最佳條件

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Fig. 5.7 不同 m 值之下， '/r r 對 fa 的關係曲線 '

Table 5.1 The value of fa for the '

maximum of r r'/ under different m value m fa ' m fa '

1 0.4303 10 0.4903 2 0.4591 15 0.4934 3 0.4709 20 0.4951 4 0.4774 30 0.4967 5 0.4815 40 0.4975

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Fig. 5.8 當 fa' 0.43 ，m1，u0.5，n8 bit，及  ₀ 0 , 20 , 40 , 60 , and 80    時擬合的相

位誤差與N 的關係

5 ; 14

120, fs f

N

 

 



(5.34)

5.5 討論

在實際應用上，一般市售相機其n8 bit，u0.5，及 f_s 30 Hz，在這些 條件下，由Eq. (5.34)可知外差頻率 f 84 Hz。在此外差頻率之下，已可有效的 避免環境擾動對干涉信號造成影響，特別是在有isolator 的場合做實驗時[5]。此 外，根據先前的文章中所提出的條件，當 f 84 Hz時，若要有相同的取樣相位

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誤差，則 f_s 15f 1260 Hz。一般而言，低價的相機無法有如此高的拍照速度，

必須使用高速相機。根據我們所知，擁有此拍照速度的相機其價格為同畫素普通 速度相機的數十倍。其次，前作中提出的最佳條件裡，T 1/ f ，因此取樣的總 數N 15；與本文提出的最佳條件比較，若 f_s 30 Hz的情形下，要達到相同的 解析度則N120。雖然總取樣的數目增加，但是以8 bit 及畫素大小為800 600 的相片來說，N 15(約 3 Mb)及N 120(約 24 Mb)的相片容量對現在的電腦而 言所佔的硬碟容量皆很小，幾乎不會增加任何成本。因此，在取樣所造成相同的 相位誤差之下，本文中所提出的條件可大幅節省實驗成本。

5.6 小結

一般市售相機通常以n8 bit，u0.5，及 f_s 30 Hz的條件在全場外差干涉儀 中作為取樣工具。本章推導出相機在外差干涉術中的取樣程序，並提出即使不滿 足取樣原理的條件，仍可使用三參數弦波擬合法及Fourier sine and cosine transforms 求得波形及相位，將擬合的相位與原信號的相位相比以求得理論上的 相位誤差。此外，雖然取樣頻率在低於外差頻率的兩倍時，可以得到干涉信號的 相位，但是並非所有的取樣頻率對外差頻率比都可使用。本研究利用Fourier transform 方法及矩陣運算的方式，都可以分別得到取樣頻率與外差頻率的限制 條件。除此之外，以Fourier transform 方法及矩陣運算的方式只能獲得可還原干

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涉信號及相位的最低限制，但在實際應用上，必需設定相位解析的誤差。因此，

在相位誤差設定在0.05時，可以模擬定出如Eq. (5.34)的最佳條件，可以做為用 市面上容易取得且便宜的低速相機用來從事此方面研究的參考。

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5.7 參考文獻

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第六章 量測四分之一波片之二維相位延遲分佈

6.1 引言

當外差干涉術擴展到全場量測時，為了節省因掃瞄所耗費的時間，因而使用 快速相機來擷取干涉信號[1-2]。然而，科學用的快速相機的成本過高，以致於造 成全場外差干涉術在實驗中的一種門檻。因此，在第五章中提出並且以理論方式 証明了即使取樣頻率不滿足Nyquist 取樣速率，即取樣頻率低於兩倍外差頻率，

還是可以利用三參數弦波擬合法來得到外差干涉信號的相位。除此之外，還提出 了以普通市售相機在低取樣條件時，仍然可做為全場外差干涉術取樣工具的最佳 取樣條件[3]。但也僅止於理論上的探討，本章將直接利用第五章所提出的最佳 取樣條件，以市面上容易取得之低價位相機，對四分之一波片進行全場相位延遲 的量測。

光學材料的雙折射特性經常被應用在許多研究領域中，諸如石英晶體及液晶 等。精確地量測出雙折射材料的快軸與慢軸間的相位延遲，對於光電及平面顯示 器等之相關產業來說是一項必要的檢測技術。在過去有多位研究學者開發了數種 測量雙折材料的相位延遲的方法[4-15]，並有很好的量測結果。然而除了 Lo[14]

與Chen[15]的方法之外，其餘的方法都僅限於單一探測點的量測方法。雖然 Lo 的方法可用在雙折材料的全場相位延遲分佈的量測，但是該方法是使用類似移相 干涉技術[16]的方法。雖然其光源及干涉信號皆為外差信號，但在擷取干涉信號 時必須精確地將干涉信號的一個完整週期等分成四等分，並分別紀錄四個連續且 紀錄時間為四分之一週期的光強度。而後再將擷取到的信號做進一步的計算得到 干涉信號的相位。此種解析相位的方式稱為four-frame integrating-bucket method [14]，所得到的影像及處理的技術類似四步移相干涉術。然而這個方法也確實可 以做為普通低速相機在全場外差干涉術應用的一種方式，但就是需要犧牲解析度 來達到解析相位的效果(相位解析度約為 0.35°)。為了改進量測準確度，Chen 提 出了以全場外差干涉術來量測全場相位延遲的方法[15]。與 Lo 不同的是，為了

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達到與傳統外差干涉術具有相同的相位解析度，在Chen 的實驗中使用了快速

CMOS 相機來擷取干涉信號。如第二章的相位解析法所述，其所擷取到的干涉光 強度會呈現一序列之弦波訊號，最後以三參數弦波擬合法還原出外差干涉信號的 弦波及相位。因此，該方法確實提高了量測的解析度(相位解析度約為 0.01°)，並

且同時具有共光程干涉術及外差干涉術的優點。然而，快速CMOS 相機的造價

並不便宜，使得實驗的成本提高許多。因此，本方法將Chen 的方法進行改良，

實驗架構與其類似，但干涉信號的擷取是以第五章所述之低取樣時的最佳化條件 做為取樣頻率及外差頻率選擇的依據，並且利用三參數弦波擬合法，還原出原干

涉信號的相位大小。並且利用普通的相機來達到與Chen 的實驗有相同的相位解

析度。除了同時具有共光程干涉術及外差干涉術的優點之外，還可以大幅降低實 驗的成本。

本章在6.2 節中描述此方法之原理；在 6.3 節中展示以四分之一波片做為待 測對象的測量結果，並在6.4 節中做誤差分析的探討。

6.2 原理

本方法的實驗架構圖如Fig. 6.1 所示，一線性偏極雷射光通過由訊號產生器 FG 與線性電壓放大器 LVA 所驅動的電光晶體調制器 EO，驅動 EO 的電壓訊號 是頻率為f 且振幅等於 EO 半波電壓 Vπ的鋸齒波訊號。此光束經過顯微物鏡MO 與針孔PH，再由一準直透鏡 CL 準直後，通過待測樣本 S 與檢偏板 AN，最後經 由成像透鏡IL 將影像成像於一快速 CMOS 相機 C 上。S 為我們常用的圓形波片，

它可由IL 進行成像，S 的影像則會落於 C 的感測平面上。若光源沒有通過 S 的 區域而直接照射在C 上，則稱此區域為 Region I。Region I 是做為參考信號使用。

而通過S 並以 IL 成像至感測平面上的區域就標示成 Region II，做為測試信號使 用。若在Region I 與 Region II 裡像素的電場大小分別為Et與Er，則其光強度就 分別為I_t  E_t ² 以及I_r  E_r ²，其中It與Ir分別表示測試訊號與參考訊號。

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Fig. 6.1 量測全場相位延遲之光路架構圖。LS：雷射光源；EOM：電光晶體調制器；

LVA: 線性電壓放大器；FG：訊號產生器；MO：顯微物鏡；PH：針孔；CL：準直透鏡；

S：待測樣本；AN：檢偏板；IL：成像透鏡；C：CMOS 相機；PC：個人電腦

為方便起見，在此我們定義 +z 軸為光前進方向，且 x 軸為垂直紙面向下的

- 81 -

- 82 -

6.3 實驗與結果

在第五章中，針對於一般市面上的數位相機(u0.5及n8 bit)而言，我們 提出相位誤差在0.05以下之optimal conditions[8]為

120

N ； (6.5a) 5

s 14

f  f。 (6.5b)

因此我們在此條件之下，對1/4 波片(Union Optic/WPF4125) [18] 進行全場相位 延遲的量測以驗証其可行性。此波片折射率(ne, no) = (1.553, 1.544)，有效厚度d = 17.58 μm (只有石英晶體的厚度部分，不包含基板玻璃的厚度)，樣本直徑為 1 英 吋，量測區域涵蓋整個樣本。上述ne與no分別代表非尋常(extraordinary)與尋常 (ordinary)光折射率。用來擷取干涉信號的相機(Guppy/F-080)其灰階數g 8 bit、 畫素為380×380、取樣頻率 f_s 30 Hz與曝光時間a1/ 60 s。另外，根據Eq. 代表1/4 波片的相位延遲。Fig. 6.2(a)與(b)中的黑點分別是座標在(200, 200)及(375, 200)的相素所得的取樣強度，這兩點分別位於 Region I 及 Region II 中。將這些 取樣數據送入個人電腦，並且以Matlab (MathWorks Inc.)軟體作弦波擬合之後，

可分別得如實線所示的擬合波形，並可得其相位分別為293.17與202.88，因此 相位延遲為90.29。全場相位的量測結果如Fig. 6.3(a)所示，Fig. 6.3(b)則為 Fig.

6.3(a)中虛線所代表的一維相位延遲曲線。此外，對於 Fig. 6.3(a)的方形區域範圍

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(a)

(b)

Fig. 6.2 座標分別在(a) (200, 200)及 (b) (375, 200)的相素所得的取樣強度

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(a)

(b)

Fig. 6.3 (a)全場相位的量測結果；(b) Fig. 6.3(a)中虛線所代表的一維相位延遲曲線

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(150×150 像數)，其標準差為 0.37°。此結果與 Chen[21]等人的量測結果相符合。

6.4 討論

本方法的相位誤差來源包含有下列幾項：取樣誤差[3] 、偏振混合誤差₁ [22,23]  、方位角角度誤差[9] ₂  及擴束準直誤差₃  等幾項，分述如下： ₄

(1) 取樣誤差

此項誤差的大小已詳述於第五章中，在此不再贅述。取樣誤差的大小，根據 實驗的條件，則可計算得 ₁ 0.05 。

特別值得一提的是，相機取樣後的強度如Fig. 6.2(a)中的黑點所示。可以看

出這些取樣的強度在時間軸上的排列剛好為另一個弦波函數(虛線)，且頻率為 f

出這些取樣的強度在時間軸上的排列剛好為另一個弦波函數(虛線)，且頻率為 f